下载文档原格式
四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设，则的虚部为( )A. 1B.C. －1D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法运算法则计算出z，然后找出虚部。
【详解】，则虚部是，选C【点睛】本题考查复数的运算，解题的关键是先进行乘法运算将其化成形式，其中实部为,虚部为，属于简单题.2.已知集合，，则A. B. C. 1， D. 0，1，【答案】D【解析】【分析】根据题意利用交集定义直接求解，即可得到集合的交集，得到答案．【详解】由题意知，集合，，所以0，1，．故选：D．【点睛】本题主要考查了交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.一个袋子中有4个红球，2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中有白球的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先计算从中任取2个球的基本事件总数，然后计算这2个球中有白球包含的基本事件个数，由此能求出这2个球中有白球的概率．【详解】解：一个袋子中有4个红球，2个白球，将4红球编号为1，2，3，4；2个白球编号为5，6．从中任取2个球，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“两个球中有白球”这一事件，则A包含的基本事件有：{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}共9个，这2个球中有白球的概率是．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率是A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】设双曲线方程为，可得渐近线方程是，结合题意解出，再利用平方关系算出，根据离心率公式即得答案．【详解】解：双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为可得双曲线的渐近线方程是结合题意双曲线的渐近线方程是，得，可得因此，此双曲线的离心率．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的标准方程与简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题．5.若函数，且的图象恒过点，则A. 3B. 1C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意利用指数函数的单调性和特殊点可得，且，求得m和n的值，可得的值．【详解】由题意，函数，且的图象恒过点，所以，且，解得，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.已知棱长都为2的正三棱柱的直观图如图，若正三棱柱绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据所给视图，借助三视图的性质，利用排除法，即可求解，得到答案．【详解】由题意，四个选项高都是2，若侧视图为A，中间应该有一条竖直的实线或虚线．若为C，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线．若为D，则长应为，而不是1．故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，着重考查了空间想象能力，属于基础题．7.在平行四边形ABCD中，M是DC的中点，向量，设，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据图形来找出所求向量与基底向量的关系，采用数形结合法能很快找到具体思路．【详解】根据题意画图，如图所示，则，，，故选：A．【点睛】本题主要考查了向量的减法和数乘运用，其中解答中熟记向量的线性运算法则是解答的关键，属于基础题，着重考查了运算与求解能力．8.设为等比数列的前n项和，若，，则的公比的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设等比数列的公比为q，可得，，得到，即可求解，得到答案．【详解】设等比数列的公比为q，则．，，，，且，解得．综上可得：的公比的取值范围是：．故选：A．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.已知三棱锥的四个顶点都在半径为2的球面上，，平面ABC，则三棱锥的体积为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意画出图形，利用球的性质求出三棱锥的高，再利用棱锥的体积公式，即可求解，得到答案．【详解】如图所示，取BC中点D，连接AD，则，设三角形ABC的中心为G，则，又球O得半径为2，则，则．三棱锥的体积为．故选：D．【点睛】本题主要考查了球的内接多面体与球的关系，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．10.要得到函数的图象，可以将函数的图象A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【详解】函数的图象，转换为：，将函数的图象向右平移个单位，得到的图象．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.过直线上一点P，作圆C：的切线，切点分别为A、B，则当四边形PACB面积最小时直线AB的方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由切线长公式可得，进而可得，可得当取得最小值时，四边形PACB面积最小，设AB 的直线方程为，由相似三角形的性质和点到直线的距离公式求出C到AB的距离d，即可求解m的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆C：的圆心C为，半径；点P为直线上一点，PA、PB为圆C的切线，则，，则有，则，则当取得最小值时，四边形PACB面积最小，此时CP与直线垂直，且，则C到AB的距离，又由，则直线AB与直线平行，且设AB的直线方程为，则有，解可得：或舍，则直线AB的方程为；故选：B．【点睛】本题主要考查了直线与圆方程的应用，其中解答中关键是分析“四边形PACB面积最小”的条件，再利用相似三角形和点到直线的距离公式，列出方程求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．12.若关于x的不等式成立，则的最小值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用函数图象的性质，借助数形结合，确定最小值，即可得到答案．【详解】令，，函数单调递增，，函数单调递减，且时，，绘制函数的图象如图所示，满足题意时，直线恒不在函数图象的下方，很明显时不合题意，当时，令可得：，故取到最小值时，直线在x轴的截距最大，令可得：，据此可得：的最小值是．故选：A．【点睛】本题主要考查了导函数研究函数图象的性质及其应用，其中解答合理利用导数得出函数的单调性，刻画处函数的性质上解答的关键，着重考查了数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.数列中，若，，则______．【答案】34【解析】【分析】先判断数列为等差数列，再求出首项，即可求得结果．【详解】解：，数列为等差数列，其公差，，，，，故答案为：34【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式的应用，属于基础题．14.二项式的展开式中常数项是______．【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【详解】由题意，二项式的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中常数项是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理确定的值是解答的关键，属于基础题．15.已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有4个零点，则a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用函数与方程的关系，由函数的奇偶性和单调性，进行转化，利用参数分离法进行求解即可．【详解】由题意，因为，是偶函数，若恰有4个零点，等价为当时，有两个不同的零点，是奇函数，由，得，是单调函数，，即，当时，有两个根即可，当时，等价为，，设，要使当时，有两个根，则，即，即实数a的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查了查函数与方程的应用，其中解答中熟练应用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．16.已知直线与抛物线交于A、B两点，过B作x轴的平行线交抛物线的准线于点M，O为坐标原点，若：：2，则______．【答案】【解析】【分析】先证明A，O，M三点共线，再将面积比为1：2转化为：：2，由此求出A的坐标，再用斜率公式求出斜率．【详解】联立消去x得，设，，则，则，，，，，O，M三点共线，：：：2，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了准线与抛物线的位置关系的应用，其中熟记抛物线的几何性质，以及联立方程组，合理应用根与系数的关系是解答的关键，着重考查转化思想以及数形结合思想的应用属中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四边形ABCD中，，，，，．求边AB的长及的值；若记，求的值．【答案】（1）,；（2）．