刚体力学

(二)刚体力学 1．质量分布均匀的两个滑轮A和B，用细绳相缠绕，其中A轮质量为M1，半径为R1，悬挂在天花板上，B轮质量为M2，半径为R2，B轮从静止状态沿铅直方向下落，试求B轮质心的速度与下落距离的关系。（忽略轮轴间摩擦及细绳质量）

2．如图所示，一人质量为m1，站在一起重机笼内，笼的质量为m2，半径为R的滑轮质量为M，滑轮与绳之间无滑动，滑轮与轴承之间的摩擦不计，绳的质量也不计，人用力拉绳，使人与笼一起以加速度a上升，两绳皆可视为铅直。 （1） 画出m1、m2 及滑轮受力图。 （2） 列出求解T1、T2所需的方程。 3．如图所示，定滑轮视为质量均匀分布的圆盘，质量为m，半径为R，物体A的质量为2m，物体B的质量为m，物体C的质量为2m，系统用轻绳连接 ，绳和滑轮间没有滑动，轴处无摩擦，求绳中张力T1 、T2 、 T3的大小。

4．匀质圆盘A质量为m，半径为Ro，匀质圆盘B，质量为4m，半径为2Ro，B盘静止于光滑水平面上，A盘以o绕盘中心在水平面内转动，后将A盘轻轻的放到B盘上，A、B间的摩擦系数为o， 求： （1） A、B盘最终以多大的角速度转动？ （2） 从A放到B上开始经多长时间A、B以共同的角速度转动？ 5．一定滑轮，质量为m1，半径为r，挂于天花板上，如图所示，滑轮上跨过一不能伸长的均匀柔软的细链，链长为L，质量为

A M1

B M2 1题图

T2 T1

2题图

R T2

T1 B

T3

A C

3题图

R0 A 2R0

B

4题图 m2，链的两端各悬一碗，碗中盛粘土半满， 碗和土的总质量为m3，原来链长两边相等时，静止不动，现在质量m4很小的小球，在右碗的正上方高h处，由静止落入碗中，于是滑轮和链开始运动，假设滑轮与链间无滑动，轮轴是光滑的，试求当右碗下降s距离时，其速度是多少？

6．一根均匀细钢棒重w ，它的两端用两个垂直的支撑使它保持水在，t=0时。把其中一根支撑拿走，求另一根支撑物此刻所受的力。 7．一质量m，半径为R的圆盘。可绕过中心的竖直轴无摩擦地转动。一轻绳绕在圆盘上并跨过一个质量也为m。半径为r的定滑轮B，( 视为圆盘 )系在质量为M的物体C上。当物体C沿竖直方向下落时，绳与圆盘，滑轮间无滑动。求 （1） 物体C下落的加速度. （2） 圆盘与滑轮间，滑轮间与物体C之间绳的张力

8．有一架长为2a， 质量为M的匀质梯，以外力保持其靠在光滑的垂直壁和水平面上，梯与光滑水平面的初始交角为。 问（1）当外力突然去后，求梯的运动， （2）在什么角度梯子与垂直壁脱离。 9．如图所示，一质量为M的人，站在铁道上的车上，小车以速度v沿无倾斜的半径为R的圆轨道上运动。人相对小车静止并保持相同的站立姿势，人的质心距小车平面的高度L，两脚间距为d，求人的每只脚对小车的压力。

r o m4

m2 h

m3 m3

5题图

L 6题图

A T1 B T2 M C 7题图

2a θ

8题图 10．一个刚性球体从与水平面成角的斜面上无滑动的滚下，求质心的平动加速度。 11．一个质量为m半径为R的实心均匀圆柱体放在与水平成角的斜面上圆柱体与斜面间摩擦系数，对小于某个监界角C 时，圆柱将无滑地往下滚动。问 (1) 角度 C 有多大？ (2) 对于<C 情形，加速度a 为多少？

12．使半径R=10cm重量 p=10kg 的均匀实心圆柱体以角速度o =10转/秒、绕中心轴转动，然后将此匀速转动的圆柱体轻轻放在摩擦系数0·1的水平面上。问径过多长时间后圆柱体变为纯滚动？ 13．用杆猛击一个原来静止着的弹子球，球杆水平地打在中心线

上R76 处，设球被击中后质心C 以速度vo 向前运动，仅在击球瞬时可忽略摩擦力的影响，由于球被击后旋转对地存在滑动，因此产生摩擦 求：球由有滑动到纯滚动开始后的速率。 14．如图所示，左边的球以速率v水平地向着静止的相同的球作无滑滚动，每个球都是质量为M 的均匀球，假设在碰撞时所有的摩擦力足够小，产生的效应均可忽略，并且瞬时碰撞是完全弹性的，计算 （1） 在碰后相当长的时间后每个球重新作无滑滚动时的速度。 （2） 由于摩擦力使初始能量转化为热能的百分数。

