第一讲 数学模型及初等方法

CUMCM 的历年赛题浏览：
2006年:(A)出版社的资源配置 (B)艾滋病疗法的评价及疗效的预测 2007年:(A)中国人口增长预测 (B)乘公交，看奥运 2008年:(A) 数码相机定位 (B)高等教育学费标准探讨 2009年:(A)制动器试验台的控制方法分析 (B)眼科病床的合理安排 2010年:(A)储油罐的变位识别与罐容表标定 (B) 2010年上海世博会影响力的定量评估 2011年:(A)城市表层土壤重金属污染分析 (B)交巡警服务平台的设置与调度
CUMCM 的历年赛题浏览：
2000年:(A)DNA序列的分类问题（北工大：孟大志） (B)钢管的订购和运输问题（武大：费甫生） (C)飞越北极问题（复旦大学：谭永基） (D)空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年:(A)三维血管的重建问题（浙大：汪国昭） (B)公交车的优化调度问题（清华：谭泽光） (C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水） 2002年:(A)汽车车灯的优化设计问题（复旦:谭永基等） (B)彩票中的数学问题（信息工程大学：韩中庚） (D) 球队的赛程安排问题（清华：姜启源）
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解
x =20 y =5
答：船速每小时20千米.
数学建模初体验
一艘船从港口O出发向南偏东75度方向航行了100千米 到港口A，又向北偏东航行了160千米到达B，遇到意外 情况需要从港口O派直升飞机搜救。直升飞机应向北偏 东多少度的方向飞行，飞行多少千米才能到达点B？

日平均风均 v（米/秒）
v<3
日发电量 A 型发电机
0
（千瓦·时） B 型发电机
0
3≤v <6
v≥6
≥36
≥150
≥24
≥90

根据上面数据回答：
（1）若这个发电厂购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电量
至少为
千瓦·时。
（2）已知A型风力发电机每台0.3万元，B型风力发电机每台0.2万元，该发电厂拟购
解之，得
设甲公司单独完成装修工程需装修费a万元，乙 公司单独完成装修工程需装修费b万元。则
解之，得
所以，甲公司完成装修工程需21天，装修费0.98万元； 乙公司完成装修工程需28天，装修费1.12万元。从节约 时间、节省开支的角度考虑，应选择甲公司来完成此项 装修任务。

二、建立分式方程模型解决实际问题。
图1
图3
图5
图2
图4
图6
B
欧拉在草纸上勾画出示意
图。在他看来，问题是否有
可行的方案，与岛、半岛的
大小无关，也与河岸上桥头
D
A 的间隔及小桥的长度无关。
因而不妨将半岛、两侧河岸
和小岛都缩为一点，将各个
C
小桥代之以线。
由于七桥问题中的A、B、C、D四个点都是奇 点，因此可以判断它是无法一笔画出来的 ，也 就是说根本不存在能不重复走遍七座桥的路线！
（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金给 班长，购买上述价格的钢笔和笔记本48件，作为奖 品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数 不少于钢笔数，共有多少种购买方案？
例11：我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于3米/

• 参照惯例的结果要解决这个问题必须舍弃所谓惯 例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立 新的分配方法。
• 另外，适当地设置状态和决策，并确定状态 转移律，是有效地解决很广泛的一类问题的 建模方法，在以后还可能要用到。
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人、狼、羊、菜渡河模型
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问题的提出
• 一摆渡人F希望用一条小船把一只狼W，一 头羊G和一篮白菜C从一条河的左岸渡到右 岸去，而船小只能容纳F、W、G、C中的 两个，决不能在无人看守的情况下，留下狼 和羊在一起，羊和白菜在一起，
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模型构成
• 记第k次渡河前此岸的商人数为xk，随从数为yk， k=l，2，…，xk,yk=0，1，2，3。
• 将二维向量sk=(xk,yk)定义为状态 • 安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，
记作S。不难写出 S=｛(x,y)|x=0, y= 0，1，2，3; x=3, y=0，1，2，3; x=第y6页=/共144，页 2｝
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0，0) √
(1，0，1，0)
(0，0，
7) (1，0，1，0) 十 (1，1，0，0) → (0，1，1，0) ×
1，1) ×
(1，0，0，1)
(0，0，
1，0) √×
(1，0，0，0) (0，0，
• 第7步 已经出现(0，0，0，0)状态，说明经过7
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评注
• 用这种方法的优点易于在计算机上实现。由此可把一个数学游 戏问题转化成为一个在计算机上计算的数学问题(即建模)。
由状态(3，3)经n(奇数)步决策 转移到(0，0)的转移过程
• 具体转移步骤如下:
(0，1)
(3，2) √

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′ ′ & ⋅ ur + r ⋅ ur = r & ⋅ u r + r ⋅ θ& ⋅ uθ r =r ″ & 2 ) ⋅ u + (rθ && + 2r &θ&) ⋅ uθ r = (& r& − rθ r & = 2A Q θ r2 & && = − 4 Ar ∴ θ 3 r && + 2 r &θ& = 0 ⇒ r ⋅θ ″ r& − rθ& 2 ) ⋅ u r ∴ r = (& 说明 r ′′ // r 现将椭圆方程改写成： p r = ，其中 a，b 为椭圆的两个半轴，e 为离心率 1 + e cosθ 2 2 2 2 p = a(1 − e ) , b = a (1 − e ) pe cosθ & p & e 2 & ⋅ e sin θ = 2 A θ& e sin θ = 2 Ae sin θ &= θ = r θ ⋅ sin θ = r ⋅ θ 2 θ p p p p (1 + e cosθ ) 1 + e cosθ & 2 Aθ& 2 Ae & 1 + e cosθ 2 Aθ & & r& = θ ⋅ cosθ = 2 Aθ − = ( p − r) p p p pr 2A 2A (2 A) 2 & = 2 A 替换，得 & & 将 θ& 用 θ ( ) ( p − r) p r r = ⋅ ⋅ − = r2 pr r 2 pr 3