正余弦函数图像和性质教案
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课题：正弦函数、余弦函数的图象
刘欢（安陆二中）
一、 教学设计
1、 教学目标分析
根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：
① 知识目标 （1）会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象；
（2）掌握正弦函数图象的“五点作图法”；
（3）利用正弦函数的图象通过平移变换画出余弦函数的图象。
② 能力目标 （1）培养学生合作学习和数学交流的能力；
（2）培养学生运用知识解决实际问题的能力
③ 情感目标 （1）培养学生勇于探索、勤于思考的精神；
（2）在形成知识、提高能力的过程中，激发学生学习数学的兴趣，提高学生
的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
2、教学内容解析
本节是高中《数学》必修④（人民教育出版社）第一章第四节的内容，其主要内容是正弦函数、余弦函数的图象。
我们遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质。
过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，以及图像的变换，此前还学过三角函数线，在此基础上来学习正弦函数、余弦函数的图象，为正切函数的图象与性质、函数sin()y A wx ϕ=+的图象的研究打好基础。
因此，本节的学习有着极其重要的地位。
根据以上分析，本节课的教学重点确定为：
（1）用“五点作图法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象。
(2) 通过图像平移作出余弦函数的图像。
3、教学问题诊断
高一学生对函数概念的理解本身就是难点，再加上三角比知识，就要求学生有较高的理解和综合的能力。
关于作图方面，在前面函数的章节中，学生已经学习了画函数图像的一些方法，如幂函数、指数函数、对数函数等可以用列表描点法、图像平移翻折等方法作出其图像，但对于三角函数来说，描点法的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够准确。
基于上述情况，预测学生对于本节课的内容，会有以下的一些困难：
1．概念的引出，把三角与函数两个概念结合起来，正确理解正弦函数和余弦函数。
2．利用单位圆的正弦线作出正弦函数在[]0,2π上的图像。
3．正确掌握五点法的作图步骤与要求。
4．按照正弦函数的作图方法，引导学生自己探讨画余弦函数图象的一些方法。
4、教学对策分析
借助较先进的教学手段引导学生理解利用单位圆中的有向线段表示三角函数值的办法，画出正弦曲线。
采用多媒体教学为主，学生处理练习时应自带铅笔、直尺。
5、教学基本流程
知识回顾 新课引入 知识探究 理论迁移 归纳小结 布置作业
6、教学过程设计
（一）知识回顾
1、在单位圆中，角α的正弦线、余弦线分别是什么？
2、任意给定一个实数x ，对应的正弦值（sin x ）、余弦值(cos x )是否存在？惟一？
任意给定一个实数x ，都有唯一确定的sin x (或cos x )与之对应。
3.设实数x 对应的角的正弦值为y ，则对应关系y=sin x 就是一个函数，称为正弦函数；同样y=cos x 也是一个函数，称为余弦函数，这两个函数的定义域是什么？
实数集
4.一个函数总具有许多基本性质，要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性，我们应从哪个方面人手？
我们遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质。
（二）新课引入
让学生自己动手做“简谐运动”实验，“装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”， 让学生亲身体会细沙在木板上的轨迹，感受“正弦曲线”或“余弦曲线”的变化趋势。
思考： 有什么办法画出该曲线的图象？
让学生动手并观察，了解日常生活中的实际问题转化为数学问题，提高学生对数学学习的兴趣。
（三）知识探究
探究一：正弦函数的图象
思考1：作函数图象最原始的方法是什么？（描点法）
思考2：用描点法作正弦函数sin y x 在[0，2π]内的图象，可取哪些点？能否画出精确的图象？
各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，由于对一般角的三角函数值都是近似值，不易描出对应点的精确位置。
思考3：如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点，并画出sin y x =在[0，2π]内的图象？
利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象。
画法：
