福建省福清市海口镇高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数教案新人教A版必修4

＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0°＝4.
探究 3 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为 0 到 2π 间的三角函数，亦可把大于 2π的角的三角函数化为 0 到 2π间 的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．
思考题 3 (1)求值：m·sin72π ＋n·tan(－4π )＋p·cos52π . (2)证明：log2(4sin1 110°)＝1.
题型二 三角函数的符号 例 2 确定下列各式的符号： (1)sin105°·cos230°；(2)sin78π ·tan78π ； (3)sinα ·cosα (α 是第二象限角)．
【思路分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数
值的符号． 【解析】 (1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0.于是 sin105°·cos230°<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则 sin78π>0，tan78π<0.∴sin78π·tan78π<0. (3)负
定义二：设 α 为一个任意角，在 α 的终边上任取一点 P(异于 原点)，其坐标为(x，y)，且 OP＝r，则：
sinα ＝yr ，cosα ＝xr ，tanα ＝yx.
要点 2 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 (1)符号的图像表示：
(2)符号的记忆口诀： 三角函数正值歌：一全正、二正弦，三正切，四余弦(为正)．
2．诱导公式一的实质、结构特征及作用是什么？
答：(1)公式一的实质是说终边相同的角的同名三角函数值相 等．
(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边 的角为 α＋2kπ，右边的角为 α.

