江苏省泰州中学2022-2023学年高三上学期期初调研考试数学试题附答案

高三班级其次次月度检测数学试卷一、填空题.：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.已知全集U R =，集合{|2}A x x =≥，{|05}B x x =<≤，则()u C A B ⋂= ．2.若直线()2210a a x y +-+=的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 ． 3.对于常数m 、n ，“0mn >”是方程“221mx ny +=的曲线是椭圆”的 ． 4.已知单位向量a ，b 的夹角为120︒，那么2a xb -（x ∈R ）的最小值是 ．5.将sin 2y x =的图像向右平移ϕ单位（0ϕ>），使得平移后的图像仍过点3()32π，，则ϕ的最小值为 ．6.已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a a +=+，（*n N ∈），则数列{}n a 的通项公式为 ． 7.若圆C 经过坐标原点和点(40)，，且与直线1y =相切，则圆C 的方程是 ． 8.设函数1()0x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩有，，理理为数为无数，则下列结论正确的是 ．（1）()D x 的值域为{01}，；（2）()D x 是偶函数；（3）()D x 不是周期函数；（4）()D x 不是单调函数. 9.如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数22logy x =，12y x =，22xy ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为 ．10.在矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，若M ，N 分别在边BC ，CD 上运动（包括端点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是 ． 11.若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点()P s t ，处具有公共切线，则实数a 的值为 ． 12.若函数()21f x x =-，则函数()()()ln g x f f x x =+在(01)，上不同的零点个数为 ．13.已知点(30)A -，和圆O ：229x y +=，AB 是圆O 的直径，M 和N 是线段AB 的三等分点，P （异于A ，B ）是圆O 上的动点，PD AB ⊥于D ，PE ED λ=（0λ>），直线PA 与BE 交于C ，则当λ= 时，CM CN +为定值．14.已知圆心角为120︒的扇形AOB 的半径为1，C 为AB 的中点，点D 、E 分别在半径OA 、OB 上.若222269CD CE DE ++=，则OD OE +的最大值是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.已知()3sin()cos 3f x x x π=+-．（1）求()f x 在[0]π，上的最小值；（2）已知a ，b ，c 分别为ABC △内角A 、B 、C 的对边，53b =，3cos 5A =，且()1f B =，求边a 的长.16.设函数()log (2)log (3)a a f x x a x a =-+-，其中0a >且1a ≠． （1）已知(4)1f a =，求a 的值；（2）若在区间[34]a a ++，上()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.17. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点(2)M t ，（0t >）在椭圆的准线上. （1）求椭圆的标准方程；（2）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值.18. 某儿童游乐场拟建筑一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示.ABCD 是等腰梯形；20AB =米，CBF α∠=（F 在AB 的延长线上，α为锐角），圆E 与AD ，BC 都相切，且其半径长为10080sin α-米.EO 是垂直于AB 的一个立柱，则当sin α的值设计为多少时，立柱EO 最矮？19. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1n n S pS q +=+（p ，q 为常数，*n N ∈）eg 12a =，21a =，33a q p =- （1）求p ，q 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数m ，n ，使1221mn m n S m S m +-<-+成立？若存在，求出全部符合条件的有序实数对()m n ，；若不存在，说明理由.20. 已知函数()f x 的图像在[]a b ，上连续不断，定义：1()min{()/}f x f t a t x =≤≤（[]x a b ∈，），2()max{()/}f x f t a t x =≤≤（[]x a b ∈，），其中min{()/}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()/}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值，若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a --≤对任意的[]x a b ∈，成立，则称函数()f x 为[]a b ，上的“k 阶收缩函数”. （1）若()cos f x x =，[0]x π∈，，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；（2）已知函数2()f x x =，[14]x ∈-，，推断()f x 是否为[14]-，上的“k 阶收缩函数”，假如是，求出对应的k ，假如不是，请说明理由；（3）已知0b >，函数32()3f x x x =-+，是[0]b ，上的2阶收缩函数，求b 的取值范围. 数学附加题21. （1）选修4-2：矩阵与变换 求矩阵1426M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量. （2）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆1C的方程为)4πρθ=-，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩，（θ是参数），若圆1C 与圆2C 相切，求实数a 的值.22.一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番扫瞄后，对该店铺中的A ，B ，C ，D ，E 五种商品有购买意向，已知该网民购买A ，B 两种商品的概率均为34，购买C ，D 两种商品的概率均为23，购买E 种商品的概率为12，假设该网民是否购买这五种商品相互独立. （1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望.23.已知p （2p ≥）是给定的某个正整数，数列{}n a 满足：11a =，1(1)()k k k a p k p a ++=-，其中1k =，2，3，…，1p -.（1）设4p =，求2a ，3a ，4a ； （2）求123p a a a a ++++试卷答案 一、填空题1.{|02}x x <≤2.(20)-，3.必要不充分条件4.35.6π6.121n n a =-7.22325(2)()24x y -++=8.（1）（2）（4）9.1124⎛⎫⎪⎝⎭，10.[19]， 11.1 12.3 13.18 14.43二、解答题15.解：（1）sin 3()3cos cos 22x f x x x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭31sin cos sin 226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ∵7666x πππ+≤≤∴当x π=时，min 1()2f x =-； （2）∵262x k πππ+=+，k Z ∈时，()f x 有最大值，B 是三角形内角∴3B π=∵3cos 5A =∴4sin 5A =∵正弦定理sin sin a bA B =∴8a = 16.解：（1）12a =（2）22225()log (56)log [()]24a a a a f x x ax a x =-+=--，由2030x a x a ->⎧⎨->⎩得3x a >，由题意知33a a +>，故32a <，从而53(3)(2)022a a a +-=->，故函数225()()24a g x x a =--在区间[34]a a ++，上单调递增. ①当01a <<，则()f x 在区间[34]a a ++，上单调递减.所以()f x 在区间[34]a a ++，上的最大值为2(3)log (299)1a f a a a +=-+≤， 即2299a a a -+≥，解得572a +≥或572a -≤，又01a <<，所以01a <<. ②若312a <<，则()f x 在区间[34]a a ++，上单调递增， 所以()f x 在区间[34]a a ++，上的最大值为2(4)log (21216)1a f a a a +=-+≤，221216a a a -+≤，解得1341134142a -+≤≤，与312a <<联立无解. 综上：01a <<17.解：（1）由22b =，得1b =又由点M 在准线上，得22a c =，故212c c+=，∴1c =从而2a =所以椭圆方程为2212x y +=（2）以OM 为直径的圆的方程为222(1)()124t t x y -+-=+其圆心为(1)2t，，半径214t r =+ 由于以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2 所以圆心到直线3450x y --=的距离212t d r =-= 所以32552t t--=，解得4t = 所以圆的方程为22(1)(2)5x y -+-= （3）方法一：由平几知：2ON OK OM =⋅ 直线OM ：2t y x =，直线FN ：2(1)y x t=-- 由22(1)t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得244K x t =+∴22222411(1)224444K M t t t ON x x t =+⋅+=+⋅⋅=+ 所以线段ON 的长为定值2方法二：设00()N x y ，，则00(1)FN x y -，，(2)OM t =，，00(2)MN x y t =--，，00()ON x y =，， ∵FN OM ⊥，∴002(1)0x ty -+=，∴0022x ty +=又∵MN ON ⊥，∴0000(2)()0x x y y t -+-=，∴2200022x y x ty +=+= 所以22002ON x y =+=为定值.18.解：方法一：如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系.由于(100)B ，，tan BC k α=，所以直线BC 的方程为tan (10)y x α=⋅-，即tan 10tan 0x y αα--=.设圆心(0)E t ，（0t >），由圆E 与直线BC 相切， 得210tan 10tan 10080sin 11tan cos t t ααααα--+-==+， 所以10090sin cos EO t αα-==令10090sin ()cos f ααα-=，(0)2πα∈，，则29100(sin )10()cos f ααα-'= 设09sin 10α=，0(0)2πα∈，，列表如下： α0(0)α，0α 0()2πα，()f α' - 0+()f α减微小值增所以当0αα=，即9sin 10α=时，()f α取最小值.答：当9sin 10α=时，立柱EO 最矮. 方法二：如图所示，延长EO ，CB 交于点G ，过点E 作EH BC ⊥于H ，则10080sin EH R α==-，HEG OBG CBF α∠=∠=∠= 在Rt EHG △中，10080sin cos cos R EG ααα-==在Rt OBG △中，tan 10tan OG OB αα== 所以10090sin cos EO EG OG αα-=-=19.解：（1）由题意，知2132S pa q S pS q =+⎧⎨=+⎩，，即32333p q q p p q =+⎧⎨+-=+⎩，，解之得122p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）由（1）知，1122n n S S +=+，①当2n ≥时，1122n n S S -=+，②①-②得，112n n a a +≥（2n ≥）又2112a a =，所以112n n a a +=（*n N ∈），所以{}n a 是首项为2，公比为12的等比数列，所以212n n a -=（3）由（2）得，12(1)124(1)1212n n n S -==--，由1221mn m n S m S m +-<-+，得 114(1)221214(1)2m nmn mm +--<+--，即2(4)422(4)221n m n m m m --<--+， 即212(4)221nmm >--+，由于210m +>,所以2(4)2n m ->， 所以4m <，且122(4)24m m m +<-<+，（*） 由于*m N ∈，所以1m =或2或3当1m =时，由（*）得，2238n <⨯<，所以1n =； 当2m =时，由（*）得，22212n <⨯<，所以1n =或2； 当3m =时，由（*）得2220n <<，所以2n =或3或4， 综上可知，存在符合条件的全部有序实数对()m n ，为： (11)，，(21)，，(22)，，(32)，，(33)，，(34)，20.解：（1）由题意可得：1()cos f x x =，[0]x π∈，，2()1f x =，[0]x π∈，.（2）21[10)()0[04]x x f x x ⎧∈-=⎨∈⎩，，，，，221[11)()[14]x f x x x ∈-⎧=⎨∈⎩，，，，，22121[10)()()1[01)[14]x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩，，，，，，当[10]x ∈-，时，21(1)x k x -+≤，∴1k x -≥，2k ≥； 当(01)x ∈，时，1(1)k x +≤，∴11k x +≥，∴1k ≥； 当[14]x ∈，时，2(1)x k x +≤，∴21x k x +≥，165k ≥ 综上所述，165k ≥.即存在4k =，使得()f x 是[14]-，上的“4阶收缩函数”.（3）2()363(2)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=得0x =或2x =.函数()f x 的变化状况如下： x(0)-∞，(02)，2(2)+∞，令()0f x =得0x =或3x =.（1）当2b ≤时，()f x 在[0]b ，上单调递增，因此，322()()3f x f x x x ==-+，1()(0)0f x f ==.由于32()3f x x x =-+是[0]b ，上的“二阶收缩函数”，所以， ①21()()2(0)f x f x x --≤，对[0]x b ∈，恒成立； ②存在[0]x b ∈，，使得21()()(0)f x f x x ->-成立.①即：3232x x x -+≤对[0]x b ∈，恒成立，由3232x x x -+≤解得01x ≤≤或2x ≥. 要使3232x x x -+≤对[0]x b ∈，恒成立，需且只需01b <≤. ②即：存在[0]x b ∈，，使得2(31)0x x x -+<成立. 由2(31)0x x x -+<解得0x <x <<.所以，只需b >1b <≤（2）当23b <≤时，()f x 在[02]，上单调递增，在[2]b ，上单调递减，因此，2()(2)4f x f ==，1()(0)0f x f ==，21()()4f x f x -=，0x x -=，明显当0x =时，21()()2(0)f x f x x --≤不成立，（3）当3b >时，()f x 在[02]，上单调递增，在[2]b ，上单调递减，因此，2()(2)4f x f ==，1()()0f x f b =<，21()()4()4f x f x f b -=->，0x x -=，明显当0x =时，21()()2(0)f x f x x --≤不成立.综合（1）（2）（31b <≤ 数学附加题21.解：（1）2()(1)(6)8514(7)(2)f λλλλλλλ=+--=--=-+ 由()0f λ=可得：17λ=，22λ=-.由(71)402(76)0x y x y +-=⎧⎨-+-=⎩可得属于17λ=的一个特征向量12⎡⎤⎢⎥⎣⎦由(21)402(26)0x y x y -+-=⎧⎨-+--=⎩可得属于12λ=-的一个特征向量为41⎡⎤⎢⎥-⎣⎦（2）1C ：22(2)(2)8x y -+-=，圆心1(22)C ，，半径1r= 2C ：222(1)(1)xy a +++=，圆心2(11)C --，，边疆2||r a =.圆心距12C C =两圆外切时，1212C C r r a =+==a = 两圆内切时，1212C C r r a =-==a =±综上，a =a =±22.解：（1）记“该网民购买i 种商品”为大事i A ，4i =，5，则5332211()443328P A =⨯⨯⨯⨯=，1423322133221()(1)C (1)4433244332P A =⨯⨯⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯12223311(1)334423C +⨯-⨯⨯⨯= 所以该网民至少购买4种商品的概率为541111()()8324P A P A +=+=答:该网民至少购买4种商品的概率为114. （2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，533211(0)(1)(1)(1)(1)4432288P η==-⨯-⨯-⨯-=123221(1)(1)(1)(1)(1)4332P C η==⨯-⨯-⨯-⨯-+1222331(1)(1)(1)(1)33442C ⨯-⨯-⨯-⨯-1332211(1)(1)(1)(1)24433288+⨯-⨯-⨯-⨯-=, 33221(2)(1)(1)(1)44332P η==⨯⨯-⨯-⨯-+22331(1)(1)(1)33442⨯⨯-⨯-⨯-11223322147(1)(1)(1)44332288C C +⨯-⨯⨯-⨯-= 111471197(3)1(0245)128828828838288P P ηη==-==-----=，，，, 41(4)()3P P A η===51(5)()8P P A η===所以：随机变量η的概率分布为：故11147971110012345288288288288383E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.23.解：（1）由1(1)()k k k a p k p a ++=-得11k k a k pp a k +-=⨯+，1k =，2，3，…，1p - 即2141462a a -=-⨯=-，2166a a =-=-；32428433a a -=-⨯=-，316a = 4343414a a -=-⨯=-，416a =-； （2）由1(1)()k k k a p k p a ++=-得11k k a k pp a k +-=⨯+，1k =，2，3，…，1p - 即2112a p p a -=-⨯，3223a p p a -=-⨯，…，1(1)k k a p k p a k---=-⨯ 以上各式相乘得11(1)(2)(3)(1)()!k k a p p p p k p a k -----+=-⨯∴1(1)(2)(3)(1)()!k k p p p p k a p k -----+=-⨯11(1)!()!()!()!!()!k k p p p p k p k p k p k ----=-⨯=⨯-- 221()()k kk k p p p C C p p-=--⨯=--，1k =，2，3，…，p∴123p a a a a ++++11223321()()()()p p p p p p C p C p C p C p p⎡⎤=--+-+-++-⎣⎦21(1)1p p p⎡⎤=---⎣⎦。

