优化建模与LINGO第12章 数学建模竞赛中的部分优化问题

0 ⋅ x1 + 2 ⋅ x2 ≤ 12
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
产品 资源 设备/台时 设备 台时 原料A/吨 原料 吨 原料B/吨 原料 吨 单位赢利/万元 单位赢利 万元
甲 3 1 0 3
乙 2 0 2 5
资源量 18 4 12
ห้องสมุดไป่ตู้
相应的数学模型
max z = 3 x 1 + 5 x 2
3 x 1 + 2 x 2 ≤ x ≤ 1 2 x 2 x 1 ≥ 0 , x 2 18 4 ≤ 12 ≥ 0
表3
单位运价 销 地 产 地 甲 乙 销 量 21 51 1700 25 51 1100 7 37 200 2000 1000
A
B
C
产 量
确定调运方案就是确定从不同产地到各个销地的运输量 运输量。 分析 确定调运方案就是确定从不同产地到各个销地的运输量。 表示这些要找的运量。 设 x ij 表示这些要找的运量。 分别表示从甲地调往A、 、 三地的运量 三地的运量。 即x 11 、 x 12 、 x 13分别表示从甲地调往 、B、C三地的运量。 x 21 、 x 22 、 x 23分别表示从已地调往 、B、C三地的运量。 分别表示从已地调往A、 、 三地的运量 三地的运量。
定价问题的数学模型
max z = 3 x1 + 5 x2
s.t.
3 x 1 + 2 x 2 ≤ 18 x ≤4 1 2 x 2 ≤ 12 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
min W = 18 y1 + 4 y 2 + 12 y3 3 y1 + y 2 ≥ 3 s.t .2 y1 + 2 y3 ≥ 5 y , y , y ≥ 0 1 2 3

数学建模竞赛中，优化问题是一个重要的赛题类型。

优化问题是指在一定的约束条件下，通过寻找最优解，使得目标函数达到最大值或最小值的问题。

在实际生活中，优化问题广泛应用于各个领域，如生产、运输、金融等。

在数学建模竞赛中，优化问题的赛题设计通常要求参赛队伍运用数学知识和建模技巧，对现实生活中的问题进行建模，并寻求最优解。

这类赛题的特点是问题背景真实、数据丰富，参赛队伍需要充分挖掘数据中的有用信息，建立合适的数学模型，并通过优化求解得到符合实际意义的解。

为了更好地解决优化问题，参赛队伍需要掌握以下几个关键步骤：1. 问题分析：在解决优化问题时，首先要明确问题的背景和目标，分析问题中的约束条件，确定目标函数。

这是解决优化问题的基础。

2. 建立模型：根据问题分析的结果，建立合适的数学模型。

常见的优化模型有线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。

选择合适的模型有助于更高效地求解问题。

3. 求解算法：优化问题的求解方法有很多，如单纯形法、遗传算法、粒子群优化算法、模拟退火算法等。

选择合适的求解算法可以提高求解效率和精度。

4. 模型验证与优化：在得到优化解后，需要对模型进行验证，分析模型的可行性和有效性。

如有必要，可以对模型进行优化，以提高模型的性能。

5. 撰写论文：在完成优化问题的建模和求解后，需要将整个过程和结果撰写成论文。

论文应包括问题分析、模型建立、求解方法、结果分析等内容，并注重论文的结构和语言表达。

总之，在数学建模竞赛中，优化问题是一个具有挑战性的赛题类型。

通过解决优化问题，参赛队伍可以锻炼自己的数学建模能力、实践能力和团队协作能力，为未来的学术研究和职业发展打下坚实基础。

Min z cij xij
6 8 i 1 j 1
约束条件： 每个货栈运往各销售点的货物总量应小于货栈的 可供应量，设货栈i的可供应量为wi，则有
x
j 1
8
ij
wi , (i 1,2, ,6)
每个销售点的需求量必须满足，设销售点j的需 求量为vj，则有
x
i 1
6
ij
v j , ( j 1,2,,8)
优化方法建模
侯为根 安徽工业大学数理学院 Email：wghou@
优化模型和算法的重要意义
最优化: 在一定条件下，寻求使目标最大(小)的决策 最优化是工程技术、经济管理、科学研究、社会 生活中经常遇到的问题, 如: 结构设计 资源分配 生产计划 运输方案 解决优化问题的手段 • 经验积累，主观判断 • 作试验，比优劣 • 建立数学模型，求解最优策略 CUMCM赛题：约有一半为优化问题须用软件求解
分支定界管理程序
ILP IQP
INLP
线性规划求解程序 1、单纯形算法
非线性规划求解程序 1、顺序线性规划法 2、广义既约梯度法
2、内点算法
3、多点搜索
建模时要注意的几个基本问题
1、尽量使用实数优划，减少整数约束和整数变量
2、尽量使用光滑优划，减少非光滑约束个数 如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量 求最大值/最小值，四舍五入，取整函数等 3、尽量使用线性模型、减少非线性约束和非线性变 量的个数 （如：x/y<5改为x<5y) 4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值。 5、模型中使用的参数数量级要适当(如小于103)。
时间增加1单位,利润增长2。 加工能力增长不影响利润。 •35元可买到1桶牛奶，要买吗？ 35 <48,应该买！

NLP: 非线性规划
(2)最优状态 全局全优
(3)最优目标值: 10
约束条件情况最优解： (1)约束总个数X4=100,按方法4 (2)非线性个数X6=50, 按方法6
25
[例1] 下料(截割问题)及求解
❖ [模型-2]的求解结果：
最优目标函 数值：90
x1=40, 按方法1截割 x2=20, 按方法2截割 x6=30. 按方法6截割
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[例1] 下料(截割问题)及求解
❖ 求解结果分析：
在追求“余料最少”目标时，“≥”约 束把条件放宽了。
修正方法：改为“=”约束
模型(1)的求解结果： 最优目标(余料)=10m
(x4,x6)=(100,50) 耗用原料 = 150根
是否符 合原问 题要求?
不符合。 (1)问题出在哪里? (2)如何修正?
2
一、竞赛题中的优化模型总结
❖ 2.优化类竞赛题小结 ❖ 在全国数模竞赛中，优化问题是出现频率最
高的一类竞赛题。 ❖ 从1992-20××年全国大学生数模竞赛试题
的解题方法统计结果来看，优化模型共出现 了17次以上，占到了50%。 ❖ 即每两道竞赛题中就有一道涉及到利用优化 理论来建模和求解。
3
一、竞赛题中的优化模型总结
题
13
(三) 典型数学规划问题及求解
❖ 例1 下料(截割)问题及求解 ❖ 例2 运输问题及求解 ❖ 例3 非线性规划问题及求解 ❖ 例4 分派(选址)问题及求解 ❖ 例5 动态规划问题及求解
14
[例1] 下料(截割)问题及求解
1. 问题提出 2. 建立数学模型 3. 编写LINGO求解程序 4. 执行程序 5. 获得计算结果并分析 6. 修正模型，重新求解 7.课后作业 8.编程小结