安培环路定理安培环路定理的严格证明(缩略图)在稳恒磁场中，磁场强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。
这个结论称为安培环路定理（Ampere circuital theorem）。
安培环路定理可以由毕奥－萨伐尔定律导出。
它反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。
目录按照安培环路定理，环路所包围电流之正负应服从右手螺旋法则。
安培环路定理应用如果闭合路径l包围着两个流向相反的电流I1和I2（如左图所示），这在下式中，按图中选定的闭合路径l 的绕行方向，B矢量沿此闭合路径的环流为如果闭合路径l包围的电流等值反向（如右图所示），或者环路中并没有包围电流，则：安培环路定理的证明(严格证明,大图见参考资料的链接)编辑本段安培环路定理的证明（不完全证明）以长直载流导线产生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性。
安培环路定理应用在长直载流导线的周围作三个不同位置，且不同形状的环路，可以证明对磁场中这三个环路，安培环路定理均成立。
取对称环路包围电流在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r 的圆形环路l，则在这圆周上任一点的磁感强度H的大小为其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则H与dl间的夹角，H沿这一环路 l 的环流为式中积分是环路的周长。
于是上式可写成为从上式看到，H沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I 有关，而与环路的大小、形状无关。
取任意环路包围电流在垂直于长直载流导线的平面内，环绕载流直导线作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。
在环路上任取一段线元dl，载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为H与dl的夹角为，则H对dl的线积分为直导线中心向线元的张角为，则有，所以有可见，H对dl的线积分与到直导线的距离无关。
那么B对整个环路的环流值为上述计算再次说明H的环流值与环路的大小、形状无关。
取任意环路不包围电流在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外侧作一条如下图所示的任安培环路定理应用意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。
在稳恒磁场中，磁场强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。
这个结论称为安培环路定理（Ampere circuital theorem）。
安培环路定理可以由毕奥－萨伐尔定律导出。
它反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。
目录2编辑本段安培环路定理的证明（不完全证明）以长直载流导线产生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性。
安培环路定理应用在长直载流导线的周围作三个不同位置，且不同形状的环路，可以证明对磁场中这三个环路，安培环路定理均成立。
3 取对称环路包围电流在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r 的圆形环路l，则在这圆周上任一点的磁感强度H的大小为其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则H与dl间的夹角，H沿这一环路 l 的环流为式中积分是环路的周长。
于是上式可写成为从上式看到，H沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I 有关，而与环路的大小、形状无关。
4 取任意环路包围电流在垂直于长直载流导线的平面内，环绕载流直导线作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。
在环路上任取一段线元dl，载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为H与dl的夹角为，则H对dl的线积分为直导线中心向线元的张角为，则有，所以有可见，H对dl的线积分与到直导线的距离无关。
那么B对整个环路的环流值为上述计算再次说明H的环流值与环路的大小、形状无关。
