2014版高中数学复习方略课时提升作业：10.9离散型随机变量的均值与方差(北师大版)

1．若随机变量 X 服从两点分布，且在一次试验中事件 A 发生的 概率 P＝0.5，则 EX 和 DX 分别为( )
A．0.25,0.5 B．0.5,0.75 C．0.5,0.25 D．1,0.75
C [EX＝0.5，DX＝0.5×(1－0.5)＝0.25.]
2．已知随机变量 ξ，Dξ＝19，则 ξ 的标准差为________．
1．某网站针对某歌唱比赛的歌手 A，B，C 三人进行网上投票，
结果如下：
观众年龄
支持 A
支持 B
支持 C
20 岁以下
200
400
800
20 岁以上(含 20 岁)
100
100
400
(1)在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取 n 人，其 中有 6 人支持 A，求 n 的值；
(2)若在参加活动的 20 岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取 7 人作为一个样本，从 7 人中任意抽取 3 人，用随机变量 X 表示抽取 出 3 人中支持 B 的人数，写出 X 的分布列，并计算 EX，DX.
合作探究 提素养
求离散型随机变量的方差
【例 1】 在一个不透明的纸袋里装有 5 个大小相同的小球，其 中有 1 个红球和 4 个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的 是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数 X 的均值和方 差．
[解] X 可能取值为 1,2,3,4,5. P(X＝1)＝51， P(X＝2)＝54×41＝51， P(X＝3)＝54×43×31＝51， P(X＝4)＝54×43×32×21＝51， P(X＝5)＝54×43×32×21×1＝51.
1 3
[ξ 的标准差 Dξ ＝
19＝13.]
3．已知随机变量 ξ 的分布列如下表：

2．常见分布的均值与方差 (1)若 X 服从二点分布，则 EX＝ p，DX＝ p(1－p) ； (2)若 X～B(n，p)，则 EX＝ np，DX＝ np(1－p) ；
(3)若 X 服从参数为 N，M，n 的几何分布，则 EX＝ nM N.
基础自测
1.设随机变量 X～B(n，p)，且 EX＝1.6，DX＝1.28，则( )
走向高考·数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
高考目标
3 课堂典例讲练
课前自主预习
4 思想方法点拨
5 课后强化作业
高考目标
课前自主预习
则定义 X 的均值为 a1P(X＝a1)＋a2P(X＝a2)＋…＋arP(X＝ar)＝ a1P1 ＋a2P2＋…＋arPr .
即随机变量 X 的取值 ai 乘上取值 ai 的概率 P(X＝ai) 再求和．
A．n＝8，p＝0.2
B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32
D．n＝7，p＝0.45
[答案] A
课堂典例讲练
思想方法点拨
11走、凡向为高教者考必·期高于达考到一不须轮教总。对复人习以诚·信北，师人不大欺版我;对·事数以学诚信，事无不成。
12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/172022/1/17January 17, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月 2022/1/172022/1/172022/1/171/17/2022 18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/172022/1/学期望 ，它是一个数，记 为 EX，即 EX＝ a1P1＋a2P2＋…＋arPr .均值 EX 刻画 的是 X 取值的 “中心位置”．

§１２．6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布１．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P（X＝a i）＝p i（i＝１,２，…）．（１）均值EX＝a１p１＋a２p２＋…＋x r p r，EX刻画的是X取值的“中心位置”．（２）方差DX＝E（X—EX）２为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．２．二项分布的均值、方差若X～B（n，p），则EX＝__np__，DX＝np（１—p）．３．正态分布（１）X～N（μ，σ２），表示X服从参数为μ和σ２的正态分布．（２）正态分布密度函数的性质１函数图像关于直线x＝μ对称；２σ（σ>0）的大小决定图像的“胖”“瘦”；３P（μ—σ<X<μ＋σ）＝68．３%；P（μ—２σ<X<μ＋２σ）＝9５．４%；P（μ—３σ<X<μ＋３σ）＝99．7%.１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．（√）（２）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．（√）（３）正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．