【解析】【分析】由已知可求，中，由正弦定理可求AB，中由余弦定理，可求．由可得，进而可求，进而根据二倍角公式，可求，然后根据两角差的余弦公式即可求解.【详解】由题意，因为，，，，，中，由正弦定理可得，，，．中由余弦定理可得，由可得，，，．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角恒等变换的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18.艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒病毒引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：万人请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y 与x 的关系； 建立y 关于x 的回归方程系数精确到，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数．参考数据：；，，，参考公式：相关系数，回归方程中， ，．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）预测2019年我国艾滋病感染累积人数为万人【解析】 【分析】（1）由所给的数据绘制折线图即可；（2）由题意计算相关系数来说明变量之间的相关关系即可；（3）首先求得回归方程，然后利用回归方程的预测作用进行预测即可．【详解】解：（1）我国艾滋病病毒感染人数的折线图如图所示，，，．故具有强线性相关关系．，，．当时，．故预测2019年我国艾滋病感染累积人数为万人．【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与预测作用，相关系数的计算与含义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．19.如图，四边形ABCD是菱形，平面ABCD，，平面BDE，G是AB中点．求证：平面BCF；若，，求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】【分析】设，连结OE，OF，推导出，平面ABCD，以O为原点，OA，OB，OF 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BCF．求出平面ABE的法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．【详解】设，连结OE，OF，四边形ABCD是菱形，平面ABCD，，平面BDE，，，平面ABCD，设，，，以O为原点，OA，OB，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则0，，，b，，0，，0，，b，，0，，，设平面BCF的法向量为y，，则，取，得c，，，平面BCF，平面BCF．设，，，，，1，，，，，，，设平面ABE的法向量y，，则，取，得，设平面BDE的法向量y，，则，取，得0，，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为．【点睛】本题主要考查了线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知点M到定点的距离和它到直线的距离的比是常数．求点M的轨迹C的方程；若直线l：与圆相切，切点N在第四象限，直线与曲线C交于A、B两点，求证：的周长为定值．【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】由椭圆的定义可知：M的轨迹是以F为焦点，l为准线的椭圆，然后即可求得其方程．法一：设，根据点到直线的距离和椭圆的定义即可求出，法二，联立直线和圆的方程，可得m与k的关系式，再联立直线与椭圆方程，消去y，利用韦达定理，弦长公式，求出的三条边，即可求的周长．【详解】设由题意得，为轨迹C的方程；证明：法一：设，A到l的距设为d，，，，，，，，同理，，的周长为定值10．法二：设，，由题知，，直线l：与圆相切，即，把代入得显然，，，的周长为定值10．【点睛】本题主要考查了椭圆，圆的基本知识和轨迹方程的求法以及三角形的周长的求法，解题时要注意公式的灵活运用，属于中档题．21.已知函数．当时，判断有没有极值点？若有，求出它的极值点；若没有，请说明理由；若，求a的取值范围．【答案】（1）没有极值点；（2）【解析】【分析】求出函数的定义域，计算时函数的导数，利用导数等于0判断函数是否有极值点；由得，转化为，设，利用导数讨论的单调性和极值，从而求出不等式成立时a的取值范围．【详解】函数，则且，即函数的定义域为；当时，，则，令，则，当时，，为减函数，，，无极值点；当时，，为增函数，，，无极值点；综上，当时，没有极值点；由，得，即；令，则；当时，时；时，成立，即符合题意；当时，，；当时，为减函数，，成立；当时，为减函数，，成立；即符合题意；当时，由，得，且；设两根为，，，，；由，得，解集为，在上为增函数，，，不合题意；综上，a的取值范围是【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为，以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，l与x轴交于点M．求l的直角坐标方程，点M的极坐标；设l与C相交于A，B两点，若、、成等比数列，求p的值．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】直接利用转换关系，把参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．写出直线l的参数方程并代入曲线C中，写出韦达定理利用参数t的几何意义进行求解. 【详解】解：由得，，的直角坐标方程．令得点M的直角坐标为，点M的极坐标为．由知l的倾斜角为，参数方程为,为参数,代入，得，．，，．，．【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查直线参数方程中参数t的几何意义的应用，属于基础题.23.设函数．若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；若，求的最小值．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】通过讨论b的范围，得到关于a，b的方程组，解出即可；根据基本不等式的性质求出的最小值即可．【详解】解：由得，，当时，不合题意；当时，，由已知得，，综上，，(2)当，即时，有最小值，最小值是【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查利用基本不等式及绝对值三角不等式的性质求最值，属于基础题．。
绝密★启用前四川省宜宾市第四中学2019届高三年级二诊模拟考试数学试题（理）一.选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分）1.已知集合A=}72|{},63|{<<=<<-x x B x x ,则)(B C A R =A. （2,6）B. （2,7）C.（-3,2]D.（-3,2）2.若复数i m m m z )1()1(++-=是纯虚数,其中m 是实数,则z 1= A. i B. i - C. i 2 D. i 2-3.“直线m 与平面α内无数条直线平行”是“直线m ∥平面α”的A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.设a ,b 是互相垂直的单位向量,且（λa ＋b ）⊥（a ＋2b ）,则实数λ的值是A 、2B 、－2C 、1D 、－15. 执行如图的程序框图,其中输入的7sin6a π=,7cos 6b π=,则 输出a 的值为A.－1B.1 D.6.抛物线2y =的焦点为F,P 是抛物线上一点,过P 作y 轴的垂线,垂足为Q,若｜PF ｜＝则△PQF 的面积为A.3B. D.7．在等差数列{}n a 中,0 (*)n a n ≠∈N ,角α顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边经过点213(,)a a a +,则sin 2cos sin cos αααα+=- A ．5B ．4C ．3D ．28．b 是区间[-上的随机数,直线y x b =-+与圆221x y +=有公共点的概率是A ．13B ．34 C ．12 D ．149.已知函数x x x f cos 23)(+=,若)3(2f a =,)2(f b =,)7(log 2f c =,则c b a ,,的大小关系是A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜a ＜cD.b ＜c ＜a10.在各棱长均相等的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,已知M 是棱BB 1的中点,N 是棱AC 的中点,则异面直线A 1M 与BN 所成角的正切值为11．已知抛物线y 2＝4x 的准线交x 轴于点Q,焦点为F,过点Q 且斜率大于0的直线交抛物线于A,B 两点,且060AFB ∠= ,则AB =A ． 4B ．3CD 12.已知函数13)(23+-=x ax x f ,若)(x f 存在唯一的零点0x ,且00>x ,则a 的取值范围是A. )2,(--∞ B ．),2(+∞ C. ),1(+∞ D. )1,(--∞二.填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13．已知2sin cos sin 34πααα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭_____________．。
四川师大附中2021-2022学年度（下期）二诊二模考试试题高2019级理科数学本试卷共23小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交，试卷由本人保存。
