4.2 用一元二次方程解决问题

用一元二次方程解决问题【知识要点】1. 列方程解应用题的一般步骤：（1）审题。

了解问题的实际意义，分清已知条件和未知量之间的关系。

（2）设未知数。

一般情况下求什么设什么为未知数。

（3）列方程。

根据量与量之间的关系，找出相等关系，列出方程。

（4）解方程。

灵活运用一元二次方程的四种解法。

（5）验根。

检验一元二次方程的根是否满足题意。

（6）答。

作答。

2. 一元二次方程应用题常见题类型： （1）数字问题。

（2）与面积有关的几何问题。

（3）平均变化率问题。

（4）经营问题。

（5）行程为题。

（6）工程问题。

【经典例题】1、平均变化率问题：平均变化率问题的公式A=a （1+x ）na 为变化前的基数，x 为变化率（增长时x>0，减小时x<0），n 为变化次数，A 为变化后的量。

例1：某商店的一款诺基亚手机连续两次降价，售价由原来的1199元降到了899元，设平均每次降价的百分率为x ，则列方程正确的是（ ）A 、1199)1(8992=-x ；B 、899)1(11992=+x ；C 、1199)1(8992=+x ；D 、899)1(11992=-x 类题练习：1.某商场一月份的营业额为400万元，第一季度营业总额为1600万元，若平均每月增长率为x ，则列方程为（ ）A 、1600)1(4002=+x ；B 、16004004004002=++x x ； C 、[]1600)1()1(14002=++++x x ； D 、1600)21(400=++x x2.2009年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（ ）． A ．100（1+x ）2=250 B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250 C ．100（1-x ）2=250 D ．100（1+x ）22、数字问题：多位数问题在设时，通常设某数位上的数字.若一两位数，十位数字是a,个位数字是b,该两位数可表示为10a+b.不能写成ab 的形式。

一元二次方程增长率问题公式
一元二次方程平均增长率问题公式：a(1+x)n=b。

(a为起始量，b 为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率）
平均增长率中的数量关系：若增长的基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的数量为a(1+x)；第二次增长是以a(1+x)为基数的，增长率也为x，故第二次增长后的数量为a(1+x)2。

同样的道理，平均降低率中的数量关系：若降低的基数为a，平均降低率为x，则第一次降低后的数量为a(1-x)；第二次降低是以a(1-x)为基数的，降低率也为x，故第二次降低后的数量为a(1-x) 2。

在解决增长（降低）率的问题时，常用的方法技巧是：
通常是利用公式建立方程。

平均增长率公式：a(1+x)n=b。

(a为起始量，b为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率）；平均降低率公式：a(1-x) n =b。

(a为起始量，b为终止量，n为降低的次数，x为平均降低率）。

解析：本题中考察的是增长率的问题，（1）中设这两年该校植树
棵数的年平均增长率为x，根据第一年及第三年的植树棵数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论。

列出的方程为500（1+x）=720，得：x=0.2=20%，x=﹣2.2（不合题意，舍去）；（2）中根据第四年植树的棵数=第三年植树的棵数×（1+增长率），即可求出结论。

