2018年最新 湖南师大附中2018届高三第三次月考数学(文)试卷(含解析) 精品

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学时量:120分钟满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}0,1,2,3的真子集个数是()A .7B .8C .15D .162.“11x -<”是“240x x -<”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知角α的终边上有一点P 的坐标是)4,3(a a ,其中0a ≠,则sin2α=()A .43B .725C .2425D .2425-4.设向量a,b 满足+=-=a b a b ,则⋅a b 等于()A .B .2C .5D .85.若无论θ为何值,直线sin cos 10y x θθ⋅+⋅+=与双曲线2215x y m -=总有公共点,则m的取值范围是()A.1m ≥B .01m <≤C .05m <<,且1m ≠D .1m ≥,且5m ≠6.已知函数()2f x 的图象关于原点对称,且满足()()130f x f x ++-=,且当()2,4x ∈时,()()12log 2f x x m =--+,若()()2025112f f -=-,则m 等于()A .13B .23C .23-D .13-7.已知正三棱台111ABC A B C -所有顶点均在半径为5的半球球面上,且AB =11A B =()A .1B .4C .7D .1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天,他走进一家酒馆,看见一层层垒起的酒坛,不禁想到:“怎么求这些酒坛的总数呢?”经过反复尝试,沈括提出对于上底有ab 个,下底有cd 个,共n 层的堆积物(如图所示),可以用公式()()()2266n nS b d a b d c c a ⎡⎤=++++-⎣⎦求出物体的总数,这就是所谓的“隙积术”,相当于求数列()()(),11,2ab a b a +++.()()()2,,11b a n b n cd ++-+-= 的和.若由小球堆成的上述垛积共7层,小球总个数为238,则该垛积最上层的小球个数为()A .2B .6C .12D .20二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,则下列正确的是()A .02024a =B .20240120243a a a +++= C .012320241a a a a a -+-++= D .12320242320242024a a a a -+--=- 10.对于函数()sin cos f x x x =+和()sin cos 22g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,下列说法中正确的有()A .()f x 与()g x 有相同的零点B .()f x 与()g x 有相同的最大值点C .()f x 与()g x 有相同的最小正周期D .()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴11.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点,抛物线C 在点A 处的切线与直线2y =-交于点N ,作NM AP ⊥交AB 于点M ,则()A .5OA OB ⋅=-B .直线MN 恒过定点C .点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠D .AB MN选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数12,z z 的模长为1,且21111z z +=,则12z z +=_____.13.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知5,4a b ==,()31cos 32A B -=,则sin B =_____.14.若正实数1x 是函数()2e e x f x x x =--的一个零点,2x 是函数()g x =()()3e ln 1e x x ---的一个大于e 的零点,则()122e ex x -的值为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)现有某企业计划用10年的时间进行技术革新,有两种方案:贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加25%的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年,贷款10年后一次性还本付息(年末结息),若银行贷款利息均按10%的复利计算.(1)计算10年后,A 方案到期一次性需要付银行多少本息?(2)试比较A B 、两方案的优劣.(结果精确到万元,参考数据:10101.1 2.594,1.259.313≈≈)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为等腰梯形,22AD AB BC ==2=.点P 在底面的射影点Q 在线段AC 上.(1)在图中过A 作平面PCD 的垂线段,H 为垂足,并给出严谨的作图过程;(2)若2PA PD ==.求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.已知函数()()e sin cos ,x f x x x f x =+-'为()f x 的导数.(1)证明:当0x ≥时,()2f x '≥;(2)设()()21g x f x x =--,证明:()g x 有且仅有2个零点.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点为12,F F P、为椭圆C 上一动点,设12F PF ∠θ=,当23πθ=时,12F PF ∆.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点(M N M 、在,B N 之间),若Q 为椭圆C上一点,且OQ OM ON =+,①求OBM OBNSS ∆∆的取值范围;②求四边形OMQN 的面积.飞行棋是大家熟悉的棋类游戏,玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出6点时,飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子,直至显示点数不是6点.飞机起飞后,飞行步数即骰子向上的点数.(1)求甲玩家第一轮投掷中,投掷次数X 的均值()()1(k E X kP k ∞===∑()1lim n n k kP k ∞→=⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎭∑;(2)对于两个离散型随机变量,ξη,我们将其可能出现的结果作为一个有序数对,类似于离散型随机变量的分布列,我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布:(记()()()()()(1211,,mni i i j j j i j i p x p x p x y p y p y p x ξη========∑∑,)j y .)ξη1x 2x ...n X 1y ()11,p x y ()21,p x y ...()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y ...()2,n p x y ()22p y ...⋯⋯...⋯...my ()1,m p x y ()2,m p x y ...(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x ...