【日出书屋·原创自主编辑】北师大版数学七年级上册教案：53应用一元一次方程—水箱变高了

北师大初中数学七年级重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！北师大初中数学和你一起共同进步学业有成！5.3 应用一元一次方程——水箱变高了1.(8分)将一个底面半径是5厘米,高为10厘米的圆柱体冰淇淋盒改造成一个直径为20厘米的圆柱体,若体积不变,高为多少?2.(8分)长方形纸片的长是15cm,长、宽上各剪去1个宽为3cm的长条,剩下的面积是原面积的.求原面积.【拓展延伸】3(10分)一个长方形的鸡场的长边靠墙,墙长14米,其他三边用竹篱笆围成,现有长为35米的竹篱笆,小王打算用它围成一个鸡场,其中长比宽多5米;小赵也打算用它围成一个鸡场,其中长比宽多2米,你认为谁的设计符合实际?按照他的设计,鸡场的面积是多少?答案解析7.【解析】设圆柱体的高为x厘米.根据题意得:25π×10=100πx,解得:x=2.5.答:高为2.5厘米.8.【解析】设长方形纸片的宽是xcm,原面积是15xcm2,长、宽上各剪去1个宽为3cm的长条,剩下的面积是12(x-3)cm2, 由题意得:15x×=12(x-3),所以9x=12(x-3),解方程得x=12,12×15=180(cm2),所以原面积是180cm2.9.【解析】根据小王的设计可以设宽为x米,则长为(x+5)米,根据题意得:2x+(x+5)=35,解方程得:x=10.因此小王设计的长为x+5=10+5=15(米),而墙的长度只有14米,故小王的设计不符合实际.根据小赵的设计可以设宽为y米,则长为(y+2)米,根据题意得2y+(y+2)=35,解方程得:y=11.因此小赵设计的长为y+2=11+2=13(米),而墙的长度为14米,显然小赵的设计符合实际,此时鸡场的面积为13×11=143(平方米).相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。

