最新人教版九年级数学上册第二十一章 《公式法》课后训练(第1课时)

22.2.2 公式法5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.运用配方法解一元二次方程2x 2-8x-9=0，完成下列各步骤并填空：二次项系数化为1,得_____________.移项,得_____________.配方,得_________________,即（x-2）2=217，x-2=234或x-2=-234. 解得_____________.思路解析：为便于配方，配方前应把二次项系数化为1，常数项右移，配方时，方程的两边都加上一次项系数一半的平方.答案：x 2-4x-29=0 x 2-4x=29 x 2-4x+22=29+4 x 1=2+234，x 2=2-234 2.仿照第2题的思路，用配方法解方程：ax 2+bx+c=0（a ≠0）.二次项系数化为1,得___________.移项,得___________.配方,得___________,即（x+a b 2）2=2244a ac b -. 思路解析：可仿照2题思考，但要注意条件“a ≠0”的应用.答案：x 2+a b x+a c =0 x 2+a b x=-ac x 2+2·x ·a b 2+（a b 2）2=（a b 2）2-a c 3.若代数式x 2－6x ＋5的值等于12，那么x 的值为( )A.1或5B.7或－1C.－1或－5D.－7或1思路解析：考虑x 为何值时，等式x 2－6x ＋5=12成立.通过解方程达到此目的.x 2－6x ＋5=12,两边各加上9，得x 2－6x ＋9+5=12+9,整理为（x-3）2=16,所以x 1=7,x 2=-1.答案：B4.(2006上海静安检测)一元二次方程x 2-5x-4=0的两根的和是____________.思路解析：根据求根公式求得x 1+x 2=5.答案：510分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.用公式法解方程4x 2+12x+3=0，得到( ) A.x=263±- B.x= 263± C.x=2323±- D.x= 2323 思路解析：按公式法的步骤进行，注意各系数及常数应包括前面的符号.答案：A2.关于x 的方程ax 2+bx+c=0，已知a>0，b>0，c<0，则下列结论正确的是( )A.有两个正实数根B.两根异号且正根绝对值大于负根绝对值C.有两个负实数根D.两根异号且负根绝对值大于正根绝对值思路解析：注意这里的a 、c 异号，-4ac ＞0,b 2-4ac ＞0.答案：B3.关于x 的一元二次方程k （x 2-2x+1）-2x 2+x=0有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A.k>-41 B.k ≥-41 C.k>-41且k ≠2 D.k ≥-41且k ≠2 思路解析：先把该方程化成一般形式，注意k-2≠0,再利用公式求解.答案：C4.用公式法解下列方程：(1)6x 2-13x-5=0； (2)x （x+8）=16； (3)2x 2-4x=42； (4)x 2=2（x+1）.思路分析：先将各个一元二次方程化成一般式确定各系数及常数项，再按公式法的一般步骤进行.答案：(1)x 1=25,x 2=-31;(2)x=±42-4;(3)x=±6+2;(4)±3+1. 5.不解方程，判别下列方程的根的情况.(1)2x 2+3x-4=0； (2)16y 2+9=24y ； (3)5（x 2+1）-7x=0.思路分析：应用根的判别式b 2-4ac 来判定方程根的情况，务必将一元二次方程化为它的一般形式.答案：(1)Δ=9+32>0,方程有两不等实根；(2)Δ=242-4×16×9=0,方程有两等根；(3)方程整理得5x 2-7x+5=0,Δ=49-100<0,方程无实根.6.方程x 2+ax+b=0的一个根是2，另一个根是正数，而且是方程(x+4)2=3x+52的根，求a 、b 的值.思路分析：思考两点：①由根的意义知4+2a+b=0;②方程(x+4)2=3x+52的正根也是方程x 2+ax+b=0的一根.解：(x+4)2=3x+52的根为x 1=4,x 2=-9，故4是方程x 2+ax+b=0的根，由根的意义知2a+b=-4，4a+b=-16，所以a=-6，b=8.7.a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且a 2-6a+b 2-10c+c 2=8b-50，试判断△ABC 的形状. 思路分析：a 2-6a+b 2-10c+c 2=8b-50中有三个字母，属不定方程，需考虑特殊解法. 解：配方得a 2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0,即(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,∴a=3，b=4，c=5.∴a 2+b 2=c 2.故△ABC 是直角三角形.快乐时光5 000只鸭子一个男教师在教室上课，面对乱哄哄的课堂，他气恼地说：“两个女人发出的嘈杂声就等于10 000只鸭子发出的声音.”一天，男教师的妻子来学校找他，女学生报告说：“老师， 外面有5 000只鸭子找您！”30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.(2006上海虹口模拟)已知一元二次方程x 2-2x-1=0的两根为x 1、x 2,那么代数式(x 1+1)(x 2+1)值是____________.思路解析：由根与函数的关系得x 1+x 2=2,x 1x 2=-1.答案：22.对于一元二次方程3y 2+5y-1=0，下列说法正确的是( )A.方程无实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程有两个不相等的实数根D.方程的根无法确定思路解析：一元二次方程有没有实数根和有怎样的实数根由判别式b 2-4ac 的值决定.求出得Δ=39>0,所以选C.答案：C3.下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程为( )A.x 2+1=0B.x 2+2x+1=0C.x 2+2x+3=0D.x 2+2x-3=0思路解析：着眼于每个方程的判别式Δ，Δ>0者为所求.