（√）（４）一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．（√）２．设随机变量X的分布列为P（X＝k）＝错误!（k＝２,４,6,8,１0），则DX等于（）Ａ．５Ｂ．8 Ｃ．１0 Ｄ．１6答案B解析∵EX＝错误!（２＋４＋6＋8＋１0）＝6，∴DX＝错误![（—４）２＋（—２）２＋0２＋２２＋４２]＝8．３．设随机变量X服从正态分布N（２,9），若P（X>c＋１）＝P（X<c—１），则c等于（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４答案B解析∵μ＝２，由正态分布的定义知其图像关于直线x＝２对称，于是错误!＝２，∴c＝２．４．有一批产品，其中有１２件正品和４件次品，有放回地任取３件，若X表示取到次品的件数，则DX ＝________.答案错误!解析由题意知取到次品的概率为错误!，∴X～B（３，错误!），∴DX＝３×错误!×（１—错误!）＝错误!.５．在篮球比赛中，罚球命中１次得１分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0．7，那么他罚球１次的得分X的均值是________．答案0．7解析EX＝１×0．7＋0×0．３＝0．7．题型一离散型随机变量的均值、方差例１（２0１３·浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得１分，取出一个黄球得２分，取出一个蓝球得３分．（１）当a＝３，b＝２，c＝１时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）２个球，记随机变量ξ为取出此２球所得分数之和，求ξ的分布列；（２）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）１个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝错误!，Dη＝错误!，求a∶b∶c.思维启迪首先列出随机变量ξ的所有可能的取值，然后计算ξ的每个取值的概率．解（１）由题意得ξ＝２,３,４,５,6．故P（ξ＝２）＝错误!＝错误!，P（ξ＝３）＝错误!＝错误!，P（ξ＝４）＝错误!＝错误!，P（ξ＝５）＝错误!＝错误!，P（ξ＝6）＝错误!＝错误!.所以ξ的分布列为ξ２３４５6P错误!错误!错误!错误!错误!（２）由题意知ηη１２３P错误!错误!错误!所以Eη＝错误!＋错误!Dη＝错误!２·错误!＋错误!２·错误!＋错误!２·错误!＝错误!.化简得错误!解得a＝３c，b＝２c，故a∶b∶c＝３∶２∶１．思维升华（１）求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．（２）注意性质的应用：若随机变量X的期望为EX，则对应随机变量aX＋b的期望是aEX＋b，方差为a２DX.袋中有２0个大小相同的球，其中记上0号的有１0个，记上n号的有n个（n＝１,２,３,４）．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．（１）求ξ的分布列、期望和方差；（２）若η＝aξ＋b，Eη＝１，Dη＝１１，试求a，b的值．解（１）ξ的分布列为ξ0１２３４P错误!错误!错误!错误!错误!∴Eξ＝0×错误!＋１×错误Dξ＝（0—１．５）２×错误!＋（１—１．５）２×错误!＋（２—１．５）２×错误!＋（３—１．５）２×错误!＋（４—１．５）２×错误!＝２．7５．（２）由Dη＝a２Dξ，得a２×２．7５＝１１，即a＝±２．又Eη＝aEξ＋b，所以当a＝２时，由１＝２×１．５＋b，得b＝—２．当a＝—２时，由１＝—２×１．５＋b，得b＝４．∴错误!或错误!题型二二项分布的均值、方差例２（２0１２·四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为错误!和p.（１）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为错误!，求p的值；（２）设系统A在３次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.思维启迪利用对立事件的概率公式表示（１）中概率可求p.解（１）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么１—P（错误!）＝１—错误!·p＝错误!，解得p＝错误!.（２）由题意，得P（ξ＝0）＝C错误!错误!３＝错误!，P（ξ＝１）＝C错误!错误!２×错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝C错误!×错误!×错误!２＝错误!，P（ξ＝３）＝C错误!错误!３＝错误!.所以，随机变量ξ的分布列为ξ0１２３P错误!错误!错误!错误!故随机变量ξEξ＝0×错误!＋１×错误!＋２×错误!＋３×错误!＝错误!.（或∵ξ～B（３，错误!），∴Eξ＝３×错误!＝错误!.）思维升华求随机变量X的期望与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B（n，p），则用公式EX＝np；DX＝np（１—p）求解，可大大减少计算量．假设某班级教室共有４扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0．５．