第Ⅰ卷（选择题）一.选择题(共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题后给出的四个选项中仅有一个是符合题意的，将你认为正确的选项的序号填入答题卡中。
)1.已知集合{}2|280A x x x =--≤，{}2|log ||0B x x =>，则A B =A．[2,1)(1,4]-- B．[2,1)--C．[2,4]-D．(1,4]2.已知a R ∈,若复数1a iz i+=+（i 为虚数单位）是纯虚数，则z 的共轭复数的虚部是A.1B.i-C.iD.1-3.给出如右图所示的程序框图，若输入x 的值为52-,则输出的y 的值是A.3- B.1- C.2- D.04.已知(),2αππ∈，cos 3sin 1αα-=，则cos 2α=（）A ．1010-B ．55-C ．31010-D ．255-5.函数()()sin f x x ωϕ=+(其中0>ω，2πϕ<)的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω=的图象只要将()f x 的图象A.向右平移6π个单位B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位D.向左平移12π个单位6.下列命题中，真命题的是A.若回归方程0.450.6y x ∧=-+，则变量y 与x 正相关B.线性回归分析中相关指数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好C.若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为8D.若随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，(4)0.64P X ≤=，则(23)0.07P X ≤≤=7.已知O 为坐标原点，点M 的坐标为()2,1，点N 的坐标(),x y 满足1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则OM ON ⋅的最小值为A.4- B.1- C.2- D.3-8.已知命题:p 522m <<或532m <<是方程22123x y m m +=--表示椭圆的充要条件；命题:q 2b ac =是,,a b c 成等比数列的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是A.p q ⌝∨⌝ B.p q ∧ C.p q ∧⌝ D.p q⌝∧⌝9.“烂漫的山花中，我们发现你。
俯视图侧视图正视图334343宜宾市高2018级（2019届）高三第二次诊断测试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合}0158|{},6|{2<+-=<∈=x x x B x N x A ，则B A 等于A ．}53|{<<x xB ．}4{C ．}4,3{D ．}5,4,3{2．已知i 是虚数单位，复数2(12i)+的共轭复数虚部为A ．i 4B ．3C ．4D ．4-3．如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为的菱形组成，那么图形中的向量,AB CD 的数量积AB CD ⋅等于 A ．172 B ．152C ．8D ．74．某次知识竞赛中，四个参赛小队的初始积分都是10分，在答题过程中，各小队每答对1题加0.5分，若答题过程中四个小队答对的题数分别是3道，7道，7道，3道，则四个小组积分的方差为A ．0.5B ．0.75C ．1D ．1.255．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是A．18+B．18+C．24+D．24+6．设537535714(),(),log 755a b c -===，则c b a ,,的大小顺序是A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<7．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为AB1 CD18．在各项均不为零的等差数列}{n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则=--n S n 412A ．2-B ．0C ．1D ．29．若21sin cos 1=+αα，则=+ααsin 2cosA ．1-B ．1C ．25-D ．1或25-10．某班级需要把6名同学安排到周一、周二、周三这三天值日，每天安排2名同学，已知甲不能安排到周一，乙和丙不能安排到同一天，则安排方案的种数为 A ．24B ．36C ．48D ．7211．已知双曲线224x y -=上存在两点,M N 关于直线2y x m =-对称,且线段MN 的中点在抛物线216y x =上，则实数m 的值为 A ．016或-B ．016或C ．16D ．16-12．设1=x 是函数3212()1()n n n f x a x a x a x n N +++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足：11a =，22a =，n n a b 22log =，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018[]b b b b b b +++=A ．1008B ．1009C ．2018D ．2018二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
.精选文档 .2019 届高三数学理科二诊试题宜宾市 2019 届高三第二次诊疗测试题数学（理工类）注意事项：1．答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试时间： 120 分钟，满分150 分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1．设，则的虚部为A. B. . D.2．已知会合则A. B. . D.3．一个袋子中有个红球, 个白球, 若从中任取个球, 则这个球中有白球的概率是A. B..D.4．若焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率是A.B..D.5．若函数的图象恒过点，则A. B..D.6．已知棱长都为 2 的正三棱柱的直观图如图，若正三棱柱绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图能够为第 6题图7．在中，是的中点，向量，设，则A. B..D.8．设为等比数列的前项和，若，，则的公比的取值范围是A. B..D.9．已知三棱锥的四个极点都在半径为的球面上，，，则三棱锥的体积为A.B..D.10．要获得函数的图象，能够将函数的图象A. 向右平移个单位 B .向左平移个单位.向右平移个单位 D.向左平移个单位11．过直线上一点，作圆的切线，切点分别为，则当四边形面积最小时直线的方程是A. B.. D.12．若对于的不等式≤ 成立，则的最小值是A. B. . D.二、填空题：本大题共 4 个小题，每题 5 分，共20 分。
13．数列中，若，，则_____．14．二项式的睁开式中常数项是_______．15．已知奇函数是定义在上的单一函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是 _______．16．已知直线与抛物线交于两点，过作轴的平行线交抛物线的准线于点，为坐标原点，若，则_____．三、解答题：共70 分。
宜宾市普通高中2019级第二次诊断性测试理科综合能力测试注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H1Si28Cl35．5Ti48Cu64一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．细胞的生命活动离不开糖类、脂质和蛋白质，下列关于这三类物质的叙述正确的是A．胆固醇能参与血液中脂质的运输，也是构成动物细胞膜的重要成分B．高温使蛋白质空间结构松散、舒展，降温后蛋白质的空间结构恢复C．植物细胞储能物质主要是淀粉和脂肪，动物细胞主要是糖原和蛋白质D．多糖、磷脂、蛋白质都是多聚体，需水解后才能被人体吸收2．为达到实验目的，需要选用合适的实验材料进行正确的实验操作。
下列实验操作合理的是实验目的实验材料实验操作A探究培养液中酵母菌种群数量的变化酵母菌在血细胞计数板的计数室中滴加一滴培养液，盖上盖玻片，观察计数B观察细胞的质壁分离与复原洋葱鳞片叶外表皮细胞先后用低倍镜观察三次，形成自身对照C观察植物细胞的有丝分裂洋葱根尖找到细胞呈长方形，排列紧密的分生区观察D探究温度对酶活性的影响淀粉酶和淀粉用斐林试剂检测实验结果3．下图为某人在饥饿状态下参加冰桶挑战时体内的一些生理变化过程示意图（①～④为相关激素，A～C表示器官、组织或细胞）。
下列叙述正确的是A．该活动过程中皮肤毛细血管舒张、汗腺分泌减少B．冰水浇湿时下丘脑中的体温调节中枢接受刺激并产生冷觉C．寒冷刺激时激素②可以反馈调节甲状腺和下丘脑相应激素的分泌D．图中的C主要指肝脏，④一经靶细胞接受并起作用后就被灭活了4．某科研小组对黄瓜幼苗光合作用速率进行研究，图甲为黄瓜幼苗一个叶肉细胞中叶绿体结构与功能示意图（A 、B 表示结构，①～⑤表示有关物质）。
