- 1 - 习题3-1
1．设某产品的总成本C是产量q的函数:2
+1Cq
，求
(1) 从100q
到102q
时，自变量的改变量q
；
(2) 从100q
到102q
时，函数的改变量C
；
(3) 从100q
到102q
时，函数的平均变化率；
(4) 总成本在100q
处的变化率.
解：(1) q
=102-100=2,
(2) (102)(100)CCC
=22
102+1)-(100+1)=404(
(3) 函数的平均变化率为
00()()404
202
2CqqCqC
qq
.
(4) 总成本在100q
处的变化率为
100()(100)
lim
100
qCqC
q
22
100100100
limlim(100)200
100
qqq
q
q
2
．设()2fxx
，根据导数定义求(4)f
.
解
44()(4)224
(4)limlim
44
xxfxfx
f
xx
42(2)1
lim
2
(2)(2)
xx
xx
3．根据函数导数定义，证明(cos)sinxx
.
证 根据函数导数定义及“和差化积”公式，得
0cos()cos
(cos)lim
hxhx
x
h
0sin
2
limsin()
2
2hh
h
x
h
sinx
.
4．已知()fak
，求下列极限： (1)
0()()
lim;
xfaxfa
x
(2)
0()()
lim
xfaxfax
x
解 (1)
00()()()()
limlim();
xxfaxfafaxfa
fak
xx
(2)
0()()
lim
xfaxfax
x
=
0()()()()
lim
xfaxfafafax
x
00()()()()
limlim
xxfaxfafaxfa
xx
()()2fafak
5．已知.0)0(f(0)1f
，计算极限
0(2)
lim.
xfx
高数三的知识点总结
1. 多元函数的导数与偏导数
多元函数的导数是指一个多元函数在某一点处对某个自变量的变化率。对于一个n元函数，其导数是一个n维的行矢量。偏导数是指多元函数在某一点处对某个自变量的变化率，但是其他自变量保持不变。偏导数的计算方法和一元函数的导数一样。
2. 多元函数的微分
多元函数的微分是用矩阵表示的，多元函数的微分与导数的关系是微分是导数在自变量的增量上的线性逼近。微分是对于函数的局部线性化近似。
3. 隐函数与参数方程
隐函数是指多元函数中存在的关系式，一般是用两个变量表示的函数。参数方程是指用参数表示的函数关系，参数方程可以将曲线或曲面参数化。
4. 向量的导数与微分
向量的导数是指向量值函数的导数，微分是对于向量值函数的局部线性化近似。
5. 多元函数的极值
多元函数的极值是指在某一点附近的一阶、二阶导数条件下函数取得的最值点。求多元函数的极值需要利用偏导数与二阶导数的判定方法。
6. 凹凸性与拐点
凹凸性是函数在某一点附近二阶导数的正负决定的，凹凸性是判断函数的局部极值的一个重要条件。拐点是函数在某一点处凹凸性的改变点，是函数的凹凸性改变的标志。
7. Lagrange 乘子法
Lagrange 乘子法是求多元函数在给定条件下的极值的方法，通过引入拉格朗日乘子，将带条件的极值问题转换为不带条件的极值问题。
8. 重积分及其应用
重积分是对多元函数在给定区域上的积分，重积分在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。
9. 曲线积分与曲面积分
曲线积分是对向量场沿曲线的积分，曲面积分是对向量场或标量场在曲面上的积分。曲线积分与曲面积分是研究力场、电场、磁场等科学问题中的重要工具。 以上是高等数学三的知识点总结，希望对您有所帮助。
高数基础知识的简明总结与归纳
高数，作为数学的一个分支，是许多学科的基础。本文将简要概述和总结高数中的一些基本概念和定理，以帮助读者更好地理解和掌握这一学科。
一、极限论
极限论是高等数学的基础，它涉及到函数的变化趋势和无穷小量的概念。极限的定义是：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当x满足|x-a|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，其中a是x的某一取值，A是f(x)在a处的极限。
二、导数与微分
导数是函数在某一点的切线的斜率，表示函数在该点的变化率。微分则是函数值变化的近似值。导数在几何上可以表示曲线在某一点处的切线，也可以用于求解函数的极值。微分法则提供了计算近似值的方法，例如计算函数的增减性、极值等。
三、积分学
积分学包括不定积分和定积分。不定积分是求函数的原函数的过程，而定积分则是计算曲线与x轴所夹的面积。定积分的应用非常广泛，例如计算物体的重心、求解变速直线运动的位移等。
四、多元函数微积分
多元函数微积分是高数的又一重要分支，它涉及到多个变量的函数及其极限、连续、可微、可积等概念。其中，方向导数和梯度表示函数在多维空间中的变化率，而多元函数的积分则涉及到重积分、曲线积分和曲面积分等。
五、无穷级数与幂级数
无穷级数是无穷多个数相加的结果，它可以用来表示数学中的一些公式和定理。幂级数是无穷级数的一种特殊形式，它可以用来近似表示一些复杂的函数。幂级数的收敛性和函数性质是研究幂级数的重要内容。
1 高等数学基础知识点与历次考题（2） 导数与微分
1用导数定义式求极限
070713.设)(xf在0x可导，则hxfhxfh)()2(lim000（ ）．
A )(0xf B )(20xf C )(0xf D
)(20xf
070113.设)(xf在0x可导，则hxfhxfh2)()2(lim000（ ）．
(A) )(0xf (B) )(20xf (C) )(0xf
(D) )(20xf
060113.设xxfe)(，则xfxfx)1()1(lim0（ ）．A e2 B e C e41
D e21
2 微分概念与计算
080713.下列等式中正确的是（ ）
A dxxxd1)1(2 B dxx2)x1d( C dxdxx2)ln22( D cotxdxd(tanx)
050713.下列等式中正确的是（ ）．
A.xdxxdarctan)11(2 B. 2)1(xdxxd C.dxdxx2)2ln2( D.xdxxdcot)(tan
3导数的几何意义，求曲线的切线斜率和切线方程
080723.曲线xxfsin)(在)0,(处的切线斜率是 ．
080123.曲线xxfsin)(在)1,2(处的切线斜率是 ．
070723. 曲线1)(xexf在（0，2）处的切线斜率是
．
070123.曲线1)(3xxf在)2,1(处的切线斜率是 ．
060723.曲线2)(xxf在)2,2(处的切线斜率是 ．
060123.曲线1)(xxf在)2,1(处的切线斜率是 ．