5 取任意环路不包围电流在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外侧作一条如下图所示的任安培环路定理应用意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。
以载流直导线为圆心向环路作两条夹角为的射线，在环路上截取两个线元和。
和距直导线圆心的距离分别为和，直导线在两个线元处的磁感强度分别为和。
从上图可以看出，而。
利用安培环路定理的证明之二的结论可知6 结论所以有从载流直导线中心O出发，可以作许多条射线，将环路分割成许多成对的线元，磁感强度对每对线元的标量积之和，都有上式的结果，故即环路不包围电流时，B的环流值为零。
载流线圈和有限长直螺线管磁场的理论分析与讨论陈学文; 吴莲; 张家伟; 吴婷; 谢腾辉【期刊名称】《《大学物理》》【年(卷),期】2019(038)010【总页数】5页(P23-27)【关键词】毕奥-萨伐尔定律; 载流圆线圈; 长直螺线管; Mathematica【作者】陈学文; 吴莲; 张家伟; 吴婷; 谢腾辉【作者单位】重庆科技学院数理与大数据学院重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O4-1毕奥-萨伐尔定律是研究计算载流导线在空间激发磁场的最基本公式. 由于该定律涉及到矢量叉乘,因而学生在利用此公式计算载流导线在空间磁场分布时觉得很难. 对于一般工科“大学物理”教学过程中，对于载流圆线圈和长直螺线管，仅仅讨论了它们中心轴线上的磁感应强度. 而在后续关于“互感”的教学中，涉及到将一个半径较大的线圈产生的磁场穿过同轴共面的载流小线圈时，将其看作是均匀磁场来处理；在“大学物理实验”中“螺线管磁场测量”实验中，将有限长螺线管内部某一区域看作均匀磁场的问题. 学生在遇到此类问题时有时会觉得疑惑，因而有必要从理论上分析作这样的处理的合理性.关于载流圆线圈在空间的磁感分布，学术界利用不同的数学处理方法对此问题做了研究. 文献[1]具体讨论了环形电流平面内的磁场分布，并将磁场分布的积分化成了两类椭圆积分. 文献[2]基于文献[1]的结果对圆形电流所在平面产生的磁场作了数值计算，利用Mathematica描绘了磁场分布. 文献[3]将环形电流在空间磁场分布的被积函数的分母部分化成了(1+x)α类型的级数展开处理. 文献[4]讨论了环形载流圆盘在空间产生的磁场.本文在不超出工科学生所学的大学物理知识范围情况下，利用毕奥—萨伐尔定律和矢量叉乘的相关知识，首先讨论了单个载流圆线圈在空间任意一点的磁感应强度，通过相应的分析计算，得到了磁感强度的解析结果；并利用Mathematic中的StreamPlot命令描绘了磁感线分布的示意图. 本文还针对载流圆线圈所在圆面上的磁感强度这一特殊情况作了数值计算，结果显示在半径为0.1R范围内，磁感强度几乎不变. 在此基础上，本文讨论了长直螺线管在空间任意一点的磁感强度分布，通过数值计算分析了其磁场分布的均匀区，同时也利用Mathematic中的StreamPlot命令描绘了其磁感线分布的示意图. 最后，本文结合大学物理和大学物理实验中的相关问题作了讨论.1 载流圆线圈空间磁感应强度的分布图1给出了半径为R电流沿逆时针方向载流为I的圆线圈空间任一点磁场计算的示意图．图中载流圆环的圆心处为坐标原点，载流圆环位于Oxy平面内，P(x,y,z)点为所选任场点，P点在Oxy平面上的投影点的坐标为(dcos α,dsin α)，α为任意角度．载流线元Idl在P点产生的磁感应强度由毕奥—萨伐尔定律dB=μ0Idl×r/4πr3给出．图1 半径为R的载流圆线圈空间磁感应强度示意图图中，载流元Idl与x轴的夹角为β+π/2，因而dl=Rdβ(cos βj-sin βi)；Idl到P点距离为r=(dcos α-Rcos β)i-(dsin α-Rsin β)j+zk运用矢量叉乘，可得dl×r=Rdβ{zcos βi+zsin βj-[R-dcos (β-α)]k}(2)将式(2)代入毕奥-萨伐尔定律并积分，可得P点磁感强度的沿x、y、z方向分量分别为(3)令β-α=θ，有d(β-α)=dθ．再利用关系式可将式(3)表示成(4)式(4)便是半径为R、载流为I的载流圆线圈在空间任意点的磁场分布．需要说明的是，由函数奇偶性分析可得式(4)中关于sin θ项的积分为0．若将磁感强度的x分量和y分量变换到径向和法向，可得其法向分量Bφ=-Bxsin α+Bycos α=0，其径向分量Br=Bxcos α+Bysin α为(5)通过以上分析可得载流圆线圈在空间的磁场分布只沿轴向(z方向)和径向有分布，轴向磁感强度Bz由(4)式给出，径向磁感强度Br由(5)式给出．关于Br和Bz的积分，文献[1]针对z=0的情况，通过变量替换将上述积分化成椭圆积分，文献[3]将被积函数分母用级数展开再进行积分，但没有将Br和Bz的最终结果表示成一个简洁的形式．