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2022~2023学年第一学期高三期中调研试卷 数 学 2022．11

注 意 事 项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本卷共6页，包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知集合A＝{x|x2≤4x}，B＝{x|3x－4＞0}，则A∩B＝

A．[0，＋∞) B．[0，43) C．(43，4] D．(－∞，0)

【答案】C 【考点】集合的运算 【解析】由题意可知，A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|x＞43}，则A∩B＝(43，4]，故答案选C． 2．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝ A．12 B．22 C．2 D．2 【答案】C 【考点】复数的运算 【解析】由题意可知，|1＋i||z|＝|2i|，即2|z|＝2，则|z|＝2，故答案选C．

3．在△ABC中，点N满足→AN＝2→NC，→BN＝→a，→NC＝→b，那么→BA＝ A．→a－2→b B．→a＋2→b C．→a－→b D．→a＋→b 高三数学第 页(共 14 页) 2

【答案】A 【考点】平面向量的基本定理

【解析】由题意可知，→BA＝→BN＋→NA＝→BN－2→NC＝→a－2→b，故答案选A．

江苏省泰州市靖江市2021-2022学年高三上学期12月调研测试数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 设，已知两个非空集合，，满足，则下列说法正确的是（）A．“”是“”的充分条件B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充要条件D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件(★) 2. 已知双曲线，且其一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．(★★★) 3. 函数的图象是（）A．B．C．D．(★★★) 4. 已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则球心到平面的距离为（）A．B．3C．2D．(★★★) 5. 已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 如图，由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，设，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知奇函数在R上是增函数，.若，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．(★★★)8. 若对于任意，函数在区间上总不为单调函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 1859年，我国清朝数学家李善兰将“function”一词译成“函数”，并给出定义：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数”.下列关于函数性质的说法正确的是（）A．若，则函数是偶函数B．若定义在上的函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，则函数在上是增函数C．函数的定义域为，，若在上是增函数，在上是减函数，则D．对于任意的，函数满足(★) 10. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，，则下面结论正确的有（）A．若，则B．C．若，则有最大值D．若，则(★★) 11. 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，下列结论正确的是（）A．点的坐标为B．复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称C．复数对应的点在一条直线上D．与对应的点间的距离的最小值为(★★★) 12. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若是等差数列，则D．若是等比数列，且，，则三、填空题(★) 13. 若，则= _________ .(★★★) 14. 已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ___________ .(★★) 15. 已知抛物线：直线过抛物线的焦点与抛物线交于，两点，以为直径的圆与抛物线的准线的公共点是，则直线的斜率 ___________ . (★★★★) 16. 若关于的不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是 ___________ .四、解答题(★★★) 17. 在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=2，，.(1)若，求四边形的面积；(2)若，，求.(★★★) 18. 在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列的前项和为满足___________，___________；正项等差数列满足，且，，成等比数列.(1)求和的通项公式；(2)若，求数列的前项和.(★★★) 19. 如图1，在直角梯形中，，，，，，.如图2，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.(★★★) 20. 为满足人民群众便利消费､安全消费､放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建筑总面积为的新型生鲜销售市场.市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间.每间蔬菜水果类店面的建筑面积为，月租费为万元；每间肉食水产类店面的建筑面积为，月租费为0.8万元.全部店面的建筑面积不低于总面积的，又不能超过总面积的.(1)两类店面间数的建造方案为多少种？(2)市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建造方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的，求每间蔬菜水果类店面的月租费最大为多少万元？(★★★★) 21. 已知椭圆：，点，分别为椭圆的左，右顶点，点是左准线：上的动点（不在轴上）.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点，是椭圆上非顶点的两个动点，且，，求证：直线过定点. (★★★) 22. 已知函数.(1)若，判断集合与集合是否相等，并证明：(2)若函数的导函数有两个不同零点，求实数的取值范围.。

