洛必达法则与不定式的极限

两个常用的极限公式
在数学中，极限是一种非常重要的概念，经常会用到极限公式来求极限。

在这里介绍两个常用的极限公式：
1. 夹逼定理：夹逼定理也叫夹逼准则，它是求极限的一种重要方法。

夹逼定理的基本思想是，如果一个函数在两个函数之间，而这两个函数的极限相等，那么这个函数的极限也等于它们的极限。

2. L'Hospital法则：L'Hospital法则又称洛必达法则，通常用于解决极限中的无穷小与无穷大的问题。

L'Hospital法则的基本思想是，对于一个不定式，如果它的分子和分母在某个点的极限都为0或都为无穷大，那么这个不定式的极限等于对分子和分母分别求导后再取极限。

这两个极限公式在数学中经常被用到，使用起来比较方便，但是在使用时也需要注意一些细节问题。

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§ 6 洛必达法则及其应用秒杀知识点：知识点1：00型不定式极限定理若函数()f x ，()g x 满足： （1）0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（2）在点0x 的某空心邻域()0x ︒内两者都可导，且()0g x '≠； （3）0()lim()x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞），则00()()lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='．知识点2：∞∞型不定式极限定理若函数()f x ，()g x 满足： （1）00lim ()lim ()x x x x f x g x →+→+==∞；（2）在0x 的某右邻域()+0x ︒内两者都可导，且()0g x '≠． （3）0()lim()x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞）．则00()()lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x →+→+'=='． [注]证明过程可参见华东师大编《数学分析》上册（高等教育出版社）秒杀思路分析对于较复杂的不等式（含参数）问题，如果参数可分离，可转化为求函数极值问题．求 极值可尝试应用洛必达法则（即验证定理条件）．如果极限值存在，一般可以使用洛必达法 则达到速解的目标．下面举例说明应用洛必达法则解题的思路与步骤．【示例1】（2010年课标全国卷文21）设函数()2()e 1x f x x ax =--． （1）若12a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．【示例2】（2017年全国卷Ⅱ理21（1））已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥，求a 的值．方法对比【例1】（2017年全国卷Ⅱ文21）设函数()()21e x f x x =-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围．【例2】（2016年全国卷Ⅱ文20）已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--． （1）当4a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （2）若当()1,x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围．秒杀训练【试题1】求下列函数的极限．（1）0e 1lim sin xx x →-﹔（2）0lim x +→；（3）ln lim x xx →+∞；（4）(ln limln x x x→+∞+；（5）111lim 1ln x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭；（6）011lim e 1r x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭．【试题2】已知函数2()ln 1f x x x x =-+．当1x ≥时，关于x 的不等式2()(1)f x t x ≥-恒成立．求实数t 的取值范围．【试题3】若不等式3sin x x ax >-对于0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围．真题回放【试题1】（2017年清华大学领导计划试题）已知2()e e x x f x ax =+-对任意实数0x ≥时，均有()2f x ≥，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．(),2-∞C ．(],3-∞D ．(),3-∞【试题2】（2015年吉林预赛)已知对任意的1x ≥，均有1ln 10x a x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围．【试题3】（2017年全国卷Ⅲ理21）已知函数()1ln f x x a x =--． （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对任意正整数n ，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值．【试题4】（2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题18）已知方程()11ln 1k x x-=+在区间()0,1内有实根，确定常数k 的取值范围．经典不等式的加强不等式系列经典不等式：ln e (0)x x x x <<>．1．1ln 1e x x x -+≤≤（1x =时同时取等号）； 2．1ln(1)e x x x -+≤≤（等号不同时成立）； 3．ln 1e 1x x x +≤≤-（等号不同时成立）； 4．ln(1)e 1x x x +≤≤-（0x =时同时取等号）； 5．1ln 1x x x x -≤≤-（1x =时同时取等号）；6．ln(1)1x x x x ≤+≤+（0x =时同时取等号）．函数极值判定第二定理（二阶导数应用）定理：设f 在0x 的某邻域()0,x δ一阶可导，在0x x =处二阶可导，且()00f x '=，()00f x ''≠．（1）若()00f x ''<，则f 在0x 取得极大值； （2）若()00f x ''>，则f 在0x 取得极小值．函数极值判定第三定理（高阶导数应用）定理：设f 在0x 的某邻域内存在有(1)n -阶导函数，在0x 处n 阶可导，且()()00(1,2,,1)k f x k n ==-，()()00n f x ≠，则：（1）当n 为偶数时，f 在0x 处取得极值，且当()()00n f x <取得极大值，()()00n f x >时取极小值． （2）当n 为奇数时，f 在0x 处不取极值． 例如3()f x x =．2()30f x x '==，∴00x =．又()60f x x ''==，∴00x =．()60f x '''=>．∵3n =为奇数，∴()f x 在0x =处不取极值．。

洛必达法则求极限
洛必达法则必须要满足三个条件: (1) 分子分母可导; (2) 分子分母必须同时是无穷小量或同时是无穷大量; (3)分子导数与分母导数比值的极限必须存在或为无穷大.利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一。

在解题中应注意 :
①在着手求极限以前,首先要检查是否满足0/0或∞/∞型,否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时(不包括∞情形) ,就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效,应从另外途径求极限比如利用泰勒公式求解.
②洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止.
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐,因此-定要与其他方法相结合,比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等。

洛必达法则（L'Hôpital's rule）是用来求解不定式极限问题的一种方法，尤其是在分子和分母函数同时趋向于0或同时趋向于无穷大时（即0/0型或∞/∞型的不定式），直接计算极限可能无法得出结果。

