人教新课标版数学高二-高中数学(人教B版)必修5训练 数列的综合应用

第二章 2.3 第4课时 一、选择题 1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( ) 1 2 12 1

a b c A．1 B．2 C．3 D．4 A

由题意知a＝12，b＝516，c＝316，故a＋b＋c＝1.

2．若Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2，则{an}是( ) A．等比数列，但不是等差数列 B．等差数列，但不是等比数列 C．等差数列，但也是等比数列 D．既不是等差数列，又不是等比数列 B Sn＝n2，Sn－1＝(n－1)2(n≥2)， ∴an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)， 又a1＝S1＝1满足上式，∴an＝2n－1(n∈N*)

∴an＋1－an＝2(常数)

∴{an}是等差数列，但不是等比数列，故应选B．

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( ) A．6 B．7 C．8 D．9 A 设等差数列的公差为d，由由a4＋a6＝－6得2a5＝－6， ∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2，

∴Sn＝－11n＋nn－12×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，故当n＝6时Sn取最小值，故选A．

4．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝( ) A．7 B．8 C．15 D．16 C 设等比数列的公比为q，则由4a1,2a2，a3成等差数列，得4a2＝4a1＋a3， ∴4a1q＝4a1＋a1q2，又∵a1＝1，

∴q2－4q＋4＝0，q＝2.

∴S4＝a11－q41－q＝15. 5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( ) A．13 B．35 C．49 D．63 C ∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，

∴S7＝7a1＋a72＝49. 6．在数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5( ) A．成等差数列 B．成等比数列 C．倒数成等差数列 D．不确定 B 由题意，得2a2＝a1＋a3，

a23＝a2·a4， ① 2a4＝1a3＋1a5

. ②

∴a2＝a1＋a32，代入①得，a4＝2a23a1＋a3 ③

③代入②得，a1＋a3a23＝1a3＋1a5，∴a1a23＋1a3＝1a3＋1a5， ∴a2

3＝a1a5.

二、填空题 7．(2014·天津理，11)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．

－12 本题考查等差数列等比数列综合应用，由条件： S1＝a1， S2＝a1＋a2＝a1＋a1＋d＝2a1－1， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝4a1＋6d＝4a1－6， ∴(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，

即4a21＋1－4a1＝4a2

1－6a1，

∴a1＝－12.

8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________. 24 设等差数列的首项为a1，公差为d， 则a2＋a4＋a9＝3a1＋12d，又S9＝72，

∴S9＝9a1＋12×9×8×d＝9a1＋36d＝72，

∴a1＋4d＝8，

∴a2＋a4＋a9＝3(a1＋4d)＝24.

三、解答题 9．(2013～2014学年度贵州遵义四中高二期中测试)已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)求a1＋a4＋a7＋a10＋…＋a3n－2. (1)设公差为d，由题意，得 a211＝a1·a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)， 又a1＝25，解得d＝－2或d＝0(舍去)． ∴an＝a1＋(n－1)d＝25＋(－2)×(n－1)＝27－2n.

(2)由(1)知a3n－2＝31－6n， ∴数列a1，a4，a7，a10，…，是首项为25，公差为－6的等差数列．

令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2

＝n25＋31－6n2＝－3n2＋28n.

一、选择题 1．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地

满足Sn＝n90·(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( ) A．5月、6月 B．6月、7月 C．7月、8月 D．8月、9月 C

设第n个月份的需求量超过1.5万件．则Sn－Sn－1＝n90(21n－n2－5)－n－190＞1.5， 化简整理，得n2－15n＋54＜0，即6＜n＜9.∴应选C． 2．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3

＋…＋log2a2n－1＝( )

A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 C 由已知，得an＝2n，log2a2n－1＝2n－1， ∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.

3．等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1等于( ) A．65 B．56 C．20 D．110 B 由题意知：S奇＝a1·a3·…·a2n＋1＝100，

S偶＝a2·a4·…·a2n＝120， ∴S奇S偶＝a3·a5·…·a2n＋1a2·a4·…·a2n·a1＝a1·qn＝an＋1，

∴an＋1＝100120＝56.

4．已知数列{an}的首项a1＝2，且an＝4an－1＋1(n≥2)，则a4为( ) A．148 B．149 C．150 D．151 B ∵a1＝2，an＝4an－1＋1(n≥2)，∴a2＝4a1＋1＝4×2＋1＝9，a3＝4a2＋1＝4×9＋1＝37，a4＝

4a3＋1＝4×37＋1＝149. 二、填空题 5．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则ax＋cy的值__________． 2 b2＝ac,2x＝a＋b,2y＝b＋c，

∴ax＋cy＝2aa＋b＋2cb＋c

＝2ab＋4b2＋2bca＋bb＋c＝2ba＋2b＋cba＋2b＋c＝2. 6．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… 按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________． n2－n＋62

前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即n2－n2个，因此第n行从左向右的第3个数是

全体正整数中第n2－n2＋3个，即为n2－n＋62.

三、解答题 7．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4. (1)求{an}的通项公式； (2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn. (1)设公比为q(q>0)， ∵a1＝2，a3＝a2＋4，

∴a1q2－a1q－4＝0，

即q2－q－2＝0，解得q＝2， ∴an＝2n.

(2)由已知得bn＝2n－1， ∴an＋bn＝2n＋(2n－1)， ∴Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)

＝21－2n1－2＋[1＋2n－1]n2

＝2n＋1－2＋n2.

8．(2013～2014学年度安徽宿州市泗县双语中学高二期末测试)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an

＋2n.

(1)设bn＝an2n－1.证明：数列{bn}是等差数列． (2)求数列{an}的前n项和． (1)∵an＋1＝2an＋2n，

∴an＋12n＝an2n－1＋1，即bn＋1＝bn＋1，

∴bn＋1－bn＝1.

故数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．

(2)由(1)知bn＝n，∴an＝n·2n－1. Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1， 2Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n， 两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n

＝1－2n1－2－n·2n