记此时教室里敞开的窗户个数为X.（１）求X的分布列；（２）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．解（１）∵X的所有可能取值为0,１,２,３,４，X～B（４,0．５），∴P（X＝0）＝C错误!（错误!）４＝错误!，P（X＝１）＝C错误!（错误!）４＝错误!，P（X＝２）＝C错误!（错误!）４＝错误!，P（X＝３）＝C错误!（错误!）４＝错误!，P（X＝４）＝C错误!（错误!）４＝错误!，∴X的分布列为X0１２３４P错误!错误!错误!错误!错误!（２）YP（Y＝３）＝P（X＝３）＝错误!，P（Y＝４）＝１—P（Y＝３）＝错误!，∴Y的期望值EY＝３×错误!＋４×错误!＝错误!.题型三正态分布的应用例３在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N（80,５２），现已知该班同学中成绩在80～8５分的有１7人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．思维启迪本题主要考查正态分布及其应用，解题关键是要记住正态总体取值在区间（μ—σ，μ＋σ），（μ—２σ，μ＋２σ），（μ—３σ，μ＋３σ）内的概率值，将所给问题转化到上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用．解依题意，由80～8５分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数，再求90分以上同学的人数．∵成绩服从正态分布N（80,５２），∴μ＝80，σ＝５，μ—σ＝7５，μ＋σ＝8５．于是成绩在（7５,8５）内的同学占全班同学的68．３%.由正态曲线的对称性知，成绩在（80,8５）内的同学占全班同学的错误!×68．３%＝３４．１５%.设该班有x名同学，则x×３４．１５%＝１7，解得x≈５0．又μ—２σ＝80—１0＝70，μ＋２σ＝80＋１0＝90，∴成绩在（70,90）内的同学占全班同学的9５．４%.∴成绩在（80,90）内的同学占全班同学的４7．7%.∴成绩在90分以上的同学占全班同学的５0%—４7．7%＝２．３%.即有５0×２．３%≈１（人），即成绩在90分以上的同学仅有１人．思维升华解答此类题目关键是利用正态曲线的对称性表示出所给区间的概率．利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ，只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N（１00,１00），已知满分为１５0分．（１）试求考试成绩ξ位于区间（80,１２0）内的概率；（２）若这次考试共有２000名考生参加，试估计这次考试及格（不小于90分）的人数．解（１）由ξ～N（１00,１00）知μ＝１00，σ＝１0．∴P（80<ξ<１２0）＝P（１00—２0<ξ<１00＋２0）＝0．9５４，即考试成绩位于区间（80,１２0）内的概率为0．9５４．（２）P（90<ξ<１１0）＝P（１00—１0<ξ<１00＋１0）＝0．68３，∴P（ξ≥１１0）＝错误!（１—0．68３）＝0．１５8 ５，∴P（ξ≥90）＝0．68３＋0．１５8 ５＝0．8４１５．∴及格人数为２000×0．8４１５≈１68３（人）．离散型随机变量的均值与方差问题典例：（１２分）甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有２m个球，从甲袋中摸出１个球为红球的概率为错误!，从乙袋中摸出１个球为红球的概率为P２.（１）若m＝１0，求甲袋中红球的个数；（２）若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出１个红球的概率是错误!，求P２的值；（３）设P２＝错误!，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出１个球，并且从甲袋中摸１次，从乙袋中摸２次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．思维启迪（１）概率的应用，知甲袋中总球数为１0和摸１个为红球的概率，求红球．（２）利用方程的思想，列方程求解．（３）求分布列和均值，关键是求ξ的所有可能值及每个值所对应的概率．规范解答解（１）设甲袋中红球的个数为x，依题意得x＝１0×错误!＝４．[３分]（２）由已知，得错误!＝错误!，解得P２＝错误!. [6分]（３）ξ的所有可能值为0,１,２,３．P（ξ＝0）＝错误!×错误!×错误!＝错误!，P（ξ＝１）＝错误!×错误!×错误!＋错误!×C错误!×错误!×错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝错误!×C错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!２＝错误!，P（ξ＝３）＝错误!×错误!２＝错误!. [8分]所以ξ的分布列为ξ0１２３P错误!错误!错误!错误![１0分]所以Eξ＝0×错误!＋１×错误!＋２×错误!＋３×错误!＝错误!. [１２分]求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值．第二步：求每一个可能值所对应的概率．