【最新文档】指数函数运算法则-word范文 (14页)

一个很好的例子，其概率密度函数可以用指数函数来表示。
03
电子线路
在电子线路中，指数函数可以用来描述电阻、电容等元件的特性。例
如，二极管的电流-电压特性可以用指数函数来描述。
科技领域的应用
计算机科学
在计算机科学中，指数函数被用来描述算法的时间复杂度和空间复杂度。例如， 快速排序算法的时间复杂度为O(nlogn)，这里的对数函数就是一种指数函数。
进一步探索指数函数的性质和图像特征，包括其 导数、积分、极值等。
研究指数函数与其他数学知识的交汇点，例如与 微分方程、线性代数等的联系。
探讨指数函数在各个领域中的应用，例如在物理 、化学、工程、经济等学科中的具体应用。
学习和掌握使用数学软件和工具，例如MATLAB 、Python等，来帮助我们更好地分析和可视化指 数函数的图像和数据。
使用Excel绘制指数函数的图像
步骤1
打开Excel，新建一个工作簿。
步骤2
在单元格中输入指数函数的表达式 ，例如`=EXP(X)`，其中X是单元格 B2。
步骤3
选中包含指数函数表达式的单元格 ，然后转到“插入”选项卡并选择 “图表”。
步骤4
在弹出的对话框中，选择“散点图 ”或“曲线图”，然后单击“确定 ”。
指数函数的乘除运算
总结词
指数函数的乘除运算规则是，同底数幂相乘除，结果作为指数，底数不变。
详细描述
在指数函数的乘除运算中，如果两个指数函数的底数相同，则只需要将指数相乘除。例如，$2^{3} \times 2^{4} = 2^{3 \times 4}$，即$8 \times 16 = 128$。同样地，如果两个指数函数的底数不同，则不能进行乘 除运算。
性质1

•指数函数基本概念•指数函数运算规则•指数函数在生活中的应用•指数函数与对数函数关系目•指数方程和不等式求解方法•指数函数在高级数学中的应用录指数函数的定义底数a的取值范围函数的单调性函数的值域函数的周期性030201指数函数的图像是一条从y轴上的点(0,1)出发的曲线。

当a>1时，曲线向上增长；当0<a<1时，曲线向下减少。

指数函数的图像关于y轴对称，即对于任意x值，f(-x)=f(x)。

指数函数的图像具有渐近线y=0，即当x趋近于负无穷大时，y趋近于0。

同时，当x趋近于正无穷大时，y趋近于正无穷大（a>1）或0（0<a<1）。

指数函数图像与特征同底数指数法则乘法法则除法法则幂的乘方法则不同底数指数法则乘法公式除法公式指数运算优先级01020304括号指数乘除加减复利计算复利公式A = P(1 + r/n)^(nt)，其中A表示未来值，P表示本金，r表示年利率，n表示每年计息次数，t表示时间（年）。