令k=2Rd/(z2+R2+r2)，可将(5)式化成将cos θ(1-kcos θ)-3/2用泰勒级数展开:(7)可将Br表示成(8)再利用积分关系式(9)最终可得载流圆线圈磁场的径向分布(10)经过同样的处理，也可得到P点磁感强度沿轴向分量为(11)此外，对于式(3)和式(5)的积分也可直接利用Mathematic作解析计算，积分结果为超几何函数表示[5]．图2给出了利用Mathematic软件中的StreamPlot命令描绘出的半径R=1的载流圆线圈磁感线分布剖面图的示意图．在Mathematica中输入如下命令：StreamPlot[{x,-2,2},{y,-2,2}]便可得到图2所示的磁感线分布示意图.载流圆线圈的电流分布具有轴对称性，它在空间激发的磁场也具有轴对称性.图2 载流圆线圈磁感线分布剖面图 (线圈半径R=1)对于载流圆线圈圆面类内一点(z=0)磁感应强度，通过矢量叉乘分析或者式(3)可以得到沿径向分量为0，即载流圆线圈圆面上的磁感强度沿z轴方向．基于式(11)的数值结果，表1给出了载流圆线圈圆面上一点的磁感应强度大小随该场点到圆心距离d的变化；图3给出了载流圆线圈圆面上(z=0)的磁场大小与圆心处磁感强度大小比值的分布．从表1和图3可看出，载流圆线圈圆面上的磁感应强度大小从圆心处向外是逐渐增加的，但在0到0.2R范围内，磁感强度的大小的增加非常缓慢；在距离圆心0.1R的范围内，B的大小与圆心处相比，相对变化不超过0.76%．图3 载流圆线圈圆面上磁感应强度分布表1 载流圆线圈圆面上的磁感应强度随r的变化(取圆心处磁感强度Bz(0)=1 T)r00.1R0.2R0.3R0.4RBz(r)/T1.0001.0081.0311.0741.141r0.5R0.6R0.7R0.8R0.9 RBz(r)/T1.2461.4111.6922.2573.9262 有限长直螺线管磁场分布直螺线管磁场分布在“大学物理”和“大学物理实验”中均是十分重要的内容，已有文献从不同方面对此作了研究．文献[6]将载流圆线圈等效成正K边形，利用Math Lab软件模拟了有限长通电螺线管内部的磁场；文献[7]将螺线管磁场分布的积分表达式展开成级数求和的方式进行计算，并利用DigitaMicrographTM软件模拟了有限长螺线管磁场的全场分布．以上两种处理方法为了简化磁感强度的积分计算而做了某种等效近似．文献[8]通过求解磁矢势和磁感强度磁矢势的关系得到了磁感强度的解析表达式，以贝塞尔函数的形式给出．磁矢势和贝塞尔函数已超出了一般工科专业本科生的物理和数学要求.本文基于载流圆线圈的结果来得到有限长直螺线管在空间的磁场分布．图4给出了一长为l，半径为R的载流密绕直螺线管的剖面示意图，单位长度上的匝数为n，通有电流I．图4 螺线管剖面示意图由于螺线管是密绕的，所以每匝线圈可近似当做闭合圆形电流.于是空间一点P处的磁感应强度可以看做是nl匝圆载流线圈在该点各自激发的磁感应强度的叠加.设螺线管的中点为坐标原点，若要图中一点P (P点到螺线管轴线的垂直距离为r，P 在z轴上的投影点距离坐标原点为z)处的磁感应强度.在螺线管上长为dz′的一小段，匝数为ndz′，这一小段载流圆线圈相当于通有电流为Indz′的圆形线圈元，该线圈元到P点的距离为z′-z.根据式(3)和式(5)可得，载流线圈元在P点激发的磁感强度径向和轴向分量分别为(12)(13)整个螺线管在P点产生的磁感强度的径向和轴向的分别为(14)(15)图5 直螺线管磁感线分布剖面图(l=8R)上述二重积分中关于dθ的积分可参考式(10)和式(11)，但关于dz的积分十分复杂，原函数已不能用解析函数表示，本文利用Mathematic做数值积分．对于有限长螺线管，其中心轴线上中点的磁感强度大小B0=μ0nIl/(l2+4R2)1/2，小于无限长直螺线管内部磁场B=μ0nI．图5给出了利用Mathematic软件中的StreamPlot命令描绘出的半径R=1，螺线管长度l=8R的直螺线管磁感线分布剖面图的示意图．螺线管电流分布具有轴对称性，因而其在空间激发的磁场也具有轴对称性．表2和表3以螺线管长度是其直径的5倍为例，给出了空间一点的磁感应强度的轴向分量和径向分量随空间位置的变化(取螺线管中心处B(0,0)=1T)．需要说明的是，表2中当z=±5R时对于不同的径向距离，Bz(r,z)的值在小数点后面第六位才有变化，因而看起来是一样的．磁场分布的均匀度用和两个参数来描述，从表2和表3中可以看出：1) 在螺线管内部r<R 和-2R≤z≤2R范围内,δ≤1.15%，ε≤0.59%，均匀性很好；2)在螺线管内部r<R和-3R≤z≤3R范围内，δ≤3.80%，ε≤1.68%，均匀性较好；3) 在整个螺线管内部沿径向磁感强度大小缓慢增加，但变化十分微小；4) 在螺线管外部靠近螺线管中间位置的地方，磁感强度的大小虽然不为零，但也非常小．