2022届江苏省苏州市高三上学期9月期初调研数学试题解析（24页）试卷第=page22页，总=ectionpage44页绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．集合，，则（）.A．B．C．D．答案：B求得集合，结合集合交集的概念及运算，即可求解.解：由题意，集合，，根据集合交集的概念及运算，可得.故选：B.点评：本题主要考查了集合交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．复数满足，则在复平面表示的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A化为的形式，由此确定所在象限.解：解：依题意，对应点在第一象限，故选：A.点评：本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点所在的象限，属于基础题.3．的展开式中的系数为（）A．-32B．32C．-8D．8答案：A根据二项展开式的通项公式，令展开式的含某项的指数为1，即可求出展开式中某项的系数．解：的二项展开式中，通项公式为，令，得，∴展开式中某项的系数是.故选：A点评：本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，属于基础题．4．已知随机变量服从正态分布，若，则（）A．B．C．D．答案：C由题意可知曲线关于对称，利用曲线的对称性求.解：由题意可知，正态分布曲线关于对称，,根据对称性可知，,.故选：C点评：本题考查正态分布在指定区间的概率，正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，及曲线与轴之间的面积为1.5．在中，，，若，则（）A．B．C．D．答案：D画出图形，将作为基底向量，将向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解解：如图，由题可知，点为的中点，点为上靠近的三等分点，，故选：D点评：本题考查平面向量的基本定理，属于基础题6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为.科学研究发现与成正比.当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为.当时，其耗氧量的单位数为（）A．B．C．D．答案：D设，利用当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为求出后可计算时鲑鱼耗氧量的单位数.解：设，因为时，，故，所以，故时，即.故选：D.点评：本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.7．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题不正确的是（）.A．直线与平面所成的角等于B．点到面的距离为C．两条异面直线和所成的角为D．三棱柱外接球半径为答案：C对于A，由直线与平面夹角的定义可知即为直线与平面所成的角，结合正方体性质即可得解；对于B，由平面，可知到面的距离为长度的一半，即可求解；对于C，由于，则异面直线和所成的角为，根据边的关系即可得解；对于D，正方体的外接球即为三棱柱外接球，由外接球性质即可得解.解：正方体的棱长为1，对于A，直线与平面所成的角为，故A正确；对于B，因为平面，点到面的距离为长度的一半，即，故B正确；对于C，因为，所以异面直线和所成的角为，而为等边三角形，故两条异面直线和所成的角为，故C错误；对于D，因为两两垂直，所以三棱柱外接球也是正方体的外接球，故，故D正确．综上可知，不正确的为C，故选：C.点评：本题考查了空间结构体线面位置关系的综合应用，直线与平面的夹角，直线与平面垂直性质，点到平面距离及三棱柱外接球的求法，属于中档题.8．设，，且，则（）A．有最小值为4B．有最小值为C．有最小值为D．无最小值答案：B，，且，可得．代入，化简整理利用基本不等式的性质即可得出．解：，，且，，解得．，当且仅当，时取等号．有最小值．故选：B．点评：本题考查基本不等式的性质、方程的解法，考查推理能力与计算能力．二、多选题9．，是不在平面内的任意两点，则（）A．在内存在直线与直线异面B．在内存在直线与直线相交C．存在过直线的平面与垂直D．在内存在直线与直线平行答案：AC根据异面直线的定义，以及线面位置的判定及性质，逐项判定，即可求解.解：由题意知，点，是不在平面内的任意两点，对于A中，根据异面直线的定义，可得平面内存在直线与直线异面，所以是正确的；对于B中，若直线平行于平面时，可得在内不存在直线与直线相交，所以不正确；对于C中，过作平面的垂线，则由直线和直线确定的平面垂直与平面，所以是正确的；对于D中，当直线与平面相交时，在内不存在直线与直线平行，所以不正确.故选：AC点评：本题主要考查了异面直线的定义，线面位置关系的判定及应用，其中解答中熟记线面位置的判定及性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（）.A．B．当时，函数单调递增C．当时，的最大值为D．当时，.答案：AD求出圆的半径，利用周期求出，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质判断求解即可．解：解：由题意，，，所以；又点代入可得，解得；又，所以．正确；所以，当，时，，，所以函数先增后减，错误；，时，点到轴的距离的最大值为6，错误；当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，正确．故选：．点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，属于中档题．11．把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有（）A．的图象不经过第三象限B．在上单调递增C．的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D．函数不存在零点答案：ACD首先讨论去绝对值，并画出函数图像，直接判断、，然后数形结合椭圆和双曲线的性质判断、选项.解：当，时，方程是，当，时，方程是，当，时，方程是，不表示任何曲线，当，时，方程是，函数的图象如图所示，由图知：的图象不经过第三象限，故A正确；在上单调递减，故B不正确；的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1，故C正确；的图象与图象没有交点，故ACD正确，故选：ACD点评：本题主要考查了曲线与方程，取绝对值很关键，属于中档题.12．数列为等比数列（）.A．为等比数列B．为等比数列C．为等比数列D．不为等比数列（为数列的前项）答案：BCD举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可.解：解：设的公比为，A.设，则，显然不是等比数列.B.，所以为等比数列.C.，所以为等比数列.D.当时，，显然不是等比数列；当时，若为等比数列，则，即，所以，与矛盾，综上，不是等比数列.故选：BCD.点评：考查等比数列的辨析，基础题.三、填空题13．已知，则____________.答案：所求的式子化为，利用“1”的变化，化为的齐次分式，然后化弦为切，即可求解.解：.故答案为：.点评：本题考查三角函数求值问题，应用二倍角公式、同角间的三角函数关系是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.14．已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为______________.答案：根据题意，画出几何关系图形，结合图形即可知球面被正方体表面所截得3段相等的弧长，且每个弧的端点与球心连接形成一个等边三角形，即可求得三段弧长的和.解：如图所示，球面被正方体表面所截得3段相等的弧长，每个弧的端点与球心连接形成一个等边三角形，所以，则所有弧长和为，故答案为：.点评：本题考查了正方体与球的截面问题，关键是理解截面与球的关系，弧与球心的位置关系，属于中档题.15．直线将圆C：分割成两段圆弧之比为，则______.答案：先转化条件得到圆心到直线的距离为，再求圆心、半径、圆心到直线的距离并建立方程，最后求解即可.解：解：因为直线将圆C：分割成两段圆弧之比为，所以直线过圆的弦所对的圆心角为，所以圆心到直线的距离为，因为圆C的方程：，所以圆心，半径，所以圆心到直线的距离为：所以，解得，故答案为：.点评：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离、利用圆的方程求圆心与半径，是基础题.16．已知各项均为正数的等比数列{an}，若2a4＋a3－2a2－a1＝8，则2a8＋a7的最小值为______.答案：54由题意知等比数列中，，则公比即则设，则，设则，令，得或当时，，当时，函数在上递增，在上递减，当时，函数取得最大值是则取到最小值是即的最小值为点睛：由题意知和公比，由通项公式代入式子:，化简得到，同理化简，再把上式代入用来表示且化简，设并构造函数，再求导，求临界点和函数单调区间，求出函数的最大值，代入的化简后式子求出最小值．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S．现有以下三个条件：①（2c+b）coA+acoB＝0；②in2B+in2C﹣in2A+inBinC＝0；③请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量＝（4in某，4），＝（co某，in2某），函数在△ABC中，，且____，求2b+c的取值范围．答案：根据平面向量数量积的运算，结合恒等变换，即可求得；选择①由正弦定理将边化角，即可求得；选择②，利用正弦定理以及余弦定理即可求得；选择③利用面积公式以及余弦定理即可求得；无论选择哪个条件，角都一样大小.利用正弦定理，构造关于角的函数，利用三角函数的值域，即可求得结果.解：根据题意，.又.选择①：（2c+b）coA+acoB＝0，由正弦定理可得：，故可得，又，故可得，又，故.选择②：in2B+in2C﹣in2A+inBinC＝0，由正弦定理得：，由余弦定理得，有，故.选择③：，由面积公式以及余弦定理可得：，解得，又，故可得.故不论选择哪个条件，都有.又.则.故，又，故，故，故.故答案为：.点评：本题考查向量数量积的运算、三角恒等变换以及正余弦定理解三角形，涉及三角形中范围问题的求解，属综合中档题.四、解答题18．已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且，，是等比数列的前3项.（1）求，；（2）设，求的前项和.答案：（1），；（2）.（1）在等差数列中，先建立方程和求出、，再求的通项公式；在等比数列中，直接求出、、，再求的通项公式；（2）直接运用分组求和法与裂项相消法求的前项和即可.解：解：（1）设等差数列的公差为，因为各项均不相等的等差数列的前4项和为10，所以，即，因为，，成等比数列，所以，所以，即，因为，所以所以，解得，，所以，在等比数列中，，，，所以.（2），所以，所以数列的前项和.点评：本题考查利用等差数列的基本量法求通项公式、利用定义法求等比数列的通项公式、利用分组求和法与裂项相消法求数列的前项和，是中档题.19．如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点.（1）证明：平面.（2）若，求二面角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）（1）记的中点为，连接，，通过证明，且推出四边形为平行四边形，则，由线线平行推出线面平行；（2）以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，代入即可求得二面角的余弦值从而求正弦值.解：（1）证明：记的中点为，连接，.因为分别为的中点，则，且.因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，则.又平面，平面，所以平面.（2）以为原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量，则令，则.设平面的法向量为，则令，则.，设二面角为，则，即二面角的正弦值为.点评：本题考查线面平行的证明，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.20．某省年开始将全面实施新高考方案．在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：原始分9190898887858382转换分10099979594918886人数22现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）②现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值．附：若，则，．答案：（1）分布列详见解析，数学期望为；（2）①69分；②．（1）写出随机变量的所有可能的取值，根据超几何分布求出的每个值对应的概率，列出分布列，求出数学期望；（2）①设该划线分为，由求出.由，得.由题意，又，故，故，即可求出；②由题意，根据独立重复实验的概率计算公式，求出，代入不等式组，即求的值.解：（1）随机变量的所有可能的取值为.由题意可得：，，，，随机变量的分布列为数学期望．（2）①设该划线分为，由得，令，则，由题意，，即，，，，，，取．②由①讨论及参考数据得，即每个学生生物统考成绩不低于分的事件概率约为，，．由即解得，，，当时，取得最大值．点评：本题考查超几何分布、二项分布及正态分布，考查学生的数据处理能力和运算求解能力，属于较难的题目．21．如图，已知椭圆()的长轴两个端点分别为，，（）是椭圆上的动点，以为一边在轴下方作矩形，使（），交于，交于.（1）若，的最大面积为12，离心率为，求椭圆方程；（2）若，，成等比数列，求的值.答案：（1）；（2）.（1）当时，可以确定，并且当当点为时的面积最大，根据面积公式求得，根据离心率的条件，求得，联立求得，，从而求得椭圆的方程；（2）由题意得：，，根据（）在椭圆上，得到写出直线方程，令，求得，同理可得，进而求得三条线段的长度，利用等比数列得出等量关系式，进而求得结果.解：（1）当时，过点，，当点为时的面积最大，即有，∴.①由已知离心率为，，，②由①②解得，.∴所求椭圆方程为.（2）由题意得：，.因为（）在椭圆上，所以.又直线方程为，令，解得，同理可得，所以，，.因为，，成等比数列，所以，即，化简得：，又，所以，代入式得，因为，所以，又，所以.点评：该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，根据条件求有关直线的斜率，属于中档题目.22．已知函数.（1）求证：的导函数在上存在一零点；（2）求证：有且仅有两个不同的零点.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）求得函数的导数，设，利用导数求得函数的单调性，结合零点的存在定理，即可求解；（2）可分，和三种情况分类讨论，考虑的零点存在情况，进而得到结论.解：解：（1）因为，所以设，当时，，所以在上单调递减，又因数，，且当时，的图像不间断，所以在上有唯一的零点，所以命题得证.（2）①由（1）知：当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以在上存在唯一的极大值点，所以，又因为，所以在上恰有一个零点.又因为，所以在上也恰有一个零点.②当时，，，设，，，所以在上单调递减，所以，即在上没有零点.③当时，，设，，所以在上单调递减，所以，所以当时，恒成立.所以在上没有零点.综上，有且仅有两个零点.点评：本题主要考查导数在函数中的综合应用，利用导数研究函数的零点问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性与极值、最值，结合函数零点的概念进行求解，着重考查分析问题和解答问题的能力，是难题．。

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B 等于（ ）A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)2．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>3．集合{}2|4,M y y x x ==-∈Z 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．31D ．324．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =+下下上上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸()2n到直线()10x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．已知椭圆22:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( )A ．3320x y --=B ．3320x y -+=C ．3340x y +-=D ．3340x y ++=8．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种B ．20种C ．22种D ．24种9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C D 10．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ）A ．1BC ．2D ．411．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<12．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学第 页(共6页)1 苏州市2022~2023学年第一学期高三期中调研试卷数 学 2022．11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知集合A ＝{x |x 2≤4x }，B ＝{x |3x －4＞0}，则A ∩B ＝A ．[0，＋∞)B ．[0，43)C ．(43，＋ ) D ．(－∞，0) 2．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝A ．12B ．22 C ． 2 D ．2 3．在△ABC 中，点N 满足→AN ＝2→NC ，→BN ＝→a ，→NC ＝→b ，那么→BA ＝A ．→a －2→bB ．→a ＋2→bC ．→a －→bD ．→a ＋→b 4．“sin α＋cos α＝1”是“sin2α＝0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．奇函数f (x )在R 上单调递增，若正数m ，n 满足f (2m )＋f (1n －1)＝0，则1m ＋n 的最小值为A ．3B ．4 2C ．2＋2 2D ．3＋2 2 6．已知函数f (x )＝3cos ωx －sin ωx (ω＞0)的周期为2π，那么当x ∈[0，2π3]时，ωf (x高三数学第 页(共6页)2 )的取值范围是A ．[－32，32]B ．[－3，3]C ．[－32，1] D ．[－1，2] 7．古时候，为了防盗、防火的需要，在两边对峙着高墙深院的“风火巷”里常有梯子、铜锣、绳索等基本装备．如图，梯子的长度为a ，梯脚落在巷中的M 点，当梯子的顶端放到右边墙上的N 点时，距地面的高度是h ，梯子的倾斜角正好是45°，当梯子顶端放到左边墙上的P 点时，距地面的高度为6尺(1米＝3尺)，此时梯子的倾斜角是75°．则小巷的宽度AB 等于A ．6尺B ．a 尺C ．(h ＋2)尺D ．h ＋a2尺 8．已知实数a ＝log 23，b ＝2cos36°，c ＝2，那么实数a ，b ，c 的大小关系是A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b 二、多项选择题：本大题共45分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．己知非零实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式一定正确的有A ．c a ＞c bB ．c a ＋a c ≤－2C ．(a －b )a ＞(b －c )aD ．c a ∈(－2，－12) 10．已知函数f (x )＝cos2x －2cos x cos3x ，则A ．f (x )的最大值为1B ．f (π6)＝f (－π3)C ．f (x )在(－π12，π6)上单调递增D ．f (x )的图象关于直线x ＝π4对称11．在棱长为2的正方体中，M ，N 分别是棱AB ，AD 的中点，线段MN 上有动点P ，棱CC 1上点E 满足C 1C ＝3C1E ．以下说法中正确的有高三数学第 页(共6页)3A ．直线C 1P 与BE 是异面直线B ．直线C 1P ∥平面BDE C ． 三棱锥C －C 1MN 的体积是1D ．三棱锥C －C 1MN 的体积是3 12．已知函数f (x )＝(x 2－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝2对称，则A ．a ＋b ＝5B ．f (x )的最小值是－3516C ．f (x )图象与直线2x ＋y －8＝0相切D ．f (x )图象与直线12x －y －48＝0相切 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋mx ＋2≤0，若“非p ”为真命题，则m 的取值范围是 ．14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，则函数g (x )＝2－f [f (x )]的所有零点之积等于 ．15．在△ABC 中，已知B ＞C ，A ＝3132，cos(B －C )＝18，那么tan B ＝ ． 16．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，…，往里第n 个正方形为A n B n C n D n ．那么第7个正方形的周长是 ，至少需要前 个正方形的面积之和超过2．(本小题第一空2分，第二空3分，参考数据：lg2＝0.301，lg3＝0.477)．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b sin A－3a＝0．(1)求角B的大小；(2)求cos A cos B cos C的取值范围．18．(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，已知点E(cosα，sinα)(其中0≤α≤π)，将向量→OE逆时针方向旋转90°，得到向量→OF，记A(1，0)，B(0，－1)．(1)求|→AE＋→AF|的最大值：(2)试判断两向量→AE与→BF的位置关系．高三数学第页(共6页)4高三数学第 页(共6页)519．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，∠ACB ＝90°，P A ⊥底面ABC ． (1)求证：平面P AC ⊥平面PBC ；(2)若AC ＝BC ＝P A ，M 是PB 的中点，记AM 与底面ABC 所成角为α，AM 与平面PBC 所成角为β，试研究α与β的等量关系．20．(本小题满分12分)已知首项a 1＝4的数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有a n S n＝n ＋12n ．(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记c n ＝a n 2n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，有A ≤1T 1＋1T 2＋…＋1T n≤B 恒成立，求B －A 的最小值．21．(本小题满分12分)给定函数f(x)＝(x＋1)e x．(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；(2)画出函数f(x)的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)的解的个数．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－(ln a) x(实数a＞0)．(1)若实数a∈N*，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＜0恒成立，求实数a的最小值；(2)证明：(1＋1n)n＜3．高三数学第页(共6页)6。

2022-2023学年秋学期高三年级期初调研试卷物理学科试卷一、单项选择题:(每题4分)1.“遂古之初,谁传道之?上下未形,何由考之?”2020年.7月23日,我国探测飞船天问一号飞向火星！伟大诗人屈原的“天问”梦想正成为现实。

图中虚线为天问一号的“地”“火”转移轨道,下列说法正确的是（）A.天问一号发射速度为大于7.9km/s小于11.2km/sB.天问一号的在轨速度总大于地球绕太阳的公转速度C.天问一号的在轨加速度总小于火星绕太阳的加速度D.天问一号从地球飞到火星轨道的时间小于半个火星年.2.如图所示,竖直平面内蜘蛛网上A、B、C三点的连线构成正三角形,三根蜘蛛丝a、b、c的延长线过三角形的中心,蜘蛛丝c沿竖直方向,c中有张力。