1．2.2 同角三角函数的基本关系学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．知识点 同角三角函数的基本关系式 思考1 计算下列式子的值： (1)sin 230°＋cos 230°； (2)sin 245°＋cos 245°； (3)sin 290°＋cos 290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它． 答案 3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明：设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝x . ∴sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1.思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？答案 ∵tan α＝y x (x ≠0)，∴tan α＝sin αcos α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．梳理 (1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. ②商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式 sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α. ②tan α＝sin αcos α的变形公式sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.1．sin 2α＋cos 2β＝1.( × )提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin 2α＋cos 2α＝1.2．sin2θ2＋cos 2θ2＝1.( √ ) 提示 在sin 2α＋cos 2α＝1中，令α＝θ2可得sin 2θ2＋cos 2θ2＝1.3．对任意的角α，都有tan α＝sin αcos α成立．( × )提示 当α＝π2＋k π，k ∈Z 时就不成立.类型一 利用同角三角函数的关系式求值命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值 例1 (1)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( )A.125B ．－125C.512D ．－512 考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的商数关系 答案 D解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.(2)已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝.考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的商数关系 答案 －125解析 ∵sin α＋cos α＝713，∴(sin α＋cos α)2＝49169，即2sin αcos α＝－120169<0，又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，故sin α－cos α＝α＋cos α2－4sin αcos α＝1713，可得sin α＝1213，cos α＝－513，tan α＝－125.反思与感悟 (1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口．跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值解 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 例2 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角． (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝1517，tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.(2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解． 跟踪训练2 已知cos α＝1213，求sin α，tan α的值．考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 ∵cos α＝1213>0且cos α≠1，∴α是第一或第四象限角． (1)当α是第一象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513， tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.(2)当α是第四象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－513，tan α＝－512.类型二 齐次式求值问题例3 已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α. 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611.(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330.反思与感悟 (1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式． 跟踪训练3 已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值．(1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1. 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值解 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.(1)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89.(2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1 ＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310.类型三 三角函数式的化简与证明例4 (1)化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α.考点 运用基本关系式化简和证明 题点 运用基本关系式化简解 原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αsin αcos α＝2α＋cos 2α2sin αcos α＝1sin αcos α. (2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.考点 运用基本关系式化简和证明 题点 运用基本关系式证明 证明 ∵右边＝tan 2α－sin 2αα－sin ααsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2αα－sin ααsin α＝tan 2α－cos 2αα－sin ααsin α＝tan 2αsin 2αα－sin ααsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．反思与感悟 (1)三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简． ②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． ③比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0)．④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 跟踪训练4 化简tan α1sin 2α－1，其中α是第二象限角． 考点 运用基本关系式化简和证明 题点 运用基本关系式化简解 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 故tan α1sin 2α－1＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值为( )A ．－43B.34C ．±34D ．±43考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的商数关系 答案 A解析 ∵α为第二象限角，sin α＝45，∴cos α＝－35，tan α＝－43.2．已知sin α－cos α＝－54，则sin αcos α等于( )A.74B ．－916C ．－932D.932考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的平方关系 答案 C解析 由题意得(sin α－cos α)2＝2516，即sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝2516，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴1－2sin αcos α＝2516，∴sin αcos α＝－932.故选C.3．化简1－sin23π5的结果是( ) A ．cos 3π5B ．sin 3π5C ．－cos 3π5D ．－sin 3π5考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的平方关系 答案 C解析 1－sin23π5＝cos23π5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 3π5，∵π2<3π5<π，∴cos 3π5<0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 3π5＝－cos 3π5，即1－sin23π5＝－cos 3π5，故选C.4．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0B.34C ．1D.54考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 B 解析2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2tan α－1tan α＋2＝4－12＋2＝34.5．求证：cos x 1－sin x ＝1＋sin x cos x .考点 运用基本关系式化简和证明 题点 运用基本关系式证明 证明 方法一 (比较法——作差)∵cos x 1－sin x －1＋sin x cos x ＝cos 2x －－sin 2x－sin x x ＝cos 2x －cos 2x －sin x x ＝0，∴cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x.方法二 (比较法——作商) ∵左右＝cos x 1－sin x 1＋sin xcos x＝cos x ·cos x ＋sin x －sin x＝cos 2x 1－sin 2x ＝cos 2xcos 2x ＝1. ∴cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x.1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.一、选择题1．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α等于( )A ．－55B ．－15C ．－255D ．－45考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 C解析 ∵α是第二象限角，∴cos α<0. 又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－255.2．(2017·阜阳检测)1－cos2π5等于( ) A ．sin π5B ．cos π5C ．－sin π5D ．－cos π5考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的平方关系 答案 A解析 ∵0<π5<π2，∴sin π5>0，∴1－cos2π5＝sin2π5＝sin π5.3．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A.34B ．±310C.310D ．－310考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 C解析 由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)， ∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2， 解得sin θcos θ＝310.4．函数y ＝1－sin 2x cos x ＋1－cos 2xsin x 的值域是( )A ．{0,2}B ．{－2,0}C ．{－2,0,2}D ．{－2,2}考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 C解析 y ＝|cos x |cos x ＋|sin x |sin x .当x 为第一象限角时，y ＝2； 当x 为第三象限角时，y ＝－2； 当x 为第二、四象限角时，y ＝0.5．(2017·四川成都树德中学期中)已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( ) A.23B ．－23C.13D ．－13考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的平方关系 答案 A解析 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，∴sin 2θcos 2θ＝29，∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0， ∴sin θcos θ＝23. 6．若π<α<3π2，则1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α的化简结果为( )A.2tan αB ．－2tan αC.2sin αD ．－2sin α考点 运用基本关系式化简和证明 题点 运用基本关系式化简 答案 D 解析 原式＝－cos α21－cos 2α＋＋cos α21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝2|sin α|，∵π<α<3π2，∴原式＝－2sin α.7．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43B.54C ．－34D.45考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 D解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.二、填空题8．已知cos α＝－35，且tan α>0，则sin αcos 2α1－sin α＝.考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 －425解析 由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角， 且sin α＝－45，故原式＝sin αcos 2α1－sin α＝sin α－sin 2α1－sin α＝sin α(1＋sin α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＝－425.9．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝. 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 3或－13解析 因为sin α＋2cos α＝102，又sin 2α＋cos 2α＝1， 联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－1010，cos α＝31010或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010，故tan α＝sin αcos α＝－13或3.10．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝. 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案π3解析 由题意知cos A >0，即A 为锐角． 将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A . ∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝π3.11．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝，tan 2α＋1tan 2α＝. 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 137解析 ∵tan α＋1tan α＝3，∴sin αcos α＋cos αsin α＝3，即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3，∴sin αcos α＝13，tan 2α＋1tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1tan α2－2tan α·1tan α ＝9－2＝7.12．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α＝. 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝1sin αcos α.∵sin α－cos α＝－52，∴1－2sin αcos α＝54， ∴sin αcos α＝－18，∴1sin αcos α＝－8，∴tan α＋1tan α＝－8.三、解答题13．已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值．(1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ. 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，∴4tan θ－23tan θ＋5＝611，解得tan θ＝2.(1)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1.(2)原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ＝－15. 四、探究与拓展14．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos nα(n ∈Z )的值为． 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 1解析 ∵sin α＋cos α＝1， ∴(sin α＋cos α)2＝1， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0. 当sin α＝0时，cos α＝1， 此时有sin n α＋cos nα＝1； 当cos α＝0时，sin α＝1， 也有sin n α＋cos nα＝1， ∴sin n α＋cos nα＝1.15．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求： (1)m 的值；(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值⎝ ⎛⎭⎪⎫其中cot θ＝1tan θ；(3)方程的两根及此时θ的值． 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 (1)由根与系数的关系可知， sin θ＋cos θ＝3＋12，① sin θ·cos θ＝m .②将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32，所以sin θ·cos θ＝34， 代入②得m ＝34.(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (3)由(1)得m ＝34，所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3或π6.。