数学思维可以让他们更理性地看待人生。

北师大版 数学 七年级 上册hr阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？形状改变，体积不变.=导入新知素养目标3. 利用体积不变、周长不变列方程.2. 能利用一元一次方程解决简单的图形问题.1. 借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系.某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m 的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m 减少为3.2 m ．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少？知识点等积问题有哪些等量关系呢？①前后容积（体积）相等;②前后面积相等.思考：在这个问题中的等量关系是___________________________设水箱的高变为x 米，填写下表：旧水箱新水箱底面半径高容积=旧水箱的容积=新水箱的容积.列方程时关键是找出问题中的___________等量关系.42 m3.22 m4 m x mπ×422×4π×3.222 x解：设水箱的高变为 x 米，解得 答：高变成了 6.25 米.π× 42 2×4=π× 3.22 2xx = 6.25什么发生了变化？什么没有发生变化？想一想张师傅要将一个底面直径为20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆柱，锻压成底面直径为10厘米 的“瘦长”形圆柱.假设在张师傅锻压过程中，圆柱体积保持不变，那么圆柱的高变成了多少？做一做锻压前锻压后底面半径高体积解：设锻压后圆柱的高为 x 厘米，填写下表：等量关系：锻压前的体积=锻压后的体积202 cm 102 cm 9 cmx cmπ× 202 2×9π× 1022x根据等量关系，列出方程：解方程得：x =36.因此，高变成了 厘米. 36等体积变形关键问题： =π× 102×9π× 52×x解：（1）设长方形的宽为x 米，则它的长为(x +1.4)米，由题意得 2 ( x +1.4 +x ) =10.解得 x =1.8. 长为：8+1.4=3.2（米）;答：长方形的长为3.2米，宽为1.8米,面积是5.76平方米.等量关系：（长+宽）× 2 = 周长.x x +1.4 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.（1）使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？例（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）所围成的长方形相比，面积有什么变化？解：设长方形的宽为x米，则它的长为（x+0.8）米.由题意,得2(x+0.8+ x) =10.解得x =2.1.长为2.1+0.8=2.9（米）;面积为 2.9×2.1=6.09(平方米);面积增加了：6.09-5.76=0.33（平方米）.xx+0.8（3）使得该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？围成的面积与（2）所围成的面积相比，又有什么变化？解：设正方形的边长为x米.由题意得4x= 10.解，得x=2.5.边长为：2.5米；面积为：2.5×2.5=6.25(平方米).面积增加：6.25-6.09=0.16（平方米）.归纳小结1.列方程的关键是正确找出等量关系.2.变形前体积 = 变形后体积.3.线段长度一定时，不管围成怎样的图形，周长不变.4.长方形周长不变时，当且仅当长与宽相等时，面积最大.墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如下图所示，那么，小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米？1010101066分析：等量关系是 变形前后周长相等,解：设长方形的长是 x 厘米.则解得因此，小颖所钉长方形的长是16厘米，宽是10厘米.小颖所钉长方形的宽是10厘米.2×（x +10）= 10×4+ 6×2x = 16巩固练习把一根9m 长的钢管截成1m 长和2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m 长的钢管有a 根，则a 的值可能有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．9种B连接中考1．如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6 cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为8 cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长是(　　)A．20 cm B．24 cm C．48 cm D．144 cmB 基础巩固题2.从一个底面半径是10cm 的凉水杯中，向一个底面半径为5cm ，高为8cm 的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降()A ．8cm B ．2cm C ．5cm D ．4cmB基础巩固题3．有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长4厘米、宽2厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是_________厘米．(不计损耗)4．李红用40cm 长的铁丝围成一个长方形，要使长比宽多4cm ，求围成的长方形的面积，若设长方形的宽为x cm ，根据题意列出方程是_____________，面积是__________．8x +(x +4)=2096cm 2基础巩固题5．如图，一个装有半瓶多饮料的饮料瓶中，饮料的高度为20cm ；把饮料瓶倒过来放置，饮料瓶空余部分的高度为5cm .已知饮料瓶的容积为30cm 3，则瓶内现有饮料______cm 3.24基础巩固题能力提升题一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？解：设这一支牙膏能用x次，根据题意得π×2.52×10×36=π×32×10x.解这个方程，得x=25.答：这一支牙膏能用25次．用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π-2) m ，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．解析:比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长=圆的周长．拓广探索题解：设圆的半径为r m ，则正方形的边长为[r +2(π-2)]m. 根据题意，得答：铁丝的长为8π m ，圆的面积较大．因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，所以圆的面积大．正方形的面积为[4+2(π-2)]2=4π2(m 2)．所以圆的面积是π×42=16π(m 2)，所以铁丝的长为2πr =8π(m )．2πr =4(r +2π-4)，解得r =4.拓广探索题课堂小结　一.物体锻压或液体更换容器题，体积（或容积）不变.二.固定长度，虽然围成的图形形状及面积不同，但是应抓住图形的总周长不变. 三.图形的拼接、割补、平移、旋转等类型题，应抓住图形的面积、体积不变.作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业谢谢观看 Thank You。