()1n p x 1若已知i x ξ=,则事件{}j y η=的条件概率为{}j i P y x ηξ===∣{}{}()()1,,j i i j i i P y x p x y P x p x ηξξ====.可以发现i x ηξ=∣依然是一个随机变量,可以对其求期望{}{}()111mi j j i j i E x y P y x p x ηξηξ===⋅===∑∣∣.()1,mj i j j y p x y =∑(i )上述期望依旧是一个随机变量(ξ取值不同时,期望也不同),不妨记为{}E ηξ∣,求{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣;(ii )若修改游戏规则,需连续掷出两次6点飞机才能起飞,记0ξ=表示“甲第一次未能掷出6点”,1ξ=表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”,2ξ=表示“甲第一次第二次均掷出6点”,η为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数,求E η.炎德・英才大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学参考答案题号1234567891011答案C A C B B D A B BC ACD BC一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合{}0,1,2,3共有42115-=(个)真子集.故选C .2.A 【解析】解不等式240x x -<,得04x <<,解不等式11x -<,得02x <<,所以“11x -<”是“240x x -<”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念,2442sin cos 2tan 24tan ,sin23311tan 25y a x a αααααα======+,故选C .4.B 【解析】()()()22111911244⎡⎤⋅=+--=-=⎣⎦a b a b a b .5.B 【解析】易得原点到直线的距离1d ==,故直线为单位圆的切线,由于直线与双曲线2215x y m -=总有公共点,所以点()1,0±必在双曲线内或双曲线上,则01m <≤.6.D 【解析】依题意函数()f x 的图象关于原点对称,所以()f x 为奇函数,因为()()()133f x f x f x +=--=-,故函数()f x 的周期为4,则()()20251f f =,而()()11f f -=-,所以由()()2025112f f -=-可得()113f =,而()()13f f =-,所以()121log 323m --=,解得13m =-.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为123,4r r ==,过点112,,,A A O O 的截面如图:22222121534,543,1OO OO h OO OO =-==-∴=-=,故选A .8.B 【解析】由题意,得6,6c a d b =+=+,则由()()()772223866b d a b d c c a ⎡⎤++++-=⎣⎦得()()7[26212(6b b a b b a ++++++6)]()762386a a ++-=,整理得()321ab a b ++=,所以773aba b +=-<.因为,a b 为正整数,所以3ab =或6.因此有6,3a b ab +=⎧⎨=⎩或5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩而63a b ab +=⎧⎨=⎩无整数解,因此6ab =.故选B .二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A :令0x =,则01a =,故A 错误;对于B :令1x =,则20240120243a a a +++= ,故B 正确;对于C :令1x =-,则012320241a a a a a -+-++= ,故C 正确;对于D ,由()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,两边同时求导得()20232202312320242024212232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ ,令1x =-,则12320242320244048a a a a -++-=- ,故D 错误.故选BC .10.ACD 【解析】()()32sin ,2sin 2sin 4244f x x g x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()0f x =,则,4x k k ππ=-+∈Z ;令()0g x =,则3,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的零点是相同的,故选项A 正确.()f x 的最大值点是()2,,4k k g x ππ+∈Z 的最大值点是32,4k k ππ-+∈Z ,两个函数的最大值虽然是相同的,但最大值点是不同的,故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为2πω可知()f x 与()g x 有相同的最小正周期2π,故选项C 正确.曲线()y f x =的对称轴为,4x k k ππ=+∈Z ,曲线()y g x =的对称轴为5,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的图象有相同的对称轴,故选项D 正确.故选ACD.设直线AB 的方程为2y tx =+(斜率显然存在),221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,联立22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩消去x 整理可得2480x tx --=,由韦达定理得12124,8x x t x x +==-,A .22121212124,84444x x y y OA OB x x y y =⋅=⋅=+=-+=- ,故A 错误;B .抛物线C 在点A 处的切线为21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,当2y =-时,11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-,即()2,2N t -,直线MN 的方程为()122y x t t +=--,整理得xy t=-,直线MN 恒过定点(0,0),故B 正确;C .由选项B 可得点M 在以线段OP 为直径的圆上,点O 除外,故点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠,故C 正确;D.222t MN +==,AB =则()2221412222t AB MNt +⎫==+,,m m =≥则12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设()1,f m m m m =-≥,则()2110f m m=+>',当m ≥,()f m 单调递增,所以()min f m f==,故D 错误.故选BC .三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1【解析】设()()12i ,,i ,z a b a b z c d c d =+∈=+∈R R ,因为21111z z +=,所以2122111z zz z z z +=.