第三步：列出离散型随机变量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒（１）本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值．（２）本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范．如第（３）问中，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范.方法与技巧１．均值与方差的常用性质．掌握下述有关性质，会给解题带来方便：（１）E（aξ＋b）＝aEξ＋b；E（ξ＋η）＝Eξ＋Eη；D（aξ＋b）＝a２Dξ；（２）若ξ～B（n，p），则Eξ＝np，Dξ＝np（１—p）．２．基本方法（１）已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义（公式）求解；（２）已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；（３）如能分析所给随机变量是服从常用的分布（如二项分布），可直接利用它们的均值、方差公式求解．３．关于正态总体在某个区域内取值的概率求法（１）熟记P（μ—σ<X<μ＋σ），P（μ—２σ<X<μ＋２σ），P（μ—３σ<X<μ＋３σ）的值．（２）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为１．１正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．２P（X<a）＝１—P（X≥a），P（x<μ—a）＝P（X≥μ＋a）．（３）３σ原则：在实际应用中，通常认为服从正态分布N（μ，σ２）的随机变量只取（μ—３σ，μ＋３σ）之间的值，取该区间外的值的概率很小，通常认为一次试验几乎不可能发生．失误与防范１．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．２．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．A组专项基础训练（时间：４0分钟）一、选择题１．正态总体N（１,9）在区间（２,３）和（—１,0）上取值的概率分别为m，n，则（）Ａ．m>nＢ．m<nＣ．m＝nＤ．不确定答案C解析正态总体N（１,9）的曲线关于x＝１对称，区间（２,３）与（—１,0）到对称轴距离相等，故m＝n.２．已知某一随机变量X的分布列如下，且EX＝6．３，则a的值为（）X４a9P0．５0．１bＡ．５Ｂ．6答案C解析由分布列性质知：0．５＋0．１＋b＝１，∴b＝0．４．∴EX＝４×0．５＋a×0．１＋9×0．４＝6．３，∴a＝7．３．（２0１３·湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为１２５个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值EX等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析１２５个小正方体中8个三面涂漆，３6个两面涂漆，５４个一面涂漆，２7个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值EX＝错误!×１＋错误!×２＋错误!×３＝错误!＝错误!.４．某种种子每粒发芽的概率都为0．9，现播种了１000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种２粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）Ａ．１00 Ｂ．２00 Ｃ．３00 Ｄ．４00答案B解析记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B（１000,0．１），所以Eξ＝１000×0．１＝１00，而X＝２ξ，故EX＝E（２ξ）＝２Eξ＝２00．５．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0．6，现有４颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的均值为（）Ａ．２．４４Ｂ．３．３76 Ｃ．２．３76 Ｄ．２．４答案C解析X的所有可能取值为３,２,１,0，其分布列为∴EX＝３×0．6．二、填空题6．从装有３个红球、２个白球的袋中随机取出２个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为答案0．１0．6 0．３解析P（X＝0）＝错误!＝0．１，P（X＝１）＝错误!＝错误!＝0．6，P（X＝２）＝错误!＝0．３．7．已知随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝错误!，k＝１,２,３，…，n，则P（２<ξ≤５）＝________.答案错误!解析P（２<ξ≤５）＝P（ξ＝３）＋P（ξ＝４）＋P（ξ＝５）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!. 8．已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N（１１6,6４），则１0 000名考生中成绩在１４0分及以上的人数为________．答案１５解析由已知得μ＝１１6，σ＝8．