第十五章 分式(单元总结)(解析版)八年级数学上册(人教版)

1/1 第十五章 分式

单元总结

【知识要点】

知识点一：分式的基础

概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。

与分式有关的条件：

要求

表示

分式有意义 分母≠0

分式无意义 分母=0

分式值为0 分子为0且分母不为0

分式值为正或大于0 分子分母同号 ① A>0,B>0

② A<0,B<0

分式值为负或小于0 分子分母异号 ①A>0,B<0

②A<0,B>0

分式值为1 分子分母值相等 A=B

分式值为-1 分子分母值互为相反数 A+B=0

知识点二：分式的运算（重点）

基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：，，

其中A、B、C是整式，C0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

 分式的约分

约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。

最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式。 2/1 分式约分步骤：

1）提分子、分母公因式

2）约去公因式

3）观察结果，是否是最简分式或整式。

注意：

1.约分前后分式的值要相等.

2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.

3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式

 分式的通分

通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

分式通分的关键：确定最简公分母

确定分式的最简公分母的方法

1.因式分解

2.系数：各分式分母系数的最小公倍数；

3.字母：各分母的所有字母的最高次幂

4.多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂

5.积

约分与通分的相同点：

 分式的四则运算与分式的乘方

1）分式的乘除法法则： 3/1 用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为

2）分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子

注意：

1.分式乘方要把分子、分母分别乘方。

2.分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。

3）分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为

异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

4）整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

5)分式混合运算的运算

运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算；

2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；

3.确定分式的符号，然后约分；

4.结果应是最简分式.

 整数指数幂

➢

➢

➢

➢ （）

➢ 4/1 ➢ （）

➢ （）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）

其中m，n均为整数。

 科学记数法

有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式.(1≤∣a∣＜10，n是正整数)

注意：

1）1≤︱a︱＜10

2）n是正整数，n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0）

知识点三 分式方程

解分式方程的基本

1）去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。

2）解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。

3）检验(把整式方程的解代入最简公分母，

若最简公分母为0 ，则x=a不是分式方程的解

若最简公分母不为0，则x=a是分式方程的解

4）写出答案

增根的概念：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母为0 ），那么这个根叫做原分式方程的增根。

分式方程解决实际问题的步骤：

1. 根据题意找等量关系

2. 设未知数

3. 列出方程

4. 解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）

5. 写答案

【考查题型】 5/1

考查题型一 分式的定义

典例1．（2019·临淄区期中）下列各式：22311,,,5,,7218abxxyax中，分式有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【详解】

解：3a，11x是分式，共2个，

故选B．

变式1-1．（2018·桂林市期末）下列式子中，是分式的是（ ）

A．3x B．a C．225xy D．15y

【答案】D

【详解】

A、-3x的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式，故本选项错误；

B、a的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式，故本选项错误；

C、225xy的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式，故本选项错误；

D、15y分母中含有字母，因此是分式，故本选项正确.

故选D． 6/1 变式1-2．（2019·洛阳市期中）下列各式：①1a，②1x，③15x，④22xy，其中是分式的有（ ）

A．①②③④ B．①④ C．①②④ D．②④

【答案】B

【解析】

式子：①1a，②1x，③15x，④22xy，其中是分式的有2个：①1a，④22xy.

故选B.

考查题型二 分式有意义的条件

典例2．（2020·保定市期中）若分式12x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）

A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x=﹣2 D．x≠﹣2

【答案】D

【详解】

∵代数式12x在实数范围内有意义，

∴x+2≠0，

解得：x≠﹣2，

故选D．

变式2-1．（2019·德州市期末）无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（ ）

A．221aa B．21aa C．211aa D．211aa

【答案】D

【解析】

试题解析：当a=0时，a2=0，故A、B中分式无意义；

当a=-1时，a+1=0，故C中分式无意义；

无论a取何值时，a2+1≠0，

故选D．

变式2-2．（2018·萍乡市期末）当x＝1时，下列式子无意义的是（ ） 7/1 A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

A、x＝0分式无意义，不符合题意；

B、x＝﹣1分式无意义，不符合题意；

C、x＝1分式无意义，符合题意；

D、x取任何实数式子有意义，不符合题意．

故选C．

【点睛】

此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义⇔分母为零；

（2）分式有意义⇔分母不为零；

（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

考查题型三 分式的值

典例3．（2019·菏泽市期末）若分式112xy，则分式4543xxyyxxyy的值等于（ ）

A．﹣35 B．35 C．﹣45 D．45

【答案】B

【解析】

试题分析：整理已知条件得y-x=2xy；

∴x-y=-2xy

将x-y=-2xy整体代入分式得

4544()585333()32355xxyyxyxyxyxyxyxxyyxyxyxyxyxy．

故选B．

变式3-1．（2019·沅陵县期末）若abcd,,,满足abcdbcda,则2222abbccddaabcd的值为（ ） 8/1 A．1或0 B．1 或0 C．1或2 D．1或1

【答案】D

【详解】

令abcdkbcda,则,,,,abkbckcdkdak 则4aa,k且a0,则k=1，当k=1则22221abbccddaabcd；当k=-1，22221abbccddaabcd.

故选D.

变式3-2．（2020·乐山市期末）若2ab，则222aabab的值为（ ）

A．13 B．23 C．13 D．23

【答案】B

【详解】

解：因为2ab，得2ab．

所以222()222()()233aabaababbababababbbb．

故选：B．

考查题型四 分式的基本性质

典例4．（2019·孟津县期中）下列各式从左到右的变形正确的是 ( )

A．220.220.33aaaaaa B．11xxxyxy

C．116321623aaaa D．22baabab

【答案】C

【详解】

解：A. 220.21020.3103aaaaaa，故原选项错误；

B. 11xxxyxy，故原选项错误；