考研数学：极限计算法则——洛必达法则

洛必达法则公式数学洛必达法则公式可是数学里一个相当神奇的工具呢！在咱们探索微积分的奇妙世界时，它就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。

先来说说啥是洛必达法则公式。

简单来讲，就是在一定条件下，对于形如“分子分母都趋于零或者无穷大”的极限问题，可以通过对分子分母分别求导来计算极限。

这就好比你在爬山，找不到直接上去的路，但是通过巧妙地换个方向、换个方式，就有可能轻松登顶。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸迷茫地看着我，说：“老师，这也太抽象了，感觉没啥用啊。

”我笑了笑，给他出了一道题：求当 x 趋近于 0 时，(sin x)/x 的极限。

他一开始想用常规方法，抓耳挠腮半天也没做出来。

然后我就引导他用洛必达法则，对分子分母分别求导，一下子就得出了答案是 1。

他那惊讶的表情，我到现在都还记得，眼睛瞪得大大的，嘴里直说：“哇，这也太厉害了！”洛必达法则公式的应用场景那可多了去了。

比如说在求解函数的渐近线问题上，它就能大显身手。

还有在一些复杂的物理问题中，涉及到速度、加速度等的计算，也常常能用到它。

咱们来具体看看它的公式形式：如果当 x 趋近于某个值 a 时，函数f(x)和 g(x)都趋近于 0 或者无穷大，那么极限lim(x→a) f(x)/g(x) 就等于lim(x→a) f'(x)/g'(x) ，只要这个右边的极限存在或者为无穷大。

这里的f'(x) 和 g'(x) 分别是 f(x) 和 g(x) 的导数。

可别小看这个公式，虽然看起来简单，但用的时候得小心。

得先判断是不是满足使用条件，要是不满足就乱用，那可就得出错误答案啦。

再比如说，有一次考试出了一道这样的题：求当x 趋近于无穷大时，(x^2 + 2x + 1)/(2x^2 - 3x + 1) 的极限。

有些同学没判断条件就直接用洛必达法则，结果算错了。

其实这道题先把分子分母同时除以 x^2 ，然后再求极限会更简单。

洛必达法则失效的情况及处理方法【本章定位】此部分内容不需要特别掌握，关键是要用这部分的讲解来让读者记住使用泰勒展开式的重要性！。

洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则)()(lim )()(limx g x f x g x f a x a x ''=→→的三个条件： （1）0)(lim =→x f a x （或∞），0)(lim =→x g a x （或∞）；（2）)(x f 和)(x g 在a x =点的某个去心邻域内可导；（3）A x g x f a x =''→)()(lim（或∞）。

其中第三个条件尤其重要。

其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。

所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。

而对于极限问题⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 来说，因为x x g x f x x sin lim )()(lim +∞→+∞→=''不存在（既不是某个常数，也不是无穷大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。

此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。

实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。

【问题1】求极限⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 。

【解】对于任何足够大的正数x ，总存在正整数n ，使ππ)1(+<≤n x n ，也就是说总存在正整数n ，使r n x +=π，其中π<≤r 0。

这样+∞→x 就等价于∞→n ，所以⎰⎰+∞→+∞→+=r n n x x x x r n x x x ππ00d sin 1lim d sin 1lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰+∞→r n n n n x x x x r n ππππd sin d sin 1lim 0ππππ22lim d sin d sin 1lim 00=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∞→∞→⎰⎰r n R n t t x x n r n n r n ， 这里前面一项注意到了函数x sin 的周期为π，而后面一项作了令t n x +=π的换元处理。

极限洛必达法则极限洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微积分中常用的一种求极限的方法。

它由法国数学家洛必达（Guillaume de L'Hôpital）于1696年提出，并在他的著作《解析几何》中得到了详细阐述。

这个法则在解决一些无法直接求解的极限时非常有用。

洛必达法则的核心思想是将一个不定式的极限转化为两个导数的商的极限。

具体来说，如果我们遇到一个形如0/0或者∞/∞的不定式极限，那么我们可以使用洛必达法则来求解。

该法则指出，当函数f(x)和g(x)在某一点a处都可导，并且在该点的邻域内f(a)=g(a)=0（或者是f(a)=g(a)=±∞）时，如果f'(a)和g'(a)都存在且g'(a)≠0，那么不定式极限lim(x→a) [f(x)/g(x)]就等于lim(x→a) [f'(x)/g'(x)]。

洛必达法则的应用非常灵活，可以解决各种各样的极限问题。

下面我们通过一些例子来说明洛必达法则的具体使用方法。

例1：求极限lim(x→0) [sin(x)/x]。

这个极限在x=0处形如0/0的不定式，我们可以使用洛必达法则。

对于分子sin(x)和分母x，它们在x=0处都可导，并且f(0)=g(0)=0。

计算它们的导数，得到f'(x)=cos(x)和g'(x)=1。

在x=0处，f'(0)=cos(0)=1，g'(0)=1。

根据洛必达法则，我们有lim(x→0) [sin(x)/x] = lim(x→0) [cos(x)/1] = cos(0)/1 = 1。

例2：求极限lim(x→∞) [x/sqrt(x^2 + 1)]。

这个极限在x=∞处形如∞/∞的不定式，同样可以使用洛必达法则。

对于分子x和分母sqrt(x^2 + 1)，它们在x=∞处都可导，并且f(∞)=g(∞)=∞。

考研数学极限七种运算方法及适用情况考研数学极限七种运算方法及适用情况
除定义本身以外，极限的趋近状态也要注意区分，对于函数来说有六种趋近状态：各自的含义要非常清楚，而数列只有一种趋近状态，虽然没有指明，但是数列里边的.隐含之意为。

极限的计算则需要首先掌握考研数学要考到的七种基本方法，知道七种方法适用的情况。

第一种是四则运算，此方法大家最为熟悉，但比较容易出错，
需要注意使用四则运算的前提是进行运算的函数极限必须都是存在的;
第三种是洛必达法则，适用于及型未定式，在使用的过程中需
要注意一下几点：
1、洛必达法则必须结合等价无穷小使用;
2、使用一次整理一次;
3、其他类型未定式需要转化成及型才可以使用洛必达法则等;
第四种是泰勒展式，这是解决极限问题的利器，在基础阶段不
必要求掌握如何使用，只需了解泰勒展式的内容即可，具体使用原
则会在强化阶段给出;
第五种是夹逼定理，主要用于解决含有不等式关系的极限问题，特别应用于个分式之和的数列极限问题，通过放缩分母来达到出现
不等关系的目的;
第六种是定积分的定义，与夹逼定理相区别，夹逼定理解决的
问题放缩分母后分子可用一个式子去表示，而定积分的定义可解决
夹逼定理不能解决的问题，通过主要的三步：1、提取，2、凑出，3、
极限符号及连加符号改写为，改写为，改写为计算定积分即可解决个分式之和的数列极限问题;
第七种方法是适用于数列极限的单调有界性定理，难点在于如何确定证明方向，一般单调有界性定理适用于由递推公式给出的数列极限问题，因此可采取数学归纳法证明有界性，做差的办法证明单调性。