因为11221,1z z z z ==,所以121z z +=,所以()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=,所以1,0a c b d +=+=,所以()()12i 1z z a c b d +=+++=.13.74【解析】在ABC 中,因为a b >,所以A B >.又()31cos 32A B -=,可知A B-为锐角且()sin 32A B -=.由正弦定理,sin 5sin 4A aB b ==,于是()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦.将()cos A B -及()sin AB -的值代入可得3sin B B =,平方得2229sin 7cos 77sin B B B ==-,故7sin 4B =.14.e 【解析】依题意得,1211e e 0x x x --=,即()()12311122e e ,0,e ln 1e 0x x x x x x -=>---=,即()()3222e ln 1e ,e x x x --=>,()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--,()()()()()()211ln 111112212e e ln 1e ,e e ln 1e e x x x x x x x x -+++⎡⎤∴-=--∴-=--⎣⎦,又22ln 1,ln 10,x x >->∴ 同构函数:()()1e e ,0x F x x x +=->,则()()312ln 1e F x F x =-=,又()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+=-+',00,e e 1,e 10x x x >∴>=∴-> ,又()()1e 0,0,x x F x F x +>'>∴单调递增,()()()3122212222e ln 1e e ln 1,e e e ex x x x x x ---∴=-∴===.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】(1)A 方案到期时银行贷款本息为()1010110%26⨯+≈(万元).……(3分)(2)A 方案10年共获利:()()1091.2511125%125%33.31.251-+++++=≈- (万元),……(5分)到期时银行贷款本息为()1010110%25.9⨯+≈(万元),所以A 方案净收益为:33.325.97-≈(万元),……(7分)B 方案10年共获利:()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= (万元),……(9分)到期时银行贷款本息为()()()()101091.11.11110%110%110%17.51.11-++++++=≈- (万元),……(11分)所以B 方案净收益为:23.517.56-≈(万元),……(12分)由比较知A 方案比B 方案更优.……(13分)16.【解析】(1)连接PQ ,有PQ ⊥平面ABCD ,所以PQ CD ⊥.在ACD 中,2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC ∠∠=+-⋅⋅=-.同理,在ABC 中,有222cos AC ABC ∠=-.又因为180ABC ADC ∠∠+= ,所以()1cos ,0,1802ADC ADC ∠∠=∈ ,所以60ADC ∠= ,3AC =故222AC CD AD +=,即AC CD ⊥.又因为,,PQ AC Q PQ AC ⋂=⊂平面PAC ,所以CD ⊥平面PAC .CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面PAC .……(5分)过A 作AH 垂直PC 于点H ,因为平面PCD ⊥平面PAC ,平面PCD ⋂平面PAC PC =,且AH ⊂平面PAC ,有AH ⊥平面PCD .……(7分)(2)依题意,22AQ PA PQ DQ =-=.故Q 为,AC BD 的交点,且2AQ ADCQ BC==.所以2222326,333AQ AC PQ PA AQ ===-.过C 作直线PQ 的平行线l ,则,,l AC CD 两两垂直,以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系,则:()()36131,0,0,0,,0,3,0,,,03322D P A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()326232613261,0,0,0,,0,,,,,3333263CD CP AP BP ⎛⎛⎛===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .设平面PCD 的法向量为(),,x y z =m ,则()0,0,3CD x CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩m m取()0,=-m .同理,平面PAB的法向量)1=-n ,1cos<,3⋅>==m n m n m n ……(14分)故所求锐二面角余弦值为13.……(15分)17.【解析】(1)由()e cos sin x f x x x =++',设()e cos sin x h x x x =++,则()e sin cos x h x x x '=-+,当0x ≥时,设()()e 1,sin x p x x q x x x =--=-,()()e 10,1cos 0x p x q x x ''=-≥=-≥ ,()p x ∴和()q x 在[)0,∞+上单调递增,()()()()00,00p x p q x q ∴≥=≥=,∴当0x ≥时,e 1,sin x x x x ≥+≥,则()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0x h x x x x x x x x x '=-+≥+-+=-++≥,∴函数()e cos sin x h x x x =++在[)0,∞+上单调递增,()()02h x h ∴≥=,即当0x ≥时,()2f x '≥.……(7分)(2)由已知得()e sin cos 21x g x x x x =+---.①当0x ≥时,()()()e cos sin 220,x g x x x f x g x ≥''=++-=-∴ 在[)0,∞+上单调递增,又()()010,e 20g g πππ=-<=->∴ 由零点存在定理可知,()g x 在[)0,∞+上仅有一个零点.……(10分)②当0x <时,设()()2sin cos 0e x x xm x x --=<,则()()2sin 10exx m x '-=≤,()m x ∴在(),0∞-上单调递减,()()01m x m ∴>=,()e cos sin 20,e cos sin 20x x x x g x x x '∴++-<∴=++-<,()g x ∴在(),0∞-上单调递减,又()()010,e 20g g πππ-=-<-=+> ,∴由零点存在定理可知()g x 在(),0∞-上仅有一个零点,综上所述,()g x 有且仅有2个零点.……(15分)18.【解析】(1)设()00,,P x y c 为椭圆C 的焦半距,12122F PF p S c y ∆=⋅⋅,00y b <≤ ,当0y b =时,12F PF S 最大,此时()0,P b 或()0,P b -,不妨设()0,P b ,当23πθ=时,得213OPF OPF π∠∠==,所以c =,又因为12F PF S bc ∆==,所以1,b c ==从而2,a =∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.……(3分)(2)由题意,直线l 的斜率显然存在.设()()1122: 2.,,,l y kx M x y N x y =+.