江苏省海门市包场镇高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2 两条直线平行导学案 新人教A版2 精

2.2.3 直线与平面平行的性质学习目标核心素养1.了解直线与平面平行的性质定理的探究以及证明过程.2．理解直线与平面平行的性质定理的含义并能应用．(重点) 3．能够综合应用直线与平面平行的判定定理和性质定理进行线面平行的相互转化．(难点)通过学习直线与平面平行的性质，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养．直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言思考：若a∥α，b⊂α，则直线a一定与直线b平行吗？[提示]不一定．由a∥α，可知直线a与平面α无公共点，又b⊂α，所以a与b无公共点，所以直线a与直线b平行或异面．1．如图，过正方体ABCD­A′B′C′D′的棱BB′作一平面交平面CDD′C′于EE′，则BB′与EE′的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．不确定A[因为BB′∥平面CDD′C′，BB′⊂平面BB′E′E，平面BB′E′E∩平面CDD′C′＝EE′，所以BB′∥EE′.]2．若直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则a与b的关系是( )A．a∥b B．a与b异面C．a与b没交点D．a与b可能相交C[因为a∥α，所以a与α没交点，即a与b没交点，也就是说a∥b或a与b异面，选A或B都不全面，故选C.]3．设m、n是平面α外的两条直线，给出以下三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)①②⇒③(或①③⇒②)[设过m的平面β与α交于l.因为m∥α，所以m∥l，因为m∥n，所以n∥l，因为n⊄α，l⊂α，所以n∥α.]直线与平面平行性质定理的应用[探究问题]1．直线与平面平行性质定理的条件有哪些？[提示]线面平行的性质定理的条件有三个：(1)直线a与平面α平行，即a∥α；(2)平面α、β相交于一条直线，即α∩β＝b；(3)直线a在平面β内，即a⊂β. 三个条件缺一不可．2．直线与平面平行的性质定理有什么作用？[提示]定理的作用：(1)线面平行⇒线线平行；(2)画一条直线与已知直线平行．3．直线与平面平行的判定定理和性质定理有什么联系？[提示]经常利用判定定理证明线面平行，再利用性质定理证明线线平行．【例1】如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．[证明]因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN，同理，AB∥PQ，所以MN∥PQ. 同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ为平行四边形．将本例变为：如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.求证：四边形BCFE是梯形．[证明]因为四边形ABCD为矩形，所以BC∥AD，因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.因为平面BCFE∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.因为AD＝BC，AD≠EF，所以BC≠EF，所以四边形BCFE是梯形．1．利用线面平行性质定理解题的步骤：2．证明线线平行的方法：(1)定义：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行．(2)平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行．(3)线面平行的性质定理：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b ，应用时题目条件中需有线面平行．与线面平行性质定理有关的计算【例2】 如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且PA ＝3，点F 在棱PA 上，且AF ＝1，点E 在棱PD 上，若CE ∥平面BDF ，求PE ∶ED 的值．[解] 过点E 作EG ∥FD 交AP 于点G ，连接CG ，连接AC 交BD 于点O ，连接FO .因为EG ∥FD ，EG ⊄平面BDF ，FD ⊂平面BDF ，所以EG ∥平面BDF ，又EG ∩CE ＝E ，CE ∥平面BDF ，EG ⊂平面CGE ，CE ⊂平面CGE ， 所以平面CGE ∥平面BDF ，又CG ⊂平面CGE ，所以CG ∥平面BDF ， 又平面BDF ∩平面PAC ＝FO ，CG ⊂平面PAC ， 所以FO ∥CG ，又O 为AC 的中点， 所以F 为AG 的中点，所以FG ＝GP ＝1， 所以E 为PD 的中点，PE ∶ED ＝1∶1.利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点： (1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系．(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系． (3)利用所得关系计算求值．[跟进训练]如图所示，在棱长为6的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．613 ＋32 [如图所示，延长EF ，A 1B 1相交于点M ，连接AM ，交BB 1于点H ，连接FH ，延长FE ，A 1D 1相交于点N ，连接AN 交DD 1于点G ，连接EG ，可得截面五边形AHFEG ，因为几何体ABCD ­A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，且E 、F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，所以EF ＝32 ，易知B 1M ＝C 1E ＝12 C 1D 1＝12 A 1B 1，又B 1H ∥AA 1，所以B 1H＝13 AA 1＝2，则BH ＝4，易知AG ＝AH ＝62＋42 ＝213 ，EG ＝FH ＝32＋22＝13 ，所以截面的周长为613 ＋32 .]1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．用口诀记忆为：“过直线，作平面，得交线，得平行．”2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．即1．如图，在三棱锥S ­ABC 中，E ，F 分别是SB, SC 上的点，且EF ∥平面ABC ，则( )A. EF与BC相交B. EF∥BCC. EF与BC异面D. 以上均有可能B[因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC.]2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( )A.0条B．1条C．0条或1条D．无数条C[过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．]3．过正方体ABCD­A1B1C1D1的三顶点A1, C1, B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．平行[因为A1C1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1C1B，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，由线面平行的性质定理，所以A1C1∥l.]4．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1延长线的交点，且PB1∥平面BDA1，求证：CD＝C1D.[证明]如图，连接AB1与BA1交于点O，连接OD，因为PB1∥平面BDA1，PB1⊂平面AB1P，平面AB1P∩平面BDA1＝OD，所以OD∥PB1，又AO＝B1O，所以AD＝PD，又AC∥C1P，所以CD＝C1D.。