洛必达法则求极限使用条件洛必达法则是求极限的一种方法，它能够帮助我们确定当自变量趋于某个值时，函数的极限值。

洛必达法则的使用条件包括以下几点：1.函数必须是可导函数：洛必达法则基于导数的概念，因此要使用该法则，函数必须是可导函数。

这意味着函数在极限点的附近必须存在导数。

2.极限点存在：洛必达法则适用于当自变量趋于某个特定值时的情况。

因此，在使用该法则之前，需要验证极限点是否存在。

3.极限不存在或者是不确定形式：洛必达法则的目的是求函数的极限值，因此只有在极限不存在或者无法计算的时候才需要使用该法则。

如果极限已经可以通过其它方法确定，那么就不需要使用洛必达法则。

以上是洛必达法则的使用条件。

下面将详细介绍洛必达法则的具体步骤和一些例子。

首先，洛必达法则主要通过比较函数的导数来确定极限。

具体来说，洛必达法则可以表述为如下形式：设函数f(x)和g(x)在点a的某个去心邻域内可导，并且在x=a处极限存在。

如果分别满足以下条件：1. lim[x→a]f(x) = 0且lim[x→a]g(x) = 02. lim[x→a]f'(x)和lim[x→a]g'(x)存在（即函数f(x)和g(x)的导数在极限点a上存在）3. lim[x→a]g'(x) ≠ 0 （即函数g(x)的导数在极限点a上不等于零）那么，可以得出以下结论：lim[x→a]f(x)/g(x) =lim[x→a]f'(x)/g'(x)也就是说，如果满足上述条件，我们可以通过求两个函数导数的极限比值来确定函数f(x)和g(x)在极限点a上函数值的极限。

接下来，我们通过一些具体的例子来进一步说明洛必达法则的使用。

例子1：设f(x) = sin(x)，g(x) = x，求当x趋于0时，f(x)/g(x)的极限。

根据洛必达法则的使用条件，我们先来计算f'(x)和g'(x)。

f'(x) = cos(x)g'(x) = 1当x趋于0时，f'(x) = cos(0) = 1，g'(x) = 1因此，根据洛必达法则，lim[x→0]sin(x)/x =lim[x→0]cos(x)/1 = cos(0) = 1所以，当x趋于0时，sin(x)/x的极限为1。

洛必达法则求极限方法洛必达法则是一种在数学中用于求某变量极限的方法，它是求极限的经典方法，并得到了广泛应用。

下面我们就来介绍这种求极限的方法。

洛必达法则的基本原理是，如果存在某个变量x，满足x的增长速度趋于某个数字a，当x趋向于某一值时，其对应的极限就等于a。

换言之，用洛必达法则我们可以根据x增长速度趋于a时求出它的极限。

根据洛必达法则，我们可以将求极限的问题分为三步：1、首先，选取一个正数Δx，求出在Δx给定的情况下，极限值a的大小;2、然后，再将Δx取更小的值，比如Δx/2，求出新的极限值;3、最后，不断缩小Δx，最终Δx等于0时，得到的极限值即为最终结果。

洛必达法则可以用来求几乎所有表达式的极限，包括单个变量的函数极限和多个变量的函数极限，但前提是要求出极限的变量是逐步变化的。

比如说我们想要求出函数f(x) = x^2 + 10x + 20在x趋于4时的极限，则可以如下操作：1、首先选取Δx = 0.1，令x = 4 + 0.1及x = 4 - 0.1，得出f(4+0.1)=60.21，f(4-0.1)=55.79，即此时的极限值为58;2、接着选取Δx = 0.01，令x = 4 + 0.01及x = 4 - 0.01，得出f(4+0.01)=58.08，f(4-0.01)=57.92，即此时的极限值为58;3、最后再选取Δx = 0.001，令x = 4 + 0.001及x = 4 - 0.001，得出f(4+0.001)=57.998，f(4-0.001)=58.002，即此时的极限值也为58，因而，最终这里的极限值等于58，即函数f(x)在x趋于4时的极限值也等于58。

由此可见，洛必达法则是一种很实用的求极限方法，它能够快速有效地求出函数的极限值。

因此，在许多数学应用中都会用到这一方法。

浅析洛必达法则在考研数学中的运用洛必达法则在考研数学中的重要性不可忽视。

这个法则为求解函数的极限提供了另一种有效的方法，也是数学分析中的一种重要工具。

掌握洛必达法则不仅可以帮助考生解决各类极限问题，还可以在求解函数的导数、积分等问题中发挥作用。

本文将通过介绍洛必达法则的基本概念、运用及技巧，帮助考生更好地理解并掌握这一重要工具。

洛必达法则，也称为洛必达定理，是指当一个函数趋近于无穷大时，如果函数的倒数也趋近于无穷大，则函数的商也趋近于无穷大。

这个法则是由法国数学家洛必达在他的著作《无穷小分析》中首次提出的。

简单来说，洛必达法则就是求导数的商的极限。

在考研数学中，洛必达法则的应用非常广泛。

在判断极限问题中，考生可以通过使用洛必达法则来验证极限是否存在，并求出其具体值。

例如，对于函数f(x)在x=0处趋近于无穷大，且f'(x)在x=0处也存在，则可以使用洛必达法则来求lim x→0 f(x) / g(x)的值。

在求极限问题中，考生可以利用洛必达法则来对函数进行求导或积分，从而得到函数的极限。

在讨论函数的连续性问题中，洛必达法则也发挥了重要作用。

例如，对于函数f(x)在x=0处连续，且f'(x)在x=0处存在，则可以使用洛必达法则来求lim x→0 f'(x)的值，从而得到函数在x=0处的导数值。

为了更好地运用洛必达法则，考生需要掌握一些技巧。

考生要学会选择合适的解题方法。

对于一些简单的极限问题，可以直接运用洛必达法则来求解；而对于一些较为复杂的问题，可能需要先进行化简、变形等操作，再使用洛必达法则。

考生要学会如何快速锁定答案。

在使用洛必达法则时，考生可以通过观察待求极限的函数形式，来判断是否可以使用洛必达法则。

例如，对于形如lim x→∞ f(x) / g(x)的极限问题，如果f'(x)和g'(x)都存在，那么就可以考虑使用洛必达法则来求解。

洛必达法则是考研数学中的重要内容，对于求解函数的极限、导数、积分等问题都有很大的帮助。

洛必达法则
一、洛必达法则的基本形式
洛必达法则是微积分中的一个重要定理，用于解决0/0或无穷/无穷的极限问题。

其基本形式为：如果函数f(x)和g(x)满足以下条件：
1. f(x)和g(x)在某点a的某个邻域内可导；
2. g'(x)不等于0；
3. 存在一个实数点b，使得f(b)=0；
4. 存在一个实数点c，使得g(c)=0。

那么，当x趋近于a时，f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)。

二、洛必达法则的推导过程
洛必达法则的推导过程涉及到极限、导数和微分的知识。

其证明过程为：根据泰勒公式，f(x)和g(x)都可以展开为泰勒级数，然后通过比较系数，可以证明f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)。