……(4分)1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=,同理,2OBN S x ∆=.12OBM OBN S xS x ∆∆∴= (6))联立()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩,……(8分)()()()22223164121416430,4k k k k ∴∆=-⨯⨯+=->∴>.……(9分)又121212221612,0,,1414k x x x x x x k k-+==>∴++ 同号.()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x kk-⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴===+++.()22212122364641616,4,,42143331434x x k k x x k k ⎛⎫>∴=∈∴<++< ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭ .令()120x x λλ=≠,则116423λλ<++<,解得()()11,11,3,,11,333OBM OBN S S λ∆∆⎛⎫⎛⎫∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .……(12分)(3)()1212,,OQ OM ON Q x x y y =+∴++.且四边形OMQN 为平行四边形.由(2)知()12121222164,41414k x x y y k x x k k-+=∴+=++=++,22164,1414kQ k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭.而Q 在椭圆C 上,2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.化简得2154k =.……(14分)∴线段161219357115224MN ==⋅+,……(15分)O到直线MN的距离d == (16))OMQN 574S MN d ∴=⋅=四边形.……(17分)19.【解析】(1)()115,1,2,3,66k P X k k -⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭ ,所以()()215111,1,2,3,,5126666nk n k k k P X k k kP k n =⎛⎫⋅====⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭∑ ,记211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ ,则2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ .作差得:1211111511111111661666666556616nn n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ,所以()16111661,555566556n nn n n k n S kP k S n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+==-+⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.故()()()116616lim lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞∞∞→→==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑.……(6分)(2)(i ){}E ηξ∣所有可能的取值为:{},1,2,,i E x i n ηξ== ∣.且对应的概率{}{}()()()1,1,2,,i i i p E E x p x p x i n ηξηξξ====== ∣∣.所以{}{}()()()()()111111111,,,nnmn m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫⎡⎤==⋅=⋅= ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣又()()()()21111111,,,nmmnmn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑,所以{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣.……(12分)(ii ){}{}{}12355101,;12,;22,63636E E p E E p E p ηξηηξηη==+===+====∣∣,{}()()5513542122636363636E E E E E ηηξηηη⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣,故42E η=.……(17分)。

炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷（五）数学(文科)命题人、审题人：彭萍苏萍曾克平本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页.时量120分钟。

满分150分.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1）设全集U＝N＊，集合A＝｛1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为(B）（A){2} (B）｛4，6｝（C)｛1，3，5} （D）{2，4，6｝【解析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（∁U A）∩B，∴(∁U A)∩B＝｛4，6}．故选B。

（2)已知向量a＝(1，－2）,b＝(－3，5），若(2a＋b)⊥c,则c的坐标可以是(D）(A）（－2,3) (B)（－2，－3)(C)（4,－4) (D）(4，4)【解析】2a＋b＝(－1，1)，设c＝(x，y），∵（2a＋b）⊥c，∴（2a＋b)·c＝－x＋y＝0，即x＝y.只有D满足上述条件，故选：D.（3)已知直线m,n与平面α，β，γ满足α⊥β,α∩β＝m,n⊥α，n⊂γ，则下列判断一定正确的是(D）(A）m∥γ，α⊥γ（B)n∥β，α⊥γ（C）β∥γ,α⊥γ(D)m⊥n,α⊥γ【解析】因为n⊥α，则α⊥γ；同时n⊥α，m⊂α,则m⊥n，所以D选项是正确的;对于A选项中的直线m与平面γ的位置关系无法判断，B选项中的直线n也可能落在平面β内；C选项中的平面β与平面γ也可能相交，故答案选D。

（4)下面为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为(D)S＝0i＝1WHILE ______INPUT xS＝S＋xi＝i＋1WENDa＝S/20PRINT aEND（A)i＞20 (B）i＜20 (C）i＞＝20 (D）i＜＝20【解析】根据题意为一个求20个数的平均数的程序,则循环体需执行20次，从而横线上应填充的语句为i＜＝20.故选:D.(5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(B)（A)3 (B）4 （C)5 （D）6【解析】由题意，几何体为四棱锥，其中底面是上底为2，下底为4，高为2 的直角梯形，棱锥的高为2，所以体积为错误!×错误!×(2＋4）×2×2＝4；故选B。

炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷（五）数学（文科） 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U N *=，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{2}B ．[]4,6C ．{1,3,5}D ．{2,4,6}2．已知向量(1,2)a =-，(3,5)b -，若(2)a b c +⊥，则c 的坐标可以是（ ） A ．(2,3)- B ．(2,3)-- C ．(4,4)- D ．(4,4)3．已知直线,m n 与平面,,αβγ满足αβ⊥，m αβ= ，n α⊥，n γ⊂，则下列判断一定正确的是（ ）A ．//,m γαγ⊥B ．//,n βαγ⊥C ．//,βγαγ⊥D ．,m n αγ⊥⊥4．下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（ ）A ．i>20B ．i<20C ．i>=20D ．i<=205．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于2的概率为（ ）A ．14 B ．13C ．47D ．49 7．已知1sin()53πα-=，则3cos(2)5πα+=（ ）A ．79-B ．19-C ．19D ．798．已知函数()y f x =对任意自变量x 都有()(2)f x f x =-，且函数()f x 在[1,)+∞上单调．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且62012(}()f a f a =，则{}n a 的前2017项之和为（ ） A ．0 B ．2017 C ．2016 D ．40349．已知ABC ∆的面积为1，内切圆半径也为1，若ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，则4a ba b c+++的最小值为（ ）A ．2 B．2．4 D．2+10．设1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若12||||6PF PF a +=，且12PF F ∆最小内角的大小为30︒，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A0y ±= B．0x ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±=11．定义在R 上的奇函数()y f x =满足(3)0f =，且当0x >时，不等式()'()f x xf x >-恒成立，则函数()()lg |1|g x xf x x =++的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若1,()0,R x Qf x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩，则称()f x 为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数()f x ，给出下面4个命题：①对任意x R ∈，都有[()]1f f x =；②对任意x R ∈，都有()()0f x f x -+=；③对任意1x R ∈，都有2x Q ∈，121()()f x x f x +=；④对任意,(,0)a b ∈-∞，都有{|()}{|()}x f x a x f x b >=>．其中所有真命题的序号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．设i 是虚数单位，则复数2i 31iz +=-的共轭复数的虚部为 ． 14．过点(1,2)-作圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则AB 所在直线的方程为 ．15．在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为 ．16．已知曲线x a y e +=与2(1)y x =-恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这x 个分店的年收入之和．（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）假设该公司在A 区获得的总年利润z （单位：百万元）与,x y 之间的关系为20.05 1.4z y x =--，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？ 参考公式：y b x a ∧∧∧=+，1221ni ii nii x ynx y b xnx∧==-==-∑∑121()()()niii nii x x yy x x ==---∑∑，a y b x ∧∧=-．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥，2PA AD ==．四边形ABCD 满足//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC 上的任意一点．（Ⅰ）若F 为PC 的中点，求证：平面EFP ⊥平面PAB ；（Ⅱ）是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由． 19．函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象．（Ⅰ）求函数()y g x =的解析式；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=，D 是AC 的中点，且cos B =，BD ABC ∆的最短边的边长． 20．已知O 为坐标原点，抛物线2:(n 0)C y nx =>上在第一象限内的点(2,)P t 到焦点的距离为52，曲线C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，直线1l 经过点Q 且垂直于x 轴． （Ⅰ）求Q 点的坐标；（Ⅱ）设不经过点P 和Q 的动直线2:l x my b =+交曲线C 于点A 和B ，交1l 于点E ，若直线PA ，PE ，PB 的斜率依次成等差数列，试问：2l 是否过定点？请说明理由．21．已知函数2()ln f x x x ax =-+．（Ⅰ）若(1)0f =，求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）证明当2()n n N *≥∈时，11111ln 2ln3ln 4ln n ++++> ； （Ⅲ）若关于x 的不等式21()(1)(21)12f x a x a x ≤-+--恒成立，求整数a 的最小值．请考生在（22）～（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号。

炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高考模拟卷(一)数学(文科)命题人、审题人：彭萍苏萍曾克平本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知复数z满足i z＝|3＋4i|－i，则z的虚部是(A)(A)－5 (B)－1 (C)－5i (D)－i【解析】复数z满足i z＝|3＋4i|－i，∴－i·i z＝－i(5－i)，∴z＝－1－5i，则z的虚部是－5.故选：A.(2)命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是(D)(A)a≥9 (B)a≤9 (C)a≤8 (D)a≥8【解析】命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题，∴a≥[x2]max＝9.∴命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是a≥8，故选：D.(3)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(D)(A)y＝x(B)y＝lg x(C)y＝2x(D)y＝1 x【解析】根据题意得，函数y＝10lg x的定义域为：(0，＋∞)，值域为：(0，＋∞)，A项，y＝x，定义域和值域都是R，不符合题意．B项，y＝lg x，定义域为(0，＋∞)，值域是R，不符合题意．C项，y＝2x，定义域是R，值域是(0，＋∞)，不符合题意．D项，y＝1x，定义域是(0，＋∞)，值域是(0，＋∞)，与y＝10lg x的定义域和值域都相同，符合题意，故选D.(4)图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m＝209，n＝121，则输出m的值等于(B)(A)10 (B)11 (C)12 (D)13【解析】当m ＝209，n ＝121，m 除以n 的余数是88， 此时m ＝121，n ＝88，m 除以n 的余数是33， 此时m ＝88，n ＝33，m 除以n 的余数是22， 此时m ＝33，n ＝22，m 除以n 的余数是11， 此时m ＝22，n ＝11，m 除以n 的余数是0， 此时m ＝11，n ＝0，退出程序，输出结果为11，故选：B.(5)已知log ab ＝－1，2a >3，c >1，设x ＝－log b a ，y ＝log bc ，z ＝13a ，则x 、y 、z 的大小关系正确的是(A)(A)z ＞x ＞y (B)z ＞y ＞x (C)x ＞y ＞z (D)x ＞z ＞y 【解析】∵log ab ＝－1，2a >3，c >1，∴x ＝－log b a ＝－12log ba ＝－12×1－1＝12，2a ＞3，a ＞log23＞1，b ＝1a ∈(0，1)．y ＝log bc ＜0，z ＝13a ＞13log23>13×log28＝12，∴z ＞x ＞y .故选：A.(6)等差数列x 1、x 2、x 3、…、x 11的公差为1，若以上述数据x 1、x 2、x 3、…、x 11为样本，则此样本的方差为(A)(A)10 (B)20 (C)55 (D)5【解析】∵等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 11的公差为1， x 1，x 2，x 3，…，x 11的平均数是x 6，∴以数据x 1，x 2，x 3，…，x 11为样本，则此样本的方差：S 2＝111[(x 1－x 6)2＋(x 2－x 6)2＋(x 3－x 6)2＋(x 4－x 6)2＋(x 5－x 6)2＋(x 6－x 6)2＋(x 7－x 6)2＋(x 8－x 6)2＋(x 9－x 6)2＋(x 10－x 6)2＋(x 11－x 6)2]＝111(25＋16＋9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＋16＋25)＝10.故选：A.(7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(B)(A)8(π＋4) (B)8(π＋8) (C)16(π＋4) (D)16(π＋8)【解析】由三视图还原原几何体如右图：该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为2，母线长为4，左右为边长是4的正方形．∴该几何体的表面积为2×4×4＋2π×2×4＋2(4×4－π×22)＝ 64＋8π＝8(π＋8)． 故选：B.(8)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标的取值范围为(A)(A)⎣⎡⎦⎤0，125 (B)[0，1] (C)⎣⎡⎦⎤1，125 (D)⎝⎛⎭⎫0，125 【解析】设点M (x ，y )，由MA ＝2MO ，知：x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2， 化简得：x 2＋(y ＋1)2＝4，∴点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ， 又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，∴1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，∴1≤a 2＋（2a －3）2≤3， 化简可得 0≤a ≤125，故选A.(9)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，若存在x 1、x 2、…、xn 满足0≤x 1＜x 2＜…＜xn ≤4π，且|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (2)－f (x 3)|＋…＋|f (xn －1)－f (xn )|＝16(n ≥2，n ∈N *)，则n 的最小值为(C)(A)8 (B)9 (C)10 (D)11【解析】∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3对任意xi ，xj (i ，j ＝1，2，3，…，n )，都有|f (xi )－f (xj )|≤f (x )max －f (x )min ＝2，要使n 取得最小值，尽可能多让xi (i ＝1，2，3，…，n )取得最高点，考虑0≤x 1＜x 2＜…＜xn ≤4π，|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (xn －1)－f (xn )|＝16，按下图取值即可满足条件，即有|1＋12|＋2×7＋|1－12|＝16.则n 的最小值为10.故选：C.(10)如图所示，两个非共线向量OA →、OB →的夹角为θ，M 、N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在直线MN 上，且OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为(B)(A)24 (B)18 (C)22 (D)12【解析】解法一：特殊值法，当θ＝90°，|OA →|＝|OB →|＝1时，建立直角坐标系， ∴OC →＝xOA →＋yOB →得x ＋y ＝12，所以x 2＋y 2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C 、M 、N 共线，所以OC →＝λOM →＋μON →，有λ＋μ＝1， 又因为M 、N 分别为OA 与OB 的中点， 所以OC →＝λOM →＋μON →＝12λOA →＋12μOB →∴x ＋y ＝12λ＋12μ＝12原题转化为：当x ＋y ＝12时，求x 2＋y 2的最小值问题，∵y ＝12－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫12－x 2＝2x 2－x ＋14结合二次函数的性质可知，当x ＝14时，取得最小值为18.故选B.(11)已知双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是(A)(A)(1，3] (B)[3，＋∞) (C)(0，3) (D)(0，3] 【解析】设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＝8a |PF 2|， ∴m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m －n m 2＝2a8an， ∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，∴n ＝2a ，m ＝4a ， 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＜|PF 1|＋|PF 2|， ∴2c ＜4a ＋2a ，∴ca ＜3，当P 为双曲线顶点时，ca＝3又∵双曲线e ＞1，∴1＜e ≤3，故选：A.