则（）A.蜘蛛静止在网中央时,a中张力大于b中张力B.蜘蛛在网中央由静止向上加速,b中张力变大C.蜘蛛在网中央由静止沿b方向向上加速,b中张力变小D.蜘蛛网在水平风吹拂下晃动,a中张力大小不变3.竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘,小球A、B带同种电荷。

现用水平向左推力F 作用于小球B,两球分别静止在竖直墙和水平地面上,如图所示。

如果将小球B向左推动少许,当两球重新达到平衡时，与原来的平衡状态相比较（）A.推力F将变大B.竖直墙面对小球A的弹力变大C.地面对小球B的支持力不变D.两小球之间的距离不变4.如图所示,质量为4kg、半径为0.5m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内,小球A和B的直径略小于细圆管的内径,它们的质量分别为mΛ=1kg、m B=2kg。

某时刻,小球A、B分别位于圆管最低点和最高点,且A的速度大小为v A=3m/s,此时杆的下端受到向上的压力,大小为56N。

则B球的速度大小v B为(g取10m/s2)（）A.2m/sB.4m/sC.6m/sD.8m/s5.处于竖直平面内的某圆周的两条直径AB、CD间的夹角为60∘,其中直径AB水平,AD与CD是光滑的细杆。

2022届高三10月月考数学试卷（江苏省泰州中学）解答题如图，摩天轮的半径为，它的最低点距地面的高度忽略不计.地上有一长度为的景观带，它与摩天轮在同一竖直平面内，且.点从最低点处逆时针方向转动到最高点处，记.（1）当时，求点距地面的高度；（2）试确定的值，使得取得最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将所求的高度、已知的角与线段长度放在一个三角形中结合三角函数的定义求解即可；（2）借助于角θ，把∠MPN表示出来，然后利用导数研究该函数的最值．试题解析：（1）由题意，得.从而，当时，.即点距地面的高度为.（2）由题意，得，从而.又，所以.从而令，则.由，得，解得.当时，为增函数；当时，为减函数，所以，当时，有极大值，也为最大值.因为，所以.从而当取得最大值时，取得最大值.即时，取得最大值.解答题已知函数.（1）将化简为的形式，并求最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值.【答案】（1），；（2）时，，时，.【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得，由周期公式可得答案；（2）由x的范围可得的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．试题解析：（1）所以.（2）因为，所以所以，所以，当，即时，，当，即时，.填空题若集合，则__________．【答案】【解析】根据集合并集的运算意义，，故填.填空题设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是.【答案】【解析】试题分析:设,由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为,故当时,,函数单调递减; 当时,,函数单调递增;故,而当时,,故当且,解之得,应填答案.解答题如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到位置，.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）证，再证，最后证；（Ⅱ）用向量法求解.试题解析：（Ⅰ）由已知得，，又由得，故.因此，从而.由, 得.由得.所以，.于是，，故.又，而，所以.（Ⅱ）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是，.因此二面角的正弦值是.解答题已知命题函数在上单调递增；命题不等式的解集为，若为真，为假，求实数的取值范围.【答案】.【解析】试题分析：如果p∨q为真，p∧q为假，则p，q只能一真一假，进而得到答案.试题解析：若真，则，真恒成立，设，则，易知，即，为真，为假一真一假，（1）若真假，则且，矛盾，（2）若假真，则且，综上可知，的取值范围是.填空题若，则__________．【答案】【解析】因为，而所以，两边同除以得：，故填.解答题设集合是的两个非空子集，且满足集合中的最大数小于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为.（1）求的值；（2）求的表达式.【答案】（1），.（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据具体数值，结合新定义，列举满足条件的数对：当时，即，此时，，所以，当时，即，若，则，或，或；若或，则；所以.（Ⅱ）由定义知，A,B 无共同元素，分别在两部分取相应子集：当集合中的最大元素为“”时，集合的其余元素可在中任取若干个（包含不取），所以集合共有种情况，此时，集合的元素只能在中任取若干个（至少取1个），所以集合共有种情况，集合对共有对，再求和试题解析：（1）当时，即，此时，，所以，2分当时，即，若，则，或，或；若或，则；所以. 4分（2）当集合中的最大元素为“”时，集合的其余元素可在中任取若干个（包含不取），所以集合共有种情况，6分此时，集合的元素只能在中任取若干个（至少取1个），所以集合共有种情况，所以，当集合中的最大元素为“”时，集合对共有对，8分当依次取时，可分别得到集合对的个数，求和可得. 10分解答题已知二次函数，关于实数的不等式的解集为．（1）当时，解关于的不等式：；（2）是否存在实数，使得关于的函数（）的最小值为？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．（2）【解析】试题分析：（1）由二次不等式解集与二次方程根的关系得：的两根为和，且，从而，解得，再化简不等式，因式分解：，最后根据两根2与大小关系，分三种情况讨论不等式解集（2）先化简函数，为一元二次函数，其中，再根据对称轴与定义区间位置关系研究函数最小值：因为，所以当时，取最小值试题解析：（1）由不等式的解集为知，关于的方程的两根为和，且，由根与系数关系，得∴所以原不等式化为，①当时，原不等式化为，且，解得或；②当时，原不等式化为，解得且；③当时，原不等式化为，且，解得或；综上所述：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．（2）假设存在满足条件的实数，由（1）得：，，．令（），则，（），对称轴，因为，所以，，所以函数在单调递减，所以当时，的最小值为，解得．填空题设二次函数（为常数）的导函数为，对任意，不等式恒成立，则的最大值为__________．【答案】【解析】试题分析：根据题意易得：，由得：在R上恒成立，等价于：，可解得：，则：，令，，故的最大值为．解答题已知为上的偶函数，当时，.（1）当时，求的解析式；（2）当时，试比较与的大小；（3）求最小的整数，使得存在实数，对任意的，都有.【答案】（1）当时，；（2）时，；当时，；当时，；（3）最小整数.【解析】试题分析：（1）当时，，利用为R上的偶函数，当时，，可求函数的解析式；（2）当时，单调递增，而是偶函数，所以在上单调递减，从而可得当时，；当时，；当时，；（3）转化为对恒成立，从而有求利用建立关系, 由此可求适合题意的最小整数m的值.试题解析：（1）当时，；（2）当时，单调递增，而是偶函数，所以在上单调递减，所以所以当时，；当时，；当时，；（3）当时，，则由，得，即对恒成立从而有对恒成立，因为，所以因为存在这样的，所以，即又，所以适合题意的最小整数.填空题已知直线与函数及的图象分别交于两点，则线段的长度为__________．【答案】.【解析】分别联立与函数及解得：，所以，故填.填空题已知，则__________．【答案】【解析】由诱导公式得：，，所以，故填.填空题函数的最小值为__________．【答案】【解析】试题分析：所以，当，即时，取得最小值.所以答案应填：.解答题在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数，），直线（为参数，），求曲线上的动点到直线的距离的最小值.【答案】.【解析】试题分析：根据已知中直线的参数方程，消参求出直线的一般式方程，代入点到直线距离公式，结合三角函数的图象和性质，可得曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．试题解析：将直线的参数方程化为普通方程为.因为点在曲线上，所以可设.因为点到直线距离，其中是锐角，所以当时，，所以点到直线的距离最小值为.解答题已知函数.（1）若曲线与直线相切，求实数的值；（2）记，求在上的最大值；（3）当时，试比较与的大小.【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）.【解析】试题分析：（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解；（2）通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值，要注意对字母m的讨论；（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号，然后转化为研究差函数的单调性研究其最值．试题解析：（1）设曲线与相切于点，由，知，解得，又可求得点为，所以代入，得.（2）因为，所以.①当，即时，，此时在上单调递增，所以；②当即，当时，单调递减，当时，单调递增，.（i）当，即时，；（ii）当，即时，；③当，即时，，此时在上单调递减，所以.综上，当时，；当时，.（3）当时，，①当时，显然；②当时，，记函数，则，可知在上单调递增，又由知，在上有唯一实根，且，则，即（*），当时，单调递减；当时，单调递增，所以，结合（*）式，知，所以，则，即，所以.综上，.填空题设函数，则__________．【答案】【解析】由分段函数解析式知，，所以，故填9.填空题函数的定义域为A，值域为B，则A∩B=____________.【答案】【解析】填空题已知角的终边过点，且，则的值为．【答案】【解析】试题分析：由题意得填空题命题“若，则”的否命题为．【答案】若，则【解析】试题分析：否定条件作条件，同时否定结论做结论，所以命题“若，则”的否命题为若，则解答题在平面直角坐标系中，设点在矩阵对应的变换下得到点，求.【答案】.【解析】试题分析：由题意得到，再由逆矩阵公式,求出矩阵M的逆矩阵由此能求出M.−1试题解析：依题意，，即，解得，由逆矩阵公式知，矩阵的逆矩阵，所以.填空题已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】构造函数，则是奇函数，是R上的增函数，所以原不等式变为，所以，即恒成立，所以，解得：，故填.填空题设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________．【答案】【解析】令，所以在上是减函数，又，所以是偶函数，因此，当时，，所以，同理，当时，，所以，综上应填.21。

