同步检测训练
一、选择题
1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23
＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )
A ．23
B ．6
C ．4 3
D ．12
答案：C
解析：(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长为4a ＝4 3.
本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质，难度中等． 2．(2009·安徽皖北联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为( ) A.33 B.32
C.22
D.23
答案：A
解析：由题意得|PF 2|＝b 2a |PF 1|＝2b 2a ，由椭圆定义得3b 2a
＝2a,3b 2＝3a 2－3c 2＝2a 2，则此椭圆的离心率e 为33
，故选A. 3．(2009·河南安阳)平面内有一长度为4的线段AB ，动点P 满足|PA |＋|PB |＝6，则|P A |的取值范围( )
A ．[1,5]
B ．[1,6]
C ．[2,5]
D ．[2,6]
答案：A
解析：由题意知P 的轨迹为椭圆，a ＝3，c ＝2，|PA |的取值范围为[a －c ，a ＋c ]即[1,5]，故选A.
4．(2009·湖北荆州质检)已知F 1、F 2为椭圆C ：x 2m ＋1＋y 2
m
1的两个焦点，P 为椭圆上的动点，则△F 1PF 2面积的最大值为2，则椭圆的离心率e 为( ) A.23 B.34
C.55
D.710
答案：C
解析：当P 为椭圆短轴端点时△F 1PF 2面积取最大值bc ，则m ＝4，e ＝55，故选C. 5．(2009·湖南株洲检测)已知椭圆x 24
＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，由MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )
A.233
B.263
C.33
D. 3 答案：B
解析：设M (x ，y )，则MF 1→＝(x ＋c ，y )，MF 2→＝(x －c ，y )，MF 1→·MF 2→＝x 2－c 2＋y 2＝x 2－3
＋y 2＝0，又x 24y 2＝1，则|x |＝263
，故选B. 6．(2008·温州十校)若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( )
A ．1 B. 2
C ．2
D ．2 2
答案：D
解析：椭圆的短轴端点和两个焦点为顶点的三角形面积最大．设长轴，短轴，焦距为
2a,2b,2c ，则bc ＝1，a 2＝b 2＋c 2≥2bc ＝2，a ≥2，2a ≥22，则椭圆长轴的最小值为22，
故选D.
7．(2008·衡水中学)设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M ，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率为( ) A.3－1 B ．2－ 3
C.22
D.32
答案：A
解析：由题意知∠F 1MF 2＝π2
，|MF 2|＝c ，|F 1M |＝2a －c ，则c 2＋(2a －c )2＝4c 2，e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1，故选A.
8．(2008·哈尔滨九中)设F 1、F 2为椭圆x 24
＋y 2＝1的两个焦点，P 在椭圆上，当△F 1PF 2的面积为1时，则PF 1→·PF 2→的值是( )
A ．0
B ．1
C ．2 D.12
答案：A
解析：设P (x ，y )，△F 1PF 2的面积＝12
×2c ×|y |＝1，c 2y 2＝1,3y 2＝1，PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝4－4y 2－c 2＋y 2＝4－c 2－3y 2＝0，故选A.
二、填空题 9．设椭圆x 225＋y 216
＝1上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足OM →＝12
(OP →＋OF →)，则|OM →|＝__________. 答案：2
解析：取右焦点F 1，由椭圆的定义得
|PF |=6，∴|PF 1|=4，OM 为△PFF 1的中位线，
∴|OM →|=2.
10．(2009·北京崇文3月)已知F (c,0)是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点，以坐标原点O 为圆心，a 为半径作圆P ，过F 垂直于x 轴的直线与圆P 交于A 、B 两点，过点A 作圆P 的切线交x 轴于点M .若直线l 过点M 且垂直于x 轴，则直线l 的方程为________；若|OA |＝|AM |，则椭圆的离心率等于________．
答案：x ＝a 2c ；22 解析：如下图，由射影定理得OA 2＝OF ·OM ，a 2＝c ·OM ，则直线l 的方程为x ＝a 2c
由|OA |＝|AM |得a 22c ＝c ，e ＝22，故填x ＝a 2c ；22
.
11．(2009·福建质检)已知椭圆C 1的中心在原点，焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点，焦点在x 轴上．小明从曲线C 1、C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y )，由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上，
1答案：x 212＋y 26
＝1 解析：椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上．则可推断(－2，0)、(0，6)只能是椭圆上的点，又由于椭圆的焦点在x 轴上，则(0，6)是椭圆短轴的端点，椭圆的方程为x 2a 2＋y 26
＝1，(－2，0)既不在椭圆上，也不在抛物线上，在剩余的4个点中有3个在y 轴右侧，说明抛物线的开口向右，另1个点必在椭圆上，求得a 2＝12，
则椭圆的方程为x 212＋y 2
6
＝1. 三、解答题
12.
(2008·吉林实验中学)如右图，已知椭圆x 2a 2+y 2b
2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .
(1)若∠F 1AB =90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→=2F 2B →，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，
所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .
