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费马小定理费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么是p的倍数，可以表示为如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成这个书写方式更加常用。
（符号的应用请参见同余。
）证明若n不能整除a - b，x>0，(x,n)=1，则n也不能整除x(a-b)。
取整数集A为所有小于p的集（A构成p的完全剩余系,即A 中不存在两个数同余p），B是A中所有的元素乘以a组成的集合。
因为A中的任何两个元素之差都不能被p整除，所以B 中的任何两个元素之差也不能被p整除。
因此即在这里W=1·2·3·...·(p-1)，且(W, p) = 1，因此将整个公式除以W即得到：广义费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：如果n和a的最大公约数是1，那么这里φ(n)是欧拉商数。
欧拉商数的值是所有小于n的自然数中与n没有公约数的数的个数。
假如n是一个素数，则φ(n) = n-1，即费马小定理。
在费马小定理的基础上，费马提出了一种测试素数的算法；尽管它是错误。
神奇的费马小定理(1)——从实验、观察、发现到猜想和证明谢国芳（Roy Xie）Email: **************章节目录1. 费马的惊人断言——费马小定理的原始表述2. 我们的探索之旅——从实验、观察、发现到猜想和证明2.1 费马指数和最小费马指数2.2 “普通版费马小定理”和“加强版费马小定理”2.3 对最小费马指数更深入的探究3. 费马小定理的证明1.费马的惊人断言——费马小定理的原始表述十七世纪的法国律师、历史上最伟大的业余数学家、近代数论的先驱费马(Pierre de Fermat，1601～1665）在 1640 年10 月 18 日给他的朋友、数迷小团体成员之一弗莱尼科·德·贝西（Frénicle de Bessy, c. 1605～1675）的信中，写下了这样一段话（原文是法语）：« Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances - 1 de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné - 1 »[拙译]“任何一个质数总能除尽任何几何级数中的某一项减1，且该项的指数是这个给定的质数减1的因子。
费马定理推论费马定理是数学中的一个重要定理，它与整数解方程有关。
具体而言，费马定理指出对于任何大于2的整数n，不存在三个整数a、b、c使得a^n + b^n = c^n成立。
这个定理虽然是由法国数学家费马在17世纪提出的，但直到近400年后才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
费马定理的证明过程非常复杂，但它的推论却可以帮助我们更好地理解和应用这个定理。
我们来看费马定理的一个推论：费马小定理。
费马小定理指出，对于任何素数p和整数a，a^p mod p ≡ a mod p。
这里的“mod”表示取模运算，即求余数。
这个推论的意义在于，它可以帮助我们在计算中简化运算步骤。
例如，如果我们要计算7^100 mod 13，根据费马小定理，我们可以将7^100 mod 13简化为7^4 mod 13，然后再逐步计算得到最终结果。
这样就大大简化了计算的复杂度。
费马小定理的另一个推论是欧拉定理。
欧拉定理指出，对于任何正整数a和模数n，满足a与n互质（即最大公因数为1），则a^φ(n) mod n ≡ 1 mod n。
这里的φ(n)表示欧拉函数，表示小于n且与n 互质的正整数的个数。
欧拉定理的应用非常广泛，尤其在密码学领域中扮演着重要角色。
例如，RSA加密算法就是基于欧拉定理的原理设计的，它能够实现安全的信息传输。
另一个与费马定理相关的推论是勾股定理。
勾股定理指出，对于任何正整数a、b、c，满足a^2 + b^2 = c^2的三个整数存在。
这个推论可以通过费马定理进行推导。
假设存在正整数a、b、c，满足a^2 + b^2 = c^2。
我们可以将这个等式进行变形，得到a^2 = c^2 - b^2，进一步变形得到a^2 = (c + b)(c - b)。
