如何选择最佳方案
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《如何选择最佳方案》案例
老河口市第八中学 刘 军
设计意图：四月下旬已到了九年级学生第二轮专题的复习讲评阶
段，函数、方程与不等式的建模问题是最近几年中考命题的热点、难
点问题，因此，帮助学生读图、审题、获取信息、建立模型是解决此
类问题的关键。
教学内容：利用建立数学模型解决《如何选择最佳方案》问题。
教学目标：
1、经历日常生活中的实际问题，通过建立数学模型使学生感受
到数学在实际生活中的应用价值。
2、能结合问题找出变量间的关系，并运用函数知识来确定最佳
方案。
教学过程：
一、创设情境：
师：“五一”黄金周即将来临，同学们想利用假期外出旅游吗？
生：（同学们齐声答）想！
师：我校准备组织师生385名用42座、60座两种类型的客车若
干辆，如何选择乘车方案才能使乘车费用最低，老师想请大家来帮忙
选取方案好吗？
生：好！
[点评]教师从学生感兴趣的假期旅游活动导入，不但激发了学生
强烈的学习兴趣，而且从实际生活中的实例激起了学生对解决问题的
挑战。
出示例题：“五一”黄金周期间，我校计划组织385名师生租车
旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金
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每辆320元，60座客车的租金每辆460元。
请同学们想：(1)如果单独租42座客车需 辆，租金为 元；
(2)如果单独租60座客车需 辆，租金为 元。
（同学们大多都能写出答案，但有个别学生错在仍采用四舍五入
法求车辆数，因此教师对此类问题进行说明）
问题(2)：若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且
要比单独租用一种节省租金，请你设计一下有几种租车方案。
问题(3)：请你帮助我校选择一种最节省的租车方案。
(二)分析解决问题：
师：第(2)个问题中求最佳租车方案，要考虑哪些因素？
生1：要考虑租车费用不超过方案(1)中的最低租车费用。
生2：还要考虑到两种客车的乘坐人数不少于385名。
师：同学们真行，特别是生2能全面来考虑问题，那么谁能根据
生1的问题建立数学模型？
生3：我能。因为单独租42座客车 需10辆，租金为3200元，
单独租60座客车需7辆，租金为3220元。设租42座客车x辆，则
租60座客车为(8-x)辆，可列不等式为：320x+460(8-x)≤3200；
而两种客车所乘总人数可列不等式为：42x+60(8-x)≥385；
于是组成方程组为： 320x+460(8-x)≤3200
42x+60(8-x)≥385
求出x的取值范围，然后判断有几种租车方案。即3.4≤x≤5.3，
有两种方案：一、租42座客车4辆，租60座客车4辆；
二、租42座客车5辆，租60座客车3辆。
师：这位同学分析、回答得很好，大家鼓掌欢迎。
请同学思考选择哪种方案最节省？
[生思考，教师巡查]学生甲：我认为租车费用为
y=320x+460(8-x)，即y=-140x+4680，当x取问题(2)范围内的最大
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值，即x=5时，y有最小值为3910元。其他学生都赞同这种说法。
师：大家发言比较积极，也比较好！对于这样的问题，你们还有
没有兴趣？
生：（齐答）有！
师：好！（多媒体出示题目内容）
在双休日，某公司决定组织48名员工到公园坐船，公司先派一
名经理去了解船只的租金情况，价格如下：
船型 每只限载人数 租金（元）
大船 5 3
小船 3 2
问题(1)：若只租大船需付租金 元，只租小船需付租金 元？
问题(2)：要求既租大船，又租小船，且所租船只为12只（允许
有空位），有几种租船方案？
学生独立思考后分组交流，约3分钟后，教师让学生自由说说自
己列出的关系式及表达的意义。
（教师点拨：大船每只坐5人，租金3元，小船每只坐3元，租
金2元，因此尽可能坐大船，一方面便宜些，另一方面从租大船的范
围来确定租船方案）
师：谁到黑板上列出关系式？
生2：设租大船x只，则小船为(12-x)只，
则有： 5x+3(12-x)≥48 ①
5x+3≤48 ②
解得：6≤x≤9，共有四种方案：
一、租大船6只，租小船6只；
二、租大船7只，租小船5只；
三、租大船8只，租小船4只；
四、租大船9只，租小船3只。
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师：为什么考虑5x+3≤48？
生：因为既租大船，又租小船，小船只数至少为1只，所以建立
了不等式②。
师：回答得很好，考虑得也很周密。希望大家继续认真听讲，回
答问题。
问题(3)：若考虑员工需求和经费，要求既租大船，又租小船，
并且租金不高于30元，最节省的租船方案是什么？需要多少租金？
师：小组合作交流，想好后举手说说自己的看法。
生4：考虑人数和费用，可列方程组为： 5x+3(12-x)≥48
3x+2(12-x)≤30
生5：我认为问题(3)中大船与小船的和不一定是12只。
生6：我赞同生5的说法，因为方案四中9只大船加1只小船就
能供48名员工乘坐。
师：给予肯定评价后分析：从问题(2)中我们知道租大船和租小
船每个位置的人均费用来看，租大船尽可能多时，费用就越低，并且
大船与小船刚好供48名员工乘坐又没有空位时费用最省。
生7：我明白怎样考虑了。
师：说说看。
生7：设租大船x只，小船为y只，
于是有： 5x+3y=48
3x+2y≤30
求出：6≤x≤9，当x=9时，费用最少，此时，租9只大船，
租1只小船费用最低。3×9＋2×1=29元。
师：很棒，考虑又全面又详细，值得同学们学习。
师：谁愿意到黑板上写出此题的解题过程？
生8：我愿意（学生板书解题过程）。
师：对过程作出评价。同学们现在对于列不等式组或方程，借助
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函数关系式来解决实际问题还感到害怕吗？
生：现在明白多了，不感觉害怕了，觉得做此类实际问题还挺有
趣。
师：希望大家学习要有信心、有恒心，只要认真听讲、及时总结、
相互交流、合作探究，什么难题都可以解决！
教师总结：对于不等式组（方程），当自变量的取值在一定范围
时，在此范围内选取方案，确定当函数可能在这个范围内边界取值时，
从而利用函数的增减性来求实际问题的最值，这类题的一般步骤如
下：
1、审题，分析题意，确定两个变量；
2、利用不等式组和函数，建立恰当的不等式和函数模型；
3、将已知条件代入数学模型，利用函数性质来解纯数学问题；
4、将获得的结果还原到实际问题。
四、巩固练习：多媒体展示
学生独立做（教师一边检查，一边指导，发现问题及时纠正）。
五、布置作业：
[总评]本节课利用不等式组、函数模型来确定选最佳方案，这只
是专题复习选最佳方案中的一节，将在后面对最佳方案的选择逐一作
以介绍。本节课通过激发学生学习兴趣和求知欲望，经过学生自主探
索，合作交流，教师点拨、讲解，使学生的潜能得以发挥和展示，同
时也体现了新教材的教学理念和学生的认知规律。