1、 在直角坐标系的x 轴上任意取一点O 1，以O 1为圆心作单位圆，从圆O 1与x 轴的交点
A 起把圆O 1分成12等份（份数宜取6的倍数，份数越多，画出的图象越精确），过圆O 1上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0、6π、3π、2
π、……、2π等角的正弦线
2、 相应地，再把x 轴上从0到2π这一段（2π≈6.28）分成12等份，把角x 的正弦
线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了函数sin ,[0,2]y x x π=∈的图象
思考4：在函数sin y x =，x ∈[0，2π]的图象上，起关键作用的点有哪几个？
)0,2(),1,2
3(),0,(),1,2(),0,0(ππππ- 思考5：当x ∈[2π，4π], [-2π，0],…时，sin y x =的图象如何？怎样得到sin ,y x x R =∈的图象？
-11
y x
-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π04π3π2ππf x () = sin x ()函数sin y x =在[2,2(1)],,0x k k k Z k ππ∈+∈≠的图象与函数sin y x =，x ∈[0，2π]的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是只要将它向左、右平行移动（每次2π个单位长度），就可以得到正弦函数sin ,y x x R =∈的图象，即正弦曲线。
探究二：余弦函数的图象
思考1：观察函数2y x =与2
(1)y x =+的图象，你能发现这两个函数的图象有什么内在联系吗？
思考2：一般地，函数y=f(x ＋a)(a>0)的图象是由函数y=f(x)的图象经过怎样的变换而得到的？
向左平移a 个单位。
思考3：设想由正弦函数的图象作出余弦函数的图象，那么先要将余弦函数cos y x =转化为正弦函数，你可以根据哪个公式完成这个转化？
思考4：由诱导公式可知，cos y x =与 是同一个函数，如何作函数在[0，2π]内的图象？
思考5：函数cos y x =，x ∈[0，2π]的图象如何？其中起关键作用的点有哪几个？
（四）理论迁移
例题
例1、 用“五点法”画出下列函数的简图：
(1) 1sin y x =+，x ∈[0，2π]；
(2) cos y x =-，x ∈[0，2π] .
例2、 当x ∈[0，2π]时，求不等式1cos 2
x ≥
的解集.
例3、画出函数y=|sin x |，x ∈[0，2π]的图象吗？
解：将sin y x =，x ∈[0，2π]的图象位于x 轴下方的图象沿x 轴向上翻折180。
练习
（五）归纳小结
1、正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现。
因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线。
2、作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法。
3、正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的基础，也是解决有关三角函数问题的工具，这是一种数形结合的数学思想。
（六）布置作业
一、P46习题A 组T1（所有学生完成）
二、练习B 组T1
二、教学反思
通过本节课的教学实践，我们一起学习和探讨了正弦函数、余弦函数的画法，除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外，余弦函数图象还可由平移法得到。
“五点法”作图是比较方便、实用的方法。
成功之处：
1、本节课操作性强，学生活动量大。
新课从实验演示入手，形成图象的感知后，升级问题，探索正弦曲线准确的作法，形成理性认识。
2、问题设置层层深入，引导学生发现问题，解决问题，并对方法进行归纳总结，体现了新课标“以学生为主主体，教师为主导”的课堂教学理念。
3、本节课所画图象较多，利用多媒体课件可准确、生动地表现出函数图象的变化过程，对初学者来说可以更快地理解三角函数图象的形状和变化趋势。
改进之处：
1、对于本节课里为什么要用正弦线来作正弦函数的图象，学生思考探索时可能有些不知所以然，教师课后仍应适时点拨。
2、本课设置的“探究”“思考”较多，教学过程中应留给学生一定的时间思考、探究这些问题。
三、教学点评
本节课的设计遵循了教学的基本原则；注重了对学生思维的发展；贯彻了教师对本节内容的理解；设法走出“概念一带而过，演习铺天盖地”的误区，引导学生通过同化，顺应掌握新概念；促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程” 的新天地。
体现了“学思结合﹑学用结合﹑学习动机与意志品质结合”。
希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用。
