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2 磁介质中静磁场的基本定理

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文章来源：中国科学技术大学《电磁学》网络课程
§5-2 磁介质中静磁场的基本定理
一、高斯定理和环路定理
1、B所满足的两定理：
设由传导电流I0和磁化电流I产生的磁感应强度分别是B0和B，则总磁感应

强度为BBB0。0和BB均由真空中的毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律确定（为
什么？），因而它们均遵守真空中的高斯定理和安培环路定理：

S0dSB

0


S0dSB

LI00dlB0 



L
I0dlB

所以B满足

S0dSB
(1)



IIL000dlB

(2)

2、磁场强度：
为使安培环路定理不出现磁化电流，以方便计算，引入辅助矢量

MBH
0
μ

(3)

由式（2）和LIdlM可推出


LI0dlH
(4)

式（1）和（4）是一般磁介质中的高斯定理和安培环路定理。

二、介质的磁化规律
1、非铁磁性各向同性磁介质：
M和H之间满足线性关系

HMm
(5)
代入式（3）可得磁介质性能方程

0

BH

(6)

其中m为磁化率，1m为（相对）磁导率。
该类磁介质可分为三小类：
a)真空： 0,0,1mM。

b)顺磁质：40,1,10仅mm～510。
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c)抗磁质：50,1,10mm仅～710
2、非铁磁性各向异性介质：

0,,其中和mm

MHBH

均为对称二阶张量。

3、铁磁质：m很大，M与H关系同磁化历史有关。类似于铁电体的电滞回线，
铁磁质有磁滞回线。图a和b分别是硬磁材料和软磁材料的磁滞回线。

三、介质磁化的微观机制（经典）
1、分子固有磁矩：分子内全部电子磁矩矢量和，其中电子磁矩包括轨道磁
矩和自旋磁矩。（为什么可以忽略原子核磁矩？）
2、顺磁效应：若分子固有磁矩不为零，在无外磁场时，分子热运动使各分

子的磁矩取向不定，因而宏观磁矩为零。有外磁场时，分子受磁力矩mB分子，

使m分子有顺着外场方向排列的趋势，产生与外场方向一致的磁化强度（定量证
明见附件1）。
3、抗磁效应：无外磁场时，分子固有磁矩为零，在外场作用下，分了中每
个电子的轨道运动将受影响，而引起附加轨道磁矩，它总与外场反向，产生与外
场方向相反的磁化强度（定量证明见附件2）。
4、铁磁效应：系统的解释需要量子力学知识。铁磁质的磁性主要源于电子
的自旋磁矩。在无外磁场时，铁磁质中电子的自旋磁矩可以在小范围内自发排列，
形成自发磁化区——磁畴。它具有很强的磁化强度，但各磁畴方向不同，因而不
显示宏观磁性。在外磁场作用下，磁化方向与外磁场接近的磁畴会扩大疆界，直
至饱和，介质将显示很强的宏观磁性。

四、环路定理的应用举例
当磁场所在空间充满均匀各向同性介质，且电流分布（因而磁场分布）具有
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一维对称性时，可直接由安培环路定理求H，进而求B。
例1 求一电流为I的无穷长直导线在磁导率为的无限均匀介质中磁场分布。
[解]由对称性，B线是以长直导线为轴的圆，H只与r有关，所以
2LrHIHdl

,2IHr, 02IBr, 为真空中的倍。

例2 设匝数为N、电流为I、平均半径为R的细螺线环内填满磁导率为的均
匀各向同性磁介质，求管内磁感应强度的大小。
[解]对管内与环同轴的半径为R的圆形回路，有

2RHNI
，2NIHnIR，

0
BnI
，为真空中的倍。
以上两例的结果包含了一普遍结论，即无限均匀各向同性介质中的磁感应强度为
真空中的倍，原因是出现了与传导电流同方向的磁化电流：

00IIII 0
(1)II

*附1 顺磁效应的微观机制
设诸分子具有相同大小的固有磁矩0m，分子数密度为0n，0m的极角处于

～d，方位角任意的分子数密度为)(dn，0m方向角处于
～d，

～d之中的分子数密度为),(dn。
无外场时，),(dn=0sin4ndd，呈现各向同性分布。所以
2
0

0sin()(,)2nddndn


(7)

当存在外磁场B时，取B的方向为m0的z方向，则
()sinPEKTdnCed
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即呈玻尔兹曼分布，其中PE是分子在外磁场中的势能，
0cosPEmB0
mB
常温下PEkT，所以
0
cos()(1)sinmB
dnCdKT