由于c、b为正整数，所以c + b和c - b也都是正整数。
根据费马定理，我们知道a^2不可能是两个正整数的乘积，因此假设不成立。
因此，勾股定理得证。
除了以上推论，费马定理还有一些其他的推论和应用。
费马小定理的证明摘要：1.费马小定理的概述2.费马小定理的证明方法3.费马小定理的实际应用4.结论正文：1.费马小定理的概述费马小定理，又称费马最后定理，是法国数学家皮埃尔·德·费马于1637 年提出的一个著名数学定理。
该定理的陈述如下：对于任意大于2 的自然数n，方程x^n + y^n = z^n 不存在正整数解。
换句话说，费马小定理表明当n 大于2 时，没有三个正整数x、y 和z 可以满足该方程。
对于n=1 和n=2 的情况，该方程有解，分别对应勾股定理中的直角三角形和平方数之和等于平方数的情形。
2.费马小定理的证明方法费马小定理的证明并不简单，费马本人声称已经找到了一个惊人的证明，但由于篇幅有限，并未公布。
长达358 年的时间里，许多数学家都尝试证明这一定理，但一直无法找到确凿的证据。
直到1994 年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才成功证明了费马小定理。
怀尔斯利用了代数几何和数论领域的深入理论，经过数十年的研究，终于解决了这个难题。
3.费马小定理的实际应用虽然费马小定理看起来只是一个关于整数解的简单定理，但它在数学领域具有广泛的应用。
在代数几何、数论、组合数学等学科中，费马小定理都起着关键性的作用。
此外，费马小定理还对计算机科学有重要意义。
在密码学和计算机图形学等领域，费马小定理可以帮助简化算法和提高计算效率。
4.结论费马小定理的证明经历了漫长的历程，从费马提出到怀尔斯证明，历经了358 年。
这个定理不仅展示了数学家们在追求真理过程中的坚持和毅力，同时也体现了数学知识的深度和广度。
费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡１（mod p）假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1费马小定理的历史皮埃尔•德•费马于1636年发现了这个定理，在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。
在他的信中费马还提出a是一个质数的要求，但是这个要求实际上是不存在的。
与费马小定理相关的有一个中国猜想，这个猜想是中国数学家提出来的，其内容为：当且仅当2^(p-1)≡1(mod p)，p是一个质数。
假如p是一个质数的话，则2^(p-1)≡1(mod p)成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的。
但反过来，假如2^(p-1)≡1(mod p)成立那么p是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）。
因此整个来说这个猜想是错误的。
一般认为中国数学家在费马前2000年的时候就已经认识中国猜测了，但也有人认为实际上中国猜测是1872年提出的，认为它早就为人所知是出于一个误解。
费马小定理的证明一、准备知识：引理1．剩余系定理2若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时，有a≡b(mod m)证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)引理2．剩余系定理5若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]为m个整数，若在这m 个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m构成完全剩余系。
证明：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1），所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余。
取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1<i<=m。
