《9(B)直线,平面,简单几何体》的教材分析与教学建议

城东蜊市阳光实验学校平行直线一、素质教育目的〔一〕知识教学点1．公理4，即平行公理．2．等角定理及推论．〔二〕才能训练点1．利用联想的方法，掌握并应用由平面内引伸到空间中的平行公理．2．充分利用构造的方法证明等角定理，为下一节两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性．3．通过本节课的学习，让学生认识到在平面几何中成立的结论或者者定理等，在用于非平面图形时，须先证明．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：让学生掌握平行公理及其应用．2．教学难点：等角定理证明的掌握及其应用．3．教学疑点：正确理解等角定理中命题的条件：两个角的两边分别平行且这两个角的方向一样．三、课时安排1课时．四、教与学的过程设计〔一〕复习两条直线的位置关系〔幻灯显示〕师：空间中两条直线的位置关系有哪几种？生：三种：相交、平行、异面．异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线．相交直线和平行直线也称为一一共面直线．师：异面直线的画法常用的有哪几种？生：三种．如图1－38，a与b都是异面直线．师：如何断定两条直线是异面直线？生：〔1〕间接证法：根据定义，一般用反证法．〔2〕直接证法：根据例题结论：过平面外一点与平面内一点的〔二〕平行公理师：在平面几何中，如图1－40，假设a∥b，c∥b，那么a与c平行吗？生：平行．师：也就是说，在平面中，假设两条直线a、c都和第三条直线b平行，那么a∥c．这个命题在空间中是否成立呢？师：实际上，在空间中，假设a∥b，c∥b，那么a∥c也成立．我们把这个结论作为一个公理，不必证明，可直接应用．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．如图1－41，三棱镜的三条棱，假设AA′∥BB′，CC′∥BB′，那么有AA′∥CC′．下面请同学们完成以下的例题，稳固应用平行公理．例四边形ABCD是空间四边形〔四个顶点不一一共面的图1-41四边形〕，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD师分析：要证明四边形EFGH是梯形，即要证明四边形EFGH的一组对边平行，另一组对边不平行；或者者证明一组对边平行且不相等．详细用哪一种方法，我们来分析一下题意：E、H分别是边AB、AD的中证明：如图1－42，连结BD．∵EH是△ABD的中位线，根据公理4，EH∥FG，又∵FG＞EH，∴四边形EFGH是梯形．〔三〕等角定理师：平行公理不仅是今后论证平行问题的主要根据，也是证明等角定理的根底．等角定理：假设一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向一样，那么这两个角相等．：∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，并且方向一样．求证：∠BAC＝∠B′A′C′．师分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了．在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明．要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或者者相似，那么对应角相等；证明两直线平行，那么同位角、内错角相等；证明平行四边形，那么它的对角相等，等等．根据题意，我们只能证明两个三角形全等或者者相似，为此需要构造两个三角形，这也是此题证明的关键所在．证明：对于∠BAC和∠B′A′C′都在同一平面内的情况，在平面几何中已经证明．下面我们证明两个角不在同一平面内的情况．如图1－43，在AB、A′B′，AC、A′C′上分别取AD＝A′D′、AE＝A′E′，连结AA′、DD′、EE′，DE、D′E′．∵AB∥A′B′，AD＝A′D′，∴AA′DD′是平行四边形．根据公理4，得：DD′∥EE′．又可得：DD′＝EE′∴四边形EE′D′D是平行四边形．∴ED＝E′D′，可得：△ADE≌△A′D′E′．∴∠BAC＝∠B′A′C′．师：假设把上面两个角的两边反向延长，就得出下面的推论．推论：假设两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角〔或者者直角〕相等．从上面定理的证明可以知道：平面里的定义、定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用．下面请同学们完成练习．〔四〕练习〔P．14练习1、2．〕1．把一张长方形的纸对折两次，翻开后如图1－44那样，说明为什么这些折痕是互相平行的？答：把一张长方形的纸对折两次，翻开后得4个全等的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的．△ABC≌△A′B′C′．∴四边形BB′C′C是平行四边形．∴BC＝B′C′．同理可证：AC＝A′C′，AB＝A′B′．∴△ABC≌△A′B′C′．〔五〕总结这节课我们学习了平行公理和等角定理及其推论．平行公理是论证平行问题的主要根据，也是确定平面的根底．等角定理给下一节两条异面直线所成角的定义奠定了根底．这节课我们还明确了在平面几何中成立的结论或者者定理等，在用于非平面图形时，须先证后用．五、作业教材P．17习题二4、5、6、7、8．。

2019-2020 年高二数学第九章直线、平面、简单几何体复习教课设计一、平面1．平面的观点：平面是没有厚薄的，能够无穷延长，这是平面最基本的属性2．平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面往常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍画两个平面订交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母、、来表示，还可用平行四边形的对角极点的字母来表示如平面等3．空间图形是由点、线、面构成的图形点、线、面的基本地点关系以下表所示：符号语言文字语言（读法）点在直线上点不在直线上点在平面内点不在平面内直线、交于点直线在平面内直线与平面无公共点直线与平面交于点平面、订交于直线（平面外的直线）表示或4平面的基天性质公义 1 假如一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的全部点都在这个平面内推理模式：．