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二次函数图像及性质【二次函数的定义】一般地，形如y = ax2+bx + c Wc为常数，“工0）的函数称为兀的二次函数，其中兀为自变量，为因变量，J b、c分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.注意：和一元二次方程类似，二次项系数“工0,而b、c可以为零.二次函数的自变量的取值范朗是全体实数.【二次函数的图象】1.二次函数图象与系数的关系（1）“决左抛物线的开口方向当“>0时，抛物线开口向上；当“<0时，抛物线开口向下.反之亦然.同决过抛物线的开口大小：同越大，抛物线开口越小；同越小，抛物线开口越大.温馨提示：几条抛物线的解析式中，若问相等，则其形状相同，即若"相等，则开口及形状相同，若a互为相反数，则形状相同、开口相反.（2）〃和"共同决左抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：S2a当b=o时，抛物线的对称轴为y轴；当方同号时，对称轴在轴的左侧；当〃异号时，对称轴在y轴的右侧・（3）“的大小决泄抛物线与y轴交点的位置（抛物线与y轴的交点坐标为（o，C）当c=o时，抛物线与y轴的交点为原点：当c>o时，交点在轴的正半轴：当c<0时，交点在y轴的负半轴.2•二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y = ax2 +bx + c化为顶点式y = a（x-h）2 +k，确泄其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0, c）、以及（0, c）关于对称轴对称的点（2力，c）、与x轴的交点（占，0） , （x2 , 0）（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）・画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与X轴的交点，与y轴的交点.3•点的坐标设法（1）一次函数y = ax + h图像上的任意点可设为（“与+“）•其中再=0时.该点为直线与y轴交点.（2）二次函数y = ax2+bx + c（心0）图像上的任意一点可设为（石，妙？+站+可.再=0时，该点为抛物线与y轴交点，当x=-A时，该点为抛物线顶点.2a⑶ 点（召，yj关于（兀2，x2）的对称点为（2兀-若，2比-）・4•二次函数的图象信息（1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性.（2）根据抛物线的对称轴判断-仝的大小.2a（3）根据抛物线与y轴的交点，判断。
龙文教育学科导学教师:学生:年级：日期: 星期: 时段:学情分析二次函数部分内容中考难度不大，所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。
课题二次函数的图像与性质学习目标与考点分析学习目标：1、理解二次函数的概念；会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数；2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法；3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。
学习重点图像的平移；待定系数法求解析式学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导学习内容与过程教学内容：知识回顾1.一般地，形如y=ax2 +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项.2.二次函数的解析式及其对称轴（1）二次函数解析式的一般式（通式）：，它的顶点坐标为（，），对称轴为；（2）二次函数解析式的顶点式（通式）：，顶点坐标为（，）对称轴是；（3）二次函数解析式的交点式：。
此时抛物线的对称轴为。
其中，（x1,0）（x2,0）是抛物线与X轴的交点坐标。
显然，与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质4.二次函数的平移问题5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a，b，c的符号与图像性质的关系：6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系二次函数的常规解法：一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y＝ax2+bx+c(a≠0)求解。
我们称y＝ax2+bx+c(a≠0)为一般式（三点式）。
例：二次函数图象经过A(1，3)、B(-1，5)、C(2，-1)三点，求此二次函数的解析式。
说明：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。
所以将已知三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。
二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y＝a（x＋m）2+k (a≠0)求解。
我们称y ＝a（x＋m）2+k (a≠0)为顶点式（配方式）。
例：若二次函数图像的顶点坐标为（－2,3），且过点（－3,5）,求此二次函数的解析式。
说明：由于顶点式中要确定a、m、k的值，而已知顶点坐标即已知了－m、k的值。
用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。
若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。
三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)求解。
我们称y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)为双根式（交点式）。
例：已知一个二次函数的图象经过点A（－1，0）、B（3，0）和C（0，－3）三点，求此二次函数的解析式。
说明：很多同学看到此例会想到使用一般式来解，将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。
往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标，而用双根式来求解就相对比较简单容易。
四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时，可选用或例：抛物线y＝2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4，求此二次函数的解析式。
说明：对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程，记住公式套进去就行了。
注意相互之间不要混淆。
总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。