费马大定理：当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程x^n + y^n = z^n. 无正整数解。
费马小定理：是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^(p-1) ≡1（mod p）假如p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1费马平方和定理费马平方和定理是由法国数学家费马在1640年提出的一个猜想，但他没有提出有力的数学证明，1747年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出证明后成为定理。
内容费马平方和定理的表述是：奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1。
欧拉的证明欧拉在1747年证明了费马平方和定理，当年他四十岁。
他在当年5月6日寄给哥德巴赫一封信，讲述这个定理的证明。
该证明分五步，且用到了无穷递降法；由于信中没有把第五步讲清楚，因此1749年他再次寄给哥德巴赫一封信，详细讲述第五步的证明。
第一步、“如果两个整数都能表示为两个平方数之和，则它们的积也能表示为两个平方数之和。
”第二步、“如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个能表示为两个平方数之和的素数整除，则它们的商也能表示为两个平方数之和。
”假设a2 + b2能被p2 + q2整除，且后者为素数。
则p2 + q2能整除(pb −aq)(pb + aq) = p2b2 −a2q2 = p2(a2 + b2) −a2(p2 + q2).由于p2 + q2是素数，因此它能整除两个因子之一。
假设它能整除pb −aq。
由于可推出p2 + q2能整除(ap + bq)2。
于是等式能被p2 + q2的平方整除。
两边除以(p2 + q2)2得：因此其商能表示为两个平方数之和。
如果p2 + q2能整除pb + aq，则利用等式同样可证。
第三步、“如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个不能表示为两个平方数之和的整数整除，则它们的商也必有一个不能表示为两个平方数之和的因子。
奥林匹克数学题型费马小定理与欧拉函数奥林匹克数学题型：费马小定理与欧拉函数在奥林匹克数学竞赛中，费马小定理和欧拉函数是两个经常出现的题型。
本文将介绍费马小定理和欧拉函数的概念、性质以及它们在竞赛中的应用。
一、费马小定理费马小定理是由法国数学家费尔马在17世纪提出的，它是数论中的一条重要定理。
费马小定理表述如下：若p是一个素数，a是任意整数，那么a^p与a在互质模p的情况下相等。
根据费马小定理，我们可以得出以下推论：1. 若a是任意整数，p是一个素数，则a^p - a能够被p整除。
2. 若a是任意整数，n是一个正整数，则a^n - a能够被n整除。
费马小定理在奥林匹克数学竞赛中的应用非常广泛。
例如，当需要计算一个大数的幂模某个数时，可以利用费马小定理进行简化计算。
二、欧拉函数欧拉函数是数论中的一个重要概念，用φ(n)表示。
欧拉函数的定义如下：对于一个正整数n，欧拉函数φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。
欧拉函数具有以下性质：1. 若p是一个素数，则φ(p) = p - 1，因为小于p的正整数都与p互质。
2. 若a和b互质，则φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。
3. 对于任意正整数n，都有∑[d|n]φ(d) = n，其中∑表示求和，d表示n的正因数。
欧拉函数在奥林匹克数学竞赛中的应用也非常广泛。
例如，求解一个数的模反元素时，可以利用欧拉函数的性质进行计算。
三、费马小定理与欧拉函数在竞赛中的应用1. 求解模幂问题在奥林匹克竞赛中，常常会遇到求解一个数的幂模某个数的问题。
通过利用费马小定理的推论，可以大大简化计算。
具体步骤如下：（1）根据题目给定的数和模数，确定底数和指数。
（2）利用费马小定理，对底数进行化简，得到新的底数。
（3）对新的底数进行指数运算。
（4）将运算结果对模数取余，得到最终答案。
2. 求解模反元素在奥林匹克竞赛中，经常需要求解一个数在模某个数下的逆元。
