〖含高考模拟卷17套〗山东省实验中学2020-2021学年高三下学期第一次模拟测试数学试题含解析

试卷第1页，共6页山东省实验中学2020-2021学年高三第三次诊断性考试数学试题试卷副标题1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭A ．34i --B ．34i -+C ．34i -D ．34i +2．若集合{}1213A x x =-≤+≤，20x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭，则A B = A ．{}10x x -≤<B ．{}01x x <≤C ．{}02x x ≤≤D ．{}01x x ≤≤3．命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x <D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <4．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有（ ） A ．311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．113442f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C ．311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．131424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ）A ．1B ．12试卷第2页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C ．13D ．236．已知数列{}n a ，2sin 2n na n π=，则数列{}n a 的前100项和为（ ）A ．5000B ．5000-C ．5050D ．5050-7．设双曲的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 A ．2B ．3C ．312+ D ．512+ 8．已知函数()2ln f x x x =-和()22g x x m x=--的图象上存在关于原点对称的点，则实数m 的取值范围是A ．(],1ln 2-∞-B ．[)0,1ln 2-C ．(]1ln1,1ln 2-+D ．[)1ln 2,++∞评卷人 得分二、多选题9．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述正确的是（ ）A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90D ．从4日到9日，空气质量越来越好 10．设函数()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于直线23x π=对称，它的周期为π，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象过点()0,1； B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；C ．()f x 的一个对称中心是5(,0)12π；D ．将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数2sin 2y x =的图象．试卷第3页，共6页11．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）． A B ．侧棱与底面所成的角为4π CD ．侧棱与底面所成的角为3π12．设12n P P P ⋯，，，为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点12n P P P ⋯⋯，，，的距离之和最小，则称点P 为点12n P P P ⋯，，，的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点． 则下列结论正确的是（ ） A ．若三个点,,A B C 共线，C 在线段AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； B ．直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； C ．若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； D ．梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知直线0x y a -+=与圆22:2o x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________；14．O 为坐标原点，F 为抛物线2C y ：=的焦点，P 为C 上一点，若PF =则POF 的面积______．15．植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．试卷第4页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………16．3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =______________． 评卷人 得分四、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，__________．给出以下三个条件： ①数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；②点1(,)n n S a +在直线1y x =+上；③1121222n n n n a a a na -++++=在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=⋅， 求数列{}n b 的前n 项和n T18．如图，,,a b c 分别为△ABC 中角,,A B C 的对边，D 为BC 边上的点， 23BD DC =，1,cos 37ABC ADC π∠=∠=， 8c =．（1）求a 的值；（2）求ADC 的外接圆的半径R ．19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 4360BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，//EF AB ，FB FC =，23EF =.试卷第5页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）若FBC ∆为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值. 20．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg 时按1kg 计算）需再收5元.