创新设计全国通用2017届高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形练习理
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1 专题二 三角函数与平面向量 第2讲 三角恒等变换与解三角形练习
理
一、选择题
1.已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( )
A.43 B.34
C.－34 D.－43
解析 ∵sin α＋2cos α＝102，
∴sin2 α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝52.
用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α，
∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.
答案 C
2.(2016·宁波二模)已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，23cos2A＋cos
2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )
A.10 B.9
C.8 D.5
解析 化简23cos2A＋cos 2A＝0，
得23cos2A＋2cos2A－1＝0，又角A为锐角，
解得cos A＝15，
由a2＝b2＋c2－2bccos A，得b＝5.
答案 D
3.(2016·全国Ⅲ卷)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cos A＝( )
A.31010 B.1010
C.－1010 D.－31010
解析 设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝π4，BD＝13BC，DC＝23BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A＝－1010. 2 答案 C
4.(2014·新课标全国Ⅰ卷)设α∈0，π2，β∈0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，
则( )
A.3α－β＝π2 B.2α－β＝π2
C.3α＋β＝π2 D.2α＋β＝π2
解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
∴sin(α－β)＝cos α＝sinπ2－α.
∵α∈0，π2，β∈0，π2，
∴α－β∈－π2，π2，π2－α∈0，π2，
∴由sin(α－β)＝sinπ2－α，得α－β＝π2－α，
∴2α－β＝π2.
答案 B
5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是( )
A.3 B.932
C.332 D.33
解析 c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①.
∵C＝π3，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab②，由①和②得
ab＝6，∴S△ABC＝12absin C＝12×6×32＝332，故选C.
答案 C
二、填空题
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为315，b－c＝2，cos A＝－14，则a的值为________. 3 解析 ∵cos A＝－14，0＜A＜π，∴sin A＝154，
S△ABC＝12bcsin A＝12bc×154＝315，∴bc＝24，
又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，
a2＝b2＋c2－2bccos A＝52－2×24×－14＝64，∴a＝8.
答案 8
7.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
解析 在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BCsin ∠BAC＝ABsin ∠ACB，即BCsin 30°＝600sin 45°，所以BC＝3002.在
Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝3002·tan 30°＝1006.
答案 1006
8.(2016·南昌模拟)若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________.
解析 ∵sin A＋2sin B＝2sin C.
由正弦定理可得a＋2b＝2c，即c＝a＋2b2，
cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a＋2b222ab
＝3a2＋2b2－22ab8ab≥26ab－22ab8ab＝6－24，
当且仅当3a2＝2b2即ab＝23时等号成立.
∴cos C的最小值为6－24.
答案 6－24
三、解答题 4 9.(2016·北京卷)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac.
(1)求角B的大小；
(2)求2cos A＋cos C的最大值.
解 (1)由a2＋c2＝b2＋2ac得a2＋c2－b2＝2ac.
由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝22.
又0＜B＜π，所以B＝π4.
(2)A＋C＝π－B＝π－π4＝3π4，所以
C＝3π4－A，0＜A＜3π4.
所以2cos A＋cos C＝2cos A＋cos3π4－A
＝2cos A＋cos3π4cos A＋sin 3π4sin A
＝2cos A－22cos A＋22sin A
＝22sin A＋22cos A
＝sinA＋π4，
∵0＜A＜3π4，∴π4＜A＋π4＜π，
故当A＋π4＝π2，
即A＝π4时，2cos A＋cos C取得最大值为1.
10.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin Bsin C的值.
解 (1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)
(cos A＋2)＝0，解得cos A＝12或cos A＝－2(舍去)，因为0＜A＜π，所以A＝π3.
(2)由S＝12bcsin A＝12bc·32＝34bc＝53， 5 得bc＝20，又b＝5，知c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，故a＝21.
又由正弦定理得sin Bsin C＝basin A·casin A＝bca2sin2A＝2021×34＝57.
11.(2015·山东卷)设f(x)＝sin xcos x－cos2x＋π4.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若fA2＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值.
解 (1)由题意知f(x)＝sin 2x2－1＋cos2x＋π22
＝sin 2x2－1－sin 2x2＝sin 2x－12.
由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ，k∈Z,
可得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ，k∈Z；
由π2＋2kπ≤2x≤3π2＋2kπ，k∈Z，
可得π4＋kπ≤x≤3π4＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)；
单调递减区间是π4＋kπ，3π4＋kπ(k∈Z).
(2)由fA2＝sin A－12＝0，得sin A＝12，
由题意知A为锐角，所以cos A＝32.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得1＋3bc＝b2＋c2≥2bc，
即bc≤2＋3，当且仅当b＝c时等号成立.
因此12bcsin A≤2＋34.所以△ABC面积的最大值为2＋34.