2022~2023学年第一学期高三期中调研试卷数 学2022.11注 意 事 项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1. 已知集合2{|4}A x x x =≤，{|340}B x x =->，则A B = （ ）A. [0,)+∞ B. 4[0,)3C. 4(,4]3D. (,0)-∞【答案】C 【解析】【分析】先求得集合A 的范围、集合B 的范围，最后取它们的交集即可.【详解】由题意，集合{}{}2404A x x x x x =≤=≤≤，{}43403B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以444,433A B x x ⎧⎫⎛⎤⋂=<≤=⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭．故选：C.2. 设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=（ ）A.12B.C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】求出1i z =+即得解.【详解】解：由题意可得2i1iz =+，所以2i(1i)22i 1i (1i)(1i)2z -+===++-，所以||z ==故选：C3. 在ABC ∆中，点N 满足2AN NC =，记BN a = ，NC b = ，那么BA =（ ）A. 2a b -B. 2a b+C. a b-D. a b+【答案】A 【解析】【分析】根据向量的线性运算将BA分解为BA BN NA =+ ，再转化为a ，b表示即可.【详解】22BA BN NA BN NC a b =+=-=-.故选：A.4. “sin cos 1αα+=”是“sin 20α=”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】若sin cos 1αα+=，则2(sin cos )12sin cos 1sin 21ααααα+=+=+=，即sin 20α=.若sin 20α=，则222sin cos sin 2(sin cos )1ααααα++=+=，则sin cos 1αα=±+.故“sin cos 1αα+=”是“sin 20α=”的充分不必要条件.故选：A5. 奇函数()f x 在R 上单调递增，若正数,m n 满足1(2)(1)0f m f n +-=，则1mn +的最小值为（ ）A. 3B.C. 2+D. 3+【答案】D 【解析】【分析】由题意可得121m n +=，再根据1121n m m n n m ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭结合基本不等式即可得解.【详解】解：因为奇函数()f x 在R 上单调递增，且1(2)(1)0f m f n+-=，所以1(2)(1)f m f n =--，即1(2)(1)f m f n=-+，所以121m n =-+，即121m n+=，所以112323311n n m mn n m m m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当12mn mn =，即1m n ==时，取等号，所以1mn +的最小值为3+.故选：D.6. 已知函数()sin f x x x ωω=-（0ω>）的周期为2π，那么当2[0,]3x π∈时，()f x ω的取值范围是（ ）A. [B. [C. [D. [1,2]-【答案】B 【解析】【分析】首先化简函数()f x ，根据周期求ω，再根据函数的定义域求函数的值域.【详解】()2cos 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，22T ππω==，1ω∴=，()2cos 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，5,666x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，所以2cos 6x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭.7. 古时候，为了防盗、防火的需要，在两边对峙着高墙深院的“风火巷”里常有梯子、铜锣、绳索等基本装备．如图，梯子的长度为a ，梯脚落在巷中的M 点，当梯子的顶端放到右边墙上的N 点时，距地面的高度是h ，梯子的倾斜角正好是45 ，当梯子顶端放到左边墙上的P 点时，距地面的高度为6尺（1米=3尺），此时梯子的倾斜角是75 ．则小巷的宽度AB 等于 （ ）A. 6尺B. a 尺C. （2h +）尺D.2h a+尺【答案】A 【解析】【分析】连接PN ,过N 作NC PA ⊥于C ，则//AB NC 且AB NC =.证明出 AMP ≌CPN △ ，得到6NC PA ==,即可求出AB .【详解】连接PN ,过N 作NC PA ⊥于C ，则//AB NC 且AB NC =.由题意可得：45NMB ∠=︒，所以45MNC NMB ∠=∠=︒.因为180754560PMN ∠=︒-︒-︒=︒且PM MN =，所以PMN 为等边三角形,即MN PN PM ==.因为45MNC ∠=︒，所以604515PNC MNP MNC ∠=∠-∠=︒-︒=︒.而90907515APM AMP ∠=︒-∠=︒-︒=︒,所以APM PNC ∠=∠.因为90PAM PCN ∠=∠=︒，所以75PMA NPC ∠=∠=︒.又PN PM =,所以 AMP ≌CPN △ (ASA ),所以6NC PA ==,即6AB =.8. 已知实数2log 3a =，2cos36b = ，c =，那么实数,,a b c 的大小关系是（ ）A. b c a >>B. b a c>> C. a b c>> D. a c b>>【答案】B 【解析】【分析】利用余弦函数的单调性可得到b c >，利用对数函数的单调性可得到a c >，假设在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，角B 的平分线交边AC 于点D ，利用长度关系和正弦定理可得到2cos36︒=，然后利用作差法能得到b a >，即可求解【详解】由于cos36cos 45> 可得2cos36> 即b c >，又由于2223log 3log log 2=>=>a c >，假设在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，角B 的平分线交边AC 于点D ，所以18036722C ABC ︒-︒∠=∠==︒，36CBD ABD ∠=∠=︒，180367272BDC ∠=︒-︒-︒=︒，所以BCD ABC △△,所以BC AB CD BC =即2BC CD AB=，所以2BC AD AC CD AB AB =-=-，所以2BC BC BD AD AB AB===-，所以22BC AB AB BC ⋅=-即21AB AB BC BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得AB BC =在ABC 中，sin 72sin 36AB BC =︒︒即sin 722sin 36cos362cos36sin 36sin 36AB BC ︒︒︒===︒︒︒，所以2cos36︒=，由于5832<即5ln 38ln 2<，所以ln 38ln 25<，所以28log 35a =<，805=-=>，所以b a >，所以b a c >>故选：B【点睛】关键点点睛：这道题的关键时计算出2cos36︒=，需假设在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，角B 的平分线交边AC 于点D ，然后利用相似三角形和正弦定理即可得到二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9. 已知非零实数,,a b c 满足a b c >>且0a b c ++=，则下列不等关系一定正确的有（ ）A.c c a b> B.2c aa c+≤- C. ()()a aa b b c ->- D.1(2,2c a ∈--【答案】BD 【解析】【分析】根据已知，利用不等式的性质以及特值法进行判断.【详解】因为非零实数,,a b c 满足a b c >>且0a b c ++=，所以0,0a c ><，b 的正负不能确定，对于A ，若0a b >>，则110a b >>，则c cb a>，故A 错误；对于B ，因为0c a <，所以0ca ->，所以c a c a a c a c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为2c a a c ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当c a a c-=-时，即a c =-时取到等号，所以2c ac a a c a c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；对于C ，当2,1,3a b c ===-时，2()11a a b -==，2()416a b c -==，显然不满足()()a a a b b c ->-，故C 错误；对于D ，因为a b c >>，0a >，所以1b ca a>>，又0a b c ++=，所以c a c a a--<，解得12c a <-；因为a b c >>，0c <，所以1a bc c<<，又0a b c ++=，所以1a a c ac c c --<=--，解得12a c <-，所以20c a-<<；综上，1(2,)2ca ∈--.故D 正确.故选：BD.10. 已知函数()cos 22cos cos3f x x x x =-，则（ ）A. ()f x 的最大值为1B. ππ63f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()f x 在ππ126⎛⎫- ⎪⎝⎭,上单调递增D. ()f x 的图象关于直线π4x =对称【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，先利用余弦的和差公式化得()cos 4f x x =-，由此易得()f x 的最大值为1；对于B ，代入角易得ππ63f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；对于C ，由ππ126x -<<得π2π433x -<<，先判断cos y x =在π2π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调情况，从而判断()f x 的单调情况；对于D ，由余弦函数的图像性质得到()f x 的对称轴，由此可判断π4x =为()f x 的对称轴.【详解】()()cos 22cos cos3cos 32cos cos3f x x x x x x x x=-=--()()cos3cos sin 3sin 2cos cos3cos3cos sin 3sin cos 3x x x x x x x x x x x x =+-=--=-+cos 4x =-，对于A ，因为1cos 41x -≤≤，所以1cos 41x -≤-≤，即1()1f x -≤≤，所以()f x 的最大值为1，故A 正确；对于B ，因为π2π1cos 632f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π4π2π2π1cos cos 2πcos 33332f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ63f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为ππ126x -<<，所以π2π433x -<<，又因为cos y x =在[]π,0π,03⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭上单调递增，在[]2π0,0,π3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()cos 4f x x =-在ππ126⎛⎫- ⎪⎝⎭,上先减后增，故C 错误；对于D ，因为cos y x =的对称轴为()πZ x k k =∈，所以由4πx k =得π4k x =，可知()cos 4f x x =-的对称轴为()πZ 4k x k =∈，当1k =时，()f x 的对称轴为π4x =，故D 正确.故选：ABD.11. 在棱长为2正方体中，,M N 分别是棱,AB AD 的中点，线段MN 上有动点P ，棱1CC 上点E 满足113C C C E =．以下说法中，正确的有（ ）A. 直线1C P 与BE 是异面直线B. 直线1//C P 平面BDEC. 三棱锥1C C MN -的体积是1D. 三棱锥1C C MN -的体积是3【答案】ABC 【解析】【分析】对A 选项：可用异面直线的判定方法判断；对B 选项：可通过证明面1//C MN 面BDE 得到直线1//C P 平面BDE ；对C 、D 选项：将三棱锥1C C MN -的体积转化为三棱锥1C CMN -的体积计算.【详解】对A 选项：异面直线的判断方法：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，的因为P ∉平面1BC ，1C ∈平面1BC ，BE ⊂平面1BC ，1C ∉直线BE ，故直线1C P 与BE 是异面直线.对B 选项：下面先证明面1//C MN 面BDE ，再证直线1//C P 平面BDE .如图：连结AC 与BD 交于点O ，与MN 交于点F ，在正方形ABCD 中，有3CF OF ＝，又113C C C E =，故1//C F OE ，又1C F ⊂面1C MN ，OE ⊄ 面1C MN ，所以//OE 面1C MN ，又//BD MN ，MN ⊂面1C MN ，BD ⊄ 面1C MN ，所以//BD 面1C MN ，BD ⊂面BDE ，OE ⊂面BDE ， BD OE O ⋂＝，所以面1//C MN 面BDE .又1C P ⊂面1C MN ，故直线1//C P 平面BDE ，所以B 正确.对选项C ：11332242CMN S MN CF =⋅=⨯= ，111111321332C C MN C CMNC MN V V S CC --==⋅=⨯⨯= ，故C 正确D 不正确；故选：ABC12. 已知函数22()()()f x x x x ax b =-++的图象关于直线2x =对称，则（ ）A. 5a b += B. ()f x 的最小值是3516-C. ()f x 图象与直线280x y +-=相切D. ()f x 图象与直线12480x y --=相切【答案】AD【解析】【分析】根据函数的对称性代入特殊值，求,a b ，即可判断A;利用换元，转化为二次函数求最值，即可判断B ；联立函数与直线方程，利用方程组解，判断交点处的导数，判断是否相切，即可判断C ；利用导数求函数在4x =处的切线方程，即可判断D.【详解】因为()y f x =图象关于直线2x =对称，当3x =时，(3)(1)0f f ==，于是930a b ++=，当4x =时，(4)(0)0f f ==，于是1640a b ++=，于是7a =-，12b =，所以5a b +=，故A 正确；2222()()(712)(1)(3)(4)(4)(43)f x x x x x x x x x x x x x =--+=---=--+，令24t x x =-，4t ≥-，则2()(3)3g t t t t t =+=+，4t ≥-，因为2()3g t t t =+图象开口向上，对称轴是32t =-，所以()g t 的最小值为3924g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故B 正确；联立方程()()()13482y x x x x y x ⎧=---⎨=-⎩，解得：4x =或2x =或1x =()()()()()()()222244342424283f x x x x x x x x x x '=--++--=--+，()4122f '=≠-，()202f '=≠-，(1182f '=-±≠-，所以()f x 与直线280x y +-=不能相切，故C 不正确；()()()224283f x x x x '=--+，()412f '=，()40f =，所以函数()y f x =在4x =处的切线方程为12480x y --=，故D 正确.故选：AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13. 命题2:,20p x R x mx ∃∈++…，若“非p ”为真命题，则m 的取值范围是_________．【答案】m -<<．【解析】【分析】写出命题的否定，由命题的否定全称命题且为真命题，结合一元二次不等式恒成立可得．