由归一化条件

0
0

()ndn

求得0/2Cn
所以00cos()(1)sin2nmBdndKT （8）
于是
22
00000
0
0

cos()33nmnmMmdnBHKTKT

由对称性，M的方向与H一致，所以
2
000

3nmKT


MH

即
2
000

3mnmKT



（9）

可见磁化率与温度成反比，称为居里定律。
讨论：

a)在上述推导中假设kTBm0成立，所以磁场不能太强，温度不能过低。
b)实验表明，式（9）对气态顺磁质适用，但对某些液态和固态顺磁质不成
立。

（证明：当kTBm0不成立时，C的一般表达式为000csc2nmBmBChKTKT。）

*附2抗磁效应的微观机制
考虑一电子以角速度、轨道半径r绕核运动，则

轨道电流2/eI，轨道磁矩2/22erIrm，
其矢量形式为
2
/2ermω
。 （10）

在外磁场中的力矩
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LmB
（11）
作用下，该电子的轨道面绕B进动。通常外磁场作用远小于分子内的库仑作用，
以至进动角速度，因而近似有

2
e
mrLΩω

（12）

其中em为电子质量。将式（10）和（11）代入（12），可得

2eem
ΩB
（13）
可见，电子轨道面的进动角速度总与B平行，而与电子轨道取向及电子旋转
方向、快慢无关。但电子带负电，所以由进动产生的附加磁矩总反平行于B。
设电子轨道面各取向等几率，则电子在以r为半径的球面上等几率分布，形

成一均匀球面电荷，24ree。各种轨道取向的电子以进动的平均效应等
效于球面电荷以自转，其磁矩为（试计算之）
222
36eererm
mΩB
（14）

设抗磁质分子数密度为on，一个分子中有z个电子，则磁化强度
2222
000
0
66eenZernZernZmm


MmBH

其中2r为各种可能的电子轨道半径的方均根值。所以
2
2
00

6menZerm





（15）

与温度无关。式（15）与实验相当符合。

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大学物理磁学部分复习资料..

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41 磁 学基本内容一、稳恒磁场 磁感应强度1． 稳恒磁场电流、运动电荷、永久磁体在周围空间激发磁场。

稳恒磁场是指不随时间变化的磁场。

稳恒电流激发的磁场是一种稳恒磁场。

2． 物质磁性的电本质无论是永磁体还是导线中的电流，它们的磁效应的根源都是电荷的运动。

因此，磁场是运动电荷的场。

3． 磁感应强度磁感应强度B是描述磁场的基本物理量，它的作用与E 在描述电场时的作用相当。

磁场对处于其中的载流导线、运动电荷、载流线圈、永久磁体有力及力矩的作用。

可以根据这些作用确定一点处磁场的强弱和方向——磁感应强度B。

带电q 的正点电荷在磁场中以速度v运动，若在某点不受磁力，则该点磁感应强度B 的方向必与电荷通过该点的速度v平行。

当该电荷以垂直于磁感应强度B 通过该点时受磁力⊥F ，则该点磁感应强度大小qvF B ⊥=，且⊥F ，v ，B两两互相垂直并构成右手系。

二、毕奥—萨伐尔定律 运动电荷的磁场1． 磁场的叠加原理空间一点的磁感强度等于各电流单独存在时在该点产生磁感应强度的矢量和：∑=ii B B 可推广为 ⎰=B d B42B d是电流强度有限而长度无限小的电流元l d I 或电流强度无限小而空间大小不是无限小的元电流的磁场。

上式中矢量号一般不能略去，只有当各电流产生磁场方向相同时，才能去掉矢量号。

2． 毕奥—萨伐尔定律电流元l d I 在空间一点产生的磁场B d为： 304rr l d I B d πμ⨯= 大小： 02I sin(I ,r)dB 4r dl dl μπ∠=方向：B d 垂直于电流元l d I 与r 所形成的平面，且B d与l d I 、r构成右手螺旋。

