上海复旦附中2015-2016学年高一数学上学期期中考试

2015-2016学年上海师大附中高一（上）期中数学试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是．2．（4分）命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是．3．（4分）已知函数，g（x）=x﹣3，，则f（x）g（x）+h（x）=．4．（4分）已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣3}，集合B={y|y=﹣x2+2x+13}，则A∩B=．5．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=．6．（4分）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁U A={1，2}，A∩∁U B={5}，∁U A∩∁U B={0，4}，则集合A=．7．（4分）已知集合A={a|关于x的方程有唯一实数解，a∈R}，用列举法表示集合A=．8．（4分）对于集合A，B，定义运算：A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A△B=（A﹣B）∪（B﹣A）．若A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}，则A△B=．9．（4分）设全集为R，对a＞b＞0，集合M=，，则M∩C R N=．10．（4分）已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为，其中a，c∈R，则关于x的不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集是．11．（4分）对于实数x，若n≤x＜n+1，规定[x]=n，（n∈Z），则不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是．12．（4分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣3＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是．13．（4分）定义关于x的不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的解集称为A的B邻域．若a+b﹣3的a+b邻域是区间（﹣3，3），则a2+b2的最小值是．14．（4分）给出下列四个命题：（1）若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c；（2）若a2x＞a2y，则x＞y；（3）a＞b，则；（4）若，则ab＜b2．其中正确命题是．（填所有正确命题的序号）二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．（5分）下列每组中的两个函数是同一函数的是（）A．f（x）=1与g（x）=x0B．与g（x）=xC．f（x）=x与D．f（x）=x与16．（5分）若a＞0，b＞0，则不等式﹣b＜＜a等价于（）A．＜x＜0或0＜x＜B．﹣＜x＜C．x＜﹣或x＞D．x＜或x＞17．（5分）下列说法正确的是（）A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要非充分条件C．“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件D．“”是“a＞2且b＞2”的充分必要条件18．（5分）若x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，则a的最小值是（）A．2 B．C．2 D．1三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．（12分）解关于x的不等式：mx2﹣（2m+1）x+2＞0（m∈R）．20．（14分）已知集合，集合B={x||x+2a|≤a+1，a∈R}．（1）求集合A与集合B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．21．（14分）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}（1）A∩B=A∪B，求a的值；（2）若∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，求a的值；（3）A∩B=A∩C≠∅，求a的值．22．（16分）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．23．（18分）已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立．（1）已知函数f（x）=x2+1，，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；（2）已知函数g（x）=ax+b∈M，求实数a，b的取值范围；（3）是否存在实数a，使得，x∈[﹣1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．2015-2016学年上海师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015秋•上海校级期中）设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是7．【解答】解：∵集合A={x|0≤x＜3且x∈N}={0，1，2}，∴集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数为23﹣1=7，故答案为：7．2．（4分）（2011•湘西州一模）命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．【解答】解：∵“a，b都是奇数”的否命题是“a，b不都是奇数”，“a+b是偶数”的否命题是“a+b不是偶数”，∴命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数”．故答案为：若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．3．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知函数，g（x）=x﹣3，，则f（x）g（x）+h（x）=x（x≠±3）．【解答】解：由得：x≠±3，又∵函数，g（x）=x﹣3，，∴f（x）g（x）+h（x）=+=x（x≠±3），故答案为：x（x≠±3）4．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣3}，集合B={y|y=﹣x2+2x+13}，则A∩B=[﹣4，14] ．【解答】解：由A中y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4≥﹣4，得到A=[﹣4，+∞）；由B中y=﹣x2+2x+13=﹣（x﹣1）2+14≤14，得到B=（﹣∞，14]，则A∩B=[﹣4，14]，故答案为：[﹣4，14]5．（4分）（2014•上海）设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=3．【解答】解：常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，∴1=|2﹣1|+|22﹣a|，∴a=4，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣4|，∴f（1）=|1﹣1|+|12﹣4|=3，故答案为：3．6．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁U A={1，2}，A∩∁U B={5}，∁U A∩∁U B={0，4}，则集合A={3，5} ．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁U A={1，2}，A∩∁U B={5}，∁U A∩∁U B={0，4}，由韦恩图可知A={3，5}故答案为：{3，5}7．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知集合A={a|关于x的方程有唯一实数解，a∈R}，用列举法表示集合A=．【解答】解：若关于x的方程有唯一实数解，则x+a=x2﹣1有一个不为±1的解，或x+a=x2﹣1有两解，其中一个为1或﹣1，当x+a=x2﹣1有一个解时，△=1+4a+4=0，此时a=，x=，满足条件；若x+a=x2﹣1有两解，其中一个为1时，a=﹣1，x=0，或x=1，满足条件；若x+a=x2﹣1有两解，其中一个为﹣1时，a=1，x=2，或x=﹣1，满足条件；综上所述：A=，故答案为：8．（4分）（2015秋•上海校级期中）对于集合A，B，定义运算：A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A△B=（A﹣B）∪（B﹣A）．