【详解】由题意知，命题2:,20p x R x mx ∃∈++≤为假，即2,20x R x mx ∀∈++>恒成立，的所以∆<0，所以2420m -⨯<，所以m -<<故答案为：m -<<14. 已知函数22,0,()log ,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则函数()2[()]g x f f x =-的所有零点之积等于__．【答案】2-【解析】【分析】由题意，表示出函数()f f x ⎡⎤⎣⎦解析式，利用零点的定义，建立方程，可得答案.【详解】求函数()2[()]g x f f x =-的所有零点，则等价于求方程()2f f x =⎡⎤⎣⎦的根，当0x ≤时，()20xf x =>，则()2log 22xf f x x ==-=⎡⎤⎣⎦，解得2x =-；当0x >且1x ≠时，()2log 0f x x =>，则()22log log 2f f x x ==⎡⎤⎣⎦，22log log 2x =±，可得2log 4x =，21log 4x =，即2log 4x =±，21log 4x =±，解得x =116或16；当1x =时，()21log 10f ==，()0121f f ==⎡⎤⎣⎦，不符合题意.综上，1216216-⨯⨯=-，故答案为：2-.15. 在ABC 中，已知B C >，31cos 32A =，1cos()8B C -=，那么tan B =____________．【答案】【解析】【分析】由题意，根据三角形内角和以及诱导公式和三角函数和差公式，建立方程组，可解得答案.【详解】由31cos 32A =，且()A B C π=-+，则()31cos 32B C +=-，即得到31cos cos sin sin 32B C B C -=-，由1cos()8B C -=，得到1cos cos sin sin 8B C B C +=，于是27cos cos 64B C =-，35sin sin 64B C =，故35tan tan 27B C =-．在ABC 中，tan tan tan()tan 1tan tan B C B C A B C ++==-=-于是tan tan B C +=35tan tan 27B C =-，解方程组得到tan B =或tan B =，由于B C >，取tan B =．故答案为：.16. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形1111D C B A 的边长为1，往里第二个正方形为2222A B C D ，…，往里第n 个正方形为n n n n A B C D ．那么第7个正方形的周长是____________，至少需要前____________个正方形的面积之和超过2．（参考数据：lg 20.301=，lg 30.477=）．【答案】 ①.500729②. 4【解析】【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、前n 项和公式进行求解.【详解】因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，且外围第一个正方形1111D C B A 的边长为1，所以2123A B =，2113B B =,由勾股定理有：22A B ===设第n 个正方形n n n n A B C D 的边长为n l ，则11l =，21l ==，……，1n n l -==，所以111n n n l l --==，所以第7个正方形的周长是6376512550044443729729l =⨯=⨯=⨯=，第n个正方形的面积为221259n n n l --⎛⎫== ⎪⎝⎭，则第1个正方形的面积为021519l ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则第2个正方形的面积为1225599l ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则第3个正方形的面积为22359l ⎛⎫= ⎪⎝⎭，……则第n 个正方形的面积为1259n n l -⎛⎫= ⎪⎝⎭，前n 个正方形的面积之和为115155959115994919nn n n S -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，当1n =时，11951149S ⎡⎤⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n =时，2295141499S ⎡⎤⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =时，339515114981S ⎡⎤⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当4n =时，449514841249729S ⎡⎤⎛⎫=-=>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2．故答案为：500729，4.四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且2sin 0b A =．（1）求角B 的大小；（2）求cos cos cos A B C 的取值范围．【答案】（1）3B π=（2）1(0,8【解析】【分析】(1) 由正弦定理将边化为角后即可求出角B 的大小；(2)已知3B π=后可以将A C ，全用B 表示，将cos cos cos A B C 表示为B 的函数，利用三角恒等变换化为一般式求范围，注意锐角三角形对角范围的限制.【小问1详解】由正弦定理，2sin b R B =，2sin c R C =，代入2sin 0b A =，有22sin sin 2sin 0R B A R A ⨯=，因为A 是三角形的内角，sin 0A ≠，所以sin B =， 在锐角ABC 中，3B π=．【小问2详解】由（1），3B π=，23A C π+=，23C A π=-于2cos cos cos cos coscos()33A B C A A ππ=-11cos (cos )22A A A =-21cos cos 4A A A =-11cos 2242A A +=-⨯11sin(2)468A π=-- 在锐角ABC 中，由于3B π=，有62A ππ<<，52666A πππ<-<，于是1sin(2(,1]62A π-∈，11sin(2)468A π--1(0,]8∈．所以cos cos cos A B C 的取值范围是1(0,]8．18 平面直角坐标系xOy 中，已知点(cos ,sin )E αα（其中0απ≤≤），将向量OE逆时针方向旋转90 ，得到向量OF，记(1,0)A ，(0,1)B -．（1）求||AE AF +的最大值；（2）试判断两向量AE 与BF的位置关系．【答案】（1）2+（2）两向量AE 与BF平行【解析】【分析】（1）利用垂直向量的坐标表示，求得点F 的坐标，利用模长公式以及三角函数恒等变换，可得答案；（2）利用平行向量的坐标表示，可得答案.【小问1详解】向量OE 逆时针方向旋转90 ，则OE OF ⊥ ，即0OE OF ⋅=，得到点(sin ,cos )F αα-，又因为(1,0)A ，所以(cos 1,sin )AE αα=- ，(sin 1,cos )AF αα=--，所以AE AF +(cos sin 2,sin cos )αααα=--+，是.所以||AE AF +=====2≤=+，所以||AE AF +最大值为2+，此时πsin 14α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3π4α=．【小问2详解】由题意，(cos 1,sin )AE αα=- ，(sin ,cos 1)BF αα=-+，因为22(cos 1)(cos 1)sin (sin )(cos 1)sin 0αααααα-+--=-+=，所以(cos 1)(cos 1)sin (sin )αααα-+=-，所以两向量AE 与BF平行．19. 如图，在三棱锥-P ABC 中，90ACB ∠= ，PA ⊥底面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若AC BC PA ==，M 是PB 的中点，记AM 与底面ABC 所成角为α，AM 与平面PBC 所成角为β，试研究α与β的等量关系．【答案】（1）证明见解析 （2）2παβ+=【解析】【分析】（1）由PA ⊥底面ABC ，可得PA ⊥BC ，再结合AC ⊥BC ，由线面垂直的判定定理可得BC⊥的平面PAC ，再利用面面垂直的判定定理可得结论，（2）取AB 的中点N ，连接MN ，可得MAN ∠就是直线AM 与底面ABC 所成角α，在直角MAN △中可求得tan α，取PC 的中点H ，连接AH HM ,，可得AMH ∠就是直线AM 与平面PBC 所成角β，在直角AMH 中可求得tan β，从而可得答案.【小问1详解】证明：因为PA ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ，所以PA ⊥BC ．又因为90ACB ∠= ，即AC ⊥BC ，又因为,PA AC ⊂平面PAC ，且,PA AC 相交于点A ，所以直线BC⊥平面PAC ．又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ．【小问2详解】取AB 的中点N ，连接MN ，由于M 是PB 的中点，有//MN PA ，又因为PA ⊥底面ABC ，,AB AC ⊂底面ABC ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥，所以,MN AB MN AC ⊥⊥，因为,,AB AC A AB AC =⊂ 底面ABC ，所以MN ⊥底面ABC ，所以MAN ∠就是直线AM 与底面ABC 所成角α．记2AC BC PA a ===，则AB =，12MN PA a ==在直角MAN △中，tan tan MN MAN AN α=∠===，取PC 的中点H ，连接AH HM ,，由于AC PA =，有AH PC ⊥．由（1）BC⊥平面PAC ，AH ⊂平面PAC ，所以BC AH ⊥．又因为,PC BC ⊂平面PBC ，,PC BC 相交于点C ，所以AH ⊥平面PBC ，所以AMH ∠就是直线AM 与平面PBC 所成角β．在直角AMH中，1122AH PC ==⨯=，12MH BC a ==，所以tan tan AMH β=∠==所以tan tan 1αβ=，由于α、β都是锐角，所以2παβ+=．20. 已知首项14a =的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意N n *∈都有12n n a n S n+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2nn n a c =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，有12111n A B T T T ≤+++≤ 恒成立，求B A -的最小值．【答案】（1）()1·2nn a n =+；（2）1318.【解析】【分析】（1）依题意可得21n n na S n =+，根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到121n n a an n -=⋅+，即可得到1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列，从而求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得1n c n =+，利用等差数列求和公式得到n T ，即可得到1211(33n T n n =-+，利用裂项相消法求出12111n T T T +++L ，从而得到12111nT T T +++L 的取值范围，从而得解.【小问1详解】解：由12n n a n S n +=得到21n n na S n =+，当2n ≥时，112(1)n n n a S n---=，两式相减，有122(1)1n n n na n a a n n --=-+，得到12(1)(1)1n n n a n a n n ---=+，由于2n ≥，121n n a an n-=⋅+，因为122a=，由上述递推关系知01n a n ≠+所以1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1221n na n -=⨯+，所以(1)2nn a n =+．【小问2详解】解：由（1）12nn n a c n =+=，所以数列{}n c 的前n 项和为(21)(3)22n n n n n T +++==，则12211((3)33n T n n n n ==-++，所以12111211211211211()((()31432533633n T T T n n +++=-+-+-++-+ 2111111211111((312312331239n n n =++---<++=+++，又由于10n T >，121111112n T T T T +++≥= ，即1211111129n T T T ≤+++< 恒成立，结合题设恒成立，所以111139218B A -≥-=，所以B A -的最小值为1318．21. 给定函数()(1).x f x x e =+（1）判断函数()f x 的单调性，并求出()f x 的极值；（2）画出函数()f x 的大致图象；（3）求出方程()()f x a a R =∈的解的个数【答案】（1）单调递增区间为()2,-+∞；单调递减区间为(),2-∞-，极小值,()212f e -=-；（2）答案见详解；（3）当21a e <-时，解为0个；当21a e=-或0a ≥时，解为1个； 当210a e -<<时，解为2个【解析】【分析】（1）求出导函数()f x '，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解.（2）由函数的单调性、极值即可作出图象.（3）利用数形结合法即可求解.【详解】（1）由()(1)x f x x e =+，定义域为R()()(1)2x x x f x e x e e x '=++=+，令()0f x ¢>，即2x >-，令()0f x '=，即2x =-，令()0f x '<，即<2x -，所以函数的单调递增区间为()2,-+∞；单调递减区间为(),2-∞-，2x =-为极小值点，所以函数的极小值为()212f e -=-.（2）函数()f x 的大致图象，如图所示：（3）方程解的个数等价于()y f x =于y a =的交点个数.作出()f x 与y a =的图象，由图可知当21a e <-时，方程()()f x a a R =∈的解为0个；当21a e =-或0a ≥时，方程()()f x a a R =∈的解为1个； 当210a e-<<时，方程()()f x a a R =∈的解为2个；22. 已知函数()ln(1)(ln )f x x a x =+-⋅（实数0a >）．（1）若实数*N a ∈，当,()0x ∈+∞时，()0f x <恒成立，求实数a 的最小值；（2）证明：1(13nn +<．【答案】（1）3（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，利用导数证明不等式恒成立，由a 的取值范围，逐一检验，可得答案；（2）由（1），令3a =，根据单调性，整理不等式，结合对数运算，可得答案.【小问1详解】因为()ln(1)(ln )f x x a x =+-⋅，求导得1()ln 1f x a x '=-+．由于,()0x ∈+∞，1(0,1)1x∈+，又因为*N a ∈，当1a =时，1()01f x x'=>+，()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=舍去；当2a =时，令1()ln 201f x x '=-=+，得110ln 2x =->，当11ln (0,)2x -∈时，()0f x '>，()f x 在11ln (,20)-上单调递增，此区间上()(0)0f x f >=舍去；当3a ≥时，由于1(0,1)1x ∈+，ln 1a >，1'()ln 1f x a x=-+恒小于零，()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f <=，满足题意．综合上述，实数a 的最小值为3．【小问2详解】由（1），当3a =时，()0f x <恒成立，即ln(1)(ln 3)0x x +-⋅<，于是ln(1)(ln 3)x x +<⋅．取1x n =，有11ln(1)(ln 3)n n +<⋅，所以1ln(1ln 3n n+<，即1ln(1)ln 3n n +<，所以1(1)3n n +<．【点睛】利用导数证明不等式恒成立，根据导数与单调性的关系，求解函数与端点值之间的大小关系，因此，在解题时，观察不等式与函数端点值的关系，清晰解题思路.。

