- 1 - 第1节 直线的方程
考试要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
知 识 梳 理
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).
2.直线的斜率
(1)定义：当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α.
(2)计算公式：
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝y2－y1x2－x1.
②若直线的方向向量为a＝(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k＝yx.
3.直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0)
两点式 过两点 y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 纵、横截距 xa＋yb＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0) 所有直线
- 1 - [常用结论与微点提醒]
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α 0 0
k 0 k>0 不存在 k<0
2.截距和距离的不同之处
“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( )
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(
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【2013年高考会这样考】
1．考查两直线的平行与垂直．
2．考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式．
【复习指导】
1．对两条直线的位置关系，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系．
2．熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离．
基础梳理
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2，特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
②如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直．
2．两直线相交
交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组 A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应．
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解．
3．三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22.
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2. ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ (2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.
解
析
几
何直
线
方
程倾斜角
斜率
公式
方程定义
范围
位置
关系当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线
l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
直线l倾斜角的取值范围是[0，π)
当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0
定义式
坐标式
特殊方程
平行
相交
距离
公式重合
两点距
点线距
线线距
对称问题
圆
的
方
程圆
点与圆
的位置
关系
直线与
圆的位
置关系定义
标准方程
一般方程平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
(x－a)
2＋(y－b)
2＝r
2(r＞0)
圆心：(a，b)，半径： r
x
2＋y
2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D
2＋E
2－4F＞0)
(1)当D
2＋E
2－4F＝0时，方程表示一个点；
(2)当D
2＋E
2－4F＜0时，方程不表示任何图形．
A(x
1，y
1)，B(x
2，y
2)为直径端点的圆的方程为
(x－x
1)(x－x
2)＋(y－y
1)(y－y
2)＝0.
圆与圆
的位置
关系弦长
圆的切线相交相交线直线方程：两个圆方程相减
椭圆定义
性质
常用结论
秒杀技巧2a=2c
2a<2c平面内与两个定点F
1，F
2的距离的和等于常数2a(2a＞|F
1F
2|
=2c)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F
1，F
2叫做椭圆的
焦点
线段
不存在
离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接
近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁．
直线与椭圆的位置关系，可以利用直线的定点与椭圆的位置
关系来判断
定点在椭圆外---相交、相切、相离
定点在椭圆上---相交、相切
定点在椭圆内---相交双
曲
线定义
性质“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线
的一支
若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂
线
秒杀技巧
抛
物
线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相
等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物
线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线
性质
秒杀技巧
点
差
法使用范围
推导过程
结论中点弦相关问题
A、B、P是椭圆双曲线上不同的三点，A、B关于原点对称
焦点在X轴椭圆
《志鸿优化设计》2022年高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第九章解析几何9．6双曲线
考纲要求
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，明白其简单几何性质．
2．明白得数形结合的思想．
3．了解双曲线的简单应用，了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做______．这两个定点叫做双曲线的____，两焦点间的距离叫做双曲线的____．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 x2a2－y2b2＝1
(a＞0，b＞0) y2a2－x2b2＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性
质 范畴 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴
对称中心：原点 对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点 顶点坐标：A1____，A2____ 顶点坐标：A1____，A2____
渐近线 y＝____ y＝____
离心率 e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的______，它的长|A1A2|＝______；线段B1B2叫做双曲线的______，它的长|B1B2|＝____；____叫做双曲线的实半轴长，____叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
1．双曲线x216－y29＝1的焦距为( )．
A．10 B.7 C．27 D．5
2．设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )． A．42
B．83
C．24
D．48
3．设双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(
)．
A．4
B．3 C．2 D．1