720×（1+20%）=864（棵）。

严格套用增长率的公式求解即可，但是一定要明确n是多少，也就是一定要确定好年份之间的关系。

解题的关键和所有的方程解应用题是相同的：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算。

一元二次方程与实际问题的公式一、引言在数学学科中，一元二次方程是一种经典的数学概念。

它在代数学和实际问题中有着重要的应用。

本文将深入探讨一元二次方程及其在实际问题中的应用，帮助读者更加全面地理解这一数学概念。

二、一元二次方程的基本形式和求解方法一元二次方程通常写作ax²+bx+c=0的形式，其中a、b和c是已知的常数，而x是未知数。

解一元二次方程可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法。

这些方法能够帮助我们找到方程的根，进而解决各种实际问题。

三、一元二次方程在几何中的应用以一元二次方程为基础的二次函数能够描述抛物线的形状。

抛物线在现实生活和几何中都有广泛的应用，比如天文学中的行星运动轨迹、物理学中的抛体运动等。

一元二次方程在几何中有着重要的地位。

四、一元二次方程在经济学中的应用在经济学中，成本、收益和利润往往是与生产量或销售量相关的。

这些关系通常可以用一元二次方程来描述。

通过求解一元二次方程，我们可以找到最大化利润或最小化成本的最优解，这对企业经营和管理有着重要的指导意义。

五、一元二次方程在物理学中的应用在物理学中，一元二次方程经常出现在描述运动、力学和波动等方面。

比如自由落体运动、弹簧振动系统的频率等问题，都可以用一元二次方程来建模和求解。

六、总结与展望通过对一元二次方程的深入探讨，我们可以看到它在数学、几何、经济学和物理学中都有着广泛的应用。

它不仅是一种抽象的数学概念，更是解决实际问题的有力工具。

希望本文能够帮助读者更好地理解一元二次方程及其在实际问题中的应用，让数学变得更加具体和生动。

七、个人观点在我看来，数学中的一元二次方程不仅是一种工具，更是一种思维方式。

通过对实际问题的抽象和建模，我们可以运用数学的知识和方法来解决各种复杂的问题。

我认为掌握一元二次方程及其应用是非常重要的。

希望读者能够通过本文的阅读，对一元二次方程有更深入的理解和应用。

通过本文对一元二次方程的探讨，我们可以深刻地理解这一数学概念所蕴含的丰富内涵。

4.2 等可能条件下的概率（一）基础篇一、单选题1．下列说法正确的是（）A．概率很小的事件是不可能事件B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件C．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率【答案】B【分析】根据概率的意义、随机事件、中心对称的知识逐项分析即可解答．【详解】解：A、概率很小的事件是随机事件，故此选项错误；B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”这个事件是随机事件，故此选项错误；C. 某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，故此选项错误；D、只要试验的次数足够多，频率就无限接近于概率，故此选项错误．故选：B．【点睛】本题主要查考了概率的意义、随机事件、中心对称等知识点，正确理解概率的含义是解决本题的关键．2．下列说法正确的是()A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨B．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上，这次数学测试成绩也一定在90分以上【答案】B【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．【详解】解：A．明天下雨的概率为80%，只是说明明天下雨的可能性大，与时间无关，故本选项不符合题意；B．从两个班级中任选三名学生，来自同一个班级的可能是2个，也可能是3个，即至少有两名学生来自同一个班级，故选项正确，故本选项符合题意；C．某彩票中奖概率是1%，买100张这种彩票中奖是随机事件，不一定会有1张中奖，故本选项不符合题意；D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩不一定在90分以上，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查概率的意义，解题的关键是正确理解概率的意义，本题属于基础题型． 3．从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币的次数很大时，落下后，正面朝上的频率最有可能接近的数值为（ ） A ．0.83 B ．0.52 C ．1.50 D ．1.03A ．要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式B ．12名同学中有两人的出生月份相同是必然事件C ．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖D ．甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差20.1S =甲，20.2S =乙，则甲组数据比乙组数据稳定 【答案】D【分析】根据概率的意义、全面调查和抽样调查、随机事件以及方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】解：A 、要了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故本选项错误； B 、12个同学的生日月份可能互不相同，故本事件是随机事件，故本选项错误； C 、若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏不一定会中奖，故本选项错误；D 、甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差20.1S =甲，20.2S =乙，则甲组数据比乙组数据稳定，故本选项正确； 故选：D ．