三、洛必达法则的应用范围
洛必达法则可以应用于解决0/0或无穷/无穷的极限问题。

具体来说，当分母或分子为无穷大时，可以通过求导数的方法来解决极限问题。

此外，洛必达法则还可以应用于一些其他类型的极限问题，例如求定积分、不定积分等。

四、洛必达法则的局限性
虽然洛必达法则是微积分中的一个重要定理，但是它也存在一些局限性。

首先，洛必达法则只适用于0/0或无穷/无穷的极限问题，对于其他类型的极限问题无法应用。

其次，在使用洛必达法则时需要注意满足其前提条件，否则可能导致错误的结果。

此外，洛必达法则也无法应用于一些复杂的极限问题，例如涉及到多个变量或多个函数的极限问题。

因此，在使用洛必达法则时需要结合其他方法来解决复杂的极限问题。

诺必达法则公式摘要：1.诺必达法则公式的概述2.诺必达法则公式的推导过程3.诺必达法则公式的应用领域4.诺必达法则公式的优缺点分析正文：1.诺必达法则公式的概述诺必达法则公式，又称为洛必达法则，是一种求极限的方法。

它是由法国数学家吉尼拉- 罗兰·诺必达（Guillaume de l"Hpital）提出的，适用于求解形如“0/0”和“∞/∞”这样的不定式极限。

2.诺必达法则公式的推导过程诺必达法则公式的推导过程相对简单。

假设我们有一个不定式极限：f(x)/g(x)，当x 趋近于a 时，f(x) 和g(x) 都趋近于0，那么根据极限的定义，我们可以得到：lim (f(x)/g(x)) = 0/0为了解决这个问题，我们可以将分子和分母同时乘以g(x)，得到：lim (f(x) * g(x) / g(x) * g(x)) = lim (f(x) * g(x)) / lim (g(x) * g(x))由于g(x) * g(x) = g^2(x)，当x 趋近于a 时，g(x) 趋近于0，所以g^2(x) 趋近于0。

这样我们就得到了一个新的极限：lim (f(x) * g(x)) / lim (g(x) * g(x)) = lim (f(x) * g(x)) / 0根据极限的性质，当分子和分母同时乘以一个无穷小的量时，极限值不变。

因此，我们可以将分子f(x) * g(x) 视为无穷小量，那么原极限就可以变为：lim (f(x) * g(x)) / lim (g(x) * g(x)) = lim (f(x)) / lim (1)由于lim (f(x)) = 0，lim (1) = 1，所以：lim (f(x) * g(x)) / lim (g(x) * g(x)) = 0通过这样的推导，我们就得到了诺必达法则公式。

3.诺必达法则公式的应用领域诺必达法则公式在微积分中有广泛的应用，尤其在求解不定式极限时。

考研数学常用公式总结数学作为考研的一项重要科目，对于考生来说是一个重要的挑战。

在备考过程中，熟悉常用公式是必不可少的。

本文将总结一些考研数学中常用的公式，并介绍其应用和推导过程，帮助考生更好地理解和记忆。

1. 高等数学公式1.1 高斯积分公式高斯积分公式的形式为：∫e^(-x^2)dx = π^0.5这个公式在高等数学中常用于求解概率密度函数的积分形式，比如正态分布的概率密度函数。

1.2 洛必达法则洛必达法则可用于计算不定型的极限，其公式为：lim(x→a) f(x)/g(x) = lim(x→a) f'(x)/g'(x)这个公式在高等数学的微积分中经常被用到，用于解决极限计算问题。

2. 线性代数公式2.1 矩阵的逆矩阵公式设A是一个n阶非奇异矩阵，那么A的逆矩阵的计算公式为：A^(-1) = (adjA)/|A|其中adjA表示A的伴随矩阵，|A|表示A的行列式。

这个公式在线性代数中经常被用到，用于计算矩阵的逆矩阵。

2.2 矩阵的特征方程公式设A是一个n阶方阵，lambda是变量，那么A的特征方程为：|A-λE| = 0其中E表示n阶单位矩阵。

这个公式在线性代数中用于求解矩阵的特征值和特征向量，是计算矩阵特征值的基本公式。

3. 概率论与数理统计公式3.1 期望的线性性质设X和Y是两个随机变量，c是常数，那么期望具有如下线性性质：E(cX) = cE(X)E(X+Y) = E(X) + E(Y)这个公式在概率论与数理统计中用于计算随机变量的期望。

3.2 切比雪夫不等式设X是一个随机变量，E(X)表示X的期望，Var(X)表示X的方差，那么切比雪夫不等式表示为：P(|X-E(X)| ≥ k) ≤ Var(X)/k^2其中k>0是一个常数。

这个公式在概率论与数理统计中用于计算随机变量的概率范围。

4. 数学分析公式4.1 泰勒公式泰勒公式用于近似计算函数的值，其形式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)其中Rn(x)为剩余项。

洛必达法则及函数的连续性一、洛必达法则Ａ、洛必达法则使用条件1、下列各题计算过程中正确无误的是（ ）（A ）数列极限()01lim ln lim ln lim ==''=∞→∞→∞→nn n n n n n n （B ）06sin lim 26cos lim 123sin lim 21121=ππ-=-ππ=--π→→→x x x x x x x x x （C ）xx xx x x x x x cos 1cos 1sin 2lim sin 1sin lim 020-=→→不存在 （D ）∞=-+=-+→→xx x x x x x x cos 1cos 1lim sin sin lim 002、求x x x x x cos 23sin 3lim -+∞→3、求230)(arctan 1sinlim x x x x →用洛必达法则应注意的事项：（1）只有00或∞∞型的未定式，才可能用法则，一次利用法则后得到的式子只要是00或∞∞，则可一直用下去 （2）每用完一次法则，要将式子整理化简（3）为简化运算，经常将法则与等价无穷小结合使用（4）)()(lim x g x f ax ''→不存在（非∞型） )()(lim x g x f a x →不存在 （5）当∞→x 时，极限式中含有x x cos ,sin 不能用法则（6）当0→x 时，极限式中含有xx 1cos ,1sin 不能用法则B 、未定式的极限运算的原则：一步比一步简单 a. 00型 4、30)(arcsin arcsin limx x x x -→5、)1ln(1sin 21lim0x x x x x +--+→6、11lim32cos 0-+-→x e e x xb. ∞∞型 7、求2202limx x t x xe dt e t ⎰+∞→提示：若∞→x 的极限中含有)1,0(≠>a a a x ，或x a r c t a n ，x arc cot ，一定要分别求出+∞→x 与-∞→x 的极限，两者相等，则∞→x 时的极限存在，否则不存在8、求xe x x e x x x +-∞→arctan limc.∞-∞型⇒00或∞∞型，再用法则或“抓大头”方法处理，求解方法有三种 （1）通分 （2）根式有理化 （3）变量替换9、求)cot 1(lim 220x xx -→10、求)(lim x x x x x -+++∞→11、求)]11ln([lim 2xx x x +-∞→d.∞⋅0型⇒00或∞∞型，再用法则或“抓大头”方法处理 12、22)2arctan 2(lim x x x -∞→π13、]1)3cos 2[(1lim30-+→x x x x14、xx x x sin ln 1lim20→e.∞∞1000，，型用对数恒等式 ∞⋅0型⇒00或∞∞型 15、x x x ln 120lim +→+16、x x x sin 0)(cot lim +→17、x x x )arctan 2(lim π+∞→18、210)arcsin (lim x x x x →19、21)1(sin lim n n n ∞→(提示：数列的极限转化为函数的极限求解)二、间断点的判定（关键是会求极限） 20、求下列函数的间断点并判别类型（1）1212)(11+-=x x x f（2）x x x x f n nn ⋅+-=∞→2211lim )(（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤+=011sin 0cos 2)2()(2x x x x x x x f π先判断第二类：左右极限)0(0+x f ，)0(0-x f 至少有一个不存在 再判断第一类：)0(0+x f )0(0-=x f 可去间断点)0(0+x f )0(0-≠x f 跳跃间断点三、极限式中常数的确定常用方法：（1）抓大头；（2）洛必达法则21、设8)1()1()1(lim 502595=+++∞→x ax x n ，则a 的值为【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）58 （D ）以上均不对22、设0)23()5)(4)(3)(2)(1(lim ≠=------∞→βαx x x x x x x ，则βα,的数值为【 】 （A ）31,1==βα （B ）31,5==βα （C ） 531,5==βα （D ）以上均不对23、设)]sin (sin sin 1[sin 1)(22x x x xx f βα+-++=，且0=x 是)(x f 的可去间断点，求βα,24、确定正数a 和b ，使得2sin 1lim 0220=+-⎰→dt ta t x bx x x。