公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下： 包裹重量（单位：kg ）(]0,1(]1,2(]2,3(]3,4(]4,5包裹件数43301584公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下：揽件数 [)0,100[)100,200[)200,300[)300,400[]400,500天数6630126以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率 （1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在[)100,400的概率； （2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（注：同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表） 21．设函数()ln mf x x x=+， R m ∈． （1）当1m =时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()()3xg x f x '=-有两个零点，求实数m 取值范围； （3）若对任意的0b a >>，()()1f b f a b a-<-恒成立，求实数m 的取值范围．试卷第6页，共6页22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，且满足1122F F AF =，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围；（3）已知直线:l y kx m =+与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的端点)，AH ⊥MN ，垂足为H 且2AH MH HN =⋅，求证：直线l 恒过定点．答案第1页，共18页参考答案1．A 【分析】把复数的分子分母同时乘以1-i,31ii-+ (3)(1)12(1)(1)i i i i i --==-+-， ()22312341i i i i -⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭．故选A. 考点：复数的除法运算． 【详解】 2．B 【详解】:1213A x -≤+≤，解得：11x -≤≤ 所以集合{}11A x x =-≤≤，2:0x B x-≤，解得：02x <≤ 所以集合{}02B x x =<≤ 所以{}01A B x x ⋂=<≤ 故选B 项. 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题. 3．D 【详解】试题分析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 【考点】全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定． 4．C答案第2页，共18页【分析】利用()()2f x f x +=-，得到3122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用奇偶性和单调性判断即可.【详解】()()2f x f x +=-， 则333122222f ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 奇函数()f x 在[]0,1上为减函数，()f x ∴在[]1,1-上为减函数，11111244>>>->-， 111244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题主要考查了利用奇偶性和单调性比较大小的问题.属于较易题. 5．D 【分析】根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解.【详解】在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=，又由3BC =，所以13BD BC =,由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+,又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+， 因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=.答案第3页，共18页故选：D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6．B 【分析】由题意结合三角函数的性质可得20k a =、22121(21)sin2k k a k π--=-，再由并项求和、等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意知， 当*2,n k k N =∈时，22(2)sin 0k a k k π==；当*21,n k k N =-∈时，22121(21)sin2k k a k π--=-， 所以数列{}n a 的前100项和222221001231001359913579799S a a a a a a a a =+++⋯+=+++⋯+=-+-+⋯+-(13)(13)(57)(57)(9799)(9799)=-⨯++-⨯++⋅⋅⋅+-⨯+50492(13579799)250250002⨯⎛⎫=-⨯++++⋯++=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数的性质及等差数列前n 项和公式的应用，考查了并项求和法的应用及运算求解能力，属于中档题. 7．D 【分析】设该双曲线方程为2222100x y a b a b-=（＞，＞），得点B （0，b ），焦点为F （c ，0），直线FB 的斜率为bc-,由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a 、b 、c 的等式，变形整理为关于离心率e 的方程，解之即可得到该双曲线的离心率. 【详解】答案第4页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………设该双曲线方程为2222100x y a b a b-=（＞，＞），可得它的渐近线方程为b y x a =±，焦点为F （c ，0），点B （0，b ）是虚轴的一个端点，∴直线FB 的斜率为00FB b bk c c-==--， ∵直线FB 与直线by x a=互相垂直，1b b c a ∴-⨯=-,2b ac ∴=,22222b c a c a ac =-∴-=，,210e e ∴--=,15e ±∴=, 双曲线的离心率e ＞1， ∴51+,故选D.考点：双曲线的简单性质 8．D 【详解】由题意可知f(x)=−g(−x)有解,即方程222lnx x x m x -=--+有解，即2m lnx x=+有解．设()()20h x lnx x x =+>,则()22122x h x x x x-'=-=， ∴h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增， ∴当x=2时,h(x)取得最小值h(2)=ln2+1. ∴h(x)的值域为[1+ln2,+∞). ∴m 的取值范围是[1+ln2,+∞). 本题选择D 选项.9．ABD答案第5页，共18页【分析】根据图中的数据逐个分析判断即可 【详解】对于A ，这12天中，空气质量为“优良”有95，85，77，67，72，92，共6天，所以A 正确，对于B ，这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI 指数值为67，所以B 正确， 对于C ，这12天的AQI 指数值的中位数为9510499.52+=，所以C 错误， 对于D ，从4日到9日，AQI 指数值越来越低，空气质量越来越好，所以D 正确， 故选：ABD 10．AC 【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式.