四川省宜宾市2019届高三第二次模拟考试数学（理）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合A=}72|{},63|{<<=<<-x x B x x ，则)(B C A R = A. （2，6） B. （2，7） C.（-3，2] D.（-3，2）2.若复数i m m m z )1()1(++-=是纯虚数，其中m 是实数，则z1= A. i B. i - C. i 2 D. i 2-3.“直线m 与平面α内无数条直线平行”是“直线m ∥平面α”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.设a ，b 是互相垂直的单位向量，且（λa ＋b ）⊥（a ＋2b ），则实数λ的值是 A 、2 B 、－2 C 、1 D 、－15. 执行如图的程序框图，其中输入的7sin 6a π=，7cos 6b π=，则 输出a 的值为A.－1B.1 D.6.抛物线2y =的焦点为F ，P 是抛物线上一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若｜PF ｜＝PQF 的面积为A.3B. D.7．在等差数列{}n a 中，0 (*)n a n ≠∈N ，角α顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点213(,)a a a +，则sin 2cos sin cos αααα+=-A ．5B ．4C ．3D ．28．b 是区间[-上的随机数，直线y x b =-+与圆221x y +=有公共点的概率是A ．13B ．34C ．12D ．149.已知函数x x x f cos 23)(+=,若)3(2f a =,)2(f b =,)7(log 2f c =,则c b a ,,的大小关系是A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜a ＜cD.b ＜c ＜a 10.在各棱长均相等的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,已知M 是棱BB 1的中点,N 是棱AC 的中点，则异面直线A 1M 与BN 所成角的正切值为3 D.211．已知抛物线y 2＝4x 的准线交x 轴于点Q ，焦点为F ，过点Q 且斜率大于0的直线交抛物线于A,B 两点，且060AFB ∠= ，则AB =A ． 4B ．3CD 12.已知函数13)(23+-=x ax x f ，若)(x f 存在唯一的零点0x ，且00>x ，则a 的取值范围是A. )2,(--∞ B ．),2(+∞C. ),1(+∞D. )1,(--∞二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知2sin cos sin 4πααα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭_____________． 14．()()522x y x y +-展开式中33x y 的系数为____________．15．在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且B E B Cλ=，14DF DC λ=，且238AE AF ⋅=，则λ=_________．16.已知锐角111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于钝角222C B A ∆的三个内角的正弦值，其中22π>A ，若1||22=CB ，则||3||222222C A B A +的最大值为 .三、解答题：共70分。
四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设，则的虚部为( )A. 1B.C. －1D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法运算法则计算出z，然后找出虚部。
【详解】，则虚部是，选C【点睛】本题考查复数的运算，解题的关键是先进行乘法运算将其化成形式，其中实部为,虚部为，属于简单题.2.已知集合，，则A. B. C. 1， D. 0，1，【答案】D【解析】【分析】根据题意利用交集定义直接求解，即可得到集合的交集，得到答案．【详解】由题意知，集合，，所以0，1，．故选：D．【点睛】本题主要考查了交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.一个袋子中有4个红球，2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中有白球的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先计算从中任取2个球的基本事件总数，然后计算这2个球中有白球包含的基本事件个数，由此能求出这2个球中有白球的概率．【详解】解：一个袋子中有4个红球，2个白球，将4红球编号为1，2，3，4；2个白球编号为5，6．从中任取2个球，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“两个球中有白球”这一事件，则A包含的基本事件有：{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}共9个，这2个球中有白球的概率是．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率是A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】设双曲线方程为，可得渐近线方程是，结合题意解出，再利用平方关系算出，根据离心率公式即得答案．【详解】解：双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为可得双曲线的渐近线方程是结合题意双曲线的渐近线方程是，得，可得因此，此双曲线的离心率．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的标准方程与简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题．5.若函数，且的图象恒过点，则A. 3B. 1C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意利用指数函数的单调性和特殊点可得，且，求得m和n的值，可得的值．【详解】由题意，函数，且的图象恒过点，所以，且，解得，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.已知棱长都为2的正三棱柱的直观图如图，若正三棱柱绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据所给视图，借助三视图的性质，利用排除法，即可求解，得到答案．【详解】由题意，四个选项高都是2，若侧视图为A，中间应该有一条竖直的实线或虚线．若为C，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线．若为D，则长应为，而不是1．故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，着重考查了空间想象能力，属于基础题．7.在平行四边形ABCD中，M是DC的中点，向量，设，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据图形来找出所求向量与基底向量的关系，采用数形结合法能很快找到具体思路．【详解】根据题意画图，如图所示，则，，，故选：A．【点睛】本题主要考查了向量的减法和数乘运用，其中解答中熟记向量的线性运算法则是解答的关键，属于基础题，着重考查了运算与求解能力．8.设为等比数列的前n项和，若，，则的公比的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设等比数列的公比为q，可得，，得到，即可求解，得到答案．【详解】设等比数列的公比为q，则．，，，，且，解得．综上可得：的公比的取值范围是：．故选：A．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.已知三棱锥的四个顶点都在半径为2的球面上，，平面ABC，则三棱锥的体积为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意画出图形，利用球的性质求出三棱锥的高，再利用棱锥的体积公式，即可求解，得到答案．【详解】如图所示，取BC中点D，连接AD，则，设三角形ABC的中心为G，则，又球O得半径为2，则，则．三棱锥的体积为．故选：D．【点睛】本题主要考查了球的内接多面体与球的关系，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．10.要得到函数的图象，可以将函数的图象A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【详解】函数的图象，转换为：，将函数的图象向右平移个单位，得到的图象．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.过直线上一点P，作圆C：的切线，切点分别为A、B，则当四边形PACB面积最小时直线AB的方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由切线长公式可得，进而可得，可得当取得最小值时，四边形PACB面积最小，设AB 的直线方程为，由相似三角形的性质和点到直线的距离公式求出C到AB的距离d，即可求解m的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆C：的圆心C为，半径；点P为直线上一点，PA、PB为圆C的切线，则，，则有，则，则当取得最小值时，四边形PACB面积最小，此时CP与直线垂直，且，则C到AB的距离，又由，则直线AB与直线平行，且设AB的直线方程为，则有，解可得：或舍，则直线AB的方程为；故选：B．【点睛】本题主要考查了直线与圆方程的应用，其中解答中关键是分析“四边形PACB面积最小”的条件，再利用相似三角形和点到直线的距离公式，列出方程求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．12.若关于x的不等式成立，则的最小值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用函数图象的性质，借助数形结合，确定最小值，即可得到答案．