答案：D4.三角形两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是( )A.24B.24或85C.48D.85 思路解析：本题是一道方程与几何的综合题,注意问题的多解性.答案：B5.求证：关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根.思路分析：注意方程有两个不相等的实根，是待证结论,故只需说明Δ>0即可.证明：Δ=（2k+1）2-4（k-1）=4k 2+5>0，所以原方程有两个不相等的实数根.6.已知方程5x 2+（k-1）x-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.思路分析：该题可尝试多种解法，如利用方程根的意义可直接求k 值，进而解方程求得另一根；也可以利用一元二次方程根与系数的关系求解.解：设方程的另一根为x 1，那么根据根与系数的关系，得2x 1=-56，∴x 1=-53.又-53＋2＝－51 k ，∴k-1=-5（-53+2），k=-6.∴方程的另一根是-53，k 的值是-6. 7.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两相去适一丈.问户高,广各几何.”大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少? 思路分析：本题是涉及到古代数学的一道应用型好题.注意直角三角形的三边关系符合勾股定理.解：设门的高为x 尺，根据题意得x 2+(x-6.8)2=102,即2x 2+13.6x-9 953.76＝0.解这个方程得x 1＝9.6,x 2＝-2.8(不合题意,舍去).∴x-6.8=2.8.∴门的高是9.6尺,宽是2.8尺.8.已知关于x 的方程x 2＋(2m ＋1)x ＋(m －2)2＝0.m 取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根？(2)方程有两个相等的实数根？(3)方程没有实数根？思路分析：该题是一元二次方程根的判别式的基本题型,在各地中考中很常见,应该引起大家的注意.Δ＝(2m ＋1) 2－4(m －2) 2＝5(4m －3).答案：（1）m ＞43;（2）m=43;(3)m ＜43. 9.k 取什么值时，方程4x 2－(k ＋2)x ＋k －1＝0有两个相等的实数根？并求出这时方程的根.思路分析：本题要牢牢记住一元二次方程有两个相等的实数根的条件是判别式Δ=0.解：令Δ＝(k＋2) 2－4×4(k－1)＝0，k2－12k＋20＝0，k1＝2，k2＝10.10.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角形的三边长.思路分析：注意直角三角形的三边关系.解：设这三个连续的偶数中间的一个为x,根据题意得x2+(x-2)2=(x+2)2.解这个方程即得解x=8.所以三角形的三边长分别为6、8、10.11.若α、β是方程x2+2x-2 005=0的两个实数根，求α2+3α+β的值.思路分析：本题是方程的根的意义和根与系数相结合的一道好题.解：因α、β是该方程的根，所以α2+2α-2 005=0，α+β=-2，α2=2 005-2α.于是α2+3α+β=2 005-2α+3α+β=2 005+α+β=2 005-2=2 003.12.若关于x的方程x2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0有实数根，试求正整数a的值.思路分析：要注意两个条件：(1)有实数根;(2)a是正整数.解：由方程有实根Δ≥0，得[2(a+1)]2-4×1×(a2+4a-5)≥0,整理,得-2a+6≥0,所以a≤3.因为a 是正整数，所以a=1,2,3.。

21.2.2 公式法一、单选题1．若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2．一元二次方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根3．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（）A．B．C．D．4．一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m＝1C．m＜1D．m≤15．若关于x的方程的一个根是2，则a的值为（）A．B．C．或D．或6．形如的方程，下列说法错误的是（）A．时，原方程有两个不相等的实数根B．时，原方程有两个相等的实数根C．时，原方程无实数根D．原方程的根为7．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠58．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美丽”方程．已知是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．9．一元二次方程的较大实数根在下列数轴中哪个范围之内（）A．B．C．D．10．用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（）A．B．C．D．二、填空题11．方程的解为________．12．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．13．若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有两个不同的实数根，则a应满足的条件_________________ 14．已知关于的一元二次方程，若，则________．15．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是____．16．若k为实数，关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5=0有实数根，则实数k的取值范围为__．17．一元二次方程，当=________时，方程有两个相等的实根；当_______时，方程有两个不相等的实根；当=______时，方程有一个根为0．18．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____．