再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上，求得函数的单调区间及对称中心判断选项，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可. 【详解】函数()2sin()(0,02f x x πωϕωϕ=+><<的最小正周期是π，所以22πωπ==，则()()2sin 2f x x ϕ=+，又()()2sin 2f x x ϕ=+图象关于直线23x π=对称， 所以对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈，代入可得22,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得5,6k k Z πϕπ=-+∈， 因为0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当1k =时， 6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，当0x =时，()02sin16f π==，()f x 的图象过点()0,1，所以A 正确；对于B ，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 当0k =时，263x ππ≤≤，又因为126ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数，所以B 错误；答案第6页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………对于C ，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心为2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，当1k =时，512x π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，所以C 正确；对于D ，将()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移6π个单位长度，可得2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以不能得到2sin 2y x =的图象，所以D 错误.故选：AC. 11．AB 【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a=，然后可得侧面积为242108a a+，运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案. 【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h ==，即254h a=所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a a ⋅⋅+=++令()242108f a a a =+，则()23321084f a a a ⨯'=-令()233210840f a a a ⨯'=-=得32a =答案第7页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………当()0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减 当()32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小 此时3h =所以棱锥的高与底面边长的比为22，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4SAO π∠=，故B 正确，D 错误故选：AB 【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题. 12．AD 【分析】根据中位点的定义以及空间中的点与线的位置关系等逐个证明或举反例即可. 【详解】解：对于A ，若三个点,,A B C 共线，C 在线段AB 上，根据两点之间线段最短，则C 是,,A B C 的中位点，故A 正确；对于B ，举一个反例，如边长为3,4,5的直角三角形ABC ，点P 是斜边AB 的中点，此直角三角形的斜边的中点P 到三个顶点的距离之和为5 2.57.5+=，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故B 错误；对于C ，若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一，如B ，C 三等分AD ，设|AB |＝|BC |＝|CD |＝1，则|BA |＋|BC |＋|BD |＝4＝|CA |＋|CB |＋|CD |，故C 错误；答案第8页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………对于D ，如图，在梯形ABCD 中，对角线的交点,O M 是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得MA MB MC MD AC BD OA OB OC OD +++≥+=+++， ∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．故D 正确．故选：AD. 13．2【分析】根据直角三角形的性质与垂径定理求得圆心O 到直线0x y a -+=的距离,再用公式求解即可. 【详解】由题,因为AOB ∆为等腰直角三角形,故22AB OA =,故圆心O 到直线0x y a -+=的距离22212d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.()221211a a =⇒=±+-故答案为：2± 【点睛】本题主要考查了根据直线与圆相交求参数的问题,重点在于垂径定理的运用.属于基础题. 14．3【分析】先由抛物线方程得到焦点坐标F 2（，），设P m n （，），根据PF 42=P 点坐标，再由POF 的面积为1S OF n 2=⨯，即可求出结果. 【详解】抛物线C 的方程为2y 42x =， 2p 42∴=22p=F 2（，） 设P m n （，）,根据抛物线的定义，得pPF m 422=+=，答案第9页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………即m 242+=，解得m 32=，点P 在抛物线C 上，得n 2=42×32=24 n 26∴=± ,OF 2=，POF ∴的面积为1S OF n 232=⨯=． 故答案为23．【点睛】本题主要考查抛物线中三角形的面积问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型. 15．36 【分析】先选四个位置上的重复树苗有13C 种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题． 【详解】解：由题意对称相当于3种树苗种A ，B ，C ，D 四个位置，有且仅有一种树苗重复，有13C 种选法；在四个位置上种植有442212A A =种方法，则由乘法原理得131236C ⨯=种方法． 故答案为：36． 【点睛】本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计算．