L R O d

9题图 θ 10题图

θ 11题图

ω

12题图 F

o 6R/7 v0

13题图

ω v

14题图

Ω1 Ω2

M1 M2

R1 R2

15题图 15．两均匀圆柱分别绕它们本身轴转动二轴平行，一圆柱的半径为R1 质量为M1, 另一圆柱半径为R2 ，质量为M2,开始它们沿同一转向分别以1和2的角速度转动，然后平移二轴使它们在共同切点接触。当最后达到稳定状态时，求每个圆柱的角速度。 16．一质量为m 半径为R 高为h=R 的圆柱体。可绕轴线OOˊ 转动，在圆柱侧面上开有一与水平成=45o 角的螺旋槽,放一质量也为m 的小球于槽中,开始时小球由静止从柱顶端A 受重力作用下滑下，圆柱体同时发生转动，设各摩擦均不计，试求当小球滑落到圆柱体底部B 时，小球相对圆柱体的速度和圆柱体的角速度。

17．如图所示、圆柱体的轴固定不动，最初圆柱体是静止的，一质量为 m的木块以速率vo 无摩擦地向右滑动，它经过圆柱体而到达虚线所示的位置，当它和圆柱体接触时，它就在圆柱体上滑动。但因摩擦足够大，以至于在它刚和圆柱体停止接触时，它在圆柱体上的滑动就同时停止。设圆柱体半径为R 转动惯量为J, 求木块最后速率.。 18．如图所示：半径为r 的均质小球自半径为R 的大球顶部由静止开始受微小扰动而无滑地滚下，大球固定不动。试求小球开始脱离大球时的角度。

19．置于光滑水平面的均匀细长杆，与绕过杆心的竖直向上固定轴连结并可自由转动，杆长为L 质量为m, 质量也为m 的质点

以vo 速度在水平面上垂直于杆运动，碰撞到距杆的一端为 L41 的位置并粘在其上。求:

m v0 v 17题图

O R A m h

450 B O’ 16题图

r R θ

18题图

Oˊ V0

m O

19题图 （1）碰后杆绕固定轴的转动的角速度； （2）杆转动后，轴所受力的大小。 20．如图所示。质量为m 半径为r的实心球、由与固定环形轨道连接的直边一点从静止开始无滑动地滑下，环形轨道半径为R，R>r，求： （1） 至少应在轨道最低点A 以上什么位置(高度h) 将球放下，才能使小球滚到轨道最顶点C ? （2） 假定该小球从轨道最低点以上6R(h=6R)处从静止开始滚下，问在B处作用在小球上的力的水平分量为多少？B点与环形轨道中的O点在同一水平线上。

21．一质量为M半径为R均匀圆柱体，放在粗糙的水平面上，上面绕着细绳，现用水平力F0拉动细绳 ，使圆柱体在水平面上作无滑滚动。求： （1） 圆柱体的加速度； （2） 水平面对它的摩擦力。 22．一半径为R 的圆柱体。静止于小车内，圆柱与底板间有足够 的摩擦力，使得圆柱体在其上仅能做纯滚动，现使小车从静止开始以加速度a做匀加速运动，求柱体质心相对小于小车的加速度（只讨论柱体与车壁碰撞前的情况）。

23．如图所示、一质量为 m长为L 的细长杆可绕过杆一端的光滑固定轴O 在光滑水平面内自由转动,开始时，杆在水平面内处于静止状态，另一质量为 m的小球以初速度vo 垂直打杆的另一端点A 发生非完全弹性碰撞，恢复系数为e 。 求（1）碰后杆绕固定轴转动的角速度。

m C h O B A

20题图

a 22题图 O A

v0 m

23题图

F0

C

R 21题图 （2）小球的速度大小、方向。 24．如图置于水平光滑平面上的匀质细长杆，其质量为m 长为L, 此杆可绕过A 端的竖直固定转轴无摩擦地转动，杆处于静止状态，有一质量也为m 的质点以 速度vo 垂直地碰撞杆的B 端,设碰撞是完全弹性的.求: （1） 碰后杆绕轴转动的角速度。 （2） 碰后杆的转轴所受杆的作用力的大小和方向 。

25．在光滑水平面上有一长为L ，质量为m 的匀质细长杆、可绕中心 O垂直于水平面的轴自由转动，一质量为m 的质点在光滑水平面内垂直地碰撞杆的左端，速度为vo，，质点与杆的碰撞的恢复系数e=0·5 。求碰后杆绕轴转动的角速度及质点运动速度？

26．质量为M、半径为r的均质圆柱体放在粗糙水平面上，柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m 的物体，设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。求圆柱体质心的加速度，物体的加速度及绳中张力。

27．如图所示，均匀细长麦杆长为L ，可绕通过中心O 的固定水平轴在铅直面内自由转动，开始时麦杆静止于水平位置，一质

量与麦杆相同的甲虫以速度 vo垂直落到麦杆的41 长度处，落下后立即向端点爬去。试问 （1） 为使麦杆以均匀的角速度转动甲虫沿麦杆的爬行速度应是多少？ （2） 甲虫轨迹的参变方程是什么？ （3） 为使甲虫在麦杆转到铅直位置前能爬到端点，甲虫下落的速度vo的最高值是多少？

r M m

26题图

A B L V0

24题图 m

O v0

m

25题图

L/4 m v0

O 27题图