ANSYS-5-非线性有限元

图4-10 分离式单元 5.2.2 整体式整体式假定钢筋与混凝土之间粘结很好，无相对滑移，将钢筋、混凝土折算成一种材料，或综合计算钢筋混凝土结构的本构关系，再计算单元刚度。

本构矩阵： [][][]s c D D D +=单元平衡方程：{}[][][]{}[]{}ee eK dv B D B F δδ==⎰T 单元刚度： [][][][]dv s c e ⎰+=B D D B K T混凝土本构矩阵：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+--+-+--+-+-+-=)1(20)1(200)1(2000)21)(1()1(000)21)(1()21)(1()1(000)21)(1()21)(1()21)(1()1(υυυυυυυυυυυυυυυυυυυυυc c c c c c c c c c E E E E E E E E E D钢筋的本构矩阵：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=zsysxssEEEDρρρ式中，zyxρρρ,,—分别为沿x,y,z方向的配筋率。

特点：单元划分少，计算量小，适用于复杂配筋情况，实际工程多采用该模型。

缺点是无法分析研究钢筋与混凝土间的相互作用机理。

5.2.3 组合式组合式不考虑钢筋混凝土之间的相对滑移。

分别计算钢筋、混凝土对单元刚度的贡献，建立复合单元。

1．分层组合式单元构件纵向划分单元、再将单元沿横截面高度划分成混凝土条带和钢筋条带，假定条带上应力均匀分布。

分别计算单元混凝土和钢筋的刚度，然后求和。

图4-11 分层组合式单元2．带钢筋的四边形组合单元设任意四边形单元中包含1根钢筋，混凝土采用四边形单元，钢筋用杆单元，分别求出钢筋、混凝土对单元刚度的贡献。

四边形单元刚度：[][][]sce KKK+=（1）混凝土混凝土的单元结点位移：{}{}T e v u v u v u v u 44332211=δ 混凝土的单元结点力： {}{}T eY X Y X Y X Y X F 44332211=单元结点力与结点位移关系：{}[]{}ec eK F δ=四边形混凝土单元刚度矩阵： ⎰⎰--=1111d d ]][[][][ηξJ B D B t K Tc （2）钢筋 钢筋杆的刚度：钢筋两端A,B 的结点力和结点位移，{}[]T b b a a s Y X Y X F = {}[]T b b a a s v u v u =δ结点力和结点位移的关系，{}[]{}s s s F δK =钢筋杆局部与四边形节点的关系：钢筋两端点a,b 的位移与单元结点位移的关系，钢筋两端点a,b 的位移与两端点力的关系：{}[]{}δs eK F = 钢筋两端点a,b 的力与单元结点力的关系，{}[]{}s TeF R F =钢筋单元结点力与结点位移关系：{}[][][]{}[]{}es es TeK R K R F δδ==图4-12 带钢筋的任意四边形单元特点：单元数量少，单元刚度计算麻烦，无法揭示钢筋与混凝土间相互作用的细观机理。

§5-3 梁柱单元材料非线性刚度矩阵根据虚位移原理：结构外力在虚位移上所作的功等于内力在虚应变上所作的功。

(Real external load ) . (Virtual displacements) = ⎰v (Real stresses) . (virtual strains) d vorT d vv δδεσT ⋅=⋅⎰⎰⎰w p(5-1)式中，δεσT vv ⎰⎰⎰⋅d ── 内力在虚应变上所作的功；δw p ⋅──外力在虚位移上所作的功。

设梁单元节点位移如图5-1所示，单元内任意点的位移等于一组形函数与相应节点位移的乘积之和表示。

u w w ii i i T i ()(),,,,ξϕξϕ===∑17131415(5-2a)v w w jj j j T j ()(),,,,,ξϕξϕ===∑268121819(5-2b)}{}{}{}[][][]{}dA d d TTT y E y xB D B w x εT⋅⎰}{}{}{}()dA d Ty E y xεεT⋅⋅⎰是截面力列阵，则梁柱单元平衡方程为，p ── 节点外力；q ── 梁柱单元内截面力矢量；式(5-29)中，B 、q 都是单元位移的函数，对式（2-29）求变分，得， w q B B D B q B q B p δ+ε=δ+δ=δ⎰⎰⎰⎰)d d )((d d 2LTLt T LT LT x x x x(5-30a) 或w K p δ=δt(5-30b) 式(5-30)中，σ++=+ε=⎰⎰K K K q B B D B K 212d d )(x x TLt T t(5-30)是单元切线刚度矩阵，由材料非线性刚度矩阵K l ，几何非线性刚度矩阵K 2和几何刚度矩阵K 2三个矩阵的简单叠加构成。

§5-3 梁柱单元材料非线性刚度的积分1、单元积分梁柱单元割线刚度矩阵，⎰=Ls T s x d ])][([][][B D B K ε(5-17a)梁柱单元切线刚度矩阵，⎰=Lt T t x d ])][([][][B D B K ε(5-22)由于计算式复杂，无法得到刚度矩阵的显示表达式，采用高斯积分法。

