13费马原理

《光学教程》（姚启钧）习题解答

第一章 光的干涉

1、波长为500nm的绿光投射在间距d为0.022cm的双缝上，在距离180cm处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。若改用波长为700nm的红光投射到此双缝上，两个亮纹之间的距离为多少？算出这两种光第2级亮纹位置的距离。

解：1500nm

改用2700nm

两种光第二级亮纹位置的距离为：

2、在杨氏实验装置中，光源波长为640nm，两狭缝间距为0.4mm，光屏离狭缝的距离为50cm，试求：⑴光屏上第1亮条纹和中央亮纹之间的距离；⑵若P点离中央亮纹为0.1mm问两束光在P点的相位差是多少？⑶求P点的光强度和中央点的强度之比。

解：⑴ 7050640100.080.04rycmd

⑵由光程差公式

⑶中央点强度：204IA

P点光强为：221cos4IA

3、把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中，光屏上原来第5级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹，试求插入的玻璃片的厚度。已知光波长为7610m

解：1.5n，设玻璃片的厚度为d

由玻璃片引起的附加光程差为：1nd 4、波长为500nm的单色平行光射在间距为0.2mm的双缝上。通过其中一个缝的能量为另一个的2倍，在离狭缝50cm的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条纹的可见度。

解： 7050500100.1250.02rycmd

由干涉条纹可见度定义：

由题意，设22122AA，即122AA代入上式得

5、波长为700nm的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为20cm，棱到光屏间的距离L为180cm，若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm，求双镜平面之间的夹角。

解：700,20,180,1nmrcmLcmymm

1 一学生带500度近视镜，则该近视镜的焦距为_________________,

该学生裸眼所能看清的最远距离为_________________。

10.在通常所说的七种像差中， 沿轴方向度量的有__ _ 、__ 、__和__ __。

11.在七种初级像差中，宽光束像差有几种？ _______。

12．在带分划板的开普勒望远镜中， 是孔径光阑， 是视场光阑，若存在渐晕，则 是渐晕光阑。13.唯一没有像差的光学零件为（ ）。

14、当保持入射光线的方向不变，而使平面镜转150角，则反射光线将转动（ 300 ）角。

15. 一平行细光束经一个球面镜后汇聚于镜前50mm处，则该球面镜的曲率半径等于（ ）。

2．理想光学系统中，无限远轴上物点与（ ）是一对共轭点，而无限远轴上像点的共轭点是（ ）。3．光线经过夹角为的双平面镜反射后，出射线与入射线的夹角为（ ）。

4．光学系统的几何像差可分为（）种，其中（）种为单色像差，（）种为色差。（ ）是轴上点唯一的单色像差，而（ ）是主光线像差，只使像产生失真，并不影响像的清晰度。

5．角放大率、轴向放大率和垂轴放大率三者之间的关系为 拉赫不变 牛顿公式以 为坐标原点。

6．转像系统分__ _和_____两大类，其作用是：_

1、偶数个平面反射镜成 ( )，奇数个平面反射镜则成 ( )。单个平面镜绕着和入射面垂直的轴转动α角,反射光线和入射光线之间的夹角将改变 ( )。

2、物方节点与（ ）共轭，像方焦点与（ ）共轭，物方焦点与（ ）共轭。 3、单个折射球面的主点位在（ ）；反射球面的焦点位于（ ）。4、光学系统的孔径光阑限制（ ），视场光阑限制（ ）。在物方远心光路中，孔径光阑位于（ ）。5、共轴系统中（ ）放大率等于1的一对共轭面叫主平面，（ ）放大率等于1的一定共轭面叫节平面，在（ ）的情况下，主平面与节平面重合。6、轴上像点的像差有（ ）和（ ）。

费马原理的内容及数学表示

费马原理是拉格朗日数学方法的一种推广。拉格朗日法则主要用来描述质点在一定限制条件下的运动，而费马原理则是在拉格朗日法则的基础上扩展，用来描述光的传播过程中的现象和规律。