属于中答案第10页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………档题． 16．4 【详解】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用，体现了分类讨论的数学思想． 要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立． 22()333(1)f x ax ax =-=-'01 当0a =时，，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去．02当0a <时22()333(1)0f x ax ax ==-'-<，即()f x 单调递减，min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，舍去．03当0a >时1()0f x x a⇒'==① 111a a ≤⇒≥时()f x 在11,a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在11,a a ⎛ ⎝上单调递减． 所以min1()min (1),(f x f f a ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)400{411()120f a a f a a-=-+≥≥⇒⇒==-≥ ② 111a a>⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减， min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去．综上可知a=4.17． （1）12n n a（2）()()3234212n n n +-++ 【分析】（1）选①时，根据等比数列的性质，求出公比，即可求解答案；选②时，利用1,n n S a +之间的关系式，采用两式相减的方法求得结果；选③时，再写出答案第11页，共18页()121211112222n n n n n a a a a n ----+++=≥这个递推式，和原递推式相减，可求得结果. （2）写出n b 的表达式，采用裂项求和的方法解得答案. （1）若选①，则22,2,2q q q +++成等比， 则22(2)2(2)q q q +=++ ， 即得 2q 或 0q =（舍去） ，故 12n na ；若选②，由点1(,)n n S a +在直线1y x =+上， 得11n n a S +=+，()112n n a S n -=+≥， 两式相减化简得()122n n a a n +=≥， 验证212a a = 适合上式， 故12n na ；若选③，由121111222n n n nn a a a a +-+++=， 可知()121211112222n n n n n a a a a n ----+++=≥，两式相减化简得()122n na n a +=≥ 验证212a a =适合上式， 故12n n a ；（2） 由（1）知12n n a则()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则121111111112324352n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-+-+- ⎪+⎝⎭()()1111323122124212n n n n n +⎛⎫=+--=- ⎪++++⎝⎭ 18． （1）5答案第12页，共18页（2【分析】（1）根据两角差正弦公式可得()sin sin BAD ADC ABC ∠=∠-∠，进而在ABD △弦定理得到BD ，从而可得结果；（2）在ABC 中利用余弦定理得到b ，再在ADC 中利用正弦定理得到结果. （1） ∵1cos 7ADC ∠=，∴sin sin ADC ADB ∠=∠= ∴()11sin sin 27BAD ADC ABC ∠=∠-∠=-=， 在ABD △中，由正弦定理得sin 3sin c BADBD ADB⋅∠==∠， ∵23BD DC =，∴2DC =∴325a =+=； （2）在ABC 中，7b =． 在ADC 中，12sin b R ADC =⋅=∠ 19．(1)见证明；【分析】（1）可证FH BC ⊥，再利用平面FBC ⊥平面ABCD 证得FH ⊥平面ABCD ，通过证明//OE FH ，可得要求证的线面垂直.（2）建立空间直角坐标系，求出平面BCQ 的法向量和平面ABC 的一个法向量后可求二面角Q BC A --的余弦值. 【详解】（1）证明：取BC 的中点H ，连结OH 、FH 、OE ， 因为FB FC =，所以FH BC ⊥，因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC 平面ABCD BC =，FH ⊂平面FBC ， 所以FH ⊥平面ABCD ，因为H 、O 分别为BC 、AC 的中点，所以//OH AB 且12OH AB ==答案第13页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………又//EF AB ，233EF =，所以//EF OH ，所以四边形OEFH 为平行四边形， 所以//OE FH ，所以OE ⊥平面ABCD .（2）解：因为菱形ABCD ，所以2OA OC OE FH ====.所以OA ，OB ，OE 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则(2,0,0)A ，23B ，(2,0,0)C -，(0,0,2)E ， 所以(1,0,1)Q ， 所以23(2,BC =-，(3,0,1)CQ =， 设平面BCQ 的法向量为(,,)m x y z =，由00BC m CQ m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得232030x y x z ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩， 取1x =，可得(1,3,3)m =--， 平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =， 设二面角Q BC A --的平面角为θ， 则313cos 1139m nm n θ⋅-===⨯++ 因为二面角Q BC A --的平面角为锐角， 所以二面角Q BC A --313【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直43,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭）样本中快递费用答案第15页，共18页（3）根据题意及（2），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260531001000⨯-⨯=（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为23552100975⨯-⨯=（元） 因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利. 【点睛】本题主要考查二项分布，离散型随机变量的分布列的期望及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．