9-2线性系统的可控性与可观测性

1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
25
2）当 s 3 5 时，有
rank sI A B =rank 5 0 0 0 1 1 5 1 0 4 0 0 1 0 2 0 0 1 0 4 1 0
r4 r3
1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
22
行列式求解方法
利用行列式性质得到某行（列）仅有一个非零元素再进行展开。
3
2
5
3 2
5
2 0 5 2 0 5 3 2 6 6 0 11
3
9.2.1． 可控性定义
1．状态可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
如果对取定初始时刻 t 0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1 Tt , t1 t 0 和一个无约 束的容许控制u(t)， t [t 0 , t1 ] ，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
4
2．系统可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
如 果 状 态 空 间 中 的 所 有 非 零 状 态 都 是 在 t0 （ t 0 Tt ）时刻可控的，则称系统在时刻t0是
完全可控的，简称系统在时刻 t0 可控。若系
统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致
2
例9-9：给定系统的状态空间描述为
x1 4 x 0 2 0 x1 1 u 5 x2 2
y 0
x1 6 x2
图1 系统结构图
结构图表明：通过控制量 u可以控制状态 x1和x2，所 以系统完全能控；但输出 y只能反映状态变量 x2，不 能反映状态变量x1，所以系统不完全能观测。
0 1 0 0 0 0 1 0 rank sI A B rank 0 0 0 1 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 1 0 rank 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 1 0 4 0 1 3 0 0 1
4 2 1 3 2 5 S 1 1 2 2 4 4 1 1 2 2 4 4
矩阵S的第二行与第三行线性相关，
故rankS =2＜3，系统不可控。
16
3．PBH秩判据（※）
线性定常系统
x(t ) Ax(t ) Bu(t ) x(0) x0 t 0
2。秩判据（※）
线性定常系统
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
完全可控的充分必要条件是
x(0) x0
n 1
t 0
rank B AB
A B n
An 1 B 称
S 其中: n为矩阵A的维数， B AB 为系统的可控性判别阵。
注：秩判据是一种比较方便的判别方法。
A 2A I
2
A AA 2 A A 2(2 A I ) A 3A 2I
3 2 2
A AA 3A 2 A 3(2 A I ) 2 A 4 A 3I
3 2
根据数学归纳法有
A kA (k 1) I
k
所以：
A
100
100 200 99 0 100 A 99I 0 100 0 99 1 200 0 1 13
统在[t0, ∞)内是完全可观测的。
8
2．系统不可观测
对于线性时变系统
x A(t ) x, y C (t ) x x(t0 ) x0 t0, t Tt
如果取定初始时刻 t0 Tt ，存在一个有限时刻t1 Tt , t1 t0 , 对于所有 t t0 , t1 ，系统的输出y(t)不能唯一确定所有状 态的初值xi(t0)，i=0,1,…,n，即至少有一个状态的初值不 能被y(t)确定，则称系统在[t0, t1]内是不完全可观测的， 简称不可观测。
s 1 0 0 0 0 s 1 0 1 sI A B 0 0 s 1 0 0 0 5 s 2 1 0 1 0
24
2 特征方程： det(sI A) s (s 5)(s 5) 0
解得A的特征值为： 1 2 0, 3 5, 4 5 1）当 s 1 2 0 时，有
17
初等变换求矩阵的秩 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 设 A , 求矩阵 A 的秩 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
阶梯形矩阵： 解 对A作初等行变换，变成行
m
1 2 100=? 453页例9-11：已知 A ，计算 A 0 1
解：A的特征多项式为：
(s) det(s I A) s 2s 1
2
由凯莱-哈密顿定理，得到
( A) A 2 A I 0 A 2 A I
2
2
12
故
4
x1 1 3 2 x1 2 1 x 0 2 0 x 1 1 u1 2 2 u 2 x 0 1 3 x 1 1 3 3
解：
9.2 线性系统的可控性与可观测性
在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容是关 于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、可 观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后证明 这是系统的两个基本结构属性。
1
一．可控性与可观测性的物理概念
系统的可控性和可观性，就是指系统内的所有 状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。
21
1 6 4 1 4 r3 3r2 0 4 3 1 1 r4 4r2 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8
6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
完全可控的充分必要条件是：对矩阵A的所有特 征值 i (i 1, 2, , n) ，
rank i I A B n i 1,2, s C ,n
均成立，或等价地表示为
rank sI A B n,
注：当系统矩阵A的维数较高时，应用秩判据可能不 太方便，此时可考虑用PBH判据试一下。
可控的。
5
3．系统不完全可控
对于线性时变系统
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
取定初始时刻 t 0 Tt ，如果状态空间中存在一 个或一些非零状态在时刻 t0 是不可控的，则称 系统在时刻 t0 是不完全可控的，也称为系统是 不可控的。
6
4．状态可达与系统可达
对于线性时变系统
x A(t ) x B(t )u x(t0 ) x0 t Tt
若存在能将状态 x(t0)=0 转移到 x(tf)=xf 的控制作用，
则称状态 xf 是 t0时刻可达的。若 xf对所有时刻都是
可达的，则称状态 xf 为完全可达到或一致可达。 若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻t0可 达的，则称该系统是t0时刻完全可达的，或简称系 统是t0时刻可达的。
9
9.2.3 线性定常连续系统的可控性判据(※)
一、线性定常连续系统的可控性判据（※）
1．格拉姆矩阵判据 线性定常系统 x(t ) Ax(t ) Bu(t ) 刻t1>0，使如下定义的格拉姆矩阵： 为非奇异。
W [0, t1 ] e
0 t1 At
x(0) x0
t 0
完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时
如果系统内部的所有状态的运动都可由输入来影响 和控制而由任意的初始状态达到原点，则称系统是可 控的，或者更确切的说是状态可控的，否则就称系统 为不完全可控的，或简称为系统不可控。 如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可 由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，否则就 称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
18
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r1 r4
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
项式
k n 1 m
1 A 0I 0
2）推论1：矩阵A的k (k≥n)次幂可表示为A的(n-1)阶多
A rm A ，k n
m0
11
注：此推论可用以简化矩阵幂的计算。
3）推论2：矩阵指数函数可表示为A的(n-1)阶多项式
e m (t ) A
At m0
n 1
2
2
5
6 11
16 0.
23
454页例9-12：已知线性定常系统状态方程为
0 0 x 0 0 1 0 0 1 0 0 0 5 0 0 1 0 x 0 1 0 2 1 0 u 1 0
判断系统的可控性。 解：根据状态方程可写出
19
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
20
r1 r4 r2 r4
14
例6：已知
4 0 1 x x u 0 5 2
判断其能控性。 解：系统阶次 n 2 ，确定出可控判别阵
S B 1 4 AB 2 10
rankS 2 n ，所以系统为完全可控。
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例7：判断下列系统的可控性
BB e
T AT t
dt
Baidu Nhomakorabea
若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则 称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵。
10
秩判据基础
1）凯莱-哈密顿定理：设n阶矩阵A的特征多项式为
(s) | sI A | s n1s
n
n1

1s 0
则矩阵A满足其特征方程，即
( A) An n1 An1
7
9.2.2．可观测性定义 1．系统完全可观测
对于线性时变系统,零输入时
x A(t ) x, y C (t ) x x(t0 ) x0 t0 , t Tt
如果取定初始时刻 t0 Tt ，存在一个有限时刻t1 Tt , t1 t0 ,
对于所有 t t0 , t1 ，系统的输出y(t)能唯一确定状态向量 可观测。如果对于一切t1>t0系统都是可观测的，则称系 的初值x(t0)，则称系统在[t0, t1]内是完全可观测的，简称