利用欧拉函数的性质，可以简化计算过程。
欧拉-费马⼩定理定理（证明及推论）欧拉定理：若正整数a , n 互质，则aφ(n)≡1(mod n)其中φ(n) 是欧拉函数（1~n) 与n 互质的数。
证明如下：不妨设X1，X2 ...... Xφn是1~n与n互质的数。
⾸先我们先来考虑⼀些数：aX1，aX2 ...... aXφn 这些数有如下两个性质： （1）任意两个数模n余数⼀定不同：（反证）若存在aX1≡aX2（mod n），则 n |（ aX1 - aX2 ），⽽a，n互质且（X1 -X2）< n，所以n不可能整除（ aX1 - aX2 ），也就是说不存在aX1≡aX2（mod n）。
归纳法：对于任意的与n互质的X i均成⽴。
故得证。
那么因为有φn个这样的数，X i mod n（i=1~φn）所以就有φn 个不同的余数，并且都是模数⾃然是（0~n-1）。
（2）对于任意的aX i（mod n）都与n互质。
这不难想，因为a与n互质这是欧拉函数的条件，X i是（1~n）与n互质的数的集合中的元素。
所以如果a*X i做为分⼦，n做为分母，那么他们构成的显然就是⼀个最简分数，也就是aX i和n互质。
接下来就可以⽤欧⼏⾥得算法：因为：gcd（aX i，n）==1所以：gcd（aX i，n）== gcd（n，aX i%n）== 1 这样，我们把上⾯两个性质结合⼀下来说，aX1（mod n），aX2（mod n） ...... aXφn（mod n）构成了⼀个集合（性质1证明了所有元素的互异性），并且这些数是1~n与n互质的所有数构成的集合（性质1已说明）。
这样，我们巧妙的发现了，集合{ aX1（mod n），aX2（mod n） ...... aXφn（mod n）}经过⼀定的排序后和集合{ X1，X2 ...... Xφn }完全⼀⼀对应。
那么：aX1（mod n）* aX2（mod n）* ...... * aXφn（mod n）= X1 * X2 * ...... * Xφn 因此：我们可以写出以下式⼦：aX1 * aX2 * ...... * aXφn ≡ X1 * X2 * ...... * Xφn（mod n），即：（aφn -1）X1 * X2 * ...... * Xφn≡ 0 （mod n） ⼜因为X1 * X2 * ...... * Xφn与n互质，所以，（aφn -1）| n，那么aφn ≡ 1（mod n）。
关于群论证明费马⼩定理？这篇博客就是讲证费马的，没什么意思。
既然是要⽤群论证明费马⼩定理，那么我们先⽤数论证明⼀下。
(以下的 p 为⼀个质数)⾸先我们考虑⼀个前置定理：第⼀个证明若 (c,p)=1 (即 c 与 p 的 gcd 为 1)，且ac≡bc(mod p) ，那么由a≡b(mod p)证：∵ac≡bc(mod p)∴(a−b)c≡0(mod p)∴(a-b)c 是 p 的整数倍⼜∵(c,p)=1∴a−b≡0(mod p)，即a≡b(mod p)得证！第⼆个证明然后我们进⼊正题，假设有正整数 a (a<p) 满⾜条件 (a,p)=1 ，那么我们将 a 乘上 1~p-1 后可以构成⼀个 %p 的完全剩余系证：假设存在xa≡ya(mod p)，且x≠y∵ a 与 p 互质∴原式成⽴当且仅当x≡y(mod p)⼜∵x,y∈[1,p-1]∴x≡y(mod p) 当且仅当x=y，与已知条件⽭盾∴得证假设不成⽴，原命题成⽴第三个证明接下来证明a p−1≡1(mod p)证：⼜∵1,....,p−1 是 %p 的完全剩余系∴有 1∗2∗...∗(p−1)≡a∗2a∗3a∗...∗(p−1)a(mod p)，即(p−1)!≡p−1!∗a p−1(mod p)⼜∵ p 是质数，所以 ((p−1)!,p)=1，即 (p-1)! 与 p 互质∴a p−1≡1(mod p)得证！然后我们就进⼊第⼆个阶段，⽤群论证明费马⼩定理吧。
⾸先如果你会证拉格朗⽇定理那么这⾥就没什么难度了。
那么我们先假设拉格朗⽇定理成⽴，后⾯再来证明它。
哦对了，拉格朗⽇定理是什么都还没讲呢：Lagrange定理 设 H<=G ，如果|G|=N, |H|=n, 且有 [G:H]=j ，那么 N=nj 。
其中 [G:H]=j 表⽰⼦群 H 在 G 中的左（右）陪集个数（当然有可能 j 是⽆穷⼤）。
所谓左（右）陪集的个数的含义就是左（右）陪集中本质不同的集合（注意这⾥讲的是集合）个数。