∴P（9２<X<１４0）＝P（μ—３σ<X≤μ＋３σ）＝0．997，∴P（X≥１４0）＝错误!（１—0．997）＝0．00１５，∴成绩在１４0分以上的人数为１５．三、解答题9．某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9．6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为３6人，其中有１２位顾客自己带了购物袋，现从这３6人中随机抽取两人．（１）求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；（２）设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解（１）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，则P（A）＝错误!＝错误!，P（B）＝错误!＝错误!.因为事件A，B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!.故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是错误!.（２）据题意，得ξ的可能取值为0,１,２．其中P（ξ＝0）＝P（B）＝错误!，P（ξ＝１）＝错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝P（A）＝错误!.所以ξ的分布列为所以Eξ＝0×错误!＋１×错误!１0．为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有４名武警战士（分别记为A、B、C、D）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为错误!，错误!，错误!.这三项测试能否通过相互之间没有影响．（１）求A能够入选的概率；（２）规定：按入选人数得训练经费（每入选１人，则相应的训练基地得到３000元的训练经费），求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．解（１）设A通过体能、射击、反应分别记为事件M、N、P，则A能够入选包含以下几个互斥事件：MN错误!，M错误!P，错误!NP，MNP.∴P（A）＝P（MN错误!）＋P（M错误!P）＋P（错误!NP）＋P（MNP）＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!＝错误!.所以，A能够入选的概率为错误!.（２）记ξ表示该训练基地得到的训练经费，则ξ的所有可能值为0,３000,6 000,9 000,１２000．P（ξ＝0）＝错误!４＝错误!，P（ξ＝３000）＝C错误!错误!错误!３＝错误!，P（ξ＝6 000）＝C错误!错误!２错误!２＝错误!，P（ξ＝9 000）＝C错误!错误!３错误!＝错误!，P（ξ＝１２000）＝C错误!错误!４＝错误!，ξ的分布列为Eξ＝３000×错误!＝8 000（元）．所以，该基地得到训练经费的数学期望为8 000元．B组专项能力提升（时间：３0分钟）１．一个篮球运动员投篮一次得３分的概率为a，得２分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0,１）），已知他投篮一次得分的均值为２，则错误!＋错误!的最小值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析由已知得，３a＋２b＋0×c＝２，即３a＋２b＝２，其中0<a<错误!，0<b<１．又错误!＋错误!＝错误!错误!＝３＋错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋２错误!＝错误!，当且仅当错误!＝错误!，即a＝２b时取“等号”，又３a＋２b＝２，即当a＝错误!，b＝错误!时，错误!＋错误!的最小值为错误!，故选Ｄ．２．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则Eξ的最大值为________，Dξ的最大值为________.答案错误!１解析Eξ＝p＋１≤错误!（0≤p≤错误!）；Dξ＝—p２—p＋１≤１．３．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为错误!，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X＝0）＝错误!，则随机变量X的数学期望EX＝________.答案错误!解析由题意知P（X＝0）＝错误!（１—p）２＝错误!，∴p＝错误!.随机变量X的分布列为EX＝0×错误!＋１×错误!４．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：请小牛同学计算ξ两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝________.答案２解析设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为１—２x，则Eξ＝１·x＋２×（１—２x）＋３x＝x＋２—４x＋３x＝２．５．某保险公司新开设一项保险业务，规定该份保单，在一年内如果事件E发生，则该公司要赔偿a元，在一年内如果事件E发生的概率为p，为使该公司收益期望值等于错误!