如图示：应用：是判断直线能否在平面内的依照，也可用于考证一个面是不是平面．公义 1 说了然平面与曲面的本质差别．经过直线的“直”来刻划平面的“平”，经过直线的“无穷延长”来描绘平面的“无穷延展性”，它既是判断直线在平面内，又是查验平面的方法．公义 2 假如两个平面有一个公共点, 那么它们还有其余公共点, 且全部这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：且且独一如图示：应用：①确立两订交平面的交线地点；②判断点在直线上公义 2 揭露了两个平面订交的主要特点，是判断两平面订交的依照，供给了确立两个平面交线的方法．公义 3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：不共线存在独一的平面，使得应用：①确立平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不独一，“只有一个”说明图形假如有顶多只有一个，但不保证切合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的独一性．在数学语言的表达中，“确立一个” ，“能够作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，所以，在证明有关这种语句的命题时，要从“存在性”和“独一性”双方面来论证．推论 1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式：存在独一的平面，使得，推论 2 经过两条订交直线有且只有一个平面推理模式：存在独一的平面，使得推论 3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式：存在独一的平面，使得5 平面图形与空间图形的观点: 假如一个图形的全部点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，不然称为空间图形二、空间直线1空间两直线的地点关系（1）订交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；．．2 公义 4 ：平行于同一条直线的两条直线相互平行推理模式：．3 等角定理假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行而且方向同样，那么这两个角相等4 等角定理的推论 : 假如两条订交直线和另两条订交直线分别平行, 那么这两条直线所成的锐角(或直角 )相等5空间两条异面直线的画法a b babaD1C1A1B1DCA B6．异面直线定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：A, B,l, B l与是异面直线7．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择没关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简易，点往常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：8．异面直线垂直：假如两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线垂直，记作．9．求异面直线所成的角的方法：几何法：（ 1）经过平移，在一条直线上找一点，过该点做另向来线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条订交的直线，那么这两条订交直线所成的角即为所求向量法：用向量的夹角公式10 两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直订交的直线，我们称之为异面直线的公垂线．．．．理解：因为两条异面直线相互垂直时，它们不必定订交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条计算方法：①几何法；②向量法三、直线与平面平行和平面与平面平行1．直线和平面的地点关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为 : ，（2）直线和平面订交（有且只有一个公共点）；符号表示为 : ，（ 3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为: ．2．线面平行的判断定理：假如不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：l, m ? ,l // m l //．3 线面平行的性质定理：假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面订交，那么这条直线和交线平行．推理模式：l // ,l ? , I m l // m ．4．平行平面：假如两个平面没有公共点，那么这两个平面相互平行．5．图形表示：画两个平面平行时，往常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．6．平行平面的判断定理：假如一个平面内有两条订交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面相互平行．推理模式：：，，，，．7 平行平面的判断定理推论：假如一个平面内有两条订交直线分别平行于另一个平面内的两条订交直线，那么这两个平面相互平行．推理模式：刎刎．8．平行平面的性质定理：假如两个平行平面同时与第三个平面订交，那么它们的交线平行．推理模式：// , I a, I b a // b．9 面面平行的另一性质：假如两个平面平行，那么此中一个平面内的直线平行于另一个平面．推理模式：．四、直线与平面垂直和平面与平面垂直1线面垂直定义：假如一条直线和一个平面订交，而且和这个平面内的随意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面相互垂直此中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作： a⊥α2直线与平面垂直的判断定理：假如一条直线和一个平面内的两条订交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3直线和平面垂直的性质定理 :假如两条直线同垂直于一个平面, 那麽这两条直线平行在平面内的一条直线，假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直说明：（ 1）定理的本质是判断平面内的一条直线和平面的一条斜线P的垂直关系；PO, O（ 2）推理模式：PA I A a PAa, a OAO Aa5．