3． 电流与运动电荷的关系导体中电荷定向运动形成电流，设导体截面积为S ，单位体积载流子数为n 。

每个载流子带电q ，定向运动速率为v ，则nqvS I =。

电量为q 的带电体作半径为R 、周期为T 的匀速圆周运动相当于半径为R 、电流强度T q I /=的圆电流，具有磁矩TqR I R p m 22ππ==。

磁场强度定律

磁场强度定律

5
三、磁感应强度
描述磁场性质的基本物理量。 描述磁场性质的基本物理量。 1.磁感应强度的定义 1.磁感应强度的定义
×
q
r v r
× ×
B
当把运动电荷放在磁场中后， 当把运动电荷放在磁场中后， × × × 它会受到一种与其速度有关的力， 它会受到一种与其速度有关的力， × r q 洛仑兹力。 这个力称为洛仑兹力 这个力称为洛仑兹力。 × r× ×v × 当电荷运动速度与磁场方向一 当电荷运动速度与磁场方向一 × B× × × 致时电荷受力为 0 。 当运动电荷速度ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ磁场方向垂直时受到洛伦兹力 fL 最大。 最大。 定义： 定义：磁感应强度
2
r θ Idl
∴ dl = a csc θdθ r = a csc θ
2
2
l o
r
θ1
r dB ⊗ P x
a
µ0 Ia csc θ sin θdθ µ0 I dB = = sin θdθ 2 2 4π a csc θ 4πa µ0 I θ 2 µ0 I (cosθ1 − cosθ 2 ) sin θdθ = B = ∫ dB = ∫θ1 4πa 4πa 10
2
一、磁的基本现象
1.磁铁及其特性 1.磁铁及其特性 人造磁铁： S 人造磁铁： 特性： 特性：
S
I
N
天然磁铁----磁铁矿（Fe3O4） 天然磁铁----磁铁矿（ ----磁铁矿 N
N
I
v F
S N S 能吸引铁、 镍等物质--这种性质叫磁性。 --这种性质叫磁性 1）能吸引铁、钴、镍等物质--这种性质叫磁性。 具有两极且同性相斥，异性相吸。 2）具有两极且同性相斥，异性相吸。 3)目前还无法获得磁单极。 3)目前还无法获得磁单极。 目前还无法获得磁单极
(完整版)有磁介质时磁场的计算

(完整版)有磁介质时磁场的计算

三、有磁介质时磁场的计算计算步骤：[例1] 均匀密绕的细螺绕环(环截面半径<<环半径)内充满均匀的顺磁质，磁介质的相对磁导率为μr 绕环有N 匝线圈， 线圈中通电流I 。

求环内的磁场强 度和磁感应强度。

解：·在环内任取一点P ，过P 点作一环路L 如图。

由对称形性知，L 上各点H 的大小相同，方向均沿切向；·由H 的环路定理，⎰ H ⋅d l = μ0NI 有 H ⋅2πr = μ0NI 得 ·因磁介质是均匀的顺磁质，其中B 0= μ0NI /2πr 是螺绕环内部为真空时，环内部的磁感强度。

可见，此题在充介质的情况下，磁感强度增大为环内为真空时的μr 倍。

[例2]一无限长直导线半径R 1，通电为I ，导 线外包有一圆柱状磁介质壳，设磁介质 为各向同性的顺磁质，相对磁导率为μr ，H =2πrμ0NIB =μ0μr H = =μr B 02πrμ0μr NI求：(1)磁介质内外的H 和B ； (2)磁介质表面的磁化电流。

解：(1)求H 和B ·求H ，磁介质壳内： 对称性分析→H 方向如图 取环路L ，由环路定理有 ⎰L H 内⋅d l =I H 内2πr = IH 内= I 2πr(R 1≤ r ≤R 2)j '外 断面图同样可得，磁介质壳外·求B ， 方向同H 磁介质壳内磁介质壳外(2)求磁化电流 ·求M ， 方向同H 磁介质壳内 M = (μr -1)H 内μ0I 2πrB 外=μ0 H 外=(=B 0)M =(μr -1)I 2πr (R 1≤ r ≤R 2)H 外= I 2πr(R 2≤ r ≤∞)μ0μr I2πr B 内=μ H 内= (>B 0)B 0=μ0I2πr—传导电流的场=μr B 0·求j ' ， 方向如图 磁介质外表面I '外= j '外(2πR 2) = (μr -1) I磁介质内表面I '内= j '内(2πR 1) = (μr -1) I I '内和I '外方向相反如图。

大学物理8-8有磁介质时的安培环路定理磁场强度

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例题8-8 在均匀密绕的螺绕环内充满均匀的顺磁介 质，已知螺绕环中的传导电流为 I ，单位长度内匝 数 n ，环的横截面半径比环的平均半径小得多，磁介 质的相对磁导率和磁导率分别为 r 和 。 求环内的 磁场强度和磁感应强度。 解：在环内任取一点， 过该点作一和环同心、 r 半径为 r的圆形回路。
§8-8 有磁介质时的安培环路定理磁场强度
一、磁化强度
反映磁介质磁化程度(大小与方向)的物理量。 磁化强度：单位体积内所有分子固有磁矩的 矢量和 m 加上附加磁矩的矢量和 m分子 ，称 分子 为磁化强度，用 M 表示。 m分子 m分子 均匀磁化 M V m分子 m分子 非均匀磁化 M lim V 0 V 磁化强度的单位： A/m
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0 H dl I
M ) dl I
有磁介质时的 安培环路定理
H
B
0
此式说明了介质中任一点磁场强度、 M 磁感应强度、磁化强度之间的普遍
关系，不论介质是否均匀。
实验证明：对于各向同性的介质，在磁介质 中任意一点磁化强度和磁场强度成正比。
R2
2 πr3 H d l H d l 0
即
H 0
0
I
I I
或
B0
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选择进入下一节 §8-0 教学基本要求 §8-1 恒定电流 §8-2 磁感应强度 §8-3 毕奥-萨伐尔定律 §8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理 §8-5 带电粒子在电场和磁场中的运动 §8-6 磁场对载流导线的作用 §8-7 磁场中的磁介质 §8-8 有磁介质时的安培环路定理 磁场强度 *§8-9 铁磁质