表2 螺线管沿轴向磁场分布(取Bz(0, 0)=1T)Bz(r,z)/Tz=0z=±1Rz=±2Rz=±3Rz=±5Rr=01.00000.99760.98850.96200.50 74r=0.2R1.00000.99780.98870.96260.5074r=0.4R1.00020.99790.98910.964 20.5074r=0.6R1.00040.99820.98980.96670.5074r=0.8R1.00070.99860.9909 0.97000.5074r=0.99R1.00100.99910.99190.97360.5074r=1.01R-0.019-0.021-0.028-0.046-0.003表3 螺线管沿径向磁场分布(取Bz(0, 0)=1T)Br(r,z)/Tz=0z=1Rz=2Rz=3Rz=5Rr=000000r=0.2R00.00050.00150.00440.0 517r=0.4R00.00100.00290.00860.1087r=0.6R00.00140.00420.01230.1798r= 0.8R00.00190.00540.01550.2915r=0.99R00.00220.00640.01770.7631r=1.01R00.00230.00640.01790.75713 讨论大学物理中有这样一个例子[9]：现有一圆形线圈C1由50匝表面绝缘的细导线绕成，圆面积为S= 4.0 cm2．将此线圈放在另一个半径为R=20 cm的圆形大线圈C2的中心，两者同轴，大线圈由100匝表面绝缘的导线绕成，求这两线圈的互感M.在解答这个习题时, 将C2在C1平面内所产生的磁场，看作是量值上等于C2在圆心处所产生磁感应强度的一个匀强磁场来处理．学生对此处理方法往往觉得困惑．通过本文的分析可以知，小线圈C1的半径r=0.0565R，Bz(0.0565R)=1.00239B0，因而认为穿过C1的磁场看作均匀磁场是合理的．有限长直螺线管内部磁场的测量是大学物理实验中十分重要的一个电磁学实验[10]，其主要目的是测量螺线管内部磁场的均匀区和边界点(即磁感应强度下降到中心磁感强度一半的地方) ．学生实验中沿着螺线管的中心轴线测量，“在螺线管内部偏离螺线管中心轴线的位置，磁感强度是否和中心轴线上一样？”是部分学生的疑问．通过上一节的分析可知(见表4和表5)，在螺线管内部并不是严格的均匀磁场：在中心轴线上(r=0)，磁场只沿轴向，当偏离中心轴线时(r>0)，磁感强度的轴向分量随着r的增加而缓慢增加；磁感强度的径向分量也逐渐增加，且在越靠近螺线管端口的地方，增加越快．但正如前文讨论，在螺线管内部确实存在一段均匀性很好的均匀磁场区域．如果在大学物理课堂上在不超出学生知识水平前提下适当增加对螺线管在全空间磁场分布的分析讲解，对于学生加深对知识的理解和对后续实验的指导是有帮助的．4 总结在本文中，作者分析了载流圆线圈和长直螺线管在空间的磁场分布.在分析计算过程中，利用毕奥—萨伐尔定律以及高等数学中的矢量叉乘相关知识，获得了磁感强度在空间分布的积分形式．针对单个载流圆线圈，给出了其磁感强度的解析表达式，针对有限长直螺线管，限于理工类本科生的实际知识水平，本文并未过多讨论其积分的解析计算，而是直接借助于Mathematic对积分作了数值计算，定量地说明了磁感应强度以及其径向分量和轴向分量的分布，有助于学生理解基础知识；此外，通过Mathematic软件的StreamPlot命令绘制磁感线分布的示意图，也可加深学生相关知识的直观理解.最后，本文利用本结果分析了“大学物理”和“大学物理实验”中相关问题，解释说明了书中处理方式的合理性．【相关文献】[1] 孙爱良. 环形电流平面内的磁场[J].兰州铁道学院学报. 1999, 18(1): 98-101．[2] 廖其力, 余艳, 邓娅, 等. 用Mathemaica研究环形电流平面内磁场[J]. 广西物理. 2016, 37(1): 54-56.[3] 王晓颖, 李武军. 载流圆环空间磁场分布的研究[J]. 西安工业学院学报. 2004, 24(3): 292-295.[4] 庞成群, 刘松红, 梁衡. 圆环电流圆盘在空间中产生的磁场[J]. 洛阳师范学院学报. 2013, 32(8): 28-30.[5] 王竹溪, 郭敦仁. 特殊函数概论[M]. 北京：北京大学出版社, 2000.[6] 蔡旭红, 李邵辉. 有限长密绕螺线管内部磁场的模拟[J]. 汕头大学学报(自然科学版)， 2004,19(2): 28-31.[7] 任俊刚, 赵春旺. 有限长螺线管磁场的全场分布[J]. 物理通报， 2010(10): 23-25.[8] 丁健. 载流有限长密绕螺线管的磁场分布[J]. 大学物理， 2009, 28(8): 28-30, 34.[9] 马文蔚, 周雨青, 解希顺. 物理学教程[M]. 北京：高等教育出版社, 2006.[10] 秦先明. 大学物理实验[M]. 北京：高等教育出版社, 2016.。