高考数学冲刺复习费马小定理考点深度剖析在高考数学的复习冲刺阶段，对于一些重要的定理和知识点进行深度剖析是至关重要的。
费马小定理作为数论中的一个重要定理，常常在高考中以不同形式出现，对其进行深入理解和掌握能够为我们在考试中赢得宝贵的分数。
首先，让我们来了解一下什么是费马小定理。
费马小定理指出：如果 p 是一个质数，而整数 a 不是 p 的倍数，那么 a^（p 1) 除以 p 的余数恒等于 1。
用数学表达式即为：a^（p 1) ≡ 1 （mod p) 。
这个定理看起来似乎有些抽象，但其实在解决很多数学问题时具有非常强大的作用。
为了更好地理解它，我们来看几个具体的例子。
假设 p ＝ 5，a ＝ 2。
因为 5 是质数，2 不是 5 的倍数，那么根据费马小定理，2^（5 1) ＝ 2^4 ＝ 16，16 除以 5 的余数为 1，确实满足定理。
那么，高考中可能会如何考查费马小定理呢？一种常见的形式是直接要求利用费马小定理求解余数问题。
比如：已知 p 为质数，a 不是 p 的倍数，计算 a^（p 1)除以 p 的余数。
对于这类问题，我们只需要直接应用费马小定理就能迅速得出答案为 1。
但高考的考查往往不会这么直接，可能会将费马小定理与其他数学知识相结合。
例如，与同余方程一起考查。
在解决这类问题时，我们需要先根据给定的条件构建同余方程，然后巧妙地运用费马小定理来简化计算。
另外，费马小定理在证明一些数学结论时也能发挥关键作用。
比如证明某个等式在特定条件下恒成立，我们可以通过巧妙地构造指数，利用费马小定理进行变形和推导。
在实际解题过程中，我们要注意定理的使用条件。
首先，p 必须是质数，这是定理成立的前提。
其次，a 不能是 p 的倍数。
如果在解题时忽略了这些条件，就很容易得出错误的结论。
那么，在复习冲刺阶段，我们应该如何更好地掌握费马小定理呢？第一步，要熟练记住定理的内容和表达式。
这是应用定理的基础，只有牢记于心，才能在解题时迅速反应。
费马小定理的几种证法及应用费马小定理是数论中最著名的结果之一，它也是整数论中最强大、最有用的定理之一。
费马小定理指出，如果p是一个素数，且a是一个小于p 的任意正整数，那么有 a^{p-1}≡1(modP)，即a在环Z/pZ上的阶为p-1。
费马小定理可以用一种简单、有效的证明方法，以更容易理解它以及它在数论领域中的重要性，而且有多种证明方法可以应用于费马小定理，包括质数的正则性证明，模分解法、欧拉定理和乘法原理等，下面我们来具体看一下这些证明方法及其应用：1、质数的正则性证明方法：假设p是一个素数，a是一个小于p的任意正整数，且有a^p≡a(modp)，对a^p-a取模p，则有a^p≡0(modP)，即a^p在环Z/pZ上的阶为p，根据素数的正则性性质，可推得a^(p-1)≡1(modP)2、模分解法：根据模分析，假设p是一个素数，a是一个小于p的任意正整数，则有a^p-1可以分解为(a-1)(a^{p-1}+a^{p-2}+…a+1)，对这个式子取模p，得到a^(p-1)≡1(modP)3、欧拉定理：假设p是一个素数，且有φ(p)=p-1，这意味着p和1之间只有p-1个不互质数，而欧拉定理告诉我们，任何一个数a，其无穷多个k都满足下列条件a^(p-1)≡1(modP)，只要k和φ(p)互质，即可知费马小定理为正确的。
4、乘法原理：我们假设p是一个素数，a是一个小于p的任意正整数，要证明a^(p-1)≡1(modP)，乘法原理则要求a的乘法逆元的存在，也就是存在一个数b，使得ab≡1(modP)，而根据欧拉定理，我们也知道，只要满足a^(p-1)≡1(modP)，即可知费马小定理为正确的，即a即为乘法逆元。
费马小定理有着重要的意义，可以用于很多不同的算法和置换系统，以及密码学上的应用。
费马小定理可以用于验证公钥加密算法下偷窥攻击者不能在受控时间内暴力破解，因为他以求出私钥需要暴力搜索整个公钥空间，这个搜索是无法在受控的时间内完。
费马小定理简单证明摘要：1.费马小定理的概述2.费马小定理的简单证明方法3.费马小定理的应用4.总结正文：【1.费马小定理的概述】费马小定理是数论中的一个重要定理，它由法国数学家皮埃尔·德·费马于17 世纪提出。
该定理的全称是“对于任意大于2 的自然数n，方程x^n + y^n = z^n 不存在正整数解”。
换句话说，费马小定理表明当n 大于2 时，没有三个正整数x、y 和z 可以满足该方程。