极限的计算方法洛必达法则和泰勒展开洛必达法则和泰勒展开是数学中极限的计算方法，它们在求解复杂函数的极限问题时非常有用。

本文将详细介绍这两种计算方法的原理和应用。

一、洛必达法则洛必达法则是一种计算不定型极限的方法，它是由17世纪法国数学家洛必达提出的。

当我们计算一个函数的极限时，如果得到的是0/0或无穷大/无穷大的形式，就可以运用洛必达法则来求解。

洛必达法则的思想是利用两个函数的导数之商来逼近函数的极限，具体步骤如下：1. 若极限形式为0/0或无穷大/无穷大，先对分子函数和分母函数分别求导；2. 如果导数的极限存在，即可得到原极限的结果。

如果导数的极限不存在，或者求导后的函数仍然为0/0或无穷大/无穷大的形式，就可以继续使用洛必达法则。

以下是一个应用洛必达法则求解极限的示例：设函数f(x) = (sinx - x)/x^3，求lim(x→0) f(x)的极限。

解：首先对函数f(x)分子分母求导，得到f'(x) = (cosx - 1)/x^3 - 3sinx/x^4。

然后计算极限lim(x→0) f'(x)，仍然得到0/0的形式。

再次对f'(x)进行求导，得到f''(x) = (-2sinx - 9cosx)/x^4 +12sinx/x^5。

继续计算极限lim(x→0) f''(x)，仍然得到0/0的形式。

最后再对f''(x)求导，得到f'''(x) = (-16sinx - 4cosx)/x^5 -60cosx/x^6。

继续计算极限lim(x→0) f'''(x)，得到极限值为-4/3。

因此，lim(x→0) f(x)的极限为-4/3。

二、泰勒展开泰勒展开是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法。

根据泰勒定理，如果一个函数在某点处存在各阶导数，则可以用一个多项式逼近该函数。

泰勒展开的公式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a)/1! + f''(a)(x - a)^2/2! + ... + f^n(a)(x - a)^n/n! + R_n(x)其中，f(a)表示函数在点a处的函数值，f^(n)(a)表示函数在点a 处的n阶导数，R_n(x)为余项。

洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

比如利用泰勒公式求解。

②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.) ^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