【详解】令，，函数单调递增，，函数单调递减，且时，，绘制函数的图象如图所示，满足题意时，直线恒不在函数图象的下方，很明显时不合题意，当时，令可得：，故取到最小值时，直线在x轴的截距最大，令可得：，据此可得：的最小值是．故选：A．【点睛】本题主要考查了导函数研究函数图象的性质及其应用，其中解答合理利用导数得出函数的单调性，刻画处函数的性质上解答的关键，着重考查了数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.数列中，若，，则______．【答案】34【解析】【分析】先判断数列为等差数列，再求出首项，即可求得结果．【详解】解：，数列为等差数列，其公差，，，，，故答案为：34【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式的应用，属于基础题．14.二项式的展开式中常数项是______．【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【详解】由题意，二项式的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中常数项是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理确定的值是解答的关键，属于基础题．15.已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有4个零点，则a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用函数与方程的关系，由函数的奇偶性和单调性，进行转化，利用参数分离法进行求解即可．【详解】由题意，因为，是偶函数，若恰有4个零点，等价为当时，有两个不同的零点，是奇函数，由，得，是单调函数，，即，当时，有两个根即可，当时，等价为，，设，要使当时，有两个根，则，即，即实数a的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查了查函数与方程的应用，其中解答中熟练应用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．16.已知直线与抛物线交于A、B两点，过B作x轴的平行线交抛物线的准线于点M，O为坐标原点，若：：2，则______．【答案】【解析】【分析】先证明A，O，M三点共线，再将面积比为1：2转化为：：2，由此求出A的坐标，再用斜率公式求出斜率．【详解】联立消去x得，设，，则，则，，，，，O，M三点共线，：：：2，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了准线与抛物线的位置关系的应用，其中熟记抛物线的几何性质，以及联立方程组，合理应用根与系数的关系是解答的关键，着重考查转化思想以及数形结合思想的应用属中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四边形ABCD中，，，，，．求边AB的长及的值；若记，求的值．【答案】（1）,；（2）．【解析】【分析】由已知可求，中，由正弦定理可求AB，中由余弦定理，可求．由可得，进而可求，进而根据二倍角公式，可求，然后根据两角差的余弦公式即可求解.【详解】由题意，因为，，，，，中，由正弦定理可得，，，．中由余弦定理可得，由可得，，，．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角恒等变换的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18.艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒病毒引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y 与x 的关系； 建立y 关于x 的回归方程系数精确到，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数．参考数据：；，，，参考公式：相关系数，回归方程中， ，．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）预测2019年我国艾滋病感染累积人数为万人【解析】 【分析】（1）由所给的数据绘制折线图即可；（2）由题意计算相关系数来说明变量之间的相关关系即可；（3）首先求得回归方程，然后利用回归方程的预测作用进行预测即可．【详解】解：（1）我国艾滋病病毒感染人数的折线图如图所示，，，．故具有强线性相关关系．，，．当时，．故预测2019年我国艾滋病感染累积人数为万人．【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与预测作用，相关系数的计算与含义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．19.如图，四边形ABCD是菱形，平面ABCD，，平面BDE，G是AB中点．求证：平面BCF；若，，求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】【分析】设，连结OE，OF，推导出，平面ABCD，以O为原点，OA，OB，OF 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BCF．求出平面ABE的法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．【详解】设，连结OE，OF，四边形ABCD是菱形，平面ABCD，，平面BDE，，，平面ABCD，设，，，以O为原点，OA，OB，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则0，，，b，，0，，0，，b，，0，，，设平面BCF的法向量为y，，则，取，得c，，，平面BCF，平面BCF．设，，，，，1，，，，，，，设平面ABE的法向量y，，则，取，得，设平面BDE的法向量y，，则，取，得0，，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为．【点睛】本题主要考查了线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知点M到定点的距离和它到直线的距离的比是常数．求点M的轨迹C的方程；若直线l：与圆相切，切点N在第四象限，直线与曲线C交于A、B两点，求证：的周长为定值．【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】由椭圆的定义可知：M的轨迹是以F为焦点，l为准线的椭圆，然后即可求得其方程．法一：设，根据点到直线的距离和椭圆的定义即可求出，法二，联立直线和圆的方程，可得m与k的关系式，再联立直线与椭圆方程，消去y，利用韦达定理，弦长公式，求出的三条边，即可求的周长．【详解】设由题意得，为轨迹C的方程；证明：法一：设，A到l的距设为d，，，，，，，，同理，，的周长为定值10．法二：设，，由题知，，直线l：与圆相切，即，把代入得显然，，，的周长为定值10．【点睛】本题主要考查了椭圆，圆的基本知识和轨迹方程的求法以及三角形的周长的求法，解题时要注意公式的灵活运用，属于中档题．21.已知函数．当时，判断有没有极值点？若有，求出它的极值点；若没有，请说明理由；若，求a的取值范围．【答案】（1）没有极值点；（2）【解析】【分析】求出函数的定义域，计算时函数的导数，利用导数等于0判断函数是否有极值点；由得，转化为，设，利用导数讨论的单调性和极值，从而求出不等式成立时a的取值范围．【详解】函数，则且，即函数的定义域为；当时，，则，令，则，当时，，为减函数，，，无极值点；当时，，为增函数，，，无极值点；综上，当时，没有极值点；由，得，即；令，则；当时，时；时，成立，即符合题意；当时，，；当时，为减函数，，成立；当时，为减函数，，成立；即符合题意；当时，由，得，且；设两根为，，，，；由，得，解集为，在上为增函数，，，不合题意；综上，a的取值范围是【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为，以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，l与x轴交于点M．求l的直角坐标方程，点M的极坐标；设l与C相交于A，B两点，若、、成等比数列，求p的值．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】直接利用转换关系，把参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．写出直线l的参数方程并代入曲线C中，写出韦达定理利用参数t的几何意义进行求解.【详解】解：由得，，的直角坐标方程．令得点M的直角坐标为，点M的极坐标为．由知l的倾斜角为，参数方程为,为参数,代入，得，．，，．，．【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查直线参数方程中参数t的几何意义的应用，属于基础题.23.设函数．若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；若，求的最小值．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】通过讨论b的范围，得到关于a，b的方程组，解出即可；根据基本不等式的性质求出的最小值即可．【详解】解：由得，，当时，不合题意；当时，，由已知得，，综上，，(2)当，即时，有最小值，最小值是【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查利用基本不等式及绝对值三角不等式的性质求最值，属于基础题．- 21 -。