对于n=1 和n=2 的情况，该方程有解，分别对应勾股定理中的直角三角形和平方数之和等于平方数的情形。
【2.费马小定理的简单证明方法】费马小定理的证明方法有很多，其中比较简单的方法是使用欧拉函数。
欧拉函数（φ(n)）表示小于等于n 的与n 互质的正整数的个数。
费马小定理的证明可以归结为：对于任意大于2 的自然数n，方程x^n + y^n = z^n 不存在正整数解，因为如果存在这样的解，那么x、y 和z 都是n 的正约数，根据欧拉函数的性质，它们的乘积小于等于n，与方程左侧的值大于n 矛盾。
【3.费马小定理的应用】费马小定理在数论中有广泛的应用，它为许多数论问题的研究提供了基本的理论支持。
例如，在代数几何中，费马小定理可以用来研究曲线上的点加结构；在代数数论中，费马小定理与许多重要定理，如费马大定理、椭圆曲线等都有密切的联系。
此外，费马小定理还在密码学、计算机科学等领域有重要应用。
【4.总结】费马小定理是数论中的一个基本定理，它对于许多数论问题的研究具有重要的指导意义。
费马小定理的证明方法简单易懂，为初学者提供了一个理解数论问题的便捷途径。
费马小定理的证明
（最新版）
目录
1.费马小定理的概述
2.费马小定理的证明方法
3.费马小定理的应用
4.结论
正文
1.费马小定理的概述
费马小定理，又称费马最后定理，是法国数学家皮埃尔·德·费马于1637 年提出的一个数学定理。
该定理的陈述如下：对于任意大于 2 的自然数 n，方程 x^n + y^n = z^n 不存在正整数解。
换句话说，费马小定
理表明当 n 大于 2 时，没有三个正整数 x、y 和 z 可以满足该方程。
对于 n=1 和 n=2 的情况，该方程有解，分别对应勾股定理中的直角三角形和平方数之和等于平方数的情形。
2.费马小定理的证明方法
费马小定理的证明方法并不简单，历经了几百年的探索。
直到 1994 年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才成功地证明了费马小定理。
怀尔斯利用了代数几何、数论和代数的高级理论，将费马小定理与椭圆曲线之间建立了联系。
他证明了椭圆曲线上的点加法和费马小定理之间存在深刻的关系，从而证明了费马小定理的正确性。
怀尔斯的证明被认为是数学史上的杰作之一。
3.费马小定理的应用
虽然费马小定理看似简单，但它在数学领域具有广泛的应用。
在代数几何、数论、密码学等领域，费马小定理都发挥了重要作用。
例如，在密
码学中，费马小定理可以用来构建公钥密码系统，如 RSA 加密算法，从而保证信息的安全传输。
4.结论
费马小定理从提出到证明，历经了几百年的探索。
怀尔斯的成功证明不仅为这个古老的问题画上了句号，还揭示了数学领域不同分支之间的深刻联系。
费马小定理证明过程费马小定理是数论中的一条重要定理，它是欧拉定理的一个特例。
在密码学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍费马小定理的证明过程。
一、费马小定理的表述费马小定理是指：对于任意质数p和整数a，如果a不是p的倍数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
二、证明过程为了证明费马小定理，我们需要用到以下两个引理：引理1：如果p是质数，a是p的倍数，则a^p ≡ a (mod p)。
证明：根据费马小定理，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)，两边同时乘以a得到：a^p ≡ a (mod p)因此引理1成立。
引理2：如果p是质数，a不是p的倍数，则存在整数b使得ab ≡ 1 (mod p)。
证明：考虑所有形如{0, 1, 2, ..., p-1}中与a互素的元素ai。
这样一来，我们可以构造一个新序列b_i = ai*a^-1(mod p)，其中a^-1表示模p意义下的逆元。
由于ai与a互素，因此b_i必然也与a互素。
又由于b_i都是{0, 1, 2, ..., p-1}中的元素，因此它们构成了{0, 1, 2, ..., p-1}的一个置换。
因此必然存在一个b_i使得b_i ≡ 1 (mod p)，即有ab ≡ 1 (mod p)。
有了这两个引理，我们就可以证明费马小定理了。
假设a不是p的倍数，则根据引理2，存在整数b使得ab ≡ 1 (mod p)。