该公式用于计算投资或存款在定期计息的情况下的未来值。

连续复利当计息次数趋于无穷大时，复利公式变为A = Pe^(rt)，其中e是自然对数的底数，约等于2.71828。

连续复利更精确地描述了资金在连续时间内的增长情况。

放射性物质衰变衰变公式半衰期细菌繁殖模型细菌增长公式N = N₀e^(kt)，其中N表示经过时间t后的细菌数量，N₀表示初始数量，k表示细菌增长率，t表示时间。

该公式用于描述在理想条件下细菌数量的指数增长。

细菌繁殖周期细菌从一个分裂成两个所需的时间称为繁殖周期。

在理想条件下，细菌数量每经过一个繁殖周期就会翻倍。

因此，细菌数量的增长与繁殖周期和经过的时间密切相关。

对数函数的定义：对于任意正实数a（a≠1），如果N （N>0）的a次幂等于X，那么X叫做以a 为底N的对数，记作X=logaN。

其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

对数函数的性质底数大于1时，函数是增函数；底数小于1时，函数是减函数。

指数及指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 结论：当n 是奇数时，a a n n =当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·sr r aa += ),,0(Q s r a ∈>；（2）rssr a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）srra a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．（一）指数函数的概念一般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义 ○2 注意指数函数的底数的取值范围，底数为什么不能是负数、零和1．（二）指数函数的图象和性质注意内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．指数函数的图象如右图：4图象特征函数性质1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R +函数图象都过定点（0，1） 1a 0=自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 1a ,0x x >> 1a ,0x x <>在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 1a ,0x x <<1a ,0x x ><图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；指数与指数函数练习题一、选择题：1、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ） A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭2、44等于（ ） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2a3、若1,0a b ><,且b b a a -+=则b b a a --的值等于（ ）A 、6B 、2±C 、2-D 、24、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A 、1>a B 、2<a C、a <、1a <<5、下列函数式中，满足1(1)()2f x f x +=的是( )A 、 1(1)2x +B 、14x + C 、2x D 、2x -6、已知01,1a b <<<-,则函数xy a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限7、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ）A 、(1%)na b -B 、(1%)a nb -C 、[1(%)]n a b -D 、(1%)na b -8、若103,104x y ==，则10x y -= 。

指数函数（优秀版）word资料数学（必修1）指数函数x1象和性质表。

三、典例探究例题讲解，感悟新知例1、求下列函数的定义域：（1）y=2x +1 （2）y=4x+1+2x+1+1 （3）y=(0.5) （4）y=31 x分析：抓住指数函数的定义要求去分析所给复合函数问题。

解：（1）R ，（2） R ，（3） x ≠0的一切实数, (4) x ≥1. 例2、函数f(x)=a x (a>0,且a ≠1)对于任间的实数都有（ ） A 、f(xy)=f(x)f(y) B 、f(xy)=f(x)+f(y)C 、f(x+y)=f(x)f(y)D 、f(x+y)=f(x)+f(y) （ 北京春季高考题） 分析：根据指数运算法则，可得函数f(x)=a x (a>0,且a ≠1)满足 f(x+y)=f(x)f(y)，故应选C 四、备战实练巩固练习、学会应用1、指出下列函数哪些是指数函数 (1) y=4x ； (2) y=x 4 ；(3) y= - 4x ；(4) y=(-4)x ；(5) y=x x分析：由指数函数的定义进行判别可知(1)是； (2)不是指数函数而是幂函数；(3)不是，因为是-1与指数函数4x 的乘积； (4)不是，因为底数-4<0； (5)不是，因为底数x 不是常数.2、函数y=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A 、|a|>1 B 、|a|>2 C 、|a|>2 D 、1<|a|<2解：选D五、巩固反思1、本节所学数学知识：指数函数的定义、图象和性质2、本节所学数学方法：（1）具体到抽象的数学方法（将实际问题转化为数学模型） （2）数形结合的数学思想六、课堂跟踪反馈 1、在你的所见所闻中列举出符合指数函数数学模型的现象， 并写出函数关系式。

