u y f uu2u y v y f uvY y f vv 7 yy f uY yy f v多元微分学的基本概念、计算与应用一、考试内容(一)多元函数微分学计算法则1记忆下述推理框图：且偏导连续z 可偏导- ------------ - z 可微 ------- 二 ---- 方向导数存在(数一)z 连续 \2、记忆二元函数的偏导数定义：f(X0)-f(0,0)f(O,y)-f(O,O) 「 f (0,x)- f(0,0)f x (O,O) =1”, f y (0,0^limlimf (X) h,y)-f(x °,y)f(x,y 。
h)-f(x,y 。
)f x (x °,y) =l h i 勒 ------------ h ----------- ，f y (x°$)巳勒 ------------ h ----------- ；f x (X O ,y °)=g ㈣ f(x 0+mh，y 0)[f(x 0—nh，y 0)=(m + n)a ，对 f y (x 0,y 0)=a 类似; lim f x (x °,y) = f x (X O ,y °)= f x (x °,y)在 y=y °处连续，对 f y (x,y °)在X =X O 处连续类似； y —0 'lim f x (x,y) = f x (x,y °)：= f x (x,y)在 y=y )处连续，对 f y (x,y)在 x=x 处连续类似；—yo呵、f x (y )(x,y) = f x (y )(X o ,y °)= f x(y)(x,y)在(x o ，y o )处连续. (x,y)「(x o ，y o )3、记忆多元复合函数的求导法：dzcz du cz dv 亠”、”、， ”、，z = f[u(x),v(x)]，则全导数，或 z (x) = u (x) f u v (x) f v .dxcu dx cv dxz= f[u(x),v(x, y)]，则 Z x =u'(x) f u +v x f v , z y =v y f v . z= f[u(x,y),v(x, y)]，则 z^ =u x f^v x f v , Z yf .+v 『 Z xx =5(f u )xV x (Q x u xxf u v xx f v 二 5(匕仁 V xh )V xWx f vu V x fJu xx f uV xx f v fuv寸vu22=u x f uu 2u x V x f uv V x f vv u xx f uV xx f v ；Z yy = Z xy =匕比 f uu(u x V y V x u y )V y U y^yV yy f4、隐函数的求导法(两端求导法与公式法)：公式法 1: F(x, y)，0,右 F y^O ，则存在 y = y(x)，且 y'(x) = - F x ；： F y . 公式法 2: F (x, y, z) =0,若 F z - 0，则存在 z = z(x, y)，且F x .F z , z y 二 - F y F z若 F(x, y,z) =0 确定 x 二 x(y, z), y 二 y(x,z), z 二 z(x,y)，则 x y *y z *Z x - -1. 5、 记忆多元函数高阶混合偏导数的求导法：若多元函数高阶混合偏导数连续，则其结果与求导次序无关 6、 记忆多元函数的求微法：A z —(z x Ax+z y Ay) 小 Az = z(x, y)满足 lim —=0，贝V dzu/dx + Z y dy ，且有 也z 出 dz .此応)2十(与)2u =u(x, y,z)可微，贝U du =u x dx u y dy u Z dz .z = f[u(x, y), v(x, y)]可微，贝U dz 二 Z u du z ^dv 二 Z x dx Z y dy .F (x, y, z) =0 y - y(x) F x dx F y dy F Z dz = 0可微，且确定，则由 x “计算y'(x),z'(x).G(x, y, z)=0z = z(x)G x dx G y dy G z dz = 0(二)多元函数的极值与最值问题1极值的必要条件和极值的充分条件(1)(2) 点M 0(X 0,y °,z 0)到直线 竺之二丄!上二口1 mnp求点M °(X 0,y 0,z 0)到曲面F(x, y,z)=0的距离，需用到曲面的切平面公式 的距离公式d2= M Q M^S/ S. (3) 4、多元函数的最大值与最小值(闭区域上的连续函数一定取得最大值和最小值)求函数 f (x, y)的最大值和最小值的一般步骤为：求函数f(x, y)在D 内所有驻点处的函数值； 求f (x, y)在D 的边界上的最大值和最小值； 将前两步得到的函数值进行比较， 其中最大者即为最大值，最小者即为最小值•必要条件1设函数Z = f (x, y)在点(X o , y o )具有偏导数，且在点(X o ,y 。
第九章多元函数微分法及其应用一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。
(2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。
(3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件和充分条件。
(4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
(5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。
(6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。
(7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。
(8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。
了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
2. 重点及难点（1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。
（2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。
二、内容概述多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。
1.多元函数的极限和连续(1)基本概念1)点集和区域。
2)多元函数的定义、定义域。
3)二元函数的极限、连续。
(2)基本定理1)多元初等函数在其定义域内是连续的。
2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值M和最小值m之间的任何值。
2.多元函数微分法(1)基本概念偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。
(2) 计算方法1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数x x xz =∂∂，就是一元函数),(0y x f z =在0x x =处的导数；对y 的偏导数x x xz =∂∂（同理）。
2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。