§ 3-1微分中值定理由此可知，拉格郎日中值定理的几何意义是：如果连续曲线 点都有不垂直于x 轴的切线，则在曲线弧段ACB 的内部至少能找到一点 C(©,f(©))，使得该点处 的切线与弦AB 所在直线平行.(1)式也叫拉格郎日中值公式，若令x=a ，也x=b-a ，则(1 )式可写成f(X + A x) - f (x) = f '佗)A x它提示了函数的增量与导数及自变量增量之间的直接联系，从而为我们开辟了用导数来研究 函数的某些特性的途径.例1求函数f(x) =x 3在［-1,2］内满足拉格郎日中值定理条件的©值.因为f'(x)=3x 2， f(—1)=—1，f(2)=8，故满足拉格郎日中值定理的 E 值为f(2)-f(—1) =3 纤[2—(―1)]定理 3.1如果函数f(x)满足下列条件: (1) 在闭区间［a,b ］上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导.那么在区间(a,b)内至少存在一点© (a V 匕£ b)，使等式f(b)-f(a)= f 徉)(b-a)(1)成立.这定理称为拉格郎日(Lagrange )中值定理. (定理证明从略)下面来看一下定理的几何意义 . f(b)-f(a) f ，c ) b -a现把(1 )式改写为从图3-1中可以看到，f 徉)就是点C(© f (©)) 处的切线斜率，而f(b )~ f⑻ 表示过曲线y = f(x)b -a上两端点A(a, f(a))、B(b, f(b))的直线的斜率，因此图3-1I ►- b x1 )式表示点C 处的切线平行于弦 AB.y = f (x)的弧ACB 上除端点外每因为9=9©2，得—±11"—1,2)， — "(—1,2)C所以e=1在拉格郎日中值定理中，如果加上条件f(a) = f (b)，则可得到以下罗尔(Rolle)中值定理.定理3.2如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a) = f(b)，那么在(a,b)内至少存在一点匕，使f'(©)=0成立.罗尔定理的几何意义是很明显的，读者可以自己分析利用拉格郎日中值定理，还可得到下面的推论.推论1如果函数f(x)在区间(a,b)内满足f'(x)三0,那么在(a,b)内f(x)=C( C为常数).证在(a,b)内任取两点x i,X2，且x i < x2，由拉格郎日中值定理，可得f(X2)— f (xj = f 徉)(X2 — Xj (X1 吒巴CX2)由于f 徉)=0，所以f(x2)-f(X1)=0，即f(X i)= f(X2)因为X1, X2是(a, b)内的任意两点，于是上式表明 f (x)在(a,b)内任意两点的值总是相等的，即f (x)在(a, b)内是一个常数.推论2如果两个函数f(X)、g(x)在(a, b)内有f '(X)三g'(x)，那么在(a,b)内，f(x) =g(x)+c (C 为常数).证令F(x) = f(x) -g(x)，则F'(x) = f '(x)-g'(x)三0,由推论1知F(x)在(a,b)内为一常数C即f(x)=g(x)+C.3T例2求证arcs in x +arccosx = (-1 < x < 1).证设f(x) =arcsinx+arccosx，当-1<x<1 时有1 -1f (x) = 「+ , 三0由推论1，f (X)在区间(—1,1)内为一常数 C 即arcsi nx + arccosx = CF面确定常数C的值，不妨取x=0，得兀C = f (0) = arcsin0 + arccos0 = 0 + 二23、函数f(x) =x(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点(即满足 f'(X 0)= O 的点x o )，各位于哪个区间?4、验证函数y = px 2+qx +r 在区间［a,b ］上应用拉格郎日中值定理时所求的点©位于［a,b ］的中点.兀5、证明 arcta nx +arccotx =—.2§ 3-2洛必达法则如果当X T x o 或X T 处时，两个函数f(x)、g(x)都趋向于零或趋向于无穷大，这时极限lim 丄凶可能存在也可能不存在，通常把上述极限叫做未定式，并分别记为 g(x)2X —si nx arc cot X+ 口 0 ln (1+x ) lim ——3—， lim ——3^一都是-型.lim 」 ----------------- X T X 3 X 七 e 0 Y X学的方法很难求出极限值来.下面介绍求这类极限的一种简便而有效的方法——洛必达 (L 'Hospital )法则.一、0型未定式型未定式极限的自变量变化状态可分为：X T X 0 , X T X 0 +, X T X 0 ，X T 处，x T +处，X T M .下面只讨论X T X 0的情形，其它类似.定理3.3如果函数f(x)、g(x)在N(?oP)内可导，且满足下列条件:所以当-1cxc1时,兀arcs inx + arccosx=— 对于X = ±1时，等式显然成立，故命题得证 .习题3-1下列函数在指定的区间上是否满足拉格郎日中值定理的条件,1、 若满足，求出定理结论中的1) f(x) [—1,2]; 2)f(x)=(x+2)2[1,5]; 3) f(x)[1,4]；4) f(x)=arcta nx[0,1].3—4x +4上哪一点的切线与连接曲线上点(0,4)和点(3,1)的割线平行?0 OC-型或一型.例如处，lim 占空 都是二型.显然，用第一章所T lnx 比(1)lim f(X)= lim g(x) = 0 ；^X0X兀—-arcta nx例4 求lim --- --------I 址 1(2) g'(x) H O ；(3) lim =A (或 K ).F g'(x)那么，lim 竺=lim 匚凶=A X f g(x)X F g \x)（或比）.（证明从略）这个定理说明了当 X T X 0时, 0型未定式的极限在符合定理条件时下，可以通过对分子、分母分别求导，再求极限来确定gX —e 」例1求lim --------T sin X这是0型，所以X..e -elimsin X _XX . _Xr e 中e - —=lim --------- = 2如果 亠. In X 求 四(X -1)2 .1——x —— =lim --- --- =曲2(x-1) iJxd-l)lim f （X ）仍属于f g （X ）-型，且f '（X ）, g （X ）仍满足洛必达法则中的条件， 那么可以继续使用该法则进行计算，并可依次类推 .但应注意，如果所求的极限已不是未定式，则不能再用洛必达法 则，否则会产生错误的结果.此外在用洛必达法则时， 重要极限等，那样效果会更好 .曲 ci X -S in X例 3求 lim -- 3—.3最好能结合求极限的其它方法， 如恒等变形、X —sin Xlim --- 3— T X 3 0 1 -cosX 0 sin X = lim ------------- T 6X=lim 2X T 3x=04二、竺型的未定式□COQ 0 —型的未定式极限仍有类似于一型未定式极限的洛必达法则，除处 0 结果极为相似，下面只举例说明它的应用求 limX T+ ln x-lim^_^ dim —— = -1oEinx T cosx求 limln xX T 说3C8求lim （丄T sinx这是至-至型，因此解 limJ 乂l-arctanx0 0=lim t x= lim 2 1 I 乂 1 + X 21 +x 2 x 2=1 0 oQ-与一的差别外，条件与0 处3Clncot X =5+ 1 1 cot;（一孙limln X=lim -T^sin xcosxlim —— = lim n JnxX^nx n1=0三、其它类型极限求法 0处除一型与一型的未定式之外, 0 处还有 0 a ,处一处，00，俨，3C 0等未定式，对这类未定式0 3C求极限，通常是利用代数恒等变形转化为或一型,处然后用洛必达法则进行计算例 7 求 lim ,xlnX . x T 十这是0、处型，因此lim .xln x = lim - “ i o 十 x T 十1lim- 10十lim- l 0十2—X c=04-cos X 0lim （丄-["lim^^^^l lim-x T si nx X X T 0 xsinxt si nx + xcosx Pmo s i nx 2c o x - xs i rx9 求 lim^tanx ）tan2x兀I —xlim 匕 x * x2xT71 +x 2□coC 1 =lim --- -- 2x2J1 + X 2J 1 + x 2两次运用洛必达法则后，又还原为原来的问题, 因此洛必达法则失效 •事实上所以在使用洛必达法则时，应注意以下几点: 0 oC-型或一型未定式•若不是，就不能使用该法则处否则会导致错误的结果•并在计算的过程中，注意不断化简其中间过程，使之求极限顺利进行•(1)每次使用法则前，必须检验是否属于(2)当lim 丄■凶 不存在时，并不能断定所求的极限|im f(^)不存在，此时应该使用其它方g'(x)g(x)法来求极限•(3)洛必达法则并不是万能的，在某些特殊情形下，洛必达法则会失效，需寻求其它解法习题3-21、用洛必达法则求下列极限2x —兀(1)lim — JCOSXx—x(2)lim e"ex -30/ 、 arc cot x(3)xmc-po-X 3 -3x + 2 ⑷四 x 3 一x 2-x +1.. Intanx limTP*ot 2x .