2、设f(x)=3x ，则f -1(x)的定义域是 ____________2020 -2020 学年第一周导学案§2.6 指数与指数函数课时:2课时 主备课人：马富强导学目标1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．1.根式(1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根.也就是，若x n ＝a ，则x 叫做__________，其中n ＞1且n ∈N *.式子 na 叫做__________，这里n 叫做__________，a 叫做______________. (2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号________表示.②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a 的正的n 次方根用符号________表示，负的n 次方根用符号__________表示.正负两个n 次方根可以合写为________(a ＞0). ③(na )n ＝______.④当n 为奇数时，na n ＝______；当n 为偶数时，na n ＝|a |＝__________. ⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个(n ∈N *). ②零指数幂：a 0＝______(a ≠0).③负整数指数幂：a －p ＝________(a ≠0，p ∈N *).④正分数指数幂：a mn ＝______(a >0，m 、n ∈N *，且n >1).⑤负分数指数幂：a －mn＝________＝________ (a >0，m 、n ∈N *，且n >1).⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂______________. (2)有理数指数幂的性质①a r a s ＝________(a >0，r 、s ∈Q )； ②(a r )s ＝________(a >0，r 、s ∈Q )； ③(ab )r ＝________(a >0，b >0，r ∈Q ). 3.指数函数的图象与性质y ＝a x a >1 0<a <1图象定义域 (1) ________ 值域(2)________ 性质(3)过定点________(4)当x >0时，____； x <0时，________ (5)当x >0时，________； x <0时，________ (6)在(－∞，＋∞)上是________(7)在(－∞，＋∞)上是________[难点正本 疑点清源]1.根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程.2.指数函数的单调性是底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0<a <1和a >1进行分类讨论.1.用分数指数幂表示下列各式. (1)3x 2＝________；(2)4(a ＋b )3((a ＋b )>0)＝________； (3)m 3m＝________.2.化简162[(2)]-－(－1)0的值为________.3.若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________.4.若函数f (x )＝a x －1 (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.5.已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于 ( ) A.5 B.7 C.9 D.11➢ 题型一 指数式与根式的计算问题 例1 计算下列各式的值.(1)382-27（-）＋()120.002-－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)15＋2－(3－1)0－9－45； (3)3322111143342()a b ab a b a b- (a >0，b >0).探究提高 根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.计算下列各式的值：(1)131.5-×⎝⎛⎭⎫－760＋8×42＋(32×3)6－2323⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)413322333824a a b a ab b-++÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a (a >0，b >0). ➢ 题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝xa x|x |(0<a <1)图象的大致形状是 ( )(2)若函数y ＝a x＋b －1 (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a 、b 的取值范围是________________.(3)方程2x ＝2－x 的解的个数是________.探究提高 (1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.(1)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为 ( )(2)k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？➢ 题型三 指数函数的性质及应用例3 设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.探究提高 指数函数问题一般要与其它函数复合.本题利用换元法将原函数化为一元二次函数.结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解.由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底数的分类讨论，避免漏解.已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围.试题：(14分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数.(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围.审题视角 (1)f (x )是定义在R 上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f (0)＝0，f (1)＝－f (－1).(2)可考虑将t 2－2t,2t 2－k 直接代入解析式化简，转化成关于t 的一元二次不等式.也可考虑先判断f (x )的单调性，由单调性直接转化为关于t 的一元二次不等式. 规范解答解 (1)因为f (x )是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.[4分]又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.[7分](2)方法一 由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0，即()()()()222221221222212221t k tttt tk-+--+-+-+++-+<0. [9分]整理得2322t t k-->1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0. [12分]上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.