D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。

叫做垂足。

的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。

符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

所成的角。

2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。

三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二、知识要点：1.两个平面的位置关系：2．两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号表示：(记忆口诀：线面平行，则面面平行)3、两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的平行．符号表示：(记忆口诀：面面平行，则线线平行)4．两个平行平面距离和两个平行平面同时的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的，两个平行面的公垂线段的，叫做两个平行平面的距离．5．二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的所组成的图形叫做二面角。

6．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为二面角，则这两个平面互相垂直．7．两个平面垂直的判定：如果一个平面有一条直线另一个平面，则这两个平面互相垂直．符号表示：8．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面的垂直于它们的的直线垂直于另一个平面．符号表示：三、课前热身：1. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点．求证：平面AMN∥平面EFDB；2．如图所示，在四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°．求证：平面ABC⊥平面BSC．四、典型例题：例1：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．C ASDBA1ABCB1C1EFMND1D求证：(1) AP ⊥MN ；(2) 平面MNP∥平面A 1BD ．变式训练：如图，已知平面α∥平面β，线段PQ 、PF 、QC 分别交平面α于A 、B 、C 、点，交平面β于D 、F 、E 点，PA ＝9，AD ＝12，DQ ＝16，△ABC 的面积是72，试求△DEF 的面积．例2：已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点．证明：平面PED⊥平面PAB变式训练：如图，在三棱锥S －ABC 中，SA⊥平面ABC ，平面SAB⊥平面SBC ．求证：AB⊥BC；五、课堂小结：六、感悟反思：1. 已知平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在平面α和平面β间的两条线段，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且nm FD CF EB AE ==．求证：EF∥α∥β．2．如图，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD ． ⑴ 证明：AB⊥平面VAD ；七、千思百练：A SBC Q FDE C AB α β PC B A V D1．.以下四个命题中是真命题的有 ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直⑤若平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，则这条直线和该平面平行⑥若一个平面内有三点到另一个平面距离相等，则这两个平面平行⑦若一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直⑧若一个平面与另一个平面的垂面平行，则这两个平面互相垂直 2．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是①若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ ②若//,//l ααβ，则l β⊂ ③若,//l ααβ⊥，则l β⊥ ④若//,l ααβ⊥，则l β⊥3．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。

DBA§10.2 直线与平面的位置关系——平行与垂直一、考点要求：学习目标：理解直线与平面的位置关系，理解线面平行、垂直的定义，理解线面平行与垂直的判定定理和性质定理，会用线面平行与垂直的判定定理和性质定理证明线面平行与垂直。