(12)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x 2－f (－x )．当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜2x ；若f (m ＋2)－f (－m )≤4m ＋4，则实数m 的取值范围是(C)(A)(－∞，－1] (B)(－∞，－2] (C)[－1，＋∞) (D)[－2，＋∞) 【解析】解：令g (x )＝f (x )－x 2， g ′(x )＝f ′(x )－2x ，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜2x ， ∴g (x )在(－∞，0)递减， 而g (－x )＝f (－x )－x 2，∴f (－x )＋f (x )＝g (－x )＋x 2＋g (x )＋x 2＝2x 2， ∴g (－x )＋g (x )＝0，∴g (x )是奇函数，g (x )在R 上递减， 若f (m ＋2)－f (－m )≤4m ＋4，则f (m ＋2)－(m ＋2)2≤f (－m )－m 2， ∴g (m ＋2)≤g (－m )，∴m ＋2≥－m ，解得：m ≥－1，故选：C. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≥0，2x －y ≥0，8－x －y ≥0则目标函数z ＝3x －2y ＋1的最小值为__－53__．【解析】作出可行域，则当直线z ＝3x －2y ＋1过点A ⎝⎛⎭⎫83，163时z 取最小值－53.(14)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被y ＝3sinπ4x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为__18__．【解析】根据题意，大圆的直径为y ＝3sinπ4x 的周期，且T ＝2ππ4＝8，面积为S ＝π·⎝⎛⎭⎫822＝16π，一个小圆的面积为S ′＝π·12＝π，根据几何概型概率公式可得在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P ＝2S ′S ＝2π16π＝18.(15)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若2sin B ＝sin A ＋sin C ，cos B ＝35，且S △ABC ＝6，则b ＝__4__． 【解析】已知等式2sin B ＝sin A ＋sin C ，利用正弦定理化简得：2b ＝a ＋c ，∵cos B ＝35，∴可得sin B ＝1－cos2 B ＝45，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac ×45＝6，可解得ac ＝15，∴余弦定理可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝()a ＋c 2－2ac ()1＋cos B ＝4b 2－2×15×⎝⎛⎭⎫1＋35，∴可解得b ＝4，故答案为4. (16)已知f ()x ＝25－x ，g ()x ＝x ＋t ，设h ()x ＝max {}f ()x ，g ()x .若当x ∈N ＋时，恒有h ()5≤h ()x ，则实数t 的取值范围是__[]－5，－3__．【解析】设y ＝f ()x 与y ＝g ()x 交点横坐标为x 0，则h ()x ＝⎩⎨⎧f ()x ，x ≤x 0g ()x ，x >x 0，∵x ∈N ＋时，总有h ()5≤h ()x ，所以若h ()5＝f ()5，必有h ()6＝g ()6，只需g ()6≥f ()5，t ＋6≥1，即t ≥－5，若h ()5＝g ()5，必有h ()4＝f ()4，只需f ()4≥g ()5，2≥t ＋5，t ≤－3，综上，－5≤t ≤－3，故答案为[]－5，－3.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如下表：名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品．(Ⅰ)试确定a ，b 的值，并估计每日应准备纪念品的数量；(Ⅱ)为了迎接春节，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次购物不超过200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：请问该商场日均大约让利多少元？【解析】(Ⅰ)由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有b ＋20＝100×30%，b ＝10；2分a ＝100－()20＋30＋20＋10＝20.4分该商场每日应准备纪念品的数量大约为4000×60100＝2 400. 6分(Ⅱ)设顾客一次购物款为x 元．当x ∈(]50，100时，顾客约有4000×20%＝800人； 当x ∈(]100，150时，顾客约有4000×30%＝1200人； 当x ∈(]150，200时，顾客约有4000×20%＝800人； 当x ∈[)200，＋∞时，顾客约有4000×10%＝400人.10分该商场日均大约让利为：800×75×6%＋1200×125×8%＋800×175×10%＋400×30＝41 600(元).12分 (18)(本小题满分12分)在公比为q 的等比数列{an }中，已知a 1＝16，且a 1，a 2＋2，a 3成等差数列． (Ⅰ)求q ，an ；(Ⅱ)若q ＜1，求满足a 1－a 2＋a 3－…＋(－1)2n －1a 2n >10的最小的正整数n 的值． 【解析】(Ⅰ)由16＋16q 2＝2(16q ＋2)得4q 2－8q ＋3＝0，q ＝12或322分当q ＝12时，an ＝25－n ，4分当q ＝32时，an ＝16⎝⎛⎭⎫32n －1.6分(Ⅱ)q ＜1，an ＝25－n ，a 1－a 2＋a 3＋…＋(－1)2n －1a 2n ＝16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－122n1－⎝⎛⎭⎫－128分＝323⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－122n >10，10分 ⎝⎛⎭⎫122n<116，2n >4，n >2，正整数n 的最小值为3.12分(19)(本小题满分12分)如图，几何体ABC －A 1DC 1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，AB ＝4，AA 1＝32，A 1D ＝1，AA 1⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，E 为棱AA 1上一点，且EM ∥平面BC 1D .(Ⅰ)若N 在棱BC 上，且BN ＝2NC ，证明：EN ∥平面BC 1D ； (Ⅱ)过A 作平面BCE 的垂线，垂足为O ，确定O 的位置(说明作法及理由)，并求线段OE 的长．【解析】(Ⅰ)证明：∵EM ∥平面BC 1D ，EM 平面ABDA 1， 平面ABDA 1∩平面BC 1D ＝BD ，∴BD ∥EM .过D 作DH ⊥AB 于H ，连接CH ，则CH ∥C 1D ，则HM ＝12AB －14AB ＝14AB ，∴HM ∶MB ＝CN ∶NB ＝1∶2，∴MN ∥CH ，则MN ∥C 1D .∵EM ∩MN ＝M ，∴平面EMN ∥平面BC 1D . ∵EN 平面EMN ，∴EN ∥平面BC 1D .6分(Ⅱ)解：在线段AB 上取一点F ，使BF ＝A 1D ＝1，则A 1F ∥BD ， 由(Ⅰ)知EM ∥BD ，∴EM ∥A 1F ，∴AE AA 1＝AM AF ＝23，∴AE ＝23×32＝2 2.