费马原理最早由法国数学家费尔马（Pierre de Fermat）于17世纪提出，其基本思想是光在不同路径上传播时，会选择一条光程最短的路径，即光线传播的路径满足一种最小原则。费马原理适用于光的折射、反射和干涉等现象的解释，是光学研究的重要基础。

费马原理可以用数学形式表示，假设光在两点A和B之间传播，光在空间中的路径可以用一条曲线来表示，设该曲线为y=f(x)，其中x为曲线上的点到A点的距离，y为光线在该点上的高度。光在这条路径上的总传播时间可以用以下公式表示：

T = ∫(a,b) n(x) √(1 + (y')^2) dx

其中，a和b为曲线上任意两点的x坐标值，n(x)为该点的折射率，y'为y对x的导数，∫(a,b)表示对x从a到b的积分。 费马原理可以理解为，在所有可能的路径中，光线实际上是沿着一条光程最短的路径传播的。这条路径满足使得传播时间的变分（即在路径的微小变化下，传播时间的变化量）为零。换句话说，费马原理要求光在传播过程中的路径满足极值条件，即传播时间取极小值。

利用费马原理可以得到许多光学现象的解释。例如，在光线传播过程中，两个介质之间的界面上会发生折射现象。费马原理可以导出折射定律，即光线入射角和折射角满足的关系：n1·sinθ1 =

n2·sinθ2，其中n1和n2分别为两个介质的折射率，θ1和θ2为光线的入射角和折射角。

另一个应用费马原理的例子是光的反射。光在平面镜上反射时，路径的选择满足光程最短的条件。根据费马原理，可以得到光线的入射角等于反射角。

费马原理还适用于解释干涉现象。干涉是指两束或多束光线叠加形成明暗交替的条纹。利用费马原理可以导出干涉条纹的位置和形状，并通过干涉条纹的观察来研究光波的性质。

《光学教程》(姚启钧)习题解答

第一章 光的干涉

1、波长为的绿光投射在间距为的双缝上,在距离处的光屏上形成干涉条纹,求两个亮条纹之间的距离。若改用波长为的红光投射到此双缝上,两个亮纹之间的距离为多少?算出这两种光第2级亮纹位置的距离。

解:

改用

两种光第二级亮纹位置的距离为:

2、在杨氏实验装置中,光源波长为,两狭缝间距为,光屏离狭缝的距离为,试求:⑴光屏上第1亮条纹和中央亮纹之间的距离;⑵若Ｐ点离中央亮纹为问两束光在P点的相位差是多少？⑶求P点的光强度和中央点的强度之比。

解:⑴

⑵由光程差公式

⑶中央点强度:

Ｐ点光强为:

３、把折射率为的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中,光屏上原来第5级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹,试求插入的玻璃片的厚度。已知光波长为

解:,设玻璃片的厚度为

由玻璃片引起的附加光程差为:

4、波长为的单色平行光射在间距为的双缝上、通过其中一个缝的能量为另一个的倍,在离狭缝的光屏上形成干涉图样,求干涉条纹间距和条纹的可见度。

解:

由干涉条纹可见度定义:

由题意,设,即代入上式得

5、波长为的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为,棱到光屏间的距离为,若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为,求双镜平面之间的夹角、

解:

由菲涅耳双镜干涉条纹间距公式

6、在题1、６ 图所示的劳埃德镜实验中,光源Ｓ到观察屏的距离为,到劳埃德镜面的垂直距离为。劳埃德镜长,置于光源和屏之间的中央。⑴若光波波长,问条纹间距是多少？⑵确定屏上能够看见条纹的区域大小,此区域内共有几条条纹?(提示:产生干涉的区域Ｐ１Ｐ２可由图中的几何关系求得)

解:由图示可知:7050050010,40.4,1.5150nmcmdmmcmrmcm