【点睛】此题考查了概率的意义、全面调查和抽样调查、随机事件以及方差的意义，关键是灵活应用有关定义对每一选项进行判断． 5．下列说法正确的是（ ）A ．为了解全国中学生的课外阅读情况，应采取全面调查的方式B．为了解九年级1200名学生模拟考试的数学成绩，从中抽取200名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为1200C．投掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上”D．甲、乙两名学生参加“国学小名士”知识竞赛选拔赛成绩的平均数均为94，方差分别为5.3和4.8，则乙学生的成绩稳定【答案】D【分析】分别根据抽样调查、全面调查、样本容量、概率、方差的有关概念对每一项进行分析即可．【详解】A.为了解全国中学生的课外阅读情况，应采取抽样调查的方式，故A错误；B.为了解九年级1200名学生模拟考试的数学成绩，从中抽取200名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为200，故B错误；C.投掷一枚硬币100次，有50次“正面朝上”的可能性很大，但不是一定有50次，故C错误；D.甲、乙两名学生参加“国学小名士”知识竞赛选拔赛成绩的平均数均为94．方差分别为5.3和4.8，乙的方差小于甲的方差，故D正确．故选：D．【点睛】此题考查了抽样调查、全面调查、样本容量、概率、方差的有关概念，熟练掌握有关知识，会进行灵活运用是解题的关键．6．在一个不透明的口袋中放有8个完全相同的小球，分别写有“甬，立，潮，头，合，力，兴，甬”这8个字．现从袋中随机摸出一个小球，则此小球上写着“甬”字的概率为（）A．38B．18C．14D．12∶掷得的点数是6 ；∶掷得的点数是奇数；∶掷得的点数不大于4；∶掷得的点数不小于2；这些事件发生的可能性由大到小排列正确的是（）A．∶∶∶∶B．∶∶∶∶C．∶∶∶∶D．∶∶∶∶【答案】B【分析】根据题意得，∶掷得的点数是6包含一种情况；∶掷得的点数是奇数包括3种情况；∶掷得的点数不大于4包括4种情况；∶掷得的点数不小于2包括5种情况，分别比较情况数的大小即可选得答案.【详解】根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共6种情况；而∶掷得的点数是6包含1种情况；∶掷得的点数是奇数包括3种情况；∶掷得的点数不大于4包括4种情况；∶掷得的点数不小于2包括5种情况故发生的可能性由大到小的顺序排为∶∶∶∶故选：B【点睛】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等；解答本题时，根据题意，易得这些事件的总情况数目相同，只需比较其包含的情况数目.8．小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是23，则n的取值为（）A．10B．8C．12D．4圆心角为120°，∶号转盘表示数字3的扇形对应的圆心角也是120°，则转得的两个数之积为偶数的概率为（）A．12B．29C．79D．34所以转得的两个数之积为偶数的概率为79，故选C．【点睛】此题考查此题考查列表法与树状图法，解题关键在于得出所有可能出现的情况列出表格.二、填空题10．要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是15，可以怎样放球：_______(只写一种即可)．故答案为：放入4个黄球，1个白球（答案不唯一）．【点睛】本题考查概率，解题的关键是熟练掌握概率的意义．11．一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个红球、2个黑球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是___________．的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从口袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，则在坐标平面内，点P（x，y）落在坐标轴上的概率为_____．的概率为925；故答案为：925．【点睛】本题考查了列举法求概率，解题关键是熟练运用列表法表示出所有等可能的情况数，根据概率公式准确计算．13．一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是绿球的概率是_____________．形内有一点M，则点M落在△BPC内（包括边界）的概率为_____．∶BP平分∶ABC，BPC ABCS S=考查了概率公式的应用与全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：个数中任取的一个数，b 是从1、3、5三个数中任取的一个数，定义“方程有实数根”为事件An （n ＝1，2，3），当An 的概率最小时，n 的所有可能值为_____．x2﹣x+2a32-=有两个不相等的实数根的概率是_____．三、解答题17．一个袋子中装有3个红球和两个黄球，它们除颜色外，其他都相同．（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；（2）将n个绿球（与红、黄球除颜色外，其他都相同）放入袋中摇均匀，从袋中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述的过程，共摸了500次，其中60次摸到红球．请通过计算估计n的值．3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这枚骰子掷出后，求：（1）“6”朝上的概率是多少？（2）哪个数字朝上的概率最大？是很有名的，西安十大美食有肉夹馍、凉皮、羊肉泡馍、黄桂柿子饼、岐山臊子面、贾三灌汤包、泡泡油糕、biangbiang面、荞面饸饹、甑糕．李华和王涛同时去品尝美食，准备在贾三灌汤包、泡泡油糕、biangbiang面、荞面饸饹、甑糕”这五种美食中选择一种．（肉夹馍、凉皮、羊肉泡馍、黄桂柿子饼、岐山臊子面分别记为A，B，C，D，E，贾三灌汤包、泡泡油糕、biangbiang面、荞面饸饹、甑糕分别记为F，G，H，K，L）（1）用树状图或列表格的方法表示李华和王涛同学选择美食的所有可能结果；（2）求李华和王涛同时选择美食都是甜食类（黄桂柿子饼D，泡泡油糕G，甑糕L）的概率．