三、解答题19．已知关于的方程有两个不相等的实数根．求的取值范围；若，且方程的两个实数根都是整数，求的值．20．若关于的一元二次方程无实数根，求的取值范围．21．公式法解方程：（1）；（2）；（3）．22．李老师在课上布置了一个如下的练习题：若，求的值．看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程：解：，①，②．③晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．23．已知：关于x的方程，（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，两个边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．参考答案1．C【分析】根据判别式的意义得到△=（-2）2-4m＜0，然后解关于m的不等式即可．【详解】解：根据题意得△=（-2）2-4m＜0，解得m＞1．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．2．D【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【详解】解：∵，∴方程没有实数根．故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．A【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个．【详解】一元二次方程，当，的时候，它有两个实数根．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式．4．A【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解.【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＜0，∴m＞1．故选A．【点睛】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知根的判别式. 5．D【分析】将2代入方程，得到关于a的方程，求解方程即可；【详解】把代入方程，得，即，所以，解得或，故选D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的知识点，准确理解是解题的关键．6．D【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．【详解】解：A、当时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；B、当时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；C、当时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D、当时，原方程的根为，故本选项说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．7．C【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：由已知得：，解得：a≥1且a≠5，故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．8．D【分析】根据已知得出方程有x=-1，再判断即可．【详解】把x=−1代入方程得出a−b+c=0，∴b=a+c，∵方程有两个相等的实数根，∴△=，∴a=c，故选D．【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于利用有两个相等的实数根.9．B【分析】利用公式法解方程求得较大的实数根，根据无理数的估算得到这个实数根的范围，即可判断．【详解】解方程得．设是方程的较大的实数根，，，，则，只有B符合要求．故选：B．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，无理数的估算以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握公式法解一元二次方程和无理数大小的估算是解题的关键．10．A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根，由题意得，可求出．【详解】方程有两根，且．求根公式得到方程的根为，两根互为相反数，所以，即，解得．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．11．或【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解．【详解】（x-1）（x+3）=12x2+3x-x-3-12=0x2+2x-15=0x=,∴x1=3，x2=-5故答案是:3或-5．【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式．12．9【分析】根据方程两个相等的实数根可得根的判别式，求出方程的解即可．【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，△，解得：，故答案为：9．【点睛】本题考查了根的判别式．一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的实数根；②当△时，方程有两个相等的实数根；③当△时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．13．a<1【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0有两个不同的实数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不同的实数根，a＝1，b＝2，c＝a，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14．【解析】【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，将a，b及c的值代入计算，即可求出m的值．