江苏省2023届高三年级大联考数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<，{}10B x x =-≥，则()U A B ⋂=ð（）A.{}13x x ≤< B.{}13x x <≤ C.{1x x ≤或}3x ≥ D.{1x x <或}3x ≥2.设复数z 的共轭复数为z ，已知()2i 5z +=，则zz =（）A.7B.5C.3D.3.设R θ∈，则“66ππθ-<”是“sin 2θ<”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某人在湖面之上5米处测得空中一气球的仰角为30︒，而湖中气球倒影的俯角为45︒，若不考虑水的折射，则气球离水面的高度（单位：米）为（）A.(51B.(51+C.(52+D.(52+5.函数()22e ex xx f x -=-的图像可能是（）A. B.C.D.6.把函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<图象上所有点向左平移π3个单位，得到函数()g x 的图象.若()g x 的图象关于直线π12x =对称，则函数()()ππ2cos ,22h x x x ϕ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎣⎦⎝⎭的最小值为（）A.2- B.3C.1-D.07.已知ln33a =，()22ln3b =+，3ln3c =，则（）A.a c b>> B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>8.设函数()(),0,ln ,0,x a x f x x x -+≥⎧=⎨-<⎩()()12f x f x =，12x x -的最小值为()g a ，则()2g a a a --的最大值为（）A.1- B.0C.1D.e 1-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知1a b >>，0c >，则（）A.c c a b< B.abc c> C.a cb cb b a a --⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()()log log b a a c b c +>+10.已知函数()sin cos f x x a x =+的最大值为2，且()00f >，则（）A.3a =B.()f x 的图象关于直线2π3x =对称C.()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D.将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，得到π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象11.已知0x >，0y >，22x y +=，则（）A.xy 的最大值为14B.22x y +的最小值为45C.1y x y+的最小值为1+D.的最大值为12.19世纪，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet ，1805-1859）引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R 上的函数()1,,0,,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，则（）A.(0D x =B.()()D x D x =-C.若T 为有理数，0T ≠，则()()D x T D x +=D.存在三个点()()11,A x D x ，()()22,B x D x ，()()33,C x D x ，使得ABC 为正三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线sin 2cos y x x =-在点（π，2）处的切线方程是________．14.若tan 4x =，则sin 4sin 2sin sin cos8cos 4cos 4cos 2cos 2cos cos x x x xx x x x x x x+++=_______．15.在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1c =，π3B =，则a 的取值范围为_____________；sin sin AC 的最大值为__________．16.已知函数()ln 1f x ax x =--，3()27xg x =，用max{m ，n }表示m ，n 中的最大值，设()max{(),()}x f x g x ϕ=．若()3xx ϕ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为_____四、解答题；本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设函数())πsin 22f x m x m ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭R ．（1）若4m =，求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点；（2）求函数()f x 的最大值．18.已知函数()()3213f x x x ax a =-+∈R ．（1）证明有且仅有两条经过原点的直线与曲线()y f x =相切；（2）记（1）中两条切线为1l ，2l ，设1l ，2l 与曲线()y f x =异于原点O 的公共点分别为,A B ．若1a =，求cos AOB ∠的值．19.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，7cos 3B =，点D 在边AB 上，2BD AD =．（1）若ACD BCD ∠=∠，求sin A ；（2）若6CD BD ==，求b ．20.在PAB 中，PA PB =，点C ，D 分别在PB ，PA 边上．（1）若3APB π∠=，1CD =，求PCD 面积的最大值；（2）设四边形ABCD 的外接圆半径为R ，若,3APB π∠π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且AB BC CD DA ⋅⋅⋅的最大值为49，求R 的值．21.已知0a >，函数()()ln f x a x x =-．（1）证明()f x 存在唯一极大值点；（2）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意()0,x ∈+∞成立，求b 的取值范围．22.已知函数()3ln f x ax x =-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，证明：122e x x +>．2023届高三年级大联考数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<，{}10B x x =-≥，则()U A B ⋂=ð（）A.{}13x x ≤< B.{}13x x <≤ C.{1x x ≤或}3x ≥ D.{1x x <或}3x ≥【答案】D 【解析】【分析】先求出A B ⋂，再求其补集.【详解】{}13A x x =-<< ，{}{}101B x x x x =-≥=≥，{}13A B x x ∴⋂=≤<，(){U 1A B x x ∴⋂=<ð或}3x ≥.故选：D .2.设复数z 的共轭复数为z ，已知()2i 5z +=，则zz =（）A.7B.5C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，再根据共轭复数及复数的乘法运算即可得解.【详解】解：由()2i 5z +=，得()()()52i 52i 2i 2i 2i z -===-++-，则2i z =+，所以()()2i 2i 5zz =-+=.故选：B.3.设R θ∈，则“66ππθ-<”是“3sin 2θ<”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】分析：由题意首先求解三角不等式，然后结合题意确定“66ππθ-<”与“2sin θ<”的充分性和必要性即可.详解：求解绝对值不等式66ππθ-<可得π0θ3<<，若3sin 2θ<，则()42233k k k Z πππθπ-≤≤+∈，当0k =时，433ππθ-≤≤，据此可得：“66ππθ-<”是“3sin 2θ<”的充分而不必要条件.故选：A 4.某人在湖面之上5米处测得空中一气球的仰角为30︒，而湖中气球倒影的俯角为45︒，若不考虑水的折射，则气球离水面的高度（单位：米）为（）A.(51B.(51+C.(52+D.(52+【答案】C 【解析】【分析】结合题意作出示意图，利用直角三角形中正切函数的定义得到关于气球离水面的高度的方程，解之即可.【详解】结合题意作出示意图，易知点C 与点D 关于湖面BM 对称，则CM DM =，5AB =，故5,5CE CM EM CM AB CM DE DM AB CM =-=-=-=+=+，在Rt ACE 中，tan 30CEAE ︒=，即tan 30CE AE ==︒，在Rt ADE △中，tan 45DE AE︒=，tan 45DEAE DE ==︒，DE =，即)55CM CM -=+，故(5152CM +==+，所以气球离水面的高度为(52.故选：C..5.函数()22e ex xx f x -=-的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，求得函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，再结合()0f x >，即可求解.【详解】由题意，函数()22e ex xx f x -=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且()22()e ex xx f x f x --==--，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B.又当0x >时，e e 0xxy -=->，所以()220e ex x x f x -=>-，故排除CD.故选：A6.把函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<图象上所有点向左平移π3个单位，得到函数()g x 的图象.若()g x 的图象关于直线π12x =对称，则函数()()ππ2cos ,22h x x x ϕ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎣⎦⎝⎭的最小值为（）A.2-B.C.1- D.0【答案】A 【解析】【分析】根据平移变换及正弦函数的对称性求出ϕ，再根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.【详解】解：函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<图象上所有点向左平移π3个单位，得到函数()2πsin 23g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()g x 的图象关于直线π12x =对称，所以π2πππ,Z 632k k ϕ++=+∈，又0πϕ<<，所以2π3ϕ=，则()2π2cos 3h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2ππ7π,366x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故2π3cos 1,32x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()min 2h x =-.故选：A.7.已知ln33a =，()22ln3b =+，3ln3c =，则（）A.a c b>> B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】构造函数2()23(1)(2)f x x x x x =+-=--，由1ln32<<易得b c <；构造函数()33x g x x =-，由导数与函数的单调性求得()g x 的单调性，从而证得a c >；由此可得a c b >>.【详解】令2()23(1)(2)f x x x x x =+-=--，所以(1,2)x ∈时，()0f x <，因为2ln e ln 3ln e <<，即1ln32<<，所以2(ln 3)(ln 3)23ln 30f =+-<，故2(ln 3)23ln 3+<，即b c <，令()33x g x x =-，则()ln 333x g x '=⋅-，显然()ln 333x g x '=⋅-在(0,)+∞单调递增，令()0g x '>，得33log ln 3x >，故()g x 在33log ,ln 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为1ln 33<<，故313ln 3<<，则330log 1ln 3<<，故()g x 在(1,)+∞上单调递增，则(ln 3)(1)0g g >=，即ln333ln 30->，即ln 333ln 3>，故a c >，综上：a c b >>.故选：A.8.设函数()(),0,ln ,0,x a x f x x x -+≥⎧=⎨-<⎩()()12f x f x =，12x x -的最小值为()g a ，则()2g a a a --的最大值为（）A.1-B.0C.1D.e 1-【答案】C 【解析】【分析】对a 分类讨论求出()e ,01,0a a g a a a ⎧≤=⎨+>⎩，再分类讨论求出()2g a a a --的最大值.【详解】设()()12,()f x f x t t a ==≤，不妨设12x x <，所以1212ln(),,e ,tx t x a t x x t a -=-+=∴=-=-+，所以1221e (),()tx x x x t a h t t a -=-=-+=≤，所以()e 1t h t '=-，当0a ≤时，()e 10,t h t '=-≤函数()h t 在(,]a -∞上单调递减，所以min ()()()e ah t g a h a ===.当0a >时，函数()h t 在(,0]-∞上单调递减，在[0,]a 单调递增，所以min ()()(0)1h t g a h a ===+.所以()e ,01,0a a g a a a ⎧≤=⎨+>⎩.当0a ≤时，()22e =()ag a a a a a m a --=--，所以()e 21()a m a a n a '=--=，所以()e 20,a n a '=-<所以()n a 在(,0]-∞单调递减()(0)0n a n ∴≥=，所以()0m a '≥，所以()m a 在(,0]-∞单调递增，所以max ()(0)1m a m ==.所以()2g a a a --的最大值为1.当0a >时，()22211g a a a a a a a --=+--=-+，在(0,)+∞单调递减，没有最大值，()2211g a a a a --=-+<所以()2g a a a --的最大值为1.故选：C【点睛】关键点睛：本题解题的关键有两个，其一是分类讨论求出()e ,01,0a a g a a a ⎧≤=⎨+>⎩，其二是分类讨论求出()2g a a a --的最大值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知1a b >>，0c >，则（）A.c ca b< B.a bc c> C.a cb cb b a a --⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()()log log b a a c b c +>+【答案】ACD 【解析】【分析】根据不等式的性质结合指数函数和对数函数的单调性逐一分析判断即可.【详解】解：因为1a b >>，所以11a b<，又0c >，所以c ca b<，故A 正确；当01c <<时，a b c c <，当1c >时，a b c c >，故B 错误；由1a b >>，得01,ba cbc a<<->-，所以a cb cb b a a --⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；由1a b >>，0c >，得1+>+>a c b c ，则()()()log log log b b a a c b c b c +>+>+，所以()()log log b a a c b c +>+，故D 正确.故选：ACD.10.已知函数()sin cos f x x a x =+的最大值为2，且()00f >，则（）A.a =B.()f x 的图象关于直线2π3x =对称C.()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D.将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，得到π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象【答案】AC 【解析】【分析】利用辅助角公式结合已知求出a ，即可判断A ，再根据正弦函数的对称性代入检验即可判断BC ，根据周期变换的原则即可判断D.【详解】解：()00f a =>，()()sin cos ϕ=+=+f x x a x x （其中tan a ϕ=），因为函数()sin cos f x x a x =+的最大值为2，2=，解得a =a =，故A 正确；则()π2sin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为2π2sin π=03f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故B 错误；因为5π2sin 2π03f ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，得到函数π2sin 2sin 223y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，而π2cos 22sin 26y x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC.11.已知0x >，0y >，22x y +=，则（）A.xy 的最大值为14B.22x y+的最小值为45C.1yx y+的最小值为1+ D.的最大值为【答案】BC 【解析】【分析】利用基本不等式及其变形可分析AC 选项，由二次函数求最值可判断B ，可用三角换元来分析D 选项【详解】对于A 选项，由基本不等式得22x y =+≥，整理得12xy ≤，当且仅当2x y =，即1x =，12y =时，xy 的最大值为12，所以A 错误.对于B 选项，22222(22)584x y y y y y +=-+=-+，220x y =->得01y <<，22445845(+55y y y -+=-，∴当45y =时，22x y +的最小值为45，所以B 正确.对于C选项，122111222y y y x y y x x y x y x y x y ++=+=+=++≥=+，当且仅当2y x x y =，x =时1y x y+1+，所以C 正确.对于D 选项，令m =，n =，由01y <<，220y x =->，02x <<可知0m <<，01n <<，得2x m =，2y n =，由题意得2222m n +=，设m θ=，cos n θ=，02πθ<<，cos )m n θθθϕ=+=+=+，tan 2φ=)θϕ+≤，所以D 错误.故选：BC12.19世纪，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet ，1805-1859）引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R 上的函数()1,,0,,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，则（）A.(0D x =B.()()D x D x =-C.若T 为有理数，0T ≠，则()()D x T D x +=D.存在三个点()()11,A x D x ，()()22,B x D x ，()()33,C x D x ，使得ABC 为正三角形【答案】BCD 【解析】【分析】根据狄利克雷函数的定义结合分段函数的性质，分别讨论x 为有理数和无理数，依次判断各个选项，即可得解.【详解】对于A是无理数，若x为有理数，x -则(0D x =；若x为无理数，x有可能为有理数，如x =，此时(()01D x D ==，故A 错误；对于B ，当x 为有理数，x -为有理数，则()()1D x D x =-=；当x 为无理数，x -为无理数，则()()0D x D x =-=，故B 正确；对于C ，T 为有理数，若x 为有理数，则x T +是有理数，则()()1D x T D x +==；若x 为无理数，x T +是无理数，则()()0D x T D x +==，故C 正确；对于D ，存在三个点且x 为有理数，则(),1A x ，,03B x ⎛-⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,03C x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭是边长为3的等边三角形，故D 正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线sin 2cos y x x =-在点（π，2）处的切线方程是________．【答案】2π0x y +--=【解析】【分析】求导，利用导数的几何意义求出切线方程的斜率，进而求出切线方程.