因此有：a^(p-1) ≡ a^(p-1)*1 ≡ a^(p-1)*ab ≡ a^p*b ≡ a*b (mod p)又由于a不是p的倍数，因此a与p互素。
因此根据引理1，有a^p ≡ a (mod p)。
将其代入上式得到：a^(p-1) ≡ a*b*a^(p-2) (mod p)由于a与p互素，因此根据欧拉定理，有：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)将其代入上式得到：a*b*a^(p-2) ≡ 1 (mod p)两边同时乘以a^-2得到：b ≡ a^(-2) (mod p)即存在整数b使得ab ≡ 1 (mod p)，证毕。
费马小定理（Fermat's Little Theorem）、威尔逊定理（Wilson's Theorem）以及洛谷（Luogu）是数学领域中常见的概念和工具。
它们在数论、离散数学等领域中有着重要的应用和意义。
接下来，我将分别介绍这三个概念，并阐述它们的相关内容和特点。
一、费马小定理费马小定理是由法国数学家费马（Pierre de Fermat）于17世纪提出的一条基本定理。
该定理是关于整数的一个重要性质，其内容可以用如下的形式来表述：1.1 定理内容如果p是一个质数，a是任意一个整数且a与p互质（即a与p没有公约数），则有如下等式成立：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)其中，a^(p-1) 表示a的p-1次方，≡表示同余，mod p表示对p取模的意思。
1.2 定理应用费马小定理在密码学、离散数学等领域有着广泛的应用。
在密码学中，费马小定理常用于快速计算模幂运算，以及构造和破解RSA公钥密码系统。
在离散数学中，费马小定理可以用来证明一些数论性质，推导一些数论定理等。
二、威尔逊定理威尔逊定理是由英国数学家约翰·威尔逊（John Wilson）于18世纪提出的一条关于质数的定理。
它的内容可以用如下的形式来表述：2.1 定理内容对于任意一个正整数p，p是质数当且仅当：(p-1)! ≡ -1 (mod p)其中，(p-1)!表示(p-1)的阶乘，≡表示同余，mod p表示对p取模的意思。
2.2 定理应用威尔逊定理在数论中有着重要的应用。
它可以用来判定一个数是否为质数，也可以用来证明一些数论性质和定理。
威尔逊定理还与费马小定理有一定的通联，可以互相补充和应用。
三、洛谷洛谷（Luogu）是一个面向中学生和高中生的上线OJ（Online Judge）系统，提供有关基于计算机编程的竞赛和练习评台。
它起源于我国大陆，为用户提供了一系列的习题和比赛，涵盖了多种编程语言和算法题型。
洛谷的主要特点包括：3.1 提供多种编程语言的支持，如C/C++、Java、Python等，让用户可以根据自己的喜好和实际需要选择合适的编程语言进行练习和比赛。
费马小定理推论证明费马小定理是一个非常有用的定理，它说的是如果p是一个素数，a是一个整数且不是p的倍数，那么a的p次方减去a一定是p的倍数。
这个定理可以用来证明一些其他的数论结论。
首先，我们根据费马小定理知道，如果p是一个素数，a是一个整数且不是p的倍数，那么a的p次方减去a一定是p的倍数。
我们可以表示为：a^p ≡ a (mod p)我们可以用数学归纳法来证明这个定理。
首先，当p=2时，我们可以得到：a^2 ≡ a (mod 2)因此，当a是偶数时，a^2减去a一定是2的倍数，当a是奇数时，a^2减去a一定是2的倍数。
现在假设对于任意的素数p和整数a不是p的倍数，a的p次方减去a一定是p的倍数。
我们要证明对于素数p+1和整数a 不是p+1的倍数，a的p+1次方减去a一定是p+1的倍数。
根据费马小定理，我们有：a^p ≡ a (mod p)然后我们对等式两边同时乘以a，得到：a^p * a ≡ a * a (mod p)即，a^(p+1) ≡ a^2 (mod p)因为p+1是一个偶数，我们可以将p+1表示为2k，其中k是一个整数。
所以我们有：a^(2k) ≡ a^2 (mod p)现在我们要证明a^2 减去a是p+1的倍数。