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直PO,O推理模式：PA I A a AO ．a, a AP注意：⑴三垂线指PA， PO， AO都垂直α内的直线 a 其本质是：斜线和平面内一条直线垂直的判断和性质定理⑵要考虑 a 的地点，并注意两定理交替使用6 两个平面垂直的定义：两个订交成直二面角的两个平面相互垂直；订交成直二面角的两个平面叫做相互垂直的平面7．两平面垂直的判断定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直推理模式：，．8．两平面垂直的性质定理：若两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面推理模式：, I l ,a ? , a l9向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行；②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直五、空间向量及其运算1．空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算：;;运算律：⑴加法互换律：⑵加法联合律：⑶数乘分派律：3 平面向量共线定理方向同样或许相反的非零向量叫做平行向量．因为任何一组平行向量都能够平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使＝λ假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量叫做 共线向量 或平行向量 ．平行于记作．当我们说向量、共线（或 // ）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同向来线，也可 能是平行直线．5． 共线向量定理： 空间随意两个向量、 （≠）， // 的充要条件是存在实数 λ，使＝ λ推论： 假如为经过已知点 A 且平行于已知非零向量的直线，那么对于随意一点O ，点 P在直线上的充要条件是存在实数t 知足等式．此中向量叫做直线的 方向向量6 空间直线的向量参数表示式：或，中点公式 ．7．向量与平面平行： 已知平面和向量，作，假如直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作： ．往常我们把平行于同一平面的向量，叫做 共面向量说明：空间随意的两向量都是共面的 8．共面向量定理： 假如两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使 推论 ：空间一点位于平面内的充足必需条件是存在有序实数对，使 ① 或对空间任一点，有② uuuuruuuruuuruuur1) ③或 OPxOA yOB zOM ,( x y z上边①式叫做平面的 向量表达式9 空间向量基本定理： 假如三个向量不共面， 那么对空间任一直量， 存在一个独一的有序实数组，使若三向量不共面，我们把叫做空间的一个 基底 ，叫做 基向量 ，空间随意三个不共面的向量都能够构成空间的一个基底推论： 设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在独一的三个有序实数，使10 空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，明显有；若，则称与相互垂直，记作：11．向量的模： 设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作： 12．向量的数目积： 已知向量，则叫做的数目积，记作，即．已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影uuuur uuurr r r r 的长度 | A B | | AB | cosa,e| a e |．13．空间向量数目积的性质： （1）．（ 2）．（ 3）．14．空间向量数目积运算律：rrrrr r（1） ( a) b (a b ) a ( b ) ．（ 2）（互换律） ．（3）（分派律）六、空间向量的坐标运算 1 空间直角坐标系：（ 1）若空间的一个基底的三个基向量相互垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底 ，用表示；（ 2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向成立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称成立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量．经过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在独一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若，，r rb ) ，则 a b ( a b , a b , a1 12 23 3r ra b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ，ra ( a1, a2 , a3 )( R) ，r r，a //b a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ( R)，r ra b a1b1 a2b2 a3b3 0 ．uuur( x2 x1, y2 y1, z2 z1 ) ．（2）若，，则AB一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若，，r r r 2 2 2 r r r 2b2 2 2则 | a | a a a1 a2 a3 ， | b | b b b1 b3 ．r r r ra b a b a b a b5．