[14分]方法二 由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k ). 因为f (x )是R 上的减函数， 由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .[12分]即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13. [14分]批阅笔记 (1)根据f (x )的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意的是：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的x 都成立.所以还要注意检验.(2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价转化为：t 2－2t >－2t 2＋k 恒成立.这个转化考生易出错.其次，不等式t 2－2t >－2t 2＋k 恒成立，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，也可以这样做：k <3t 2－2t ，t ∈R ，只要k 比3t 2－2t 的最小值小即可，而3t 2－2t 的最小值为－13，所以k <－13.方法与技巧1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x 轴是函数图象的渐近线.当0<a <1时，x →＋∞，y →0；当a >1时，x →－∞，y →0；当a >1时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增的速度越快；当0<a <1时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快.2.画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )、 (0,1)、⎝⎛⎭⎫－1，1a . 3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解.失误与防范1.指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0<a <1来研究.2.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.A 组 专项基础训练题组一、选择题 1.函数y ＝2x的值域是 ( )A.[0，＋∞)B.[1，＋∞)C.(－∞，＋∞)D.[2，＋∞)2.若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是 ( ) A.(0,1)∪(1，＋∞) B.(0,1) C.(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，123.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 ( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0 二、填空题 4.已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________. 5.若函数f (x )＝e －(x －μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________. 6.函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为__________.7.已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则a ＋b 的值是________.三、解答题8.(1)计算：110.253322(0.02)(0.32)0.062589-⎡⎤-+÷⨯÷⎢⎥⎣⎦22--0.534（3）（5）（0.008）； (2)化简：23233532()b a a aa a a-••-⨯(式中字母都是正数).B 组 专项能力提升题组一、选择题1.函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x 的值域是 ( ) A.RB.(0，＋∞)C.(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞2.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x (x >0)，e x (x ≤0)，F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R .F (x )的值域为( )A.(－∞，1]B.[2，＋∞)C.(－∞，1]∪[2，＋∞)D.(－∞，1)∪(2，＋∞)3.若函数f (x )＝a |2x －4| (a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ( )A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]二、填空题4.函数f (x )＝ax 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝______.5.函数y ＝a 2x －2 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A ，则坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为________.6.关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________. 三、解答题7.已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]. (1)求a 的值.(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围. 8.已知函数f (x )＝a a 2－1(a x －a －x ) (a >0，且a ≠1).(1)判断f (x )的单调性；(2)验证性质f (－x )＝－f (x )，当x ∈(－1,1)时，并应用该性质求f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的范围.教学过程一、知识讲解考点1 根式的概念（1）定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称为a 的n 次方根．即，若a x n =，则x 称a 的n 次方根（*∈>N n n 且1）．①当n 为奇数时，n a 的次方根记作na ；②当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n .（2）性质：①a a n n =)(； ②当n 为奇数时，a a nn=；③当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n n ．