・ tan 2x ln tanx X —^L=lim e = e = e但洛必达法则不是万能的•有时我们还会碰到某些特殊情形 徇"十「 X +sinx例 10 求 lim ------- •7〉 x□C解这极限属于一型，但因为oC oplim X+Sinx ¥|im1+co sx 不存在，所以不能用洛必达法则求这极限,x111 求 li r^EI 圧 X解这是1咖，因此lim (_ 皿)2sin xcos Xlimjta nx)tan2x 事实上lim-x+sinx = lim(1 +丄 si nx) =1+0=1F x(1)如果在(a,b)内f'(x):>0，那么f (x)在(a,b)内单调增加;§ 3-3函数的单调性与极值函数y =f(x)单调性的考察，可用当X i <X 2时，比较f(X i )与f(X 2)的大小来进行判定的.但判定f(X 1)与f(X 2)的大小并非是一件容易的事情.所以希望找到一种简单的判定方法.我们知道，如果函数y = f(x)在某区间上单调增加，其图形是一条沿X 轴正向上升的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非负，即 y'= f'(x)>0 ；若单调减少，其图形是一条沿 x 轴正向下降的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非正，即 y' = f '(X)<0，如图3-2.可见，函数的单调性与导数的符号有图3-23.4 设函数f(x)在区间(a,b)内可导.(5) limlntan7x—P p n tan 2x 2,ln(1+x ) lim ------ ln(1中丄)(7)lim ------ - ；—H are cotx2、 求下列极限1 1(1)卵x"(3) lim (2arctanxQJ 七｝兀)3、 求下列极限(8)cscx lim ——ln X2 .1 X SIn-(1) llmxlim 二(3)lim X~SinXX_x/八 e — e (4［協；〒af'(x)< 0L x定理 着密切的联系.那么反之成立吗?xAy=f(x )(2) 如果在（a,b ）内f'（x ）＜0，那么f （x ）在（a,b ）内单调减少. （门在（a,b ）内任取两点X 1, X 2，且X 1 c X 2，根据拉格郎日中值定理，存在一点 巴< X2 ),使f(X 2)-f (X i ) = f '(©)(X 2 -X i )因为在区间（a,b ）内有f '（X ）＞0，则（1）式中的f 牡）＞0，而X 2 -X j 》0，因此由（1） 式知f （X 2）＞f （X i ），这就是说f （X ）在（a,b ）内单调增加.同理可证明结论（2）成立.有些可导函数在某区间内的个别点处导数等于零，但函数在该区间内仍是单调增加（或单调 减少）.如函数y=x 3的导数y'=3x 2，在x=0时，y = 0，但它在区间（亠，址）内是单调增加. 例1判定函数y =e~x -3x -1的单调性.证明(1)(2) 如果在（a,b ）内f'（x ）＜0，那么f （x ）在（a,b ）内单调减少.解 因为函数的定义域为n ，其导数为 y'=-e-3，所以在整个定义域内都有/ ＜0，故函数y = e 」-3x -1在定义域内单调减少.有时，函数在其整个定义域上不具有单调性，但 在其各个部分区间上却具有单调性，如图3-3所示.函数f （X ）在区间［a,x i ］,［x 2，b ］上单调增加，而 在区间［x i ，X 2］上单调减少，且从图 3-3上容易看到, 可导函数f （X ）在单调增加、减少的分界点处的导数 为零，即 f'（x i ）= f'（X 2）=0.使导数等于零的点（即方程 f'（X ）=0的实根），叫做函数f （X ）的驻点.因此要确定可导函数 f （x ）的单调区间，首先要求出驻点, 然后用这些驻点将其定义域分成若干个区间，再在每个区间上判定函数的单调性.1 1 例2讨论函数f （x ） =-x 3 +-x 2-2x 的单调性3 2 解 因为 f '(X)=X 2+x —2 =(X + 2)(x —1)，令 f'(X)=0 ,得驻点 X j = —2,X 2 =1.这两点将f （X ）的定义域（二,十①分成三个部分：（-处,-2）, （-2,1）,（1,中处），下面用列表的形式来*XX线是水平的，即在极值点处函数的导数为零.但反之不成立.如 f \X 3H0.X(-=c , —2)-2(-2,1) 1 （1,址）「（X ）+--+f(x)313一』 6 — 根据上面的讨论可得： 函数在区间和母）内单调增加，在区间（-内单调减少.另外，还需注意函数的不定义点，或是连续而不可导点也可能是单调区间的分界点 例3确定函数y 二賓2的单调区间.3.1设函数f （x ）在N （X O ,6）有定义，且对此邻域与极小值统称为函数的 极值，使函数取得极值的点X 0称为极值点.从图3-5可知，关于函数的极值，应注意以下几点: （1） 函数的极大值和极小值是局部概念，即如果f （X 0）是f （x ）的极值，只是对极值点 X 0 的左右近旁一个小范围来讲的 .（2）函数在一个区间上可能会有几个极大值和几个 .如图3-5，（3）函数的极值只能在区间内部取到 求极值的关键是找出极值点，从图解 函数的定义域为（―，而y= 事，显然当x=0时，函数的导数不存在,33 X又函数没有驻点.但当X >0时，有y >0，函数在区间（0^）内单调增加;当xvO 时，有/ <0，函数在区间（二,0）内单调减少. 二、函数的极值定义 内任一点 x （X HX o ）均有 f （X ）< f （X o ），则称 f （X o ）是函数 f （X ）的一个极大值；如果对此邻域 内任一点 X（X HX o ）均有 f （X ）> f （X o ），则称 f （X o ）是函数 f （X ）的一个极小值.函数的极大值极大值f （X 1）就比极小值f （X 5 ）还要小.极小值，且其中的极大值未必比极小值要大 3-5中看到，对可导函数来讲，在取得极值处，曲线的切X图3-52求函数f(x)=(x 2-4)3的极值.4x解因为f (x)= 二-3刘 X 2-4定理3.5 (极值存在的必要条件)设函数f(x)在点x 0处导数存在，且在x 0处取得极值，则函数f(x)在X o 处的导数f(X 0)=O ,g 卩X 0是函数f(x)的驻点.注意，定理 3.5仅是极值存在的必要条件，而非充分条件.如函数y = X 3，在X = 0处有y1x^=o ，但Mx 兰=0不是极值.该定理说明可导函数的极值点必是驻点，而驻点却未必是极值点 对于一个连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的点 .如 f(x) =1 x|，显然，f '(0)不存在.但x=0且是它的一个极小值点，在f(x)=|x|图形上, (0,0)称为曲线的尖点.因此，连续函数有可能取得极值的点是驻点与尖点 .但问题是这些点满足什么条件才能为极值 点，观察图3-5，得下面判定函数极值的一个充分条件.定理3.6 (极值存在第一充分条件) 设函数f(x)在点x 0连续，在N(X)e)内可导(x 0可除外)，当 X 由小增大经过x 0时，如果:(1) f '(X)的符号由正变负，则f(X)在点X o 处取得极大值; (2) f \X )的符号由负变正，贝y f(X)在点X o 处取得极小值;f \x)的符号不变，则f(X)在点X o 处取不到极值.