高考数学课程一轮复习 第33课时 简单的三角恒等变换

第33课时 简单的三角恒等变换【考点点知】知己知彼，百战不殆新课标高考对三角恒等变换的要求有所降低，但三角函数求值、化简及恒等式证明仍是高考的热点．需要掌握的公式有两角和差、倍角的三角函数公式.新课标主要要求“能用上述公式进行简单的三角函数恒等变换”，这说明备考重点是掌握变换的基本思想方法.而不是盲目地训练繁难的偏题、怪题，应重视通性、通法的运用．考点一: 简单的三角恒等变换1.巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，2αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）.2.三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=).利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理 ( 1±sin α 可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式) ；22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ααα，22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααα等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化．3.辅助角公式中辅助角的确定：()，ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a )sin ,(cos 2222ba b ba a s +=+=ϕϕ在求最值、化简时起着重要作用.【小题热身】明确考点，自省反思1.若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为 . 2. 若2213cos 20sin 10cos 10a -=︒︒︒,则a = .3. (上海春季卷)已知tan ,(1)a a θ=>，求sin 4tan 2sin 2πθθπθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭= .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.设3sin β=sin(2α+β),α≠k π+2π,α+β≠k π+2π.(k ∈Z )求证：tan(α+β)=2tan α.思路透析:证明: 由3sin β=sin(2α+β），得3sin ［(α+β)－α］=sin ［(α+β)+α］, 即3sin(α+β)cos α－3cos(α+β)sin α=sin （α+β)cos α+cos(α+β)·sin α. 整理得sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α. 因为α≠k π+2π,α+β≠k π+2π(k ∈Z ).将上式两边同除以cos αcos(α+β). 得tan(α+β)=2tan α.点评:要注意观察条件和结论之间的差异.主要是看角，看函数的名称、次数、式子的结构特征.如从角的差异入手，将角变形为2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)－α.从已知条件变形入手，可证得结论.例2.已知7sin α=3sin （α+β）,求证：2tan22βα+=5tan 2β. 思路透析:证明：由已知7sin α=3sin （α+β），即7sin （22βα+－2β）=3sin （22βα++2β）.∴7sin 22βα+cos 2β－7cos 22βα+sin 2β=3sin 22βα+cos 2β+3cos 22βα+sin 2β,即2sin 22βα+cos 2β=5cos 22βα+sin 2β.两边同除以cos 22βα+cos 2β,即得2tan 22βα+=5tan 2β.点评:盯住欲证等式的左、右两边，根据它们的状况（一般要看角、函数名称、结构特征），采取恰当的措施来对条件等式进行变形，直到目标.例3.求证：αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβsin sin .思路透析:证明：sin （2α+β）－2cos （α+β）sin α =sin ［（α+β）+α］－2cos （α+β）sin α=sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α－2cos （α+β）sin α =sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α=sin ［（α+β）－α］=sin β. 两边同除以sin α得 αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβsin sin .点评:证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.例4. P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，且∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=2α，求证：椭圆的离心率为e =2cos α－1.思路透析:证明：在△PF 1F 2中，由正弦定理知α2sin ||1PF =αsin ||2PF =）（α3πsin||21-F F .由比例的性质得α3sin ||21F F =ααsin 2sin ||||21++PF PF⇒e =||||||2121PF PF F F +=αααsin 2sin 3sin +=ααααααα2cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin ++ =）（）（αααααcos 21sin cos sin 2cos 2sin 22+⋅+1-=1+-ααcos 21cos 42=2cos α－1. 点评:依据椭圆的定义2a =|PF 1|+|PF 2|，2c =|F 1F 2|，∴e =ac22.在△PF 1F 2中解此三角即可得证.恰当地利用比例的性质有事半功倍之效. 【即时测评】学以致用，小试牛刀1. 如果tan312=α，那么cos α=( ) A. 12 B. 34 C. 54 D. 352. 若2π<α<π，且cos α＝a ,则sin 2α=( )A.B.C.D. 21a-3. 化简x x x x 2cos cos sin 2cos 44-++的结果是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. -14. 给出下列三角函数式：①)4sin(2x +π;),4x π+③2212tan tan 221tan 2x x x --+ ③22cos 122cos 1xx --+, 当x ∈R 时与cos x －sin x 恒等的是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1. 化简cos2α+6sin 22α－8sin 42α=________. 2. 若sin α＝135，α在第二象限，则tan 2α= . 3. 若tan θ＋cot θ＝ｍ，则sin2θ= .4. 若－2π<α<－23π,则2)cos(1πα--= .5. 已知tan α和tan （4π－α）是方程ax 2+bx +c =0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 .6. 周长为定值L （L ＞0）的直角三角形的面积的最大值为 . 二、解答题:7.求证：.2tan 2sin )1cos )(sin 1cos (sin xx x x x x =+--+8.在△ABC 中，求证：sin 2.2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 222C B A C B A -=++第33课时 简单的三角恒等变换参考答案【小题热身】 1. 12 2. 32 3.【即时测评】1. C2. D3. B4. B【课后作业】一、填空题:1. cos α2. 53. m 24. －cos 2α 5. c =b +a 6. 4223-L 2二、解答题:7.证明：左边=x x xx x x x x cos sin 2)2sin 22cos 2sin 2)(2sin 22cos 2sin 2(22+- xx x x x x x cos sin 2)2sin 2)(cos 2sin 2(cos 2sin 42+-=2222sin (cos sin )sin cos 2222tan 22sin cos cos cos cos 222x x x xxx x x x x x -⋅====⋅右边.8.证明：左边=2cos 12cos 12cos 1CB A -+-+- 31(cos cos cos )22A B C =-++ 31[cos()cos()cos ]222222A B A B A B A B C +-+-=-++-+ 231(2cos cos 12sin )22222A B A B C +-=-+- 211(2sin cos 2sin )2222C A B C -=--1sin (cos cos )1sin 2sin sin 222222C A B A B C A B-+=--=-⋅12sinsin sin .222A B C =-。