【详解】∵a=1，b=m，c=6，∴∴m=.故答案为：.【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法是解题的关键.15．0【分析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式求解即可；【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=4，∴故答案为0【点睛】本题考查一元二次方程的根的存在性；熟练掌握利用判别式确定一元二次方程的根的存在性是解题的关键．16．且【分析】根据二次项系数非零及一元二次方程根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5=0有实数根，∴∴且故答案为：且．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．17．-1 ＞-1 0【分析】先计算，当4+4m=0，方程有两个相等的实根；当4+4m＞0，方程有两个不等实根；把x=0代入方程，得-m=0；然后分别解方程或不等式即可得到对应得答案．【详解】∵，，，，当，即时，方程有两个相等的实根；当，即时，方程有两个不等实根；令，则有，即时，方程有一个根为0．故答案为：；；0．【点睛】本题考查了一元二次方程()的根的判别式．当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．18．且k≠0【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴解得：﹣≤k＜且k≠0故答案为﹣≤k＜且k≠0．点睛：本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及二次根式有意义的条件，根据一元二次方程的定义、二次根式下非负以及根的判别式列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．19．；，或．【分析】(1)关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac>0，即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；(2)利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值即可．【详解】∵关于的方程的二次项系数、一次项系数、常数项，∴，解得；由原方程，得，解得，∵方程的两个实数根都是整数，且，不是负数，∴，且是完全平方形式，∴，或，解得，或．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．【分析】确定a、b、c，计算，根据方程没有实数根得关于m的不等式，继而根据一元二次方程的定义可得答案．【详解】∵，，，∴，∵方程无实数根，∴，解得，又根据一元二次方程的定义，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程()的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＜0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．21．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接利用公式法求解即可；（2）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可；（3）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可．【详解】（1），，，即；（2），，，，，；（3），整理，得，，，，．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．22．晓梅的解题步骤在第③步出错了，正确解题步骤详见解析．【分析】根据的值非负即可判断出错的解题步骤，根据直接开平方法和的非负性解答即可．【详解】解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如下：，，．不论为何值都不等于，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和代数式求值，解决此类问题时，我们需要注意所求代数式的范围，本题容易忽略的值是非负的，所以要找出题干所隐含的条件再解题．23．（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为5．【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；（2）分a为底边和a为腰两种情况，当a为底边时，b=c，可得方程的判别式△=0，可求出k值，解方程可求出b、c的值；当a为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k值，解方程可求出b、c的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．【详解】（1）∵判别式△=[-(k+2)]²-4×2k=k²-4k+4=(k-2)²≥0，∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．（2）当a=1为底边时，则b=c，∴△=(k-2)²=0，解得：k=2，∴方程为x2-4x+4=0，解得：x1=x2=2，即b=c=2，∵1、2、2可以构成三角形，∴△ABC的周长为：1+2+2=5．当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，∴1-（k+2）+2k=0，解得：k=1，∴方程为x2-3x+2=0，解得：x1=1，x2=2，∵1+1=2，∴1、1、2不能构成三角形，综上所述：△ABC的周长为5．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握根与判别式的关系是解题关键。