二、知识要点：1.直线和平面的位置关系 、 、 ． 直线在平面内，有 公共点． 直线和平面相交，有 公共点． 直线和平面平行，有 公共点．直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外． 2．直线和平面平行的判定定理如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行． 符号表示： (记忆口诀：线线平行 线面平行) 3．直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 符号表示： (记忆口诀：线面平行 线线平行) 4．直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直． 5．直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 符号表示： 6．直线和平面垂直性质若a⊥α，b ⊂α则 若a⊥α，b⊥α则 若a⊥α，a⊥β则 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条． 7．点到平面距离过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离． 8．直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离． 三、课前热身：1. 已知：空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点， 求证：//EF BCD 平面．2．已知：空间四边形ABCD ，AB AC =，DB DC =，内 容 要 求 AB C 立体几何 直线与平面平行的判定及性质 √ 直线与平面垂直的判定及性质√FED CBA求证：BC AD ⊥变式训练2：如图,正方形ABCD 与ABEF 不在同一平面内,M 、N 分别在AC 、BF 上，且AM FN =求证：//MN 平面CBE .例2：已知直线l ⊥平面α，垂足为A ，直线AP l ⊥，求证：AP 在平面α内.变式训练1：如图SA⊥面ABC ，∠ABC＝90°，AE⊥SB，且SB∩AE＝E ，AF⊥SC，且AF∩SC＝F ， 求证：(1) BC⊥面SAB ；(2) AE⊥面SBC ；(3) SC⊥EF．变式训练2：已知：四面体S ABC -中，,SA ABC ABC ⊥∆平面是锐角三角形，H 是点A 在面SBC 上的射影，求证：H 不可能是SBC ∆的垂心．五、课堂小结：六、感悟反思：SABCF EHTB CFEM NE PHCSBA1. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形， E 是PC 的中点．证明：PA∥平面EDB2．平行四边形ABCD 所在平面α外有一点P ，且PA =PB =PC =PD ， 求证：点P 与平行四边形对角线交点O 的连线PO 垂直于AB 、AD.七、千思百练：1．以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面）中正确命题的是 ①若a ∥b ，b ⊆α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ⊆α，则a ∥b2．已知a ∥α，b ∥α，则直线a ，b 的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有3．若a ⊆α，b ⊆α，a ∥α，条件甲是“a ∥b ”，条件乙是“b ∥α”，则条件甲是条件乙的 条件 4．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的 条件 5．如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是6．如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC的中点.（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）若4MN BC ==，3PA =PA 与MN 所成的角的大小.7．已知：点O 是ABC ∆的垂心，PO ABC ⊥平面，垂足为O ，求证：PA BC ⊥．OPDCBαANH BD P_DCPαABABCDSE8．如图，已知ABCD 是矩形，SA ⊥平面ABCD ，E 是SC 上一点． 求证：BE 不可能垂直于平面SCD ．8．如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE =36a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面PAD9．在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，H 是△ABC 的垂心 求证：（1） PH 底面ABC （2）△ABC 是锐角三角形.ABCPEH10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．( 1 ) 求证：AC⊥BC1；(2) 求证：AC1∥平面CDB1；★(3) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．ADBB CAC。

高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定练习（含解析）新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定练习（含解析）新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定练习（含解析）新人教A版必修2的全部内容。

直线、平面的位置关系与直线与平面平行的判定班级：姓名：_____________1。

已知l∥α，m∥α,l∩m=P且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是( ) A.相交 B。

平行C。

相交或平行 D.不确定【解析】选B。

因为l∩m=P，所以过l与m确定一个平面β，又因为l∥α，m∥α，l∩m=P，所以β∥α.2.已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（)A.b∥αB。

b与α相交C.b⊂αD。

b∥α或b与α相交【解析】选D。

由题意画出图形，当a,b所在平面与平面α平行时,b与平面α平行，当a，b 所在平面与平面α相交时,b与平面α相交。

3.平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D,E，且AD︰DB=AE︰EC,如图,则BC与α的位置关系是（)A.平行B。

相交C。

平行或相交D。

异面【解析】选A。

因为AD︰DB=AE︰EC，所以DE∥BC,又DE⊂α，BC⊄α,所以BC∥α。

4。

有以下三种说法,其中正确的是（）①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直,则直线a不可能与α平行；③直线a，b满足a∥α，a∥b，且b⊂α，则a平行于经过b的任何平面.A。