考点2幂的有关概念（1）规定：①)(*∈⋅⋅⋅=N n a a a a n ；②)0(10≠=a a ， ③∈=-p aap p(1Q ） ④m a a an m nm ,0(>=、*∈N n ，且)1>n（2）性质：①r a a a a s r s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）， ②r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ），③∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）（注）上述性质对r 、∈s R 均适用． 考点3 指数函数定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数． 图象与性质： a ＞10＜a ＜1图 象图 像 特 征 图像分布在一、二象限，与y 轴相交，落在x 轴的上方. 都过点（0，1）第一象限的点的纵坐标都大于1；第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1. 第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点的纵坐标都大于1. 从左向右图像逐渐上升. 从左向右图像逐渐下降.性 质 （1）定义域：R （2）值域：（0，+∞）（3）过定点（0，1），即x ＝0时，y ＝1. (4) x ＞0时，y ＞1；x ＜0时，0＜y ＜1 x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1. （5）在 R 上是增函数在R 上是减函数二、例题精析【例题1】【题干】求下列各式的值：（1）21100； （2）328； （3）239－； （4）4381－．【答案】（1）2110010=)10(=212.（2）3284=2=)2(=2323.（3）239－271=3=)3(=3232－－. （4）4381－271=3=)3(=3434－－. 【解析】同答案 【例题2】【题干】用分数指数幂的形式表示下列各式（a ＞0）（1）a a3； （2）322a a ·； （3）3a a ·【答案】（1）117333222a a a aa +=⋅==.（2）322a a ·3832+2322===a aa a .（3）3a a ·323431===a a aa .【解析】同答案【例题3】【题干】计算： 25.02121325.0320625.0÷])32.0(×)02.0(÷)008.0(+)945()833[(－－－－． 【答案】92【解析】 原式＝41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+-922)2917(21]1024251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=． 【例题４】【题干】化简：.)2(2485332332323323134aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--【答案】a ²【解析】原式＝51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=.提示：这是一组很基本的指数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.根式运算或根式与指数混合运算时将根式化为指数式运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，可根据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【例题5】【题干】比较下列各组数的大小（1）2277.0与 （2）32与3)21( （3）5.02与25.0 （4）3121⎪⎭⎫ ⎝⎛，3221⎪⎭⎫⎝⎛，3251⎪⎭⎫ ⎝⎛ 【答案】323231)51(>)21(>)21(．【解析】（1）由2x 在)+∞,0[上是增函数，∵7<7.0，∴227<7.0．（2）由x2在R 上是增函数，∵3<3－，∴332<2－，即3321<2）（． （3）由x 2在R 上是增函数，∵2>5.0－，∴25.02<2－，即225.05.0=21<2）（．（4）由x )21(在R 上是减函数，∵32<31，∴3231)21(>)21(，又32x 在)+∞,0[上是增函数，∵51>21，∴3232)51(>)21(；故323231)51(>)21(>)21(．【例题6】【题干】已知函数11)(+-=x x a a x f ，)0(>a(1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；(3)证明()f x 是R 上的增函数．【答案】（1）奇函数 （2）)1,1(- （3）见解析【解析】（1）∵定义域为x R ∈,且11)(+-=---x x a a x f ＝xx a a --+-11＝)(x f -∴ )(x f 是奇函数；（2）121)(+-+=x x a a x f ＝121+-x a∵ 1+xa ＞1， ∴ 0＜12+x a ＜2 即函数11)(+-=x x a a x f 的值域为)1,1(-；（3）设1x ，2x R ∈,且1x ＜2x ，则21x x a a<)(1x f －)(2x f ＝1111+-x x a a －1122+-x x a a ＝)1)(1(222121+--x x x x a a a a ＜0， ∴()f x 是R 上的增函数．提示：函数的性质综合问题，需要准确把握定义域、值域、奇偶性、单调性等基本概念，充分运用数形结合、分类讨论、等价转换等数学思想，灵活运用通性通法．三、课堂运用【基础】1. 求值下列各式的值：①238；②1225-；③51()2-；④3416()81-【答案】①4 ②51 ③32 ④827 【解析】① 2223323338(2)224⨯====．② 1112()21222125(5)555--⨯--====． ③ 5151(5)1()(2)2322----⨯-===． ④334()344162227()()()81338-⨯--===．2．化简46394369)()(a a ⋅的结果为（ ）A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 2【答案】C ．【解析】原式＝461319431619)))((()))(((a a ⋅＝22a a ⋅＝4a ，故选C ．lg10==；【巩固】 1．若122-=xa，则xxxx a a a a --++33等于（ ） A ．22－1 B ．2－22C ．22＋1D ． 2＋1【答案】A ． 【解析】注意到122+=-xa．∴ x x x x a a a a --++33＝xx x x a a a a --++33)()(＝x x x x x x a a a a a a ---++-+)1)((22＝x x a a 221-+-＝122-． 选A ．2．在下列图象中，二次函数c bx ax y ++=2与函数xab y )(=的图象可能是（ ）【答案】A ．【解析】由函数xab y )(=知ab＞0，于是抛物线c bx ax y ++=2的对称轴应在y 轴左边，B 、D 两个答案被排除．对于答案C ， 显然12-=-a b ，a b ＝2，函数x aby )(=为增函数，图象与之不符，被淘汰．故选A ．提示： 从图象看，c ＝0，关键由a 与b 大小决定．重要的条件是指数函数xab y )(=的底a b ＞0，使得对称轴与x 轴的交点横坐标a b 2-＜0．再由0＜a b ＜1，便定出ab 2-的位置． 【拔高】1．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（ ）A ．