取BC 的中点G ，连接AG ，EG ，过A 作AO ⊥EG 于O ，则AO ⊥平面BCE .9分证明如下：由题意可知，△ABC 为等边三角形，则AG ⊥BC ， 又AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥BC .∵AG ∩AA 1＝A ，∴BC ⊥平面AEG ，∴BC ⊥AO .又EG ∩BC ＝G ，∴AO ⊥平面BCE .由射影定理可得，AE 2＝OE ×EG ， 又AG ＝23，EG ＝25，∴OE ＝455.12分(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 为椭圆C 上的任意一点，MF →1·MF 2→的最小值为2.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，点D (a ，t )为第一象限内的点，过F 2作以BD 为直径的圆的切线交直线AD 于点P ，求证：点P 在椭圆C 上．【解析】(Ⅰ)设M (x 0，y 0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则MF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，MF 2→＝(c －x 0，－y 0)，MF →1·MF 2→＝(－c －x 0，－y 0)(c －x 0，－y 0)＝x 20－c 2＋y 20， 由∵x 20a 2＋y 20b 2＝1(a >b >0)，y 20＝b 2－b 2a 2x 20，MF →1·MF 2→＝(1－b 2a 2)x 20＋b 2－c 2，由－a ≤x 0≤a ，则x 0＝0，则MF 1→·MF 2→取最小值，最小值为b 2－c 2， ∴b 2－c 2＝2，又椭圆的离心率为12∴a 2＝4，b 2＝3，则椭圆的标准方程：x 24＋y 23＝1；4分(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知F 2(1，0)，D (2，t )，B (2，0)，设以BD 为直径的圆E ，其圆心E ⎝⎛⎭⎫2，t 2， 则圆E ：(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝t 24， (6分) 直线AD 的方程为y ＝t4(x ＋2)，设过点F 2与圆E 相切的直线方程设为x ＝my ＋1，则|2－mt 2－1|1＋m 2＝丨t2丨，则m ＝4－t 24t ，(8分)解方程组⎩⎨⎧y ＝t4（x ＋2），x ＝4－t 24t y ＋1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24－2t 212＋t 2，y ＝12t12＋t 2，(10分)将⎝⎛⎭⎪⎫24－2t 212＋t 2，12t 12＋t 2代入椭圆方程成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫24－2t 212＋t 224＋⎝⎛⎭⎫12t 12＋t 223＝1，∴点P 在椭圆C 上．(12分) (21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln xx，g (x )＝b (x ＋1)，其中a ≠0，b ≠0(Ⅰ)若a ＝b ，讨论F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(Ⅱ)已知函数f (x )的曲线与函数g (x )的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，证明：x 1＋x 2ag (x 1＋x 2)>2.【解析】(Ⅰ)由已知得F (x )＝f (x )－g (x )＝a (ln xx －x －1)，∴F ′(x )＝ax 2(1－x 2－ln x )当0＜x ＜1时，∵1－x 2＞0，－ln x ＞0，∴1－x 2－ln x ＞0，； 当x ＞1时，∵1－x 2＜0，－ln x ＜0，∴1－x 2－ln x ＜0.故若a ＞0，F (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；故若a ＜0，F (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(4分) (Ⅱ)不妨设x 1＞x 2，依题意a ln x 1x 1＝b (x 1－1)，∴a ln x 1＝b (x 21－x 1)………①，同理得a ln x 2＝b (x 22－x 2)………②， 由①－②得a ln x 1x 2＝b (x 1－x 2)(x 1＋x 2－1)，∴ln x 1x 2（x 1－x 2）＝ba(x 1＋x 2－1)，(8分) ∴x 1＋x 2a g (x 1＋x 2)＝(x 1＋x 2)ba (x 1＋x 2－1)＝（x 1＋x 2）x 1－x 2ln x 1x 2. 故只需证（x 1＋x 2）x 1－x 2ln x 1x 2>2，取t ＝x 1x 2>1即只需证明t ＋1t －1ln t >2，对任意的t >1成立，即只需证p (t )＝ln t －2·t －1t ＋1>0对 t >1成立，p ′(t )＝（t －1）2t （t ＋1）2>0.∴p (t )在区间[1，＋∞)上单调递增，∴p (t )＞p (1)＝0， t ＞1成立，故原命题得证．(12分)请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数) (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝14，求直线的倾斜角α的值．【解析】(Ⅰ)∵ρ＝4cos θ，而ρcos θ＝x ，∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ可化为：ρ2＝4ρcos θ∴.(x －2)2＋y 2＝4(5分)(Ⅱ)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得： 化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，t 1＋t 2＝2cos α，t 1·t 2＝－3∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos2α＋12＝14可得cos α＝±22.∴α＝π4或α＝3π4. ∴直线的倾斜角为α＝π4或α＝3π4.(10分)(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1.(Ⅰ)若ab ≤m 恒成立，求m 的取值范围；(Ⅱ)若 4a ＋1b≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，求x 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b ＝12时“＝”成立， 由ab ≤m 恒成立，故m ≥14；(5分) (Ⅱ)∵a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，∴4a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a ＋1b (a ＋b )≥9， 故4a ＋1b≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，则|2x －1|－|x ＋2|≤9， 当x ≤－2时，解得－6≤x ≤－2，当－2<x <12，解得－2<x <12， 当x ≥12时，解得12≤x ≤12， 综上所述x 的取值范围为[－6，12]．(10分)。