四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设z=(1+i)(1−2i)，则z的虚部为()A. 1B. iC. −1D. −i【答案】C【解析】解：∵z=(1+i)(1−2i)=3−i，∴z的虚部为−1．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.已知集合A={x|x>−2}，B={x∈Z|x<3}，则A∩B=()A. {x|−2<x<3}B. {1,2}C. {0,1，2}D. {−1,0，1，2}【答案】D【解析】解：∵集合A={x|x>−2}，B={x∈Z|x<3}，∴A∩B={−1,0，1，2}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.一个袋子中有4个红球，2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中有白球的概率是()A. 45B. 35C. 25D. 13【答案】B【解析】解：一个袋子中有4个红球，2个白球，从中任取2个球，基本事件总数n=C62=15，这2个球中有白球包含的基本事件个数m=C41C21+C22=9，∴这2个球中有白球的概率是p=mn =915=35．故选：B．从中任取2个球，基本事件总数n=C62=15，这2个球中有白球包含的基本事件个数m=C41C21+C22=9，由此能求出这2个球中有白球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是2x±y=0，则该双曲线的离心率是()A. √6B. √5C. 2D. √3【答案】B【解析】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)可得双曲线的渐近线方程是y=±bax结合题意双曲线的渐近线方程是y=±2x，得ba=2∴b=2a，可得c=√a2+b2=√5a因此，此双曲线的离心率e=ca=√5．故选：B．设双曲线的方程为设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1，可得它的渐近线方程是y=±bax，结合题意解出b=2a，再利用平方关系算出c=√5a，根据离心率公式即可得出此双曲线的离心率．本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5.若函数f(x)=2×a x+m−n(a>0，且a≠1)的图象恒过点(−1,4)，则m+n=()A. 3B. 1C. −1D. −2【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=2×a x+m−n(a>0，且a≠1)的图象恒过点(−1,4)，∴m−1= 0，且2⋅a m−1−n=4，解得m=1，n=−2，∴m+n=−1，故选：C．根据题意利用指数函数的单调性和特殊点可得m−1=0，且2⋅a m−1−n=4，求得m 和n的值，可得m+n的值．本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．6.已知棱长都为2的正三棱柱ABC−A1B1C1的直观图如图，若正三棱柱ABC−A1B1C1绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：四个选项高都是2，若侧视图为A ，中间应该有一条竖直的实线或虚线． 若为C ，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线． 若为D ，则长应为√3，而不是1． 故选：B ．根据所给视图，用排除法可得本题考查三视图，主要是考查空间想象能力，为基础题．7. 在平行四边形ABCD 中，M 是DC 的中点，向量DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 16a⃗ −23b ⃗ B. −16a⃗ +13b ⃗ C. 16a⃗ +76b ⃗ D. 16a⃗ −13b ⃗ 【答案】A【解析】解：根据题意画图如下：则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ ， DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =23DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ −23b ⃗ ， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DN ⃗⃗⃗⃗⃗ −DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ −23b ⃗ −12a ⃗ =16a ⃗ −23b ⃗ ， 故选：A ．本题主要是根据图形来找出所求向量与基底向量的关系，采用数形结合法能很快找到具体思路．本题主要考查向量的减法和数乘运用，本题要画图更易于理解，属基础题．8. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a n >0,a 1=12，S n <2，则{a n }的公比的取值范围是( )A. (0,34]B. (0,23]C. (0,34)D. (0,23)【答案】A【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠1． ∵a n >0,a 1=12，S n <2， ∴12×qn−1>0，12(1−q n )1−q<2，∴1>q >0．∴1≤4−4q ，解得q ≤34．综上可得：{a n }的公比的取值范围是：(0,34]． 故选：A ．设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠1．a n >0,a 1=12，S n<2，可得12×q n−1>0，12(1−q n )1−q<2，1>q >0.1≤4−4q ，解得q 范围．本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 已知三棱锥P −ABC 的四个顶点都在半径为2的球面上，AB =BC =CA =2√2，PA ⊥平面ABC ，则三棱锥P −ABC 的体积为( )A. √6B. 2√2C. 94D. 83【答案】D【解析】解：如图，取BC 中点D ，连接AD ，则AD =√(2√2)2−(√2)2=√6， 设三角形ABC 的中心为G ，则AG =2√63， 又球O 得半径为2，则OG =(2√63)=2√33，则PA =4√33． ∴三棱锥P −ABC 的体积为V =13×12×2√2×√6×4√33=83．故选：D ．由题意画出图形，求出三棱锥的高，则体积可求．本题考查球的内接多面体与球的关系，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．10. 要得到函数y =sin(2x +π4)的图象，可以将函数y =cos(π6−2x)的图象( )A. 向右平移π24个单位 B. 向左平移π24个单位 C. 向右平移π12个单位D. 向左平移π12个单位【答案】A【解析】解：函数y =cos(π6−2x)=cos(2x −π6)的图象， 转换为：y =sin(π2+2x −π6)=sin(2x +π3)， 将函数的图象向右平移π24个单位， 得到y =sin(2x +π4)的图象．故选：A ．直接利用三角函数关系式的恒等变变换和图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11. 过直线3x −4y −14=0上一点P ，作圆C ：(x +1)2+(y −2)2=9的切线，切点分别为A 、B ，则当四边形PACB 面积最小时直线AB 的方程是( )A. 4x −3y +2=0B. 3x −4y +2=0C. 3x −4y −2=0D. 4x −3y −2=0【答案】B 【解析】解：根据题意，圆C ：(x +1)2+(y −2)2=9的圆心C 为(−1,2)，半径r =3；P 为直线3x −4y −14=0上一点，PA 、PB 为圆C 的切线，则PA ⊥CA ，PB ⊥CB ，则有|PA|=|PB|=√|PC|2−r 2=√|PC|2−9， 则S 四边形PACB =2S △PCA =2×12×|CA|×|PA|=3√|PC|2−9，则当|PC|取得最小值时，四边形PACB 面积最小，此时CP 与直线3x −4y −14=0垂直， 且|CP|=|3×(−1)−4×2−14|√32+(−4)2=5，则C 到AB 的距离d =95，又由CP ⊥AB ，则直线AB 与直线3x −4y −14=0平行，且设AB 的直线方程为3x −4y −m =0， 则有d =|3×(−1)−4×2−m|√32+(−4)2=95，解可得：m =−2或−20(舍)，则直线AB 的方程为3x −4y +2=0； 故选：B ．根据题意，分析圆C 的圆心与半径，由切线长公式可得|PA|=|PB|=√|PC|2−r 2=√|PC|2−9，进而可得S 四边形PACB =2S △PCA =2×12×|CA|×|PA|=3√|PC|2−9，分析可得当|PC|取得最小值时，四边形PACB 面积最小，此时CP 与直线3x −4y −14=0垂直，则有直线AB 与直线3x −4y −14=0平行，设AB 的直线方程为3x −4y −m =0，由相似三角形的性质求出C 到AB 的距离d ，由点到直线的距离公式可得d =|3×(−1)−4×2−m|√32+(−4)2=95，解可得m 的值，即可得答案． 本题考查直线与圆方程的应用，关键是分析“四边形PACB 面积最小”的条件．12. 若关于x 的不等式ln2x+1x≤ax +b 成立，则ba 的最小值是( )A. −12eB. −1eC. 1eD. 12e【答案】A【解析】解：令f(x)=ln2x+1x,f ′(x)=1x⋅x−ln2x x 2=1−ln2x x 2，x ∈(0,12),f ′(x)>0，函数单调递增，x ∈(12,+∞),f ′(x)<0，函数单调递减，且x >0时，f(x)>0，绘制函数f(x)的图象如图所示，满足题意时，直线y =ax +b 恒不在函数f(x)图象的下方， 很明显a <0时不合题意，当a >0时，令ax +b =0可得：ba =−x ， 故ba 取到最小值时，直线在x 轴的截距最大， 令f(x)=0可得：x =12e ,−x =−12e ， 据此可得：ba 的最小值是−12e ． 