3y ＞1y ＞2yB ．2y ＞1y ＞3yC ．1y ＞2y ＞3yD ．1y ＞3y ＞2y【答案】D ．【解析】 化为同底，再利用单调性即可．∵ 8.112=y ，32.122=y ，5.132=y ，又 ∵ 函数x y 2=是单调增函数，∴ 1y ＞3y ＞2y ，故选D ． 2．求函数y ＝3322++-x x 的定义域、值域和单调区间．【答案】定义域(－∞，＋∞) 值域 ]81,0( 单调减区间［1，＋∞) 【解析】 (1)定义域显然为(－∞，＋∞)．(2) ∵ 4)1(423)(22≤--=-+==x x x x f u ， ∴ u y 3=是u 的增函数，∴4330≤<u ， 即函数的值域为 ]81,0(．(3) 当x ≤1 时， u ＝)(x f 为增函数， u y 3=是u 的增函数，y 由x ↑→u ↑→y ↑∴ 原函数单调增区间为(－∞，1］；当x ＞1时，u ＝)(x f 为减函数，u y 3=是u 的增函数，由x ↑→u ↓→y ↓∴ 原函数单调减区间为［1，＋∞)．提示：这是复合函数的典型例子．是指数函数与二次函数的复合，由于外层指数函数u y 3=是u 的增函数，所以该函数的单调性由内层函数也就是二次函数223)(x x x f u -+==决定．另一类由基本初等函数经过四则运算而形成的函数，其单调性和奇偶性的判定需采用前面所学办法．课程小结（1）指数运算常规方法将小数化为分数，带分数化为假分数，负指数化为正指数，根指数化为分数指数． （2）1,0≠>a a 时，xa y -=与x a y =的图象关于y 轴对称，即x ay )1(=与xa y =的图象关于y 轴对称．（3）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）． （4）比较大小问题的处理方法①看类型 ②化为同底用单调性 ③其它类型找中间量． （5）复合函数的单调性对于复合函数的单调性，可以根据各层函数单调性去判别．课后作业【基础】1. 求值（1）2325 （2）21)425(－ （3）41)0081.0(-【答案】（1）125=5=)5(=25323223；(2) 52=)25(=])25[(=)425(121221－－－；(3) 310=)103(=)1000081(=)0081.0(14141－－－； 【解析】同答案2. 指数函数x a x f )1()(2-=是减函数，求实数a 的取值范围． 【答案】)2,1()1,2( --． 【解析】同答案3. 已知指数函数xa x f =)(（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值. 【答案】1==)0(0πf 331==)1(ππf ππ1==)3(1－－f 【解析】由π=)3(f ，得π=3a ，即31=πa ，3=)(x x f π，∴1==)0(0πf ；331==)1(ππf ；ππ1==)3(1－－f ．4. 求函数151-=xy 的定义域．【答案】)+∞,0( 【巩固】1. 计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2）31884()m n -． 【答案】（1）原式＝211115326236[2(6)(3)]ab+-+-⨯-÷-＝04ab ＝4a ；（2）原式＝318884()()m n -＝23m n -． 【解析】同答案 2.计算下列各式（1） （22(a ＞0）． 【答案】（1）原式＝ 111324(25125)25-÷＝ 231322(55)5-÷＝ 2131322255---＝ 1655-＝5；（2）原式＝125222362132a aa a a--===⋅【解析】同答案3.已知44221)31)(21(,31aa aa aa a a aa +++++=+求的值.【答案】5200550205)347()218(=⨯=+⨯+=∴原式【解析】719)1(312=+⇒=+⇒=+aa aa aa ， 47149)1(222=+⇒=+∴aa a a ，])())[((1221212122121212323a aa a a a aa aa a a +⋅-+=+=+∴---1863)11)(1(=⨯=+-+=a a aa ，而512)1(124444=++=+=+aa aa aa ，5200550205)347()218(=⨯=+⨯+=∴原式.4．函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3，则=a ． 【答案】=a 2； 5．函数y ＝121+x的值域是_ ____． 【答案】(0，1)【拔高】1．若∈n N *，则=+-+++----12412411n n n n （ ）A ．2B ．n-2C ．n-12D ．n22-【答案】A2．下列各式中正确的是（ ）A B C D ．＜＜．＜＜．＜＜．＜＜()()()()()()()()()()()()121512121215151212151212232313132323231323232313【答案】D ．【解析】由x y )21(=是减函数，得32)21(＜31)21(，答案B 、C 被淘汰．又 32)51(＜32)21(，故选D ．3．函数()xa y 1-=与x a y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1具有不同的单调性，则()311-=a m 与31⎪⎭⎫ ⎝⎛=a n 的大小关系是（ ）A ． m ＜nB ． m ＝nC ． m ＞nD ．不能确定 【答案】 D ．【解析】 ⇒<<⇒⎩⎨⎧<<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧><-101021111a a a a a m ＜n ；或⇒>⇒⎩⎨⎧>>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<>-21211011a a a a a m ＞n ．故选D ． 4．已知函数2)(x x e e x f --=，2)(x x e e x g -+=(1)判断函数)(x f 、)(x g 的奇偶性； (2) 证明()f x 是R 上的增函数；(3) 证明：①)2(x f ＝2)(x f )(x g ； ②1)]([)]([22=-x f x g ． 【答案】（1）（略）)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数；(2) xe 是R 上的增函数，xe-是R 上的减函数，∴()f x 是R 上的增函数；(3) 证明：①)2(x f ＝222xx e e --，2)(x f )(x g ＝222x x x x e e e e --+⋅-＝222xx e e --， ∴ )2(x f ＝2)(x f )(x g ；②22)]([)]([x f x g -＝22]2[]2[x x x x e e e e ----+ ＝42422222-+-++--x x x x e e e e ＝1．【解析】同答案指数函数及其性质教学设计指数函数及其性质教学设计昌吉州第二中学王华一、课题：指数函数及其性质二、课型：新授课三、教学目标1、知识目标（直接性目标）：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用2、能力目标（发展性目标）：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论、方程的思想以及从特殊到一般的学习数学的方法，增强识图用图的能力3、情感目标（可持续性目标）：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质，认识到数学来源于生活，并且服务于生活。