（1）极小值1；无极大值；（2）203m <<；答案第16页，共18页（3）1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）由题可求()f x '，利用导数判断单调性，由单调性即可求解；（2）令()0g x =可得()3103m x x x =-+>，令()31()03x x x x ϕ=-+>，求()x ϕ'，判断单调性求得最值，即可求解；（3）不等式可转化为()()f b b f a a -<-，构造函数()()h x f x x =-，可得()h x 在()0,∞+调递减，即()2110mh x x x'=--≤在()0,∞+上恒成立，分离m 转化为最值问题即可求解. （1） 因为()()210x f x x x -'=> 所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞上单调递增；所以当1x =时，()f x 取得极小值()11ln111f =+=，无极大值.（2）由题可得()()()21033x m xg x f x x x x '=-=-->， 令()0g x =，得()3103m x x x =-+>．设()()3103x x x x ϕ=-+>，则()()()2111x x x x ϕ'=-+=--+．所以当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ'在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ在()1,+∞上单调递减；所以()x ϕ的最大值为()121133ϕ=-+=，又()00ϕ=，()360ϕ=-<，可知：当203m <<时，函数()g x 有2个零点， 即实数m 取值范围为203m <<. （3）原命题等价于()()f b b f a a -<-恒成立，答案第17页，共18页令()()()ln 0mh x f x x x x x x=-=+->， 则等价于()h x 在()0,∞+上单调递减，()2110mh x x x '=--≤在()0,∞+恒成立, 所以()2211024m x x x x ⎛⎫≥-+=--+> ⎪⎝⎭恒成立，又22111244x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以14m ≥， 即m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．22．（1）22143x y +=（2）[]0,12（3）证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组，解得参数a b 、，即可得到椭圆的标准方程；（2）把条件1PF PA ⋅转化成关于P 的横坐标0x 的代数式，以抛物线在给定区间求值域的方法解之即可；（3）把条件2AH MH HN =⋅转化成AM AN ⊥，极大简化了运算量，是数形结合的的一个范例，得到参数k m 、关系后，即可求得直线l 所过定点. （1）由已知()322a c a c c+=⎧⎨-=⎩，解得2a =，1c =，则b ==故椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设()00,P x y ，则2200143x y +=，又()2,0A -，()11,0F -． ∴()()22100000112354PF PA x x y x x ⋅=----+=++．答案第18页，共18页由于()00,P x y 在椭圆C 上，∴022x -≤≤． 由()21354f x x x =++在区间[]22-,上单调递增，可知 当02x =-时，()0f x 取最小值为0；当02x =时，()0f x 取最大值为12． 故1PF PA ⋅的取值范围是[]0,12 （3）由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()2223484120k x kmx m +++-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则=AM ()112,x y +，=AN ()222,x y +122834km x x k -+=+ ， 212241234m x x k -=+．由0∆>得2243k m +>．2AH MH HN =⋅，即2AH MH NH =，可得AM AN ⊥，则()()11222,2,0x y x y ++=， 即()()()121212240x x x x kx m kx m ++++++= ()()22222412812403434m km k km m k k --+++++=++ 化简得2241670k km m -+=． ∴12k m =或72k m =，均适合2243k m +>．当12k m =时，直线过A ，舍去； 当72k m =时，直线27y kx k =+过定点2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故直线l 恒过定点2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题．。

高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． 【热点题型】题型一 分组转化法求和例1、已知数列{an}的通项公式是an ＝2·3n －1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n 项和Sn. 【提分秘籍】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．【举一反三】(1)数列{an}中，an ＋1＋(－1)nan ＝2n －1，则数列{a n}前12项和等于( ) A ．76B ．78C ．80D ．82(2)已知数列{an}的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，则数列{an}的通项公式an ＝________，其前n 项和Sn ＝________.题型二错位相减法求和例2、已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝(4－an)qn －1(q≠0，n ∈N*)，求数列{bn}的前n 项和Sn. 【提分秘籍】(1)错位相减法是求解由等差数列{bn}和等比数列{cn}对应项之积组成的数列{an}，即an ＝bn×cn 的前n 项和的方法．这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练．(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围． 【举一反三】已知首项为12的等比数列{an}是递减数列，其前n 项和为Sn ，且S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn ＝an·log2an ，数列{bn}的前n 项和为Tn ，求满足不等式Tn ＋2n ＋2≥116的最大n 值．题型三裂项相消法求和例3 、已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝(－1)n －14nanan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.【提分秘籍】利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．【举一反三】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n 项和Sn 满足S2n ＝an ⎝⎛⎭⎫Sn －12. (1)求Sn 的表达式；(2)设bn ＝Sn2n ＋1，求{bn}的前n 项和Tn.