证明 (1)由条件，f (x)在点x 0左近旁单调增加，在点 x 0右近旁单调减少，即当 x<x 0时, 有f(x)<f(x o )，当X>X o 时，有f(X)Vf(X o )，因此f(X)在点X o 处取到极大值.同理可证明结论(2)、( 3). 此外还可利用二阶导数来判定极值 定理 3.7(极值存在的第二充分条件) 设函数f (X)在N(x 0,6)内有二阶导数f”(x)存在且连续，又f "(X o ) =0，如果(1) L(X o )<0，则 f (X)在X o 处取得极大值;(2) f "(Xo^o ，则f (X)在X o 处取得极小值.(证明从略)(X H ±2),令f "（x0） = 0，得驻点X = 0，所以函数有驻点X = 0，尖点X =±2列表考察f '（X）的符号故当X = 0时，函数f（x）有极大值V16 ,X = ±2时，函数f（X）有极小值0.5求函数f（x）=j3x +2sinx在区间［0,2;i］内的及值因为f'(X)= J3+2COSX，f "(X)= —2si nx.f '(X0)=0，得驻点x^ —, x^ —6 6f”（予一<0，所以f（汁穿+1为极大值;H” 7兀7兀7 J3皿f (——)=1 >0，所以f (——)=----- -1为极小值.6 6 6例6求函数f（X）=（x2-1）3+1的极值.解函数f （x）的定义域为（—处，母）2 3f '(X)=6x(x -1)由f '(x o) = 0 ,得驻点X i = T,X2 = 0,X3 =1.故函数f （X）在X = 0处有极小值f （0） = 0 ,而捲=-1, X3 = 1不是极值点.三、函数的最值问题在实际生活中，常会遇到：在一定条件下，怎样使“产量最高”、“用料最省”、“成本最低”、“耗时最少”等问题.这一类问题在数学上可归结为函数的最大值、最小值.因为在闭区间［a,b ］上连续的函数f(x) —定存在最大值和最小值 .由于函数的最值可在区间 内部取到，也可在区间的端点上取到，如果是在区间内部取到，那么这个最值一定是函数的极值, 因此求f (x)在区间［a,b ］上的最值，可求出一切可能的极值点(驻点及尖点)和端点处的函数值, 进行比较，其中最大者就是函数的最大值，最小者就是函数的最小值42例7求函数y = X -4x +6在区间［七,3］上的最大值和最小值. 解因为y' = 4x 3-8x令 y ' = 0,得驻点 X r = -寸2,X 2 = 0, X 3 = J 2经比较，得函数的最大值为y =51，最小值为y =2.图3-7如果函数f (X)在一个开区间内连续且有惟一的极值点 x 0，则当f(x 0)为极大值时，f(x 0)就是f(x)在该区间上的最大值；当 f(X o )为极小值时，f(X o )就是f(x)在开区间上的最小值(见图 3-7）.例8求函数f(X)=仪2 -1)3+1.解 由例6可知，X = 0是函数f(x)极小值点，且在整个定义域中极值点是惟一的，故 函数的极小值就是函数的最小值，为f(0) = 0，不存在最大值.F 面讨论求最值的应用题在实际问题中，往往可以根据实际情况断定函数 f(x)在其定义区间内确有最值存在，而当可导函数f (x)在这定义区间内又只有惟一的驻点x 0，则可断定f (x)在点x 0处取到了相应的最值.3例9有一块长为a ，宽为-a 的长方形铁片，将它的四角各剪去一个大小相同的小正方形,8四边折起，做成一个无盖的长方盒，问截去的小正方形的边长为多少时，其容积最大.解 如图3-8,设小正方形的边长为 x ，则其容积为因此 yX 去=2, y x=0 =6,而yxW =51 .\y=f （ X ）11 1o i ab車yxx(3) y = X —In(x +1)；(4)y =%(2x-1)2(1-X)2 .V(x) =x(a -2x)(?a -2x) =4x 3 -dx 2 +3a 2x ，8 48 2113 213vge --ax+8a=12(x-护(x-8a)a -2£ x(0<x<?a )16得驻点 x1 3=—a ， X2 = — a 12 8图3-81，所以x^—a 是惟一的驻点，又该实际问题的最值一1121 =—a 时，长方体的容积最大.12例10 设铁路边上离工厂 C 最近的点A 距工厂20 km ，铁路边上B 城距A 点200 km ，现要 在铁路线AB上选定一点D 修筑一条公路，已知铁路与公路每吨千米的货运费之比为 选在何处时，才能使产品从工厂 C 运到B 城的每吨货物的总运费最省？（图3-9）解设D 点选在距离A 处x 千米，定存在，故当小正方形的边长为xi又设铁路3: 5,问 D与公路的每吨千米货运费分别为 3k,5k （k 为常数） 则产品从C 处运到B 城的每吨总运费为y =5k CD +3k ED因为，y' = 5k 400 X 2+ Xx) (0<x<200k(5x-3j400 + x 2)J400 + x 2 3k J 400 + X 2令 y ' = 0，即 5x = 3J4OO + x 2，得 X = 15.将y x 生=680k ，与闭区间［0,200］端点处的函数值比较，由于y XT = 700k ，xz200= 5J40400k AlOOOk ，因此，当D 点选在距离A 点15km 处，这时每吨货物的总运费最习题3-31、求下列函数的单调区间: (1) y = xe X；3 2(2) y =2x -6x -18x- 7 ； 8皿xa -2xAx图3-9=5k3k(200 -7、图3-11,某矿物局拟从 A 处掘一巷道至 C 处，设AB 长为600m ，C 到AB 的距离为200m ， 若沿水平AB 方向掘进费用5元/m ，水平面以下是岩石，掘进费用13元/m ，问怎样掘法费用最省？§ 3-4曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向 曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.一、 曲线的凹凸性从图3-12( a )，( b )可以观察到.定义3.2如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方， 则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该 区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间.图 3-122、求下列函数的极值:(1) f(X)= X 3 +6x 2 -15x +1 ；( 2) f(x)=4x 3-3x 4；2(3) f(x)=(x —1)x'；(4) f(x)=sin X+cosx,(0 < X < 2兀).3、 已知函数f(x)=x'+ax 2+bx 在x=1处有极值—12，试确定系数a,b 的值. 4、求下列函数在给定区间上的最值:(1) f(x)=x 4 -2x 2 +6, [-2,3]； (2) f(X)=(x+1)4，(=,址).5、 如图3-10，三块长度一样，宽为 a 的木板，做成一横截面为等腰梯形的水槽，问如 何安装，水槽的横截面面积最大？6、 从直径为d 的圆木中切出横截面为矩形的梁，此矩形的长为 b ,宽为h ，若梁的强度与bh 2成正比，问梁的横截面尺寸为多少时，其强度最大?•在几何上,从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧,其切线的斜率f '(x)随着x 的增大而增大,图 3-10(a )x即f'(x)单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率 f'(x)随着X 的增大而减少，即 f'(x)单调减 少.而函数f'(x)的单调性又可用它的导数，即f(x)的二阶导数f -(x)的符号来判定，故曲线判定曲线y =1 n X 的凹凸性.讨论曲线y =x 3的凹凸区间.令f ”(X)=0,解出方程f 7x)=0在某区间内的实根 x 0 ；对每一个实根X 0 ,考察f "(X)在X 0的左右近旁的符号，若 f "( X)在X 0的左右近旁的符号相反，则点(X 0, f(X 0))是拐点，若f ”(X)在X 0的左右近旁的符号相同，则点(X 0, f (X 。