【详解】()cos 2sin f x x x '=+，所以()πcos π2sin π1f =+=-'，故sin 2cos y x x =-在点（π，2）处的切线方程为()2πy x -=--，即2π0x y +--=.故答案为：2π0x y +--=14.若tan 4x =，则sin 4sin 2sin sin cos8cos 4cos 4cos 2cos 2cos cos x x x xx x x x x x x+++=_______．【答案】-【解析】【分析】利用切化弦、二倍角公式可推导得到sin tan 2tan cos 2cos xx x x x-=，由此可化简所求式子为tan 8x ，利用二倍角正切公式可求得结果.【详解】sin 2sin sin 2cos sin cos 2tan 2tan cos 2cos cos 2cos x x x x x xx x x x x x--=-= ()222sin cos sin 2cos 1sin cos 2cos cos 2cos x x x x x x xx x--==，sin 4tan8tan 4cos8cos 4x x x x x ∴=-，sin 2tan 4tan 2cos 4cos 2xx x x x=-，∴原式22tan 4tan8tan 4tan 4tan 2tan 2tan tan tan81tan 4x x x x x x x x x x =-+-+-+==-12==--故答案为：-.15.在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1c =，π3B =，则a 的取值范围为_____________；sin sin AC 的最大值为__________．【答案】①.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭②.34##0.75【解析】【分析】利用正弦定理可得sin sin c A a C =，结合三角恒等变换知识及C的范围可化简得到1122tan a C=+⋅，由C 的范围可求得tan C 的范围，进而得到a 的范围；利用两角和差正弦公式、二倍角和辅助角公式可化简得到1π1sin sin sin 2264A C C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数最值的求法可求得结果.【详解】由正弦定理得：()()()1cos sin sin πsin sin 1cos 22sin sin sin sin 22sin C CB C B C c A C a C C C C C +-++=====+⋅；π3B =Q ，ABC 为锐角三角形，2ππ032π02A C C ⎧<=-<⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，ππ62C ∴<<，cos 0C ∴≠，1122tan a C∴=+⋅，tan ,3C ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，10tan C ∴<<122a ∴<<，即a 的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；()211sin sin sin sin cos sin sin sin cos sin 2222A C B C C C C C C C C ⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭1cos 2111π1sin 222sin 244444264C C C C C -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭；ππ62C <<，ππ5π2666C ∴<-<，1πsin 2126C ⎛⎫∴<-≤ ⎪⎝⎭，∴当πsin 216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，sin sin A C 取得最大值34.故答案为：1,22⎛⎫⎪⎝⎭；34.16.已知函数()ln 1f x ax x =--，3()27xg x =，用max{m ，n }表示m ，n 中的最大值，设()max{(),()}x f x g x ϕ=．若()3xx ϕ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为_____【答案】4[,)3+∞【解析】【分析】分别讨论当03,3x x <<≥时，3()27x g x =与3x y =的关系，可将问题转化为()3x f x ≥在(0,3)上恒成立，运用参数分离和构造函数法，结合导数求得最大值，可得所求范围．【详解】当(0,3)x ∈时，3()273x x g x =<，当[3,)x ∈+∞时，3()273x xg x =≥，所以()3x x ϕ≥在[3,)+∞必成立，问题转化为()3x f x ≥在(0,3)恒成立，由ln 13x ax x --≥恒成立，可得ln 113x a x +≥+在(0,3)x ∈恒成立，设ln 11(),(0,3)3x h x x x +=+∈，则221(ln 1)1ln ()x x x x h x x x '⋅-+⨯-==，当01x <<时，()0h x '>，当13x <<时，()0h x '<，所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，max 44()(1),33h x h a ∴==∴≥故a 的取值范围是4[,)3+∞.故答案为：4[,)3+∞【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立的问题，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道有一定难度的压轴填空题.四、解答题；本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设函数())πsin 22f x m x m ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭R ．（1）若4m =，求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点；（2）求函数()f x 的最大值．【答案】（1）0（2）当2m <时，()max f x m =-；当2m ≥时，()max 4f x m =-【解析】【分析】（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简，再解关于cos x 的一元二次方程即可；（2）利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简，再结合二次函数的性质分类讨论，从而可得出答案.【小问1详解】解：若4m =，()24cos24cos 8cos 4cos 4f x x x x x =-=--，令()28cos 4cos 40f x x x =--=，解得cos 1x =（1cos 2x =-舍去），又因π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0x =，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点为0；【小问2详解】解：()2cos 24cos 2cos 4cos f x m x x m x x m=-=--令[]cos ,0,1t x t =∈，则()[]224,0,1f t mt t m t =--∈，当0m =时，()[]4,0,1f t t t =-∈，则()()max 00f t f ==，当0m ≠时，函数()f t 的对称轴为1t m=，若0m <，则()f t 在[]0,1上递减，所以()()max 0f t f m ==-，若1102m <≤，即2m ≥时，()()max 14f t f m ==-，若112m >，即02m <<时，()()max 0f t f m ==-，综上所述，当2m <时，()max f x m =-；当2m ≥时，()max 4f x m =-.18.已知函数()()3213f x x x ax a =-+∈R ．（1）证明有且仅有两条经过原点的直线与曲线()y f x =相切；（2）记（1）中两条切线为1l ，2l ，设1l ，2l 与曲线()y f x =异于原点O 的公共点分别为,A B ．若1a =，求cos AOB ∠的值．【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）设出切点，结合导数的几何意义求出有两个不同的切点即可证明；（2）先求出两条切线的方程，联立曲线方程，求出交点，结合向量夹角公式可求答案.【小问1详解】证明：2()2f x x x a '=-+，设过原点的直线与曲线()y f x =相切于点(),()t f t ，则22()01203f t t t a t t a t --+==-+-，整理得2203t t -=，即0=t 或32t =；所以有且仅有两条经过原点的直线与曲线()y f x =相切.【小问2详解】当1a =时，2()21f x x x '=-+，由（1）知切点为()330,0,,28⎛⎫⎪⎝⎭，31(0)1,(24f f ''==；两条切线方程分别为：313,842y x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即1,4y x y x ==；联立方程3213y x y x x x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得3x =和0x =（舍），可得()3,3A ；同理可求33,28B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()333,3,,28OA OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，334533288OA OB ⋅=⨯+⨯=，8OA OB == ，所以cos 34OA OB OA OBAOB ∠⋅==.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 3B =，点D 在边AB 上，2BD AD =．（1）若ACD BCD ∠=∠，求sin A ；（2）若6CD BD ==，求b ．【答案】（1）22sin 3A =（2）5b =【解析】【分析】（1）在ACD 中和在ABD △中，分别利用正弦定理求出CD ，再结合已知即可得解；（2）在BCD △中，利用余弦定理求出BC ，在ABC 中，再次利用余弦定理即可得解.【小问1详解】解：在ACD 中，由sin sin AD CDACD A =∠，得sin sin AD A CD ACD⋅=∠，在ABD △中，由sin sin BD CDBCD B =∠，得sin sin BD B CD BCD ⋅=∠，则sin sin sin sin AD A BD BACD BCD⋅⋅=∠∠，因为ACD BCD ∠=∠，所以sin sin ACD BCD ∠=∠，又2BD AD =，所以sin 2sin A B =，因为()cos ,0,π3B B =∈，所以sin 3B =，所以sin 3A =；【小问2详解】解：在BCD △中，7cos ,63B CD BD ===，2222cos CD BD BC BD BC B =+-⋅，即273636263BC BC =+-⨯⨯⨯，解得BC =0BC =舍去），在ABC 中，9AB =，则2222cos 8111229253AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯=，所以5AC =，即5b =.20.在PAB 中，PA PB =，点C ，D 分别在PB ，PA 边上．（1）若3APB π∠=，1CD =，求PCD 面积的最大值；（2）设四边形ABCD 的外接圆半径为R ，若,3APB π∠π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且AB BC CD DA ⋅⋅⋅的最大值为49，求R的值．【答案】（1）34（2）49【解析】【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求得PC PD ⋅的最大值为1，再利用面积公式即可求解；（2）由四边形ABCD 存在外接圆，知四边形ABCD 为等腰梯形，连接AC ，设CBA θ∠=，CAB x ∠=，利用正弦定理，表示,,AB BC CD ，进而利用基本不等式求解.【小问1详解】由已知3DPC APB π∠=∠=，在PCD 中，利用余弦定理知22212cos CD PC PD PC PD PDC ==+-⋅∠，结合基本不等式有122cos3PC PD PC PD PC PD π≥⋅-⋅=⋅，当且仅当1PC PD ==时，等号成立，即PC PD ⋅的最大值为1，133sin 2344PCD S PC PD PD π=⋅=⋅≤所以PCD 面积的最大值为4【小问2详解】四边形ABCD 存在外接圆，DAB DCB π∴∠+∠=又PA PB =，DAB CBA ∴∠=∠，CBA DCB π∴∠+∠=，//AB CD ∴，所以四边形ABCD 为等腰梯形，连接AC ，设CBA θ∠=，CAB x ∠=，在BAC 中，由正弦定理得，2R sin()sin AB BCx xπθ==--，2R sin BC x ∴=，2R sin()2R sin()AB x x πθθ=--=+同理，在ACD 中，由正弦定理得，2R sin()CD x θ=-，所以2216R sin sin()sin()AB BC CD DA x x x θθ⋅⋅⋅=-+()22222216R sin sin cos cos sin x x xθθ=-()22222216R sin sin 1sin cos sin x x x θθ⎡⎤=--⎣⎦()222216R sin sin sin x xθ=-,3APB π∠π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，03x πθ∴<<≤，220sin sin x θ∴<≤()()22222222224sin sin sin 16R sin sin sin 16R 4R sin 2x xx x θθθ⎡⎤+-⎢⎥∴-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当222sin sin sin x x θ=-，即221sin sin 2x θ=0,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ ，23sin 4θ∴≤，当且仅当3πθ=时，等号成立，即22344R 49⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，即4R 9=21.已知0a >，函数()()ln f x a x x =-．（1）证明()f x 存在唯一极大值点；（2）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意()0,x ∈+∞成立，求b 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）e b ≥-【解析】【分析】（1）求导()ln 1,0af x x x x'=-+->，再对()f x '求导，判断其单调性，然后结合零点存在性定理进而可知()0f x '=有唯一零点，结合极值点定义可证得结论；（2）题目转化为()max f x a b -≤⎡⎤⎣⎦，构造2()ln ln ,0u x x x x x x x =-->，利用导数研究函数的单调性，求其最值，即可得解.【小问1详解】函数()()ln f x a x x =-，求导()()1ln ln 1,0af x x a x x x x x'=-+-=-+->，令()ln 1,0a g x x x x -+->=，则()221a x ag x x x x+'=--=-又0a >，()0g x '∴<，()f x '∴在()0,x ∈+∞上单调递减，当1e x -=时，()10e a f x -'=>，当e a x =时，()1e 1110e e a a a a f a a ⎛⎫'=-+-=--< ⎪⎝⎭，故存在()10e e,ax -∈，使得()0f x '=当()00,x x ∈，()0f x ¢>，故函数()f x 在()00,x 上单调递增，当()0,x x ∈+∞，()0f x '<，故函数()f x 在()0,x +∞上单调递减，所以()f x 存在唯一极大值点；【小问2详解】由题知，存在0a >，使得()f x a b ≤+对任意()0,x ∈+∞成立，即存在0a >，使得()max b f x a ≥-⎡⎤⎣⎦对任意()0,x ∈+∞成立，由（1）知，()max 0()f x f x =，且00ln 10ax x -+-=，即()001ln a x x =+，()()()()0000000max 1ln ln 1ln f x a f x a x x x x x x -=-=+--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即存在0a >，使得2000000ln ln ,0b x x x x x x ≥-->恒成立，构造2()ln ln ,0u x x x x x x x =-->，即存在0a >，使得()b u x ≥恒成立，即存在0a >，min ()b u x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，求导2()ln ln 2,0u x x x x '=+->令()0u x '=，求得1ln 2x =-，2ln 1x =，即21e x -=，2e x =，当()20,ex -∈，()0u x '>，故函数()u x 在()20,e -上单调递增，当()2e e ,x -∈，()0u x '<，故函数()u x 在()2e e ,-上单调递减，当()e,+x ∈∞，()0u x '>，故函数()u x 在()e,+∞上单调递增，所以2min ()(e)eln e e elne e 0u x u ==--=-<，由()20,ex -∈时，()2215()ln ln 1ln 24u x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为()20,ex -∈，所以ln 2x <-，即215ln 524x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，则()0u x >在()20,e x -∈上恒成立，所以b 的取值范围是e b ≥-.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．22.已知函数()3ln f x ax x =-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，证明：122e x x +>．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在3(0,)a 上单调递减，在3(,)a+∞上单调递增（2）详见解析【解析】【分析】(1)对函数()f x 进行求导，然后对a 进行分类讨论，根据导函数值的正负，得到函数的单调区间(2)由题意变形得到ln 3a xx =的符号，不妨设12x x <，21x tx =，1212ln ln x x x x =得到1ln x 与t 之间的关系，将122ex x +>变形为1ln ln 2e ln(1)x t >-+，构造为t 的函数，在进行求导得出函数值最小为0即可判断【小问1详解】由()3ln f x ax x =-，得33()ax f x a x x'-=-=，0x >，当0a ≤时，()0f x '<，∴()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，3(3()x ax a f x a x x-=⋅'-=，由3x a >时，()0f x '>，()f x 在3(,)a +∞上单调递增，由3x a<时，()0f x '<，()f x 在3(0,a 上单调递减，∴综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在3(0,a 上单调递减，在3(,)a+∞上单调递增【小问2详解】根据函数()f x 有两个零点，3ln 0ax x -=变形ln 3a x x=，画出ln x y x =的图像，()f x 有两个零点即为3a y =与ln x y x=有两个交点，不妨设12x x <，如图可得11e x <<，2e x >，设21x tx =，(1)t >由1212ln ln x x x x =，将21x tx =代入1111ln ln x tx x tx =整理得1ln ln 1t x t =-①，要想证明122e x x +>，即证12e1x t >+，即证1ln ln 2e ln(1)x t >-+②，将①代入②整理得，只需证明ln (1)ln 2e (1)ln(1)0t t t t --+-+>即可，令()ln (1)ln 2e (1)ln(1)F x t t t t =--+-+，(1)t >，11()ln 2e ln(1)1t F x t t t -=-++++'，22222112(1)(31)()01(1)(1)t t t F x t t t t t-++=-++=+'>++'，()F x '在(1,)+∞递增， (1)0F '=，∴()0F x '>得()F x 在(1,)+∞递增，(1)0F =，∴()(1)0F x F >=，即ln (1)ln 2e (1)ln(1)0t t t t --+-+>，从而证明122ex x +>【点睛】本题采用分类讨论的方法，数形结合的方法，求解的关键进行构造函数，并画出图像，利用数形结合进行分析，两个变量的证明要转化为一个变量进行分析证明。