故选：A ． 构造函数f(x)=ln2x+1x，利用函数图象的性质数形结合确定ba 最小值即可．本题主要考查导函数研究函数图象的性质，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 数列{a n }中，若a n+1=a n +3，a 2+a 8=26，则a 12=______． 【答案】34【解析】解：∵a n+1=a n +3，∴数列{a n }为等差数列，其公差d =3， ∵a 2+a 8=26， ∴2a 1+8d =26， ∴a 1=1，∴a 12=1+11×3=34， 故答案为：34先判断数列的等差数列，再求出首项，即可求出答案． 本题考查饿了等差数列的定义和通项公式，属于基础题．14. 二项式(x −12√x )9的展开式中常数项是______． 【答案】2116【解析】解：二项式(x −12√x )9的展开式的通项公式为T r+1=C 9r ⋅(−12)r x 9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =6，可得展开式中常数项是C 96⋅(−12)6=2116， 故答案为：2116．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15. 已知奇函数f(x)是定义在R 上的单调函数，若函数g(x)=f(x 2)+f(a −2|x|)恰有4个零点，则a 的取值范围是______． 【答案】(0,1)【解析】解：∵g(−x)=f(x 2)+f(a −2|x|)=g(x)， ∴g(x)是偶函数，若g(x)=f(x 2)+f(a −2|x|)恰有4个零点， 等价为当x >0时，g(x)有两个不同的零点， ∵f(x)是奇函数，∴由g(x)=f(x 2)+f(a −2|x|)=0， 得f(x 2)=−f(a −2|x|)=f(2|x|−a)， ∵f(x)是单调函数， ∴x 2=2|x|−a ， 即−a =x 2−2|x|，当x >0时，−a =x 2−2|x|有两个根即可， 当x ≥0时，等价为，−a =x 2−2x ， 设ℎ(x)=x 2−2x =(x −1)2−1，要使当x >0时，−a =x 2−2|x|有两个根， 则−1<−a <0，即0<a <1， 即实数a 的取值范围是(0,1)， 故答案为：(0,1)利用函数与方程的关系，由函数的奇偶性和单调性，进行转化，利用参数分离法进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键．16. 已知直线kx −y −k =0(k >0)与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，过B 作x 轴的平行线交抛物线的准线于点M ，O 为坐标原点，若S △OBM ：S △OBA =1：2，则k =______．【答案】2√2【解析】解：联立{y 2=4x y=k(x−1)消去x 得y 2−4k y −4=0， 设A(x 1,y 1)(y 1>0)，B(x 2,y 2)，则M(−1,y 2)， 则y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4，∵k OM =y 2−1=−y 2=4y 1，k OA =y 1x 1=4y 1，∴A ，O ，M 三点共线，∴S △OBM ：S △OAB =|OM|：|OA|=1：2， ∴|OA|2=4|OM|2， x 12+y 12=4(1+y 22)，x 12+4x 1=4(1+16y 12)，x 12+4x 1=4(1+164x 1)，(x 12−4)(1+4x 1)=0，∵x 1>0，∴x 1=2，∴A(8,2√2)，∴k =2√2−02−1=2√2，故答案为：2√2．先证明A ，O ，M 三点共线，再将面积比为1：2转化为|OM|：|OA|=1：2，由此求出A 的坐标，再用斜率公式求出斜率．本题考查准线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用.属中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =45∘，∠BAD =105∘，AD =√62，BC =2，AC =3．(1)求边AB 的长及cos∠ABC 的值； (2)若记∠ABC =α，求sin(2α−π3)的值． 【答案】解：(1)∵∠ADB =45∘，∠BAD =105∘， ∴∠ABD =30∘， ∵AD =√62，BC =2，△ABD 中，由正弦定理可得，ABsin45∘=√62sin30∘，∴AB =√3， ∵AC =3．△ABC 中由余弦定理可得，cos∠ABC =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=3+4−92×2√3=−√36(2)由(1)可得cosα=−√36∴sinα=√336∴sin2α=2sinαcosα=−√116，cos2α=2cos 2α−1=−56∴sin(2α−π3)=12sin2α−√32cos2α=5√3−√1112． 【解析】(1)由已知可求∠ABD ，△ABD 中，由正弦定理可求AB ，△ABC 中由余弦定理，cos∠ABC =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC可求(2)由(1)可得cosα，进而可求sinα，进而根据二倍角公式sin2α=2sinαcosα，cos2α=2cos 2α−1可求，然后根据两角差的余弦公式即可求解本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角公式及两角差的正弦公式的综合应用．18. 艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV 病毒)引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T 淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能.下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代码x12 3 4 5 6 78感染者人数y(单位：万人)34.338.343.353.857.765.471.8 85(1)请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；(2)请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y 与x 的关系；(3)建立y 关于x 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数．参考数据：√42≈6.48；∑i =18y i =449.6，∑i =18x i y i =2319.5，√∑i =18(y i −y −)2=46.2， 参考公式：相关系数r =i −i −√∑i=1n(x i −x −)2∑i=1n(y i −y −)2，回归方程y ^=b ^x +a ^中，b ̂=∑i=1n(x i −x −)(y i −y −)∑i=1n(x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．【答案】解：(1)我国艾滋病病毒感染人数的折线图如图所示(2)∵x −=92,y −=56.2，∴∑i =18(x i −x −)(y i −y −)=∑i =18x i y i −8x −y −=296.3，√∑i =18(x i −x −)2∑i =18(y i −y −)2=√42×46.2=299.376， ∴r =∑i=1n(x i −x −)(y i −y −)√∑i=1n(x i −x −)2∑i=1n(y i −y −)2≈0.99．故具有强线性相关关系．(3)∵b ̂=∑i=1n(x i −x −)(y i −y −)∑i=1n(x i −x −)2=296.342≈7.05，a ̂=y −−b ̂x −=56.2−7.05×4.5≈24.48，∴y ̂=7.05x +24.48．当x =9时，y =7.05×9+24.48=87.93．故预测2019年我国艾滋病感染累积人数为87.93万人． 【解析】(1)由所给的数据绘制折线图即可；(2)由题意计算相关系数来说明变量之间的相关关系即可；(3)首先求得回归方程，然后利用回归方程的预测作用进行预测即可．本题主要考查线性回归方程的求解与预测作用，相关系数的计算与含义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．19. 如图，四边形ABCD 是菱形，EA ⊥平面ABCD ，EF//AC ，CF//平面BDE ，G 是AB 中点． (1)求证：EG//平面BCF ； (2)若AE =AB ，∠BAD =60∘，求二面角A −BE −D 的余弦值．【答案】证明：(1)设AC ∩BD =O ，连结OE ，OF ，∵四边形ABCD 是菱形，EA ⊥平面ABCD ，EF//AC ，CF//平面BDE ， ∴OE//CF ，∴EF =AO =CO ，∴OF ⊥平面ABCD ， 设OA =a ，OB =b ，AE =c ，以O 为原点，OA ，OB ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则E(a,0，c)，G(a 2,b2,0)，B(0,b ，0)，C(−a,0，0)，F(0,0，c)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,b ，−c)，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,0，−c)，EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a 2,−b2,−c)， 设平面BCF 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =by −cz =0n ⃗ ⋅FC⃗⃗⃗⃗⃗ =−ax −cz =0，取z =b ，得n⃗ =(−bc a ,c ，b)， ∵n ⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a 2)⋅(−bc a )+b2⋅c +(−c)⋅b =0，EG ⊄平面BCF ，∴EG//平面BCF ．