考研数学：求极限的16个方法总结极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。

1、极限分为一般极限，还有个数列极限(区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种)。

2、解决极限的方法如下1)等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。

全部熟记。

(x趋近无穷的时候还原成无穷小)2)洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)首先他的使用有严格的使用前提。

必须是X趋近而不是N趋近。

(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。

还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。

洛必达法则分为三种情况1)0比0无穷比无穷时候直接用2)0乘以无穷无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成1中的形式了3)0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0)3、泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!)e 的x展开sina展开cos展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法。

取大头原则最大项除分子分母!看上去复杂处理很简单。

5、无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了!6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

考研数学：求极限的16种方法1500字求极限是数学中一个重要的概念和技巧，经常会在高等数学、微积分、函数分析等课程中出现。

在考研数学中，求极限也是一个比较常见的题型，有时候会要求借助不同的方法来求解极限。

以下是16种常见的求极限的方法：方法1：代入法代入法是求极限中最基本的方法之一，特别适用于极限问题中有指定点的情况。

代入的点可以是有限点或无限点，通过将极限值代入原函数中，来求得极限。

方法2：夹逼定理夹逼定理也是一种常用的方法，适用于需要用两个已知函数夹住待求函数的情况。

通过取两个已知函数逐渐逼近待求函数，来求得极限。

方法3：集中取值法集中取值法是一种常用的方法，适用于需要对待求函数的取值进行讨论的情况。

通过将待求函数的取值限制在一个区间内，来求得极限。

方法4：变量代换法变量代换法是一种常用的方法，适用于需要通过变换变量来求得极限的情况。

通过进行恰当的变换变量，将原极限转化为另一个更容易求解的极限。

方法5：公共因子法公共因子法是一种常用的方法，适用于需要将待求函数的表达式进行分解的情况。

通过进行恰当的分解，将待求函数表达式中的公共因子提取出来，来求得极限。

方法6：三角函数极限法三角函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行三角函数的极限转化的情况。

通过使用三角函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的三角函数极限。

方法7：幂函数极限法幂函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行幂函数的极限转化的情况。

通过使用幂函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的幂函数极限。

方法8：自然对数极限法自然对数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行自然对数的极限转化的情况。

通过使用自然对数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的自然对数极限。

方法9：常数e极限法常数e极限法是一种常用的方法，适用于需要进行常数e的极限转化的情况。

通过使用常数e的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的常数e极限。

方法10：斜率法斜率法是一种常用的方法，适用于需要进行斜率的极限转化的情况。

函数的极限、连续极限定义性质唯一性局部有界性局部保号性重要计算方法洛必达法则运算法则泰勒公式公式展开原则1无穷小比阶无穷小量高阶无穷小lim f(x)\g(x)=x→\?02低阶无穷小lim f(x)\g(x)=x→\?∞3等阶无穷小5lim f(x)\g(x)=x→\?14同阶无穷小lim f(x)\g(x)=x→\?A(不包括0,1)6（7个）未定式的样式和已定式的具体解法未定式——0/0I——1^∞II——∞/∞III——∞-∞IV——0*∞V——∞^0VI——0^0VII已定式带入数值直接计算连续、间断连续点的定义间断点的分类第一间断点可去间断点左、右极限存在，并且相同子主题1跳跃间断点左、右极限存在，并且不相同子主题1第二间断点无穷间断点子主题1震荡间断点子主题1备注：1. 适用条件主要原则：相消不为零原则次要原则：上下同阶原则2. 函数f(x)趋向于∞的速度函数g(x)快可以理解为高阶比低阶3. 函数f(x)趋向于∞的速度函数g(x)慢可以理解为低阶比高阶4. 两个函数趋向于1的速度一样快（同阶）5. 适用条件：x趋向于0，？趋向于01、sin x~x ——(推广) sin ?=?2、arc sin x~x ——(推广)arc sin ?~?3、tan x~x ——(推广)tan ?~?4、arc tan x~x ——(推广)arc tan?~? 5、e^x-1~x ——(推广)e^?-1~? 6、ln (1+x)~x ——(推广)l n (1+?)~?7、1- cos x~1\2 x^2 ——(推广)1- cos?~1\2 ？^2 8、(1+x)^?-1~?x ——(推广) (1+?)^a-1~a?6. 两个函数趋向于A的速度差不多一样快（同阶）。

洛必达法则的极限运算法则洛必达法则是微积分中经典的极限运算法则，其广泛应用于求极限的过程中。

而在极限运算中，极限运算法则则是解题的重点之一。

本文将从极限运算法则的基本概念、洛必达法则的原理以及洛必达法则的应用场景方面详细阐述。

一、极限运算法则的基本概念极限运算中，我们需要掌握一些基本的运算法则，这些运算法则在解题中起到非常重要的作用。

这些基本的运算法则包括：1. 常数函数的极限运算法则对于一个数a，其常数函数f(x) = a，当x趋向于某一点时，其极限值即为a。

2. 一次函数的极限运算法则对于一个一次函数f(x) = kx + b，其中k和b为常数，则其极限值为kx + b当x趋向于某一点时的极限值。

3. 基本等式的极限运算法则对于两个函数f(x)和g(x)，满足lim f(x) = a，lim g(x) = b，则lim [f(x) ± g(x)] = a ± b，lim [f(x)g(x)] = ab，lim [f(x)/g(x)] = a/b （b≠0）。

4. 无穷小的极限运算法则若lim f(x) = 0，lim g(x) = 0，则lim [f(x)·g(x)]为0类无穷小，lim [f(x) ± g(x)]为±0类无穷小，lim [f(x)/g(x)]为0/0型。

5. 复合函数的极限运算法则若存在有限极限lim g(x) = a和lim f(u) = b，则由函数复合可以得到：lim[f(g(x))] = b。

以上几点是极限运算中最基本的运算法则，掌握这些基本法则是做极限运算的前提。

二、洛必达法则的原理洛必达法则是用函数导数的概念来计算极限的方法。

其应用前提是如果一个函数的极限不能用基本的运算法则计算，那么我们就需要用到这种方法。

对于一个函数f(x)，在求其在某一点x0处的极限lim f(x)(x→x0)的时候，我们有如下的洛必达法则：lim [f(x)/g(x)] = lim [f'(x)/g'(x)] (g'(x) ≠ 0)其中f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)的导数，如果满足如上条件，则可以为求出函数f(x)在x0处的极限提供便利。

洛必达法则定义洛必达法则是微积分中的一条重要定理，它被广泛应用于求解极限的问题。

其名称来源于法国数学家、物理学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯和约瑟夫·路易·拉格朗日，他们独立地发现了这个定理。

洛必达法则的定义如下：设函数f(x)和g(x)在某点a的某个邻域内都可导，且g'(x)≠0，则lim[x->a] (f(x)/g(x)) = lim[x->a] (f'(x)/g'(x))换句话说，当一个函数的极限形式为“0/0”或“∞/∞”时，我们可以利用洛必达法则将其转化为一个等价的形式，即对函数的导数进行求解。

这条法则的关键在于对函数的导数运算。

假设f(x)和g(x)在某点a 的某个邻域内都可导，通过函数的导数我们可以得到以下推导：f'(x) = lim[h->0] (f(x+h) - f(x))/hg'(x) = lim[h->0] (g(x+h) - g(x))/h在使用洛必达法则时，我们计算这两个导数的极限，然后将结果代入到洛必达法则的等式中。

具体计算方法如下：1. 首先计算f(x)和g(x)在点a的函数值，即f(a)和g(a)。

2. 计算f'(x)和g'(x)。

3. 对f'(x)和g'(x)计算极限。

若极限存在且不为无穷大，记为L和M。

4. 若存在极限，则根据洛必达法则的等式 lim[x->a] (f(x)/g(x)) =L/M，将L和M代入。

5. 若L/M的极限存在，即lim[x->a] (f(x)/g(x))存在，则该极限即为原函数lim[x->a] (f(x)/g(x))的极限。

需要注意的是，洛必达法则只适用于形式为“0/0”或“∞/∞”的极限，且假设函数满足以上条件才能进行计算。

洛必达法则的应用范围非常广泛。

它可以用于解决各种求极限问题，特别是在处理不确定型的极限时非常有用。