夹角公式：cos a b 1 1 2 2 3 3 ．r ra12 a22 a32 b12 b22| a | | b | b326．两点间的距离公式：若，，uuur uuur 2(x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 z1) 2，则|AB| AB ( z2或dA, B ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2七、空间角1．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择没关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简易，点往常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角ab′向来线垂直于平面，所成的角是直角 b O 向来线平行于平面或在平面内，所成角为0 角直线和平面所成角范围：0，（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜线所成的全部角中最小的角足的直Pa4．公式：平面的斜线 a 与内向来线 b 订交成θ角，且 a 与订交A1 c2 OB b成 1 角，a在上的射影 c 与b 订交成 2 角，则有5 二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，此中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所构成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为的二面角记为；6．二面角的平面角：（ 1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角（2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角说明：①二面角的平面角范围是；②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，构成直二面角的两个平面相互垂直7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法8 求二面角的射影公式：，此中各个符号的含义是：是二面角的一个面内图形 F 的面积，是图形 F 在二面角的另一个面内的射影，是二面角的大小9．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线所成的角：；⑵直线与平面 ( 法向量 ) 所成的角：；⑶锐二面角：，此中为两个面的法向量八、空间距离1 点到平面的距离：已知点是平面外的随意一点，过点作，垂足为，则独一，则是点到平面的距离即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离结论：连接平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短2 异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直订交的直线叫做异面直线的公垂线．3．公垂线独一：随意两条异面直线有且只有一条公垂线4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条；6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度说明：两条异面直线的距离即为直线到平面的距离即两条异面直线的距离等于此中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离7 直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离, 叫做这条直线到平面的距离( 转变成点面距离)8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段（3）两个平行平面的公垂线段都相等（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，此中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其余几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求10用向量法求距离的公式：⑴异面直线之间的距离：，此中⑵直线与平面之间的距离：，此中是平面的法向量⑶两平行平面之间的距离：，此中是平面的法向量⑷点 A 到平面的距离：，此中，是平面的法向量另法：点平面则d| Ax0By0Cz0 D |22 2A B C⑸点 A 到直线的距离：uuuruuur r 2 AB ad| AB | r| a | 2，此中，是直线的方向向量⑹两平行直线之间的距离：uuur 2 uuur r AB ad| AB | r| a | 2，此中，是的方向向量九、棱柱1 多面体的观点：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的极点，连接不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，假如其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体3．凸多面体的分类：多面体起码有四个面，依照它的面数分别叫四周体、五面体、六面体等4．棱柱的观点：有两个面相互平行，其余每相邻两个面的交线相互平行，这样的多面体叫棱柱两个相互平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；双侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱棱柱的底面能够是三角形、四边形、五边形这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边相互平行的全等的多边形；（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形7 平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．8．平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点且相互均分．(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个极点上的三条棱长的平方和特别地，正方体的一条对角线长等于棱长的倍。