沿梁柱单元取3-9个积分点计算单元刚度。

2、高斯积分法选高斯积分点，计算被积函数在积分点处的函数值，用相应的加权系数乘以函数值然后求和。

通过优化选择积分点（i x ）和权函数H i .图5-2 高斯积分1()()nbi i ai f x dx f x W ==∑⎰图5-3 梁柱单元的积分（1）一维高斯积分公式： 求区间[-1，1]的积分值，∑⎰=-==ni i i f H d f I 111)()(ξξξi i H ξ,分别是根据计算精度最高选定的。

积分点i ξ是勒让德多相式的根，加权系数i H 按下式计算：2'2)]()[1(2i n i i L H ξξ-= （2）二维高斯积分公式 先令η为常数，沿ξ方向积分，得ηξηξd d f I ⎰⎰--=1111),(再沿η方向积分，得，)(),(),(111ηφηξξηξ==∑⎰=-nj j j f H d f∑∑∑⎰===-===n i nj i j j i n i i i f H H H d I 11111),()()(ηξηφηηφ图5-7 等参单元表5-1 高斯积分公式中的积分点坐标和加权系数§5-5非线性平面单元 5.5.1 三结点三角形单元 三结点三角形单元关系：（1）单元结点位移与单元内任意点位移的关系：{}[]{}eN f δ=；（2）单元结点位移与单元应变的关系：{}[]{}e B δε= （5）单元应力与应变的关系：{}[]{}εσD = （4）单元应力与结点力的关系：{}[]{}e S δσ= （5）单元结点位移与结点力的关系：{}[]{}e e e K F δ=[N]—形函数；[B]—单元几何矩阵；[S]—单元应力矩阵；[K]—单元刚度矩阵。

图4-2 三角形单元结点力与结点位移1．位移模式取单元位移模式为线性函数：⎭⎬⎫++=++=yxvyxu654321αααααα2. 单元结点位移与单元应变的关系根据弹性力学中平面应力问题的几何关系{}[]{}eBδε=几何矩阵：[][]mjimmjjiimjimjiBBBbcbcbccccbbbAB=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=021[B]矩阵为常数，三角形单元内各点应变为常量。

3．单元应力与结点力的关系：{}[]{}eSδσ=弹性力学中平面应力问题的物理关系{}{}{}{}ee]S[]B][D[]D[δδεσ===4．单元结点位移与结点力的关系：{}[]{}eee KFδ=图4-5 三角形单元应力与虚位移单元结点位移与结点力的关系： {}{}{}ee T ][d d ]][[][δδe e K y x B D B t F ==⎰⎰式中，y x B D B t K e d d ]][[][][T⎰⎰=三角形单元的特点：容易进行网格划分和逼近边界形状；但单元内的应力、应变为常量，精度较低。

5.5.2 平面问题矩形单元 1．位移模式取单元位移模式为： ⎭⎬⎫+++=+++=xy y x v xy y x u 87654321αααααααα 8个结点位移解得8个待定常数81~αα。

图5-4 矩形单元2．几何矩阵：{}[]{}eBxvyuyvxuδε=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=5．应力位移关系：{}{}{}{}ee]S[]B][D[]D[δδεσ===4．单元结点位移与结点力的关系：{}{}{}eeT][dd]][[][δδee KyxBDBtF==⎰⎰式中，单元刚度矩阵：yxBDBtK e dd]][[][][T⎰⎰=矩形单元的特点：单元内的应力、应变为线性变化，较三角形单元精度高。

但不能适应斜边界和曲线边界。

5.5.3 四结点平面等参单元图5-5 平面四结点等参数单元——实际单元、母单元从坐标系（x0y）到坐标系(ξ0’η)的变换，使得x0y平面上的任意四边形转化成(ξ0’η)平面上的以原点为中心，母单元是边界为11±=±=ηξ,的正方形，两种单元的结点号一一对应。

1.等参元的位移模式:实际单元内任意点坐标与结点坐标关系: ∑∑====4141iiiiiiyNyxNx(4.52) 式中,()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+-=++=-+=--=ηξηξηξηξ11411141114111414321NNNN或()();,;,;,;,Niii11111111114144332211=-===-==-=-=++=ηξηξηξηξηηξξ(4.53) 母单元中的位移插值函数: ∑∑====4141iiiiiivNvuNu(4.54) 等参单元: 位移函数式与坐标变换式具有相同的构造,用完全相同的形函数()ηξ,Ni.2.等参元的几何矩阵(4.55)[B]中有形函数对整体坐标(x,y)的微分, N用(ξ,η)表示的,利用复合函数的微分,3.等参元的刚度矩阵][[T=][][xd]yDBK e dBt⎰⎰⨯=a=设: θsindA bab等参单元刚度矩阵: ⎰⎰--=1111dd]][][[][ηξJBDBK e表5-3§5-6 钢筋与混凝土之间的联结单元联结单元：考虑钢筋与混凝土单元之间的粘结、滑移及其界面性能的单元。

特点：沿着与联结面垂直方向传递压应力，沿着与联结面平行方向传递剪应力，但不能传递拉应力。

5.6.1 双弹簧联结单元在垂直于钢筋表面方向设置互相垂直的一组弹簧，它具有弹性刚度，但无实际几何尺寸，可放在需要设置联结的地方。