二次函数的图像和性质(原创公开课)

代数式（的值）
运算顺序
当x=0时,最大值为0.
6.二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
y=a(x-h)2 (a>0)
y=a(x-h)2 (a<0)
向上 直线x=h
（h，0）
在对称轴的左侧,y随着x的增大而 减小. 在对称轴的右侧, y随着x的
增大而增大.
向下 直线x=h
（h，0）
平移的规律总结：
y=ax2 当h>0时,向右平移h个单位 y=a(x-h)2 当h<0时,向左平移 h 个单位
当k>0时,向上平移k个单位
y=a(x-h)2+k 当k<0时,向下平移 k 个单位
y
y 1 x 22 2 x=-2
2
5 4
观y察1yx122 x222 y21x22 3
2
的图像
3
先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
(2)y=(x+4)2－5
先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
12.与抛物线y=－4x 2形状相同，顶点为 （2，-3）的抛物线解析式 为 y= - 4(x-2)2-3．或y= 4(x-2)2-3
13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示
（1）求解析式
2 (-2,2) 1
y 1 x2 2
x
–5 –4 –3 –2 –1O
y 1 x 22 3
2
–1 –2
–3
(-2,-3) –4
12345
抛物线
开口 方向
y1x22 2
2
向上

例2 二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是 A
（
）
方法点拨：把函数的一般
A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）式化为顶点式，再由定点
式确定开口方向、对称轴、
B．开口向下，顶点坐标为（1，4）
顶点及其他性质.
C．开口向上，顶点坐标为（1，4）
D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
解析 ∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，
探究新知
怎样将 y
配方可得
1 2
x 6 x 21 化成y=a(x-h)2+k的情势？
2
1 2
y x 6 x 21
想一想：配方的方
2
1
( x 2 12 x 42)
法及步骤是什么？
2
1 2
( x 12 x 62 62 42)
2
1
[( x 2 12 x 62 ) 62 42]
直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
探究新知
知识点 2
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质
根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象
和性质吗？
2
b
4
ac

b
y=ax2+bx+c a( x )2
2a
4a
探究新知
2
b
4
ac

b
2
y=ax2+bx+c a( x )
-6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4 -6.5 ···

问题3：多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图可以想出,如果多边形有n
条边，那么它有 n 个顶点，从一
个顶点出发，连接与这点不相邻
M
N 的各顶点,可以作(n-3)条对角线.
此式表示了多边形
的对角线数d与边
数n之间的关系,对
于n的每一值,d都
即
有唯一的对应值,
即d是n的函数。
问题4：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年 增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后 这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外), 它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的 开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在 对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在 对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
2
2
再见！
22.1.2二次函数y=ax²和 y=ax²+k的图像和性质
1、二次函数的一般形式是怎样的？
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
① y x2
② y x2 1 x
③ y x x2 ④ y x2 x 1
⑤ y 1 x2 2x 4
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.

(2) BF＝BC 理由：在y＝kx＋2中，令x＝0，得y＝2.∴ 点F的坐标为(0，2)．
∴ OF＝2.过点F作FH⊥BC，垂足为H.设点B的坐标为 t， 1 t2 + 1 ，
4
∵ 易知四边形OFHC为矩形，∴ OF＝CH，FH＝OC＝t，BC＝14t2＋1.
∴
BH
＝
BC
－
CH
＝
BC
－
OF
＝
1 4
当x＜0时，y随x增大而减小．
抛物线关于y轴对称．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
那么y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像有什么关系？
在同一坐标系中画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图像． （1）列表．
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k 是由抛物线 y=ax2 上下平移｜ k ｜个单位长度得到的，“上加”表 示当k 为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时， 向下平移；
“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平 移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
l 归纳：
2. 二次函数y=ax2+k 的图像
l 归纳：
3. 二次函数y=ax2+k 的性质 (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有 最大值k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当 x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0 时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增 大而减小.
l 归纳：
4. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：类比作二次函数y=ax2 图象的描点法，