芯衣州星海市涌泉学校直线和平面垂直的断定与性质〔一〕一、素质教育目的〔一〕知识教学点1．直线和平面垂直的定义及相关概念．2．直线和平面垂直的断定定理．3．线线平行的性质定理〔即例题1〕．〔二〕才能训练点1．要擅长应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进展研究，特别是辅助线的添加．2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线，向学生浸透转化思想的应用．〔三〕德育浸透点引导学生认识到，定理的证明过程本质是应用转化思想的过程：立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点〔1〕掌握直线和平面垂直的定义：假设一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直．〔2〕掌握直线和平面垂直的断定定理：〔3〕掌握线线平行的性质定理：假设a∥b，a⊥α那么b⊥α．2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和断定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意〞直线的问题．3．教学疑点：断定定理的条件中，“相交〞是关键，“两条〞也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可．三、课时安排本课题一一共安排2课时，本节课为第一课时．四、学生活动设计〔略〕五、教学步骤〔一〕温故知新，引入课题1．空间两条直线有哪几种位置关系？〔三种：相交直线、平行直线、异面直线〕2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？〔从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和直线垂直〕3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？〔直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．〕4．怎样断定直线和平面平行？师：我们已经知道，断定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手．〔板书课题：§1．9直线和平面垂直〕〔二〕猜想推测，激发兴趣1．教师演示课本上的实例并指出书脊〔想象成一条直线〕、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边〔即与桌面接触的一边〕垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．2．指出：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足．3．说明直线和平面垂直的画法及表示．师：要证明一条直线和一个平面垂直，假设每次都要证明这条直线和平面上每一条直线都垂直，显然是很费事也不必要的．让我们先看看木工师傅是如何判断一根立柱是否和板面垂直的方法：用曲尺检查两次〔只要两次，但曲尺靠板面的尺，两次不能在同一条直线上〕，假设立柱、板面都和曲尺的两条边完全吻合，便可断定立柱和板面垂直．从中你能得到断定直线和平面垂直的方法吗？〔引导学生进展猜想推测〕〔三〕层层推进，证明定理指导学生写出条件和结论，并画出图形如右：求证：l⊥α师：你如何证明直线和平面垂直呢？生：根据直线和平面垂直的概念，只需证明该直线和平面内的任何一条直线都垂直即可．师：设g是平面α内的任意一条直线，如今只要证明l⊥α就可以了．对于平面α内不经过点B的直线，可以过点B作它的平行直线，所以，我们先证明l，g都经过点B的情况．〔生考虑证明方法，教师在原有图形上适时添加辅助线，并对以下问题根据需要作提示．〕1．l、g是相交直线，要证它们垂直，实际上已经转化为平面几何中的垂直证明问题，可以考虑等腰三角形的性质．在直线l上点B的两侧分别取点A，A′，使AB＝A′B．2．直线m、n和线段AA′是什么关系？〔m、n垂直平分AA′〕3．从结论看，直线g与线段AA′应当有什么关系？〔g垂直平分AA′〕4．怎样证明直线g垂直平分线段AA′？〔只要g上一点E，有EA＝EA′〕5．过E作直线分别与m、n交于C、D，连结AC、A′C、AD、A′D，那么有：AC＝A′C、AD＝A′D，由此能证明EA＝EA′吗？〔利用全等三角形性质〕〔学生表达证明过程，教师板书主要步骤．〕参看右图并作如下说明：1．当直线g与m〔或者者n〕重合时，结论是显然的．2．假设直线l、g有一条或者者两条不经过点B，那么可过点B引它们的平行直线，由过点B的这样两条直线所成的角，就是直线l与g所成的角，同理可证这两条直线垂直，因此l⊥g．3．要判断一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和直线垂直，至于这两条相交直线是否和直线有公一一共点，是无关紧要的．这样我们有了直线和平面垂直的断定定理．〔板书〕假设一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．4．强调定理中“两条〞和“相交直线〞这两个条件的重要性，可举下面两个反例，加深学生的理解．〔1〕将一块木制的大三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线〔即三角板与桌面的交线AC〕垂直，但它不一定和讲台桌面垂直．〔2〕在讲台上放一根平行于大三角板直角边AC的木条EF，那么三角板的直角边BC也垂直于EF，但它不一定和讲台桌面垂直．〔四〕初步运用，进步才能例1假设两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．分析：首先写出条件和结论，并画图形．：a∥b，a⊥α〔如图1-68〕．求证：b⊥α，要证明：b⊥α，根据断定定理，只要证明在平面α内有两条相交直线m、n与b垂直即可．证明：在平面α内作两条相交直线m、n，设m∩n＝A．说明：1．本例可以作为直线和平面垂直的又一个断定定理．