【高考风向标】【高考福建，文17】等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【高考安徽，文18】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .83241=⋅=⋅a a a a 1112--==n n n q a a .1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-【高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬•⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【高考重庆，文16】已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =92. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式，(Ⅱ)设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T .1．（·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n ∈N*)满足 anbn ＋1－an ＋1bn ＋2bn ＋1bn ＝0. (1)令cn ＝anbn ，求数列{cn}的通项公式； (2)若bn ＝3n －1，求数列{an}的前n 项和Sn.2．（·全国卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝1anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.3．（·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝(－1)n －14n anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.【高考押题】1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和Sn 的值等于( ) A ．n2＋1－12n B ．2n2－n ＋1－12n C ．n2＋1－12n －1D ．n2－n ＋1－12n2．已知函数f(n)＝n2cosnπ，且an ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于( ) A ．0B ．－100C ．100D ．102003．数列a1＋2，…，ak ＋2k ，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak ＋…＋a10的值为( )A ．31B ．120C ．130D ．1854．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－6n ，则{|an|}的前n 项和Tn 等于( ) A ．6n －n2B ．n2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n21≤n≤3，n2－6n ＋18n>3 D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n21≤n≤3，n2－6nn>35．数列an ＝1n n ＋1，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．96．数列{an}满足an ＋an ＋1＝12(n ∈N*)，且a1＝1，Sn 是数列{an}的前n 项和，则S21＝________. 7．已知数列{an}满足an ＋an ＋1＝－1n ＋12(n ∈N*)，a1＝－12，Sn 是数列{an}的前n 项和，则S ＝________.8．设f(x)＝4x 4x ＋2，若S ＝f(1)＋f(2)＋…＋f()，则S ＝________.9．已知数列{an}是首项为a1＝14，公比为q ＝14的等比数列，设bn ＋2＝143log na (n ∈N*)，数列{cn}满足cn ＝an·bn.(1)求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{cn}的前n 项和Sn.10．正项数列{an}的前n 项和S n 满足：S2n －(n2＋n －1)Sn －(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式an ； (2)令bn ＝n ＋1n ＋22a2n，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn<564.高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

第一套：满分150分2020-2021年山东菏泽第一中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。

广东省实验中学2020-2021学年高三第一次阶段考试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{|N x y ==若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞2．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=4．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）．A ．(1)k n k -+B ．(1)k n k --C ．()n n k -D ．()k n k -5．已知函数()sin()(0,0)3f x x πωφωφ=+><<满足()(),()12f x f x f ππ+==1，则()12f π-等于（ ）A ．-2B ．2C ．-12D ．126．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B ，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直7．若函数()222y sin x ϕϕπ⎛⎫<⎪⎝+⎭=的图象经过点012π⎛⎫⎪⎝⎭，，则函数()()()22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( ) A ．24x π=-B ．3724x π=C ．1724x π=D ．1324x π=-8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，且点F到该渐近线的距离为3，则双曲线C 的实轴的长为 A ．1 B ．2 C ．4D ．8559．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x << C ．{|2}x x >D ．{}1x x >10．如图，在ABC ∆中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．3411．已知集合{}2230A x x x =--≤{}2B x x =＜，则A B =( )A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2-12．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ） A 31+ B 51+ C ．32D 51二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。