课后训练基础巩固1.方程x 2－25＝0的解是（ ）.A.x 1＝x 2＝5B.x 1＝x 2＝25C.x 1＝5,x 2＝－5D.x 1＝25,x 2＝－252.已知x ＝1是方程x 2＋ax ＋2＝0的一个根,则方程的另一个根为（ ）A.－2B.2C.－3D.33.下列方程中,有两个不相等的实数根的是（ ）A.x 2＝3x －8B.x 2＋5x ＝－10C.7x 2－14x ＋7＝0D.x 2－7x ＝－5x ＋34.若x 1,x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根,则x 1＋x 2的值是（ ）A.1B.5C.－5D.65.若x 满足（x －2）（3x ＋1）＝0,则x －2的值是_________.6.已知关于x 的一元二次方程（m －2）2x 2＋（2m ＋1）x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围为_________.7.若（x 2＋x ）（x 2＋x －1）＝6,则x 2＋x ＝_________.8.解方程x 2－（a ＋1）x ＋a ＝0.综合应用9.当m 为何值时,关于x 的方程（m －2）x 2－2x ＋1＝0有实数解？10.阅读例题:解方程x 2－|x |－2＝0.解：（1）当x ≥0时,原方程可化为x 2－x －2＝0,解得x 1＝2,x 2＝－1＜0（不合题意,舍去）;（2）当x <0时,原方程可化为x 2＋x －2＝0,解得x 1＝－2,x 2＝1＞0（不合题意,舍去）. ∴原方程的根为x 1＝2,x 2＝－2.请参照例题解方程x 2－|x －1|－1＝0.11.已知关于x 的方程x 2－（k ＋2）x ＋2k ＝0.（1）求证:无论k 取何值,方程总有实数根;（2）若等腰△ABC 的一边长a ＝3,另两边长b ,c 恰好是这个方程的两个根,求△ABC 的周长.参考答案1. 答案:C2. 答案:B 点拨：可先将x ＝1代入到原方程中求出a 的值,再解方程求另一根,也可直接运用根与系数的关系求另一个根.3. 答案:D 点拨：用根的判别式来判断.4. 答案:B5. 答案:0或－37 点拨：先解出方程,再代入计算,此题容易出现漏掉x ＝－31的情况.6. 答案:m >43且m ≠2 点拨：根据一元二次方程有两个不相等的实数根,建立不等式组求解.7. 答案:3 点拨：解关于x 2＋x 的方程，得x 2＋x ＝3或x 2＋x ＝－2,但当x 2＋x ＝－2时,此方程的根的判别式Δ＝12－4×1×2＝－7<0,故x 2＋x ＝－2应舍去.8. 答案:解：Δ＝［－（a ＋1）］2－4a ＝（a －1）2≥0,∴方程的根为x ＝211-±+a a ,即x 1＝a ,x 2＝1.9. 答案:解：分两种情况讨论:当m －2＝0时,方程是一元一次方程,有一个实数根;当m －2≠0时,应有4－4（m －2）≥0,解得:m ≤3且m ≠2.综上所述m ≤3.10. 答案:解：当x －1≥0,即x ≥1时,原方程可化为x 2－x ＋1－1＝0,解得x 1＝0（舍去）,x 2＝1.当x －1<0,即x <1时,原方程可化为x 2－（1－x ）－1＝0,解得x 1＝－2,x 2＝1（舍去）. 故原方程的解为x 1＝－2,x 2＝1.点拨：绝对值方程中去掉绝对值符号时,要分两种情况，即|a |＝⎩⎨⎧<-≥),0(),0(a a a a 然后再解方程,最后的根要与x 的取值范围保持一致.11. 答案:解：（1）证明：∵Δ＝［－（k ＋2）］2－4×1×2k ＝k 2＋4k ＋4－8k ＝（k －2）2≥0,∴无论k 取何值,方程总有实数根.（2）分两种情况讨论:①若a 为腰,则b ,c 中必有一个为腰,不妨设b 为腰,则b ＝a ＝3,因此3是方程的解,把x ＝3代入原方程,得k ＝3,再把k ＝3代入原方程中,得x 2－5x ＋6＝0,解得x 1＝3,x 2＝2,∴a ＝b ＝3,c ＝2,∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝8;②若a 为底,则b ,c 为腰,即b ＝c ,此时方程有两个相等的实数根,∴Δ＝［－（k ＋2）］2－4×1×2k ＝0,解得k ＝2.把k ＝2代入原方程,得x 2－4x ＋4＝0,∴x 1＝x 2＝2,即b ＝c ＝2,满足题意,此时△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝7.综上所述,△ABC 的周长为8或7.。

若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
用公式求根时要注意方程各项系数的取值，不要忘记系数的符号．
活动探究
例2 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实 数根，则k的取值范围是 （B ） A. k＜5 B.k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5
【解析】由题意知方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实 数根，所以有
;
x2
4 3
.
3
x1
1; x2
3. 2
4 y1 y2
3. 3
随堂练习
3.不解方程，判别方程5y2+1=8y的根的情况. 解：化为一般形式为：5y2-8y+1=0.
这里a=5,b=-8,c=1，
所以Δ=b2－4ac=（5）2-4×（-8）×1=57>0. 所以方程5y2+1=8y的有两个不相等的实数根.
∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4 ×1 ×(-7)=16+28=44>0
方程有两个不等的实数根
x 4 44 2 11 2
即 x1 2 11，x2 2 11.
典例精析
例1 用公式法解下列方程： (1)x2－4x－7＝0； (3) x2－3x＝x－4；
(2)2x2－2 2 x＋1＝0； (4) x2＋17＝8x．
的实数根可以写为 x b b2 4ac
2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
典例精析
例1 用公式法解下列方程： (1)x2－4x－7＝0； (3) x2－3x＝x－4；
(2)2x2－2 2 x＋1＝0； (4) x2＋17＝8x．