我们可以将a^2减去a表示为：a^2 - a = a * (a-1)根据归纳假设，我们可以将a替换为a^p，得到：a * (a-1) = a^p * (a^p - 1)根据费马小定理，我们可以得到a^p ≡ a (mod p)，所以：a * (a-1) = a * (a^p - 1)然后我们将上述等式两边同时对p取模，得到：a * (a-1) ≡ a * (a^p - 1) (mod p)因为a和p的最大公约数是1，所以我们可以将等式两边同时除以a，得到：a-1 ≡ a^p - 1 (mod p)然后我们再将上述等式两边同时对p取模，得到：a-1 ≡ a^p - 1 ≡ a (mod p)所以我们可以得到：a^p ≡ a (mod p)这就证明了费马小定理对于任意的素数p+1和整数a不是p+1的倍数，a^p+1减去a一定是p+1的倍数。
「学习笔记」费马⼩定理费马⼩定理概念1. 定理p p 为质数， a a 为整数且 (a ,p )=1(a,p)=1， 有 a p −1≡1(mod p )ap−1≡1(mod p).2. 证明构造质数 p 的完全剩余系P ={1,2,3,⋯p −1}.P ={1,2,3,⋯p −1}.同时构造另⼀完全剩余系A ={a ,2a ,2a ,⋯(p −1)a }.A ={a,2a,2a,⋯(p −1)a}.由完全剩余系的性质，可得1×2×3×⋯×(p −1)≡a ⋅2a ⋅3a ⋅⋯⋅(p −1)a (mod p ).1×2×3×⋯×(p −1)≡a ⋅2a ⋅3a ⋅⋯⋅(p −1)a (mod p).即(p −1)!≡(p −1)!⋅a p −1(mod p ).(p −1)!≡(p −1)!⋅ap−1(mod p).p p 为质数，可知 p ∣(p −1)!+1p ∣(p −1)!+1，故 ((p −1)!,p )=0.((p −1)!,p)=0.同余式两边可同时约去 (p −1)!(p −1)! ，得a p −1≡1(mod p ).ap−1≡1(mod p).Justified.应⽤求乘法逆元： 设 b b 为 a a 在模 p p 意义下的乘法逆元，可表⽰为 ab ≡a p −1.ab ≡ap−1.当 (a ,p )=1(a,p)=1 时，同余式两边可同时乘上 1a a1 ，故b ≡a p −2.b ≡ap−2.若 (a ,p )=1(a,p) =1 时，则该同余式⽆解。
code://费马⼩定理求乘法逆元#include<bits/stdc++.h>using namespace std;long long n , p;long long quick_power(long long x , long long y) {long long res=1 , temp=x;for (long long i=y; i; temp=temp*temp%p , i>>=1) {if (i%2==1) {res=res*temp%p;}}return res;}const int maxn=1e6+5;long long inv[maxn];int main() {scanf("%lld %lld" , &n , &p);for (int i=1; i<=n; i++) {inv[i]=quick_power(i , p-2);//printf("%lld\n" , inv[i]);}return 0;}Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js。
费马小定理的几个推论
张祖华 平阴县职业教育中心 山东济南 250400
摘要：本文发现了费马小定理的几个推论。
关键词：费马小定理
费马，业余数学家之王；费马小定理，数论上的著名定理。
本文发现了费马小定理的几个推论。
费马小定理
1(,)11mod().
p a p a p -==若p 为素数，且，
则
推论1： p .p a -若p 为素数，则|a
推论2：
p .s
p a -若p 为素数，则|a
推论3： p .s tp t a -若p 为素数，则|a
推论4： p .s
t p p a -若p 为素数，则|a
推论5： p .s t
mp mp a -若p 为素数，则|a
推论6：
22p .p p a --若p 为素数，则|a
推论7：
22|.tp tp t p p a a --若为素数，则
推论8：
323|.p p p p a a --若为素数，则 推论9：
1|.s s s tp tp t p p a a ---若为素数，则
参考文献：
[1]张祖华.一簇超越方程的精确解.
《高等数学通报》总第72期. [2]张祖华.带有矩阵元形式的柯西不等式.《高等数学研究》总第126期.。
