二次根式复习讲义
知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：
形如√a （a ≥ 0）的式子叫二次根式，其中 a 叫被开方数，只有当 a 是一个非负数时，√a 才有意义． 【典型例题】 【例1】下列各式1） 1,2） -5,3）- x 2
+2,4） 4,5） （-1）2
,6） 1-a ,7） a 2
-2a +1，
其中是二次根式的是 _________ （填序号）． 举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A 、 a
B 、 -10
C 、 a + 1
D 、 a + 1
2、在 a 、 a 2b 、 x +1、 1+x 2 、 3中是二次根式的个数有 __________________ 个.
举一反三：
1、使代数式 x -3 有意义的x 的取值范围是（ ）
x -4 A 、 x>3
B 、 x ≥ 3
C 、 x>4
D 、 x≥ 3 且 x ≠4
2、如果代数式 - m + 1 有意义，那么，直角坐标系中点 P （m ，n ）的位置在（
）
mn
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限 【例3】若y= x -5+ 5-x +2009，则x+y=
x -50
解题思路：式 子 a （a≥0）， , x = 5，y=2009，则 x+y=2014 5-x 0
举一反三：
1、若 x -1- 1-x =（x +y ）2，则x －y 的值为（
）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y= 2x -3+ 3-2x +4，求xy 的值
例2】若式子
1
x -3
有意义，则 x 的取值范围是 ．
【例4】已知a 是 5整数部分，b 是 5的小数部分，求a + 1 的值。 b +2
举一反三：
1、若 3的整数部分是a ，小数部分是b ，则 3a -b =
。
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】 1. 非负性： a(a 0) 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2. ( a)2 = a(a
0) ． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代
数式写成完 全平方的形式： a =( a)2(a
0)
注意：(1)字母不一定是正数．
2)能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
3)可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式 a 2 =|a|=
与( a)2 = a(a
0)的区别与联系
-a(a 0)
(1) a 2 表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． (2)( a )2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． (3) a 2 和( a)2 的运算结果都是非负的． 典型例题】 题型一：二次根式的双重非负性
例5】若
a -2 +
b -3+(
c -4) =0
，则
a -
b +
c =
．
举一反三：
1、若 m -3+(n +1)2 = 0，则m +n 的值为 。
二次根式的性质2 （公式（ a ）2 =a （a
0）的运用）
【例6】 化简： a -1+（ a -3）2的结果为（
）
A 、4—2a
B 、0
C 、2a —4
D 、4
举一反三：
a(a 0) -a (a 0)
1、在实数范围内分解因式：x4-9 = __________ ,x2-2 2x + 2 = ___________
二次根式的性质 3 （公式a2= a = a（a 0）的应用）
- a（a 0）
【例7】已知x2,则化简x2-4x+4的结果是（）
A、x-2
B、x+2
C、-x-2
D、2- x
举一反三：
1、根式（-3）2的值是（）
A．-3 B．3 或-3 C．3 D．9
2、若a－3<0，则化简a -6a+9+ 4-a的结果是（）
（A）－1 （B） 1 （C） 2a－7 （D） 7－2a 【例8】如果表示 a，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+ （a+b）2的结果等于（）b a o
A ．－ 2b
B ． 2b
C ．－ 2a D． 2a
举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简：a-1+ （a-2）2= _______ ．a
- 1 0 1 2 【例9】化简1-x - x2-8x +16的结果是2x-5，则x的取值范围是（）
（A）x为任意实数（B）1 ≤x≤4 （C）x≥1（D）x≤1
举一反三：若代数式（2-a）2+ （a-4）2的值是常数2，则a的取值范围是（）
（A）a≥4 （B）a≤2 （C）2≤a≤
4 （D）a =2或a=4
A) - a - 2 (B) - - a - 2 (C) a - 2 (D) - a - 2例 10】化简二次根式a的结果是（