，公司应要求该保单的顾客缴纳的保险金为________元．答案错误!解析设随机变量X表示公司此项业务的收益额，x表示顾客交纳的保险金，则X的所有可能值为x，x—a，且P（X＝x）＝１—p，P（X＝x—a）＝p，所以EX＝x（１—p）＋（x—a）p＝错误!，得x＝错误!.6．（２0１３·福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为错误!，中奖可以获得２分；方案乙的中奖率为错误!，中奖可以获得３分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（１）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤３的概率；（２）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解方法一（１）由已知得，小明中奖的概率为错误!，小红中奖的概率为错误!，且两人中奖与否互不影响．记“这２人的累计得分X≤３”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝５”，因为P（X＝５）＝错误!×错误!＝错误!，所以P（A）＝１—P（X＝５）＝错误!，即这２人的累计得分X≤３的概率为错误!.（２）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X１，都选择方案乙抽奖中奖次数为X２，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E（２X１），选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E（３X２）．由已知可得，X１～B（２，错误!），X２～B（２，错误!），所以EX１＝２×错误!＝错误!，EX２＝２×错误!＝错误!，从而E（２X１）＝２EX１＝错误!，E（３X２）＝３EX２＝错误!，因为E（２X１）>E（３X２），所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．方法二（１）由已知得，小明中奖的概率为错误!，小红中奖的概率为错误!，且两人中奖与否互不影响．记“这２人的累计得分X≤３”的事件为A，则事件A包含有“X＝0”，“X＝２”，“X＝３”三个两两互斥的事件，因为P（X＝0）＝（１—错误!）×（１—错误!）＝错误!，P（X＝２）＝错误!×（１—错误!）＝错误!，P（X＝３）＝（１—错误!）×错误!＝错误!，所以P（A）＝P（X＝0）＋P（X＝２）＋P（X＝３）＝错误!，即这２人的累计得分X≤３的概率为错误!.（２）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X１，都选择方案乙所获得的累计得分为X２，则X１，X２的分布列如下：所以EX１＝0×错误!＋２×错误!２!＋３×错误!＋6×错误!＝错误!.因为EX１>EX２，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．。

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第11章
第十节
高考数学总复习
6．已知随机变量 X 的分布列为 X P 1 0.1 2 0.2 3 0.4 4 0.2 5 0.1
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则 EX＝________，DX＝________.
[答案] 3
1.2
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高考数学总复习
[解析 ]
EX＝ 1×0.1 ＋ 2×0.2 ＋ 3×0.4 ＋ 4×0.2 ＋
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请小牛同学计算 ξ 的数学期望，尽管 “！”处完全无 法看清，且两个 “？”处字迹模糊，但能断定 这两个 “？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案 ________. Eξ＝
第11章
第十节
高考数学总复习
[答案] 2
[解析] 本题考查随机变量的分布列以及性质、数学 期望的定义、求法． ∵Eξ ＝ 1× ？ ＋ 2× ！ ＋ 3× ？ ＝ 4× ？ ＋ 2× ！ ＝ 2(2×？＋！) 由性质知 2×？＋！＝1，∴Eξ＝2.
第十节
高考数学总复习
[解析] ∵X～B(n，p)，∴EX＝np，DX＝np(1－p)，
np＝1.6 从而有 np1－p＝1.28
，解得 n＝8，p＝0.2.
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高考数学总复习
1 2．一批产品中次品率为 ，现连续抽取 4 次，设次品 3 数为 X，则 DX 等于( 4 A. 3 8 C. 9 ) 8 B. 3 1 D. 9
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高考数学总复习
(1)写出 X 的分布列； (2)求数学期望 EX. [分析] 本题主要考查概率问题以及离散型随机变
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