解：(2)设AE =AB =2，∵∠BAD =60∘，∴OB =1，OA =√3， ∴A(√3,0,0)，B(0,1，0)，E(√3,0,2)，D(0,−1,0)， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,2)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0)， 设平面ABE 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −y =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −y +2z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√3,0)， 设平面BDE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −y +2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y =0，取x =2，得m⃗⃗⃗ =(2,0，−√3)， 设二面角A −BE −D 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√4⋅√7=√77． ∴二面角A −BE −D 的余弦值为√77．【解析】(1)设AC ∩BD =O ，连结OE ，OF ，推导出OE//CF ，OF ⊥平面ABCD ，以O为原点，OA ，OB ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EG//平面BCF ．(2)求出平面ABE 的法向量和平面BDE 的法向量，利用向量法能求出二面角A −BE −D 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 已知点M 到定点F(4,0)的距离和它到直线l ：x =254的距离的比是常数45．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y =kx +m 与圆x 2+y 2=9相切，切点N 在第四象限，直线与曲线C 交于A 、B 两点，求证：△FAB 的周长为定值． 【答案】解：(1)设M(x,y)由题意得√(x−4)2+y 2|x−254|=45， ∴x 225+y 29=1为轨迹C 的方程；证明：(2)法一：设A(x 1,y 1)，A 到l 的距设为d ，|AF|d=45，∴|AF|=45d =45|254−x 1|，∵x 1∈[−5,5]， ∴|AF|=5−45x 1，∵x 1225+y 129=1，∴|AN|=√(x 12+y 12)−9=45x 1，∴|FA|+|AN|=5−45x 1+45x 1=5，同理|FB|+|BN|=5，∴|FA|+|FB|+|AB|=10， ∴△FAB 的周长为定值10．法二：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由题知k >0，m <0， ∵直线l ：y =kx +m 与圆x 2+y 2=9相切∴|m|√k 2+1=3，即m 2=9(k 2+1)=1，把y =kx +m 代入x 225+y 29=1得(25k 2+9)x 2+50kmx +25m 2−225=0 显然△>0,x 1+x 2=−50km 25k 2+9,x 1x 2=25m 2−22525k 2+9，∴|AB|=√k 2+1|x 1−x 2|=√k 2+1√(−50km25k 2+9)2−4×25m 2−22525k 2+9=120k√k 2+125k 2+9，|FA|+|FB|=5−45x 1+5−45x 2=10−45(x 1+x 2)=10+40km25k 2+9=10−120k√k 2+125k 2+9∴|FA|+|FB|+|AB|=10， ∴△FAB 的周长为定值10．【解析】(1)由椭圆的定义可知：M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的椭圆，然后即可求得其方程．(2)法一：设A(x 1,y 1)，根据点到直线的距离和椭圆的定义即可求出，法二，联立直线和圆的方程，可得m 与k 的关系式，再联立直线与椭圆方程，消去y ，利用韦达定理，弦长公式，求出△ABD 的三条边，即可求△ABD 的周长．本题考查椭圆，圆的基本知识和轨迹方程的求法以及三角形的周长的求法，解题时要注意公式的灵活运用，属于中档题．21. 已知函数f(x)=axlnx x−1．(1)当a =1时，判断f(x)有没有极值点？若有，求出它的极值点；若没有，请说明理由；(2)若f(x)<x +1，求a 的取值范围． 【答案】解：函数f(x)=axlnx x−1，则x >0且x ≠1，即函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞)；……………………(1分) (1)当a =1时，f(x)=xlnxx−1，则f′(x)=x−lnx−1(x−1)2，………………………(2分)令g(x)=x −lnx −1，则g′(x)=1−1x =x−1x，①当x ∈(0,1)时，，g(x)为减函数，g(x)>g(1)=0， 0'/>，f(x)无极值点；②当x ∈(1,+∞)时，0'/>，g(x)为增函数，g(x)>g(1)=0， 0'/>，f(x)无极值点；综上，当a =1时，f(x)没有极值点； ………………………(4分)(2)由f(x)<x+1，得axlnxx−1<x+1，即xx−1(alnx−x+1x)<0；令ℎ(x)=alnx−x+1x ，则ℎ′(x)=ax−1−1x2=−(x2−ax+1)x；………………………(5分)①当a≤0时，x∈(0,1)时{x−1<0lnx<0；x∈(1,+∞)时{x−1>0lnx>0，∴axlnxx−1<x+1成立，即a≤0符合题意；………………………(7分)②当0<a≤2时，x2−ax+1≥2x−ax≥0，；当x∈(0,1)时，ℎ(x)为减函数，ℎ(x)>ℎ(1)=0，∴xx−1(alnx−x+1x)<0成立；当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)为减函数，ℎ(x)<ℎ(1)=0，∴xx−1(alnx−x+1x)<0成立；即0<a≤2符合题意；………………………(9分)③当a>2时，由，得x2−ax+1=0，且△=a2−4>0；设x2−ax+1=0两根为x1，x2(x1<x2)，∴x1+x2=a>0，x1x2=1，∴0<x1<1< x2；由0'/>，得x2−ax+1<0，解集为(x1,1)∪(1,x2)，∴ℎ(x)在(x1,1)上为增函数，ℎ(x1)<ℎ(1)=0，∴x1x1−1(alnx1−x1+1x1)>0，∴a>2不合题意；………………………(11分)综上，a的取值范围是(−∞,2].………………………(12分)【解析】(1)求出函数f(x)的定义域，计算a=1时函数的导数，利用导数等于0判断函数f(x)是否有极值点；(2)由f(x)<x+1得axlnxx−1<x+1，转化为xx−1(alnx−x+1x)<0，设ℎ(x)=alnx−x+1x，利用导数讨论ℎ(x)的单调性和极值，从而求出不等式成立时a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，也考查了不等式恒成立的应用问题，是难题．22.在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsin(θ−π3)=√3，l与x轴交于点M．(1)求l的直角坐标方程，点M的极坐标；(2)设l与C相交于A，B两点，若|MA|、|AB|、|MB|成等比数列，求p的值．【答案】解：(1)由2ρsin(θ−π3)=√3，得，ρsinθ−√3ρcosθ=√3,y=√3x+√3，∴l的直角坐标方程y=√3x+√3．令y=0得点M的直角坐标为(−1,0)，∴点M的极坐标为(1,π)．(2)由(1)知l的倾斜角为π3，参数方程为{x =−1+12ty =√32t，(t 为参数)代入y 2=2px ， 得3t 2−4pt +8p =0， ∴t 1+t 2=4p 3,t 1t 2=8p 3．∵|AB|2=|MB|⋅|MA|， ∴(t 1−t 2)2=t 1t 2， ∴(t 1+t 2)2=5t 1t 2． ∴(4p3)2=5×8p 3，∴p =152．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用(1)的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23. 设函数f(x)=|x −a|．(1)若关于x 的不等式f(x)+b <0的解集为(−1,3)，求a ，b 的值； (2)若g(x)=2f(x)+2f(x+1)，求g(x)的最小值． 【答案】(1)解：由f(x)+b >0得，|x −a|<−b ， 当b ≥0时，不合题意；当b <0时，a +b <x <a −b ，………………………………(3分) 由已知得{a −b =3a+b=−1，∴{b =−2a=1，综上，a =1，b =−2………………………………(5分)(2)g(x)=2|x−a|+2|x+1−a|≥2√2|x−a|×2|x+1−a|=2√2|x−a|+|x +1−a| ≥2√2|(x−a)−(x+1−a)|=2√2………………………(4分) ∴当{(x −a)(x +1−a)≤0|x−a|=|x+1−a|，即x =a −12时，g(x)有最小值，最小值是2√2……………(5分)【解析】(1)通过讨论b 的范围，得到关于a ，b 的方程组，解出即可； (2)根据基本不等式的性质求出g(x)的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