第三节应用一元一次方程——水箱变高了(1课时)教学目标知识与技能1．通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题．2．进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用．过程与方法用实例对一些数学猜想做出检验，从而增加猜想的可信程度或推翻猜想．情感、态度与价值观培养学生敢于面对和克服数学活动中困难的能力，使他们拥有运用知识解决问题的成功体验，建立学好数学的自信心．重点难点重点使学生进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，认识方程．难点关键是让学生抓住问题变化中的不变量，确定等量关系．教学流程教学设计一、创设情境，引入新课同学们，今天这堂课我们共同来学习“我变高了”．我们先做两个小实验，请同学们仔细观察．1．现在请大家拿出准备好的橡皮泥，先用这块橡皮泥捏出一个“瘦长”的圆柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变胖”，变成一个又矮又胖的圆柱．2．准备一个量筒(细长型)和一个烧杯(矮胖型)，把量筒里的水倒入烧杯中．师：通过对这两个实验的观察，你是否已经领悟出课题“我变高了”的真实含义了呢？生1：通过这两个实验我觉得“我变高了”的真实含义是：物体的形状发生了变化，由细长的圆柱体变成了矮胖的圆柱体．如果反过来，也可以叫做“我变瘦了”．生2：“我变高了”实际上就是物体的变形问题，由一种形状变成了另一种形状，比如把橡皮泥由圆柱体也可以捏成正方体等．师：他们回答得棒极了！那么在这两个实验中，圆柱由“高”变“矮”的过程中，圆柱的哪些量发生了变化？有没有不变的量？请小组同学讨论后回答．生：我组同学一致认为，在圆柱的形状由“高”变“矮”的过程中，圆柱的半径、高等都发生了变化，而它们的体积和质量始终不变．师：回答得很好，如果要你说出这个问题中存在的等量关系，应该是什么呢？学生回答，教师板书：变化前的体积＝变化后的体积．或变化前的质量＝变化后的质量．二、例题分析，巩固练习1．师：非常好，我这儿有一个问题，需请大家帮助解决．(出示投影1)有一位工人师傅要锻造底面直径为20厘米的“矮胖”形圆柱，可他手边只有底面直径为10厘米、高为36厘米的“瘦长”形圆柱体，这位师傅想知道将这个“瘦长”形圆柱锻压成“矮胖”形圆柱，高成了多少？生：这个问题就和刚才做的实验一样，其形状变了，但体积不变，即锻压前的体积＝锻压后的体积．根据这个等量关系可列方程解决．师：这位同学分析得很好，那么圆柱的体积公式是怎样表述的？生：底面积×高，即π×半径2×高．师：如何表示锻压前后的体积呢？请想好后填写下面的表格．(投影显示)解：设锻压后圆柱的高为x厘米，根据题意，得π×52×36＝π×102x解得x＝9.答：高变成了9厘米．2．我们再看一个例子(出示投影2)．用一根长为10米的铁丝围成一个长方形．(1)使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有何变化？(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比有何变化？学生分组活动，师生共同探讨：(1)各小组拿出准备好的细铁丝动手折一个长方形，并在仔细读题的基础上，观察分析哪些量发生了变化，哪些量没有变化，其中的等量关系是什么，如何与学过的方程相联系？(2)学生在教师的鼓励下积极思考，争论并得出长方形的长和宽和围合过程中虽然在变化，但其周长并没有变，由此可以考虑到这里面存在一个相等的数量关系(即在围合过程中细铁丝的长度始终不变)：长方形的周长＝细铁丝的长度，即2(长＋宽)＝周长．(3)由小组分工合作，完成本题的三个小问题，最后相互讨论，或通过小组列表格演算，(4)请小组代表汇报三个问题的解答过程．投影展示学生的解答过程．师：解决本题的关键是什么，从中你有何收获和体验？师生小结：解答这道题的关键是要认识到在改变长方形的长和宽的同时，长方形的周长不变，始终是铁丝的长度(10米)，由此便可建立等量关系；同时我们也发现，虽然长方形的周长不变，但改变长方形的长和宽时，长方形的面积却在发生变化，而且大家发现长和宽越接近面积就越大．至于围成正方形的时候面积是不是达到最大，同学们不妨课后继续讨论这个问题．三、小结与作业1．这节课你学到了哪些知识？本节通过分析一些图形如圆柱的体积不变、长方形的周长不变等数量关系，建立方程解决问题，体会用方程解决问题的关键是抓住等量关系，认识方程模型的重要性．2．课后作业板书设计。

本节学习列方程解应用题，其关键还是寻找实际问题中的等量关系.在实际生活中经常 会遇到类似本节情境的问题，最关键的是抓住变化中的不变量，从而设出未知数，根据等 量关系列出方程.教学时，应鼓励学生独立思考，发现等量关系.特别是对例 1，应让学生 根据生活经验和原有基础分组独立完成，然后请各小组汇报:四个小问题的解答情况，最后 组织学生展开讨论：解这道题的关键是什么？从解这道题中你有哪些收获和体验？因此， 本节教材的处理策略是：展现问题情境——提出问题——分析数量关系和等量关系——列 出方程，解方程——检验解得合理性. 三、教学目标 1. 借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，体会直接或间接设 未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题. 2. 通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解 决问题、敢于提出问题的能力. 3. 通过对实际问题的探讨，使学生在动手独立思考、方程意识的过程中，进一步体会数 学应用的价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望. 四、教学过程设计
TB:小初高题库
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题，利用前几节的解方程方法解决实际问题.
活动的实际效果：
学生解答过程布列方程很顺利，很多学生使用了下面的表格来帮助分析.
锻压前
锻压后
底面半径
20
cm
2
10
cm
2
高
9cm
xcm
体积
π×（ 20）2 ×9
π×（10）2 ×x
2
2
由实验操作环节知“锻压前的体积＝锻压后的体积”，从而得出方程.
什么精确程度.
环节三：操作实践，发现规律
活动内容：
学生用预先准备好的 40 厘米长的铁丝，以小组作出不同形状的长方形，通过测量边