李华和王涛同学选择美食的所有可能结果共有25种；将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小薇先随机在这四张扑克牌中抽取一张，然后小宇在剩余的扑克牌中随机抽取一张．（1）求小薇抽出的牌面数字大于4的概率；（2）小薇、小宇约定：若小薇抽到的牌面数字比小宇的大，则小薇赢；反之，则小薇输．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏对双方是否公平？由树状图可以得到，可能会出现的结果有12种，其中小薇抽到的牌面数字比小宇的大的情m头50天的日用水量数据，得到频数直方图如下：（1）估计该家庭使用节水水龙头后，日用水量小于30.4m 的概率；（2）为了计算方便，把用水量介于300.1m ~之间的日用水量均近似地看做30.05m ，用水量介于30.10.2m ~之间的日用水量均近似地看做30.15m ，用水量介于30.20.3m ~之间的日用水量均近似地看做30.25m ，……，以此类推，请估计该家庭使用节水水龙头前后的日用水量分别是多少？（结果精确到30.01m ）（3）如果一年按365天计算，那么利用（2）的结论估计该家庭一年能节省多少水？【点睛】本题考查了概率公式、频数分布直方图、近似数、用样本估计总体，平均数的计算，解决本题的关键是综合掌握以上知识．22．2022年2月山西省召开了教育工作会议，会议提出：实施基础教育优质均衡提升行动，坚决打好“双减”攻坚落实战，全面提高教育基本公共服务水平．某校为了认真落实会议精神，扎实开展课后服务，通过调查问卷、座谈等形式，对全校学生征求了意见，其中有一个问题为：（要求学生只选择一个最能反映实际愿望的选项）你理想的课后服务形式是（）A．集中完成作业B．组织特色活动C．组织实践活动D．自主阅读交流从该校八年级学生中随机抽取部分学生调查结果，汇总后制成以下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)调查的人数一共有______名学生；在扇形统计图中，表示“C．组织实践活动”的扇形则心角的度数为______；(2)将条形统计图补充完整；(3)若该校八年级共行200名学生，请估计该校八年级大约有多少名学生选择A；(4)学校领导决定从八年级甲、乙、丙、丁、戊五个班级中，随机抽取两个班的班干部分两次进行座谈，请用画树状图或列表的方法求这两次都没有选中甲班的概率．（3）出现的可能性相同，这两次都没有选中甲班的结果有12种，所以P（两次都没有选中甲班的概率）123 205 ==．【点睛】本题考查了考查条形统计图和扇形统计图，随机事件的概率，解题的关键是掌握列表格图展示等可能的结果．提升篇1．如图，有四张不透明的卡片除正面的算式不同外，其余完全相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽到正确算式的概率是（）A．14B．12C．34D．1x的分式方程：21x mx-+＝3的解是负数，且使关于x的函数y＝3mx-图象在每个象限y随x的增大而增大的概率为_____．择∶A.舞蹈社团;B.博乐阅读;C.快乐英语;D.硬笔书法.某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图.(1)根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80<x < 90的总人数;(2)该年级每名学生选两门不同的课程，小明和小华在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少?请用列表法或树状图的方法加以说明.等可能结果共有9种，他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种，所以他俩第二次同供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对新跳绳进行测试，绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题：一分钟跳绳成绩的分组统计表一分钟跳绳成绩的扇形统计图(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为人，统计表中的m的值为；(2)抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别是；(3)现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，则恰好分组都是一男一女的概率是多少？所以，()82 123P==分组都是一男一女【点睛】本题考查了频数，中位数和概率的求法，解题的关键是列出表格求概率．5．某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量使用情况（1）从该企业的员工中随机抽取1人，求该员工手机月平均使用流量不超过900M的概率．（2）据了解，某网络运营商推出两款流量套餮，详情如下流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包(包含200M的流量)需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以人均所需费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？9【点睛】本题考查了概率的知识和频数（率）分布直方图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比,解题关键是准确从图表中获得信息，综合运用所学知识解决问题．6．手机微信推出了抢红包游戏，它有多种玩法，其中一种为“拼手气红包”，用户设定好总金额以及红包个数后，可以生成不等金额的红包．现有一用户发了三个“拼手气红包”，总金额为3元，随机被甲、乙、丙三人抢到．（1）判断下列事件中，哪些是确定事件，哪些是不确定事件？∶丙抢到金额为1元的红包；∶乙抢到金额为4元的红包∶甲、乙两人抢到的红包金额之和一定比丙抢到的红包金额多；（2）记金额最多、居中、最少的红包分别为A，B，C．∶求出甲抢到红包A的概率；∶若甲没抢到红包A，则乙能抢到红包A的概率又是多少？。