在这种情况下，如果满足以下条件：
1.定理形式：考虑函数( f(x) ) 和( g(x) )，当( x ) 趋近某个值( a )
时（可能是有限数或者无穷大），( f(x) ) 和( g(x) ) 同时趋向于0或者同时趋向于无穷大，并且( g'(x) \neq 0 ) 在( a ) 的去心邻域内
（意味着( g(x) ) 在( a ) 附近可导且非零）。

2.连续性和可导性：( f(x) ) 和( g(x) ) 在( a ) 的去心邻域内都必须是
连续的，并且在该区域内可导。

3.递归应用：应用洛必达法则要求对( \lim_{{x \to a}} \frac{f'(x)}{g'(x)}
) 进行计算后，得到的新极限不再为0/0型或∞/∞型，或者可以继续
重复应用洛必达法则直至极限可确定。

对于有两个未知数的情形，比如两个变量( x ) 和( y ) 都趋近于某个点，我们可以考虑二元函数的极限问题。

不过，在多元函数中，洛必达法则的一般形式并不像一元函数那样直接适用，因为需要满足偏导数存在的条件，并且可能会涉及到路径相关的问题，通常需要更复杂的方法如泰勒展开、极坐标变换等来处理。

在一元函数的上下文中，即使分子和分母中包含多个未知数（比如多项式函数或其他复合函数），只要满足上述洛必达法则的应用条件，依然可以使用此法则来求极限。

洛必达法则是一种求极限的方法，主要用于解决在某些函数在特定条件下，未定式极限的问题。

它是由法国数学家洛必达在研究不定积分时发现的。

在使用洛必达法则时，需要注意满足一定的条件，并且要正确理解其适用范围和限制。

首先，洛必达法则适用于以下两种情况：
1. 当函数在某点处极限为0/0型或∞/∞型时；
2. 当函数在某点处的导数接近于无穷大时。

在使用洛必达法则时，需要满足以下条件：
1. 极限必须是0/0型或者∞/∞型；
2. 被考察的极限的左右极限都必须存在且相等；
3. 被考察的极限中分子分母的导数必须都存在；
4. 在使用洛必达法则之后，必须要再化简，或者再将一些其他次数的函数变为最一次；
5. 最后一步仍需要进行适当的恒等式的变换；
6. 对简单的分数应该求极限进行拆分，对于三角函数、指数函数等复杂函数则需要进一步考虑使用它们各自的方法进行转化。

总的来说，洛必达法则的使用需要考虑函数的极限形式、导数情况以及能否满足洛必达法则的条件等。

使用洛必达法则需要注意它的适用范围和限制，否则可能会导致错误的结果。

此外，在运用洛必达法则时还需要注意等价代换、夹逼定理等技巧的应用。

这些技巧的应用可以简化计算过程，提高解题效率。

另外，除了洛必达法则外，还有其他求极限的方法，如泰勒公式、无穷小替换、夹逼法等。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。

同时，对于一些复杂的极限问题，可能需要结合多种方法来求解。

因此，熟练掌握各种求极限的方法对于解决数学问题来说是非常重要的。

求极限过程中洛必达法则的使用技巧文中对极限运算中如何巧妙的使用好洛比达法则做了一些探讨，指出了初学者容易犯的错误，并提出了一些建议供大家参考。

关键词：极限、微积分、洛比达法则、不定式。

极限是高等数学中的一个极为重要的基础概念，对微积分的学习影响深远。

理工类专业的学生初次接触极限概念都难以准确理解和掌握，在使用极限运算法则求极限时经常出现运算错误，如：两个重要极限应用不恰当，洛必达法则使用不规范等。

下面只就求极限过程中如何正确使用洛必达法则做一些探讨。

一、若干重要的极限等式1. , 推广的形式为：2.，推广的形式为：，推广的形式为：3.其中可以是一个代数式。

由上述极限还可以导出下面一些重要极限式：，同样它们也有类似的推广的形式。

二、洛必达法则的两个标准形态1.型不定式定理1.若在或内有定义，并满足（1）（或），（或）；（2）在或内可导，且；（3）（或）存在或为；则（或）。

2.型不定式定理2.若在或内有定义，并满足（1）（或），（或）；（2）在或内可导，且；（3）（或）存在或为；则（或）。

三、求极限举例求例1.解：本题极限形式是型不定式，直接使用洛必达法则计算，则计算非常复杂，若先对表达式进行恒等变形，并结合拉格朗日中值定理，再适当使用洛必达法则计算就容易多了。

+（其中介于与之间，当时有）+=例2.求解：分母为无穷小因子的乘积，可以用相应的等价无穷小量替换有通过以上两个例题可以发现在求不定式极限时，不要一上手就立即使用洛必达法则，首先需要对所求极限表达式进行观察、分析与变形，然后再进行具体计算。

洛必达法则使用过程中要注意以下几点：1.只有或型不定式才能直接使用洛必达法则；2. 洛必达法则可连续使用，但每次使用该法则时必须检查表达式是否为或型；3.使用洛必达法则之前可以对表达式中的无穷小因子用较简便的等价无穷小替换，每用一次洛必达法则后，都要对表达式进行整理化简，如可以将其中乘积因子中的非零极限先行求出，使表达式得到化简或瘦身等，简化后续计算；4.当用洛必达法则求不出极限时，不能做出该表达式进行不存在的结论，只能说用洛必达法则求此极限失效，此时需采用其他方法求此极限。