1．2．1（第一课时）任意角的三角函数（一）一、学习目标1.理解并掌握任意角三角函数的定义.2.理解三角函数是以实数弦、余弦、正切函为自变量的函数.3.掌握正数的定义域.二、重点难点教学重点：三角函数的定义和定义域。

教学难点：根据任意角三角函数定义求三角函数值授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1.在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数:cb=αsinca=αcosab=αtanba=αcot教师提出问题：初中是如何定义角的？师:前面我们对角的概念进行了扩充,并学习了弧度制,知道角的集合与实数集是一一对应的,在这个基础上,今天我们来研究任意角的三角函数.温故知新概念形成1．用坐标形式表示出中所学的锐角三角函数设点P（x,y）是锐角α终边上的任意一点，记OP=r(r≠0),则ry=αsin，rx=αcos，xy=αtan2．任意角的三角函数设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P(x,y)则P与原点的距离1.以坐标原点为锐角α的顶点,以Ox轴为角α的始边,则角α的终边落在直角坐标系的第一象限内,若设点P(x,y)始终边上的任意一点,记OP=r(r≠0),试将角α的三角函数用x,y,y表示出来.学生作图,教师在此过程中要引导学生在坐标系中做出符合锐角三角函数定义要求的直角三角形.该过程中要适时指点学生,并加强学生与学生之间的讨论与交流.回答问题:教师通过多媒体将此过程展示给学生,明确坐标与三将初中定义的锐角三角函数放到坐标系中的讨论，指明研究函数问题的工具，完成从三角形到坐标系的转化，为后面在直角坐标系中定义任意角的三角函数搭建平台。

2．通过对比，让学生对知识进行类比、迁移及联想，树立他们勇c baαAB Cry)(x,αP。

2020-2021学年高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4年级：姓名：1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)内容标准学科素养1.理解任意角的三角函数的定义并利用定义求值．2.结合单位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号．3.掌握三角函数诱导公式一.提升数学运算运用直观想象授课提示：对应学生用书第7页[基础认识]知识点一任意角的三角函数阅读教材P11～12，思考并完成以下问题(1)使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.那么sin α、cos α、tan α如何用x，y或r表示？提示：sin α＝|PM||OP|＝yr，cos α＝|OM||OP|＝xr，tan α＝|PM||OM|＝yx.(2)对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？为什么？提示：不变．三角形相似，对应边成比例．(3)当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.(4)如果α的终边OP在第二象限且|OP|＝1，P(x，y)，sin α，cos α，tan α的表示变化吗？提示：不变．仍是sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y余弦 x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x 正切 y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0) 三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α α≠k π＋π2，k ∈Z知识点二 阅读教材P 13，思考并完成以下问题根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ (1)当α的终边在第一象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x >0，tan α＝y x >0 (2)当α的终边在第二象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x <0，tan α＝y x<0. (3)当α的终边在第三象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x <0，tan α＝yx>0.(4)当α的终边在第四象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x >0，tan α＝yx<0.知识梳理 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．知识点三 诱导公式一阅读教材P 14，思考并完成以下问题当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？ 提示：sin 390°＝sin(360°＋30°)， sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)， 故30°、390°、－330°终边相同． 知识梳理 诱导公式一sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α， 其中k ∈Z .(1)当α的终边在y 轴正半轴时，P (0，1)，则α＝π2＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝sin π2＝1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝cos π2＝0．(2)当α的终边在y 轴负半轴时，P (0，－1)，则α＝32π＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝sin 32π＝－1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝cos 32π＝0．(3)当α的终边在x 轴正半轴时，P (1，0)， 则α＝2k π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋0)＝sin 0＝0． cos α＝cos(2k π＋0)＝cos 0＝1． tan α＝tan(2k π＋0)＝tan 0＝0.(4)当α的终边在x 轴负半轴时，P (－1，0)， 则α＝2k π＋π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋π)＝sin π＝0． cos α＝cos(2k π＋π)＝cos π＝－1． tan α＝tan(2k π＋π)＝tan π＝0．[自我检测]1．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D2．α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则sin α＝______，cos α ＝________．答案：35 －45授课提示：对应学生用书第8页探究一 任意角的三角函数的定义及应用[教材P 12例1、例2]方法步骤：(1)确定终边上点的坐标．(2)应用定义求值． 角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值[例1] (1)已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.[解析] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)，此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1，3)，此时sin θ＝3（－1）2＋32＝31010， tan θ＝3－1＝－3.(2)已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．[解析] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值[例2] 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．[解析] 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，。