298.四边形复习2版本Ⅱ(杨)[1]

海陵中学初二数学教学案 班级 ，姓名 （设计人：杨红芳） 第十九章《四边形》

四边形复习（二）

1．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=33，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°．

⑴ 求BE、QF的长．⑵ 求四边形PEFH的面积．

2．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请证明你的猜想．

图 3图 2图 1NNNDADADACBCBCBMMM

3．已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝252，O为BC上一点，BO＝72，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．

⑴ 若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；

⑵ 若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标；

⑶ 若将（1）中的点M的坐标改为（5，0），其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标．

4．如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE．(不需要证明)

⑴如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”)

⑵如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

⑶如图④，在⑵的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种？并写出证明过程．

④③②①PQMNGFEDAGFEGFDAGFEDADABBBBCCCEC

5．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

⑴ 如果AB=AC，∠BAC=90º．解答下列问题：

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为

，数量关系为 ．

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

⑵ 如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

图丙图乙图甲EFEFEFABABABCDCDCD

6.（2011黑龙江绥化试题）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连结EG、CG，如图（1），易证EG=CG，且EG⊥CG.

（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.

（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明. HQFEPDABC海陵中学初二数学教学案 班级 ，姓名 （设计人：杨红芳）

第十九章《四边形》

【答案部分】

1．（1）①BE＝2；②提示：∠AHP＝30°，易得QF＝1；

（2）提示：S四边形PEFH＝S梯形ABEF－（S△PAH＋S△PBE）＝73．

HQFEPDABC

2．答案：（1）如图2，线段BM、DN和MN之间的数量关系：BM+DN=MN；

图 3图 2图 1NNNDADADACBCBCBMMM

证明提示：将△AND绕点A顺时针旋转90°至△AND′，则B、M、N′共线，易得△AMN′≌△AMN（SAS）； （2）如图3，线段BM、DN和MN之间的数量关系DN－BM＝MN，证法同（1）．

3．答案：

（1）符合条件的等腰△OMP有1个，P的坐标为（12，4）；

（2）以OM为底和腰分类讨论，得符合条件的等腰△OMP有4个（如下左图）：P1(2，4)，P2(0，4)，P3(4，4)，P4(－71522，)； （3）以OM为底和腰分类讨论，得符合条件的等腰△OMP有7个（如上右图）：P1(52，4)，P2(2，4)，P3(8，4)，P4(9,3)，P5(3,4)，P6(-3,4)，P7(－75122，)．

xy9－72P4P3P1MP2DABCOxy9－72P1P5P7P6P4P3P2MDABCO

4．答案：

（1）成立（如图②）；

（2）成立（如图③）．证明提示：证明△DEC≌△AFD（SAS）即可；

（3）四边形MNPQ是正方形．证明提示：由（2）得AF=DE，AF⊥DE，再结合三角形中位线定理得出上述结论．

5．答案：

（1）①垂直，相等；②成立，理由提示：由△ABD≌△ACF（SAS），得BD＝CF，∠ACF＝∠B＝45°，∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°．

（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BC．

H2H1EFBACD

理由：作AH1⊥BC于H1，AH2⊥CF于H2（如上图），由于CF⊥BC，易证△ADH1≌△AFH2

继而证△AH2C≌△AH1C，得∠ACB＝45°

6.答案：

解：（1）EG=CG，且EG⊥CG，如图（4）.

（2）EG=CG，且EG⊥CG.

证明：如图（6）．延长FE交DC延长线于M，连MG

∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°

∴四边形BEMC是矩形.

∴BE=CM，∠EMC=90°

又∵BE=EF，∴EF=CM 海陵中学初二数学教学案 班级 ，姓名 （设计人：杨红芳） 第十九章《四边形》

∵∠EMC=90°，FG=DG

∴MG=12FD=FG

∵BC=EM，BC=CD

∴EM=CD

∵EF=CM

∴FM=DM

∴∠F=45°

又FG=DG，∠CMG=12∠EMC=45°，

∴∠F=∠GMC

∴△GFE≌△GMC

∴EG=CG，∠FGE=∠MGC

∴MG⊥FD

∴∠FGE+∠EGM=90°

∴∠MGC+∠EGM=90°

即∠EGC=90°，∴EG⊥CG.