当然，也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数，才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。
二次函数的概念如果y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)，那么y叫做x的二次函数注意：二次函数的表达形式为整式，且二次项系数不为0，b ，c可分别为0，也可同时为0自变量的取值范围是全体实数练习：1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．x+y 2-1=0B ．y=（x+1）（x-1）-x 2C ．y=1+21x +D ．2（x-1）2+3y-2=02．若函数y=（m 2+m ）221m m x --是二次函数，那么m 的值是（ ）A ．2B ．-1或3C ．3D ．-1±23．写出下列各函数关系式，并判断是否是二次函数？（1）两直角边的和为40cm ，其中一条直角边长为xcm ，直角三角形的面积是Scm 2，写出S 和x 之间的函数关系式；（2）写出圆面积S 与半径r 之间的函数关系式；（3）写出正方形面积y 与边长x 之间的函数关系式；（4）圆的周长c 与半径r 之间的函数关系式．2.二次函数的图像及其性质二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的定点1.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图像。
（画图讲解）2.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0,a,b,c 为常数)的图像二次函数y=ax 2+bx+c 用配方法可化成y=a(x-h)2+k h=-a b 2,k=a b ac 442- （注重推导过程）练习：1．抛物线y=（x-1）2+1的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（1，-1）D ．（-1，-1）2．若k 为任意实数，则抛物线y=-2（x-k ）2+k 2的顶点在（ ）A ．抛物线y=x 2上B ．直线y=-x 上；C ．x 轴上D ．y 轴上3．抛物线y=-12x 2的开口向_______，顶点坐标为________，•顶点是抛物线的最____点，当x=_______时，函数有最_______值为_________． 4．二次函数y=14x 2的图象是一条开口_______的_________，有最______点，当x=2时，y=________；当y=1时，x=________．5．已知二次函数y=（m-1）·232m m x-+的图象开口向上，则m=_______．3.二次函数的解析式以及如何求解：练习：1．已知抛物线的顶点坐标为（2，1），且抛物线经过点（3，0），则这条抛物线的解析式是（ ）.（A ）91394912++=x x y （B ）9594912+--=x x y （C ）y=x 2-4x+5 （D ）y=-x 2+4x-3 2．已知抛物线经过A （1，-4），B （7，8），C （-5，20）三点，求二次函数的解析式.4．二次函数的应用1、已知y=x 2+x －6，当x=0时，y= ；当y=0时，x= 。
2、抛物线217322y x x =+-与y 轴交点的坐标为 ，与x 轴交点的坐标为 。
3、抛物线y=(x+3)2－25与y 轴交点的坐标为 ，与x 轴交点的坐标为。
5.图像的平移1．将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ，并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 。
2、抛物线21(2)43y x =++可以通过将抛物线y ＝ 向 平移 个单位、再向 平移 个单位得到。
6.用函数观点看一元二次方程1、 已知抛物线232y x x a =-+与x 轴有交点，则a 的取值范围是 （ ）(A) a ≤13 (B) a ＜13 (C) a ≤13- (D) a ≥13 2、无论x 为任何实数，抛物线2y ax bx c =++永远在x 轴上方的条件是 （ ）(A) a ＞0,24b ac -＜0 (B) a ＞0, 24b ac -＞0(C) a ＜0, 24b ac -＞0 (D) a ＜0, 24b ac -＜03、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示.①这个二次函数的表达式是y =______；②当x =______时，y =3；③根据图象回答：当x ______时，y >0.xy11 2 -1O7、二次函数的图像与系数之间的关系：1、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）。
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 .3、二次函数2y x ax b 中，若0a b ，则它的图象必经过点（ ）A 1,1B 1,1C 1,1 D1,14、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图所示的( )课内练习与训练1. 已知：如图一次函数y ＝12x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝12x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1，0) (1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC 的面积S ；(3)在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．2、如图14（1），抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］（1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）设抛物线22y x x k =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线22y x x k =-+上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．图14（1） 图14（2） 图14（3）1x A y O 1xB y O 1xC y O 1xD y O3、如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．学生收获你这次课一定有不少收获吧，请写下来： 教学反思本次课后作业学生对于本次课的评价：○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差学生签字：4 x 2 2 A 8-2 O -2 -4 y 6B CD -4 4教师评定：1、学生上次作业评价：○非常好○好○一般○需要优化2、学生本次上课情况评价：○非常好○好○一般○需要优化教师签字：学科组长签字：龙文教育教务处。