这样，断定一条直线与平面垂直，可以用这条直线垂直于平面内两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明．2．课本书写的证明过程比较简洁，最好要求学生按照本教案例如书写．练习〔课后练习2〕求证：假设三条一一共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．：OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA．求证：OA⊥平面BOC，OB⊥平面AOC，OC⊥平面AOB．证明：〔以证明OA⊥平面BOC为例，目的是强化书写格式〕〔五〕归纳小结，强化思想师：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在断定定理的证明上，但用得较多的那么是，假设直线l垂直于平面α，那么l就垂直于α内的任何一条直线；对于断定定理，断定线、面垂直，本质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路．六、作业作为一般要求，完成习题四1、2、3、4．进步要求，完成以下两个补充练习：1．如图1-70，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，如今沿AE、AF及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有[]A、AH⊥△EFH所在平面B、AD⊥△EFH所在平面C、HF⊥△AEF所在平面D、HD⊥△AEF所在平面答案：选择〔A〕∵AH⊥EH，AH⊥FH，∴AH⊥平面EFH．讲评作业时说明：应用折叠不变性设计的此题，目的是用于培养学生的空间想象才能和“转化〞思想方法；折叠问题要注意应用折叠前、后平面图和立体图中，各个元素间大小和位置关系不变的量．2．如图1-71，MN是异面直线a、b的公垂线，平面α平行于a和b，求证：MN⊥平面α．证明：过相交直线a和MN作平面β，设α∩β=a′，∵a∥α．∴a∥a′∵MN是a、b的公垂线，∴MN⊥a，于是MN⊥a′．同样过相交直线b和MN作平面γ，设α∩γ＝b′，那么可得MN⊥b′．∵a′、b′是α内两条相交直线，∴MN⊥α．。

· B 1PACD A 1C 1D 1 BO H·第78课时：第九章 直线、平面、简单几何体——直线与平面、直线与直线所成的角课题；直线与平面、直线与直线所成的角一．复习目标：1．掌握直线与直线、直线与平面所成的角的概念，能正确求出线与线、线与面所成的角． 二．知识要点：1．异面直线,a b 所成角的定义： ． 2．直线与平面所成角θ：（1）直线与平面平行或直线在平面内，则θ= ． （2）直线与平面垂直，则θ= ．（3）直线是平面的斜线，则θ定义为 ． 3．最小角定理： ． 三．课前预习：1．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为,AC BD 的交点， 则1C O 与1A D 所成的角 （ ）2．,,PA PB PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角都是60，则直线PC 与平面APB 所成的角的余弦是（ ）3．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若VAE ∆的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为 ． （结果用反三角函数值表示） 四．例题分析：例1．在060的二面角βα--l 中，βα∈∈B A ,，已知A 、B 到l 的距离分别是2和4，且10=AB ，A 、B 在l 的射影分别为C 、D ，求：（1）CD 的长度；（2）AB 和棱l 所成的角． 例2．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是正方形1111A B C D 的中心，点P 在棱1CC 上，且14CC CP =．（Ⅰ）求直线AP 与平面11BCC B 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）设O 点在平面1D AP 上的射影是H ，求证：1D H AP ⊥．例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AE PD⊥， A BCVE D 1C 1B 1A1OD C BA//,EF DC AM EF =．（1）证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；（2）若3PA AB =，求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值．五．课后作业：1．在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，D 在1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AAC C 所成的角为α，则α=（ ）2．一直线和直二面角的两个面所成的角分别是,αβ，则αβ+的范围是（ ）3．已知AB 是两条异面直线,AC BD 的公垂线段，1AB =，10AC BD ==，CD =则,AC BD 所成的角为 ．4．如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是正三角形90PCA ∠=，D 是PA 中点，二面角P AC B --为120，2,PC AB ==1）求证：AC BD ⊥； （2）求BD 与平面ABC 所成角．5．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，侧面1AB 与侧面1AC 所成的二面角为60，M 为1AA 上的点，1130A MC ∠=，190CMC ∠=，AB a =．（1）求BM 与侧面1AC 所成角的正切值；（2）求顶点A 到面1BMC 的距离．6．如图直四棱柱 1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，设090=∠=∠ABC BAD ，2,8BC AD ==,异面直线1AC 与D A 1互相垂直，（1）求证：D A 1⊥平面B AC 1；（2）求侧棱1AA 的长；（3）已知4AB =，求D A 1与平面11B ADC 所成的角．A BC PDA MBC FEP。