若A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}，则A△B={﹣1，0，2} ．【解答】解：∵A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，∴A﹣B={2}，B﹣A={﹣1，0}，∴A△B={﹣1，0，2}，故答案为：{﹣1，0，2}9．（4分）（2015秋•上海校级期中）设全集为R，对a＞b＞0，集合M=，，则M∩C R N={x|b＜x≤} ．【解答】解：由a＞b＞0，可得＞b，＜a，由基本不等式可得，＞，由补集的运算可得C R N={x|x≤或x≥a}，由交集的意义，可得M∩C R N={x|b＜x≤}．10．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为，其中a，c∈R，则关于x的不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集是（﹣2，3）．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为（﹣，），∴﹣，是一元二次方程ax2+2x+c=0的两实数根，且a＜0；即，解得a=﹣12，c=2；∴不等式﹣cx2+2x﹣a＞0化为﹣2x2+2x+12＞0，即x2﹣x﹣6＜0，化简得（x+2）（x﹣3）＜0，解得﹣2＜x＜3，该不等式的解集为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．11．（4分）（2015秋•上海校级期中）对于实数x，若n≤x＜n+1，规定[x]=n，（n∈Z），则不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是[2，4）．【解答】解：不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0，求得＜[x]＜，2≤x＜4，故答案为：[2，4）．12．（4分）（2015秋•上海校级期中）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣3＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（﹣1，2] ．【解答】解：当a=2时，不等式化为﹣3＜0，对x∈R恒成立，当时，即，解得﹣1＜a＜2，不等式也恒成立；综上，实数a的取值范围是（﹣1，2]．故答案为：（﹣1，2]．13．（4分）（2015秋•上海校级期中）定义关于x的不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的解集称为A的B邻域．若a+b﹣3的a+b邻域是区间（﹣3，3），则a2+b2的最小值是．【解答】解：由题意可得|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b的解集为（﹣3，3），|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b 等价于（﹣3，2（a+b）﹣3），∴2（a+b）﹣3=3，求得a+b=3，∴a2+b2≥=，故a2+b2的最小值为，故答案为：．14．（4分）（2015秋•上海校级期中）给出下列四个命题：（1）若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c；（2）若a2x＞a2y，则x＞y；（3）a＞b，则；（4）若，则ab＜b2．其中正确命题是（1）（2）（4）．（填所有正确命题的序号）【解答】解：（1）由c＞d，得﹣d＞﹣c，又a＞b，则a﹣d＞b﹣c．故（1）正确；（2）若a2x＞a2y，则a2≠0，则，∴x＞y．故（2）正确；（3）若a＞0＞b，则a﹣b＞a＞0，则．故（3）错误；（4）若，则b＜a＜0，∴ab＜b2 ．故（4）正确．故答案为：（1）（2）（4）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．（5分）（2015秋•上海校级期中）下列每组中的两个函数是同一函数的是（）A．f（x）=1与g（x）=x0B．与g（x）=xC．f（x）=x与D．f（x）=x与【解答】解：∵f（x）=1的定义域为R，g（x）=x0的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；=x，g（x）=x，两函数为相同函数；f（x）=x的定义域为R，g（x）=的定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；f（x）=x，=|x|，两函数对应关系不同，不是相同函数．故选：B．16．（5分）（2006•江西）若a＞0，b＞0，则不等式﹣b＜＜a等价于（）A．＜x＜0或0＜x＜B．﹣＜x＜C．x＜﹣或x＞D．x＜或x＞【解答】解：故选D．17．（5分）（2015秋•上海校级期中）下列说法正确的是（）A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要非充分条件C．“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件D．“”是“a＞2且b＞2”的充分必要条件【解答】解：A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6．∴“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分非必要条件，因此不正确；C．由a=1且b=2⇒a+b=3，且逆否命题为：若“a+b≠3”，则“a≠1或b≠2”，因此“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件，正确．D．由“a＞2且b＞2”⇒“”，反之不成立，例如a=1，b=5，因此“”是“a＞2且b＞2”的必要非充分条件，不正确．故选：C．18．（5分）（2015秋•上海校级期中）若x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，则a的最小值是（）A．2 B．C．2 D．1【解答】解：∵≤2（x+y），x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，∴，∴a的最小值是．故选：B．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．（12分）（2015秋•上海校级期中）解关于x的不等式：mx2﹣（2m+1）x+2＞0（m∈R）．【解答】解：（1）当m=0时，原不等式可化为﹣x+2＞0，即x＜2；…（2分）（2）当m≠0时，分两种情形：①当m＞0时，原不等式化为（mx﹣1）（x﹣2）＞0，即；若时，即时，不等式的解集为；…（4分）若时，即时，不等式的解集为；…（6分）若时，即时，不等式的解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；…（8分）②当m＜0时，原不等式化为；显然，不等式的解集为；…（10分）综上所述：当m=0时，解集为（﹣∞，2）；当时，解集为；当时，解集为；当m＜0时，解集为．…（12分）20．（14分）（2015秋•上海校级期中）已知集合，集合B={x||x+2a|≤a+1，a∈R}．（1）求集合A与集合B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由A中方程变形得：（x﹣3）（x+2）（x+1）≤0，解得：x≤﹣2或﹣1＜x≤3，即A=（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，3]，当a+1＜0时，即a＜﹣1时，B=∅；当a+1≥0时，即a≥﹣1时，B=[﹣3a﹣1，﹣a+1]；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，当a＜﹣1时，B=∅满足题意；当a≥﹣1时，B=[﹣3a﹣1，﹣a+1]，此时有：﹣a+1≤﹣2或，解得，a≥3或﹣1≤a＜0，综上所述，a∈（﹣∞，0）∪[3，+∞）．21．（14分）（2015秋•上海校级期中）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}（1）A∩B=A∪B，求a的值；（2）若∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，求a的值；（3）A∩B=A∩C≠∅，求a的值．【解答】解：（1）∵B={x|x2﹣5x+6=0}={ 2，3 }，A∩B=A∪B，∴A=B．∴2和3是方程x2﹣ax+a2﹣19=0 的两个根，∴2+3=a，∴a=5．（2）∵∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，∴A与B有公共元素而与C无公共元素，∴3∈A∴9﹣3a+a2﹣19=0，解得a=﹣2，或a=5．当a=﹣2时，A={3，﹣5}满足题意；当a=5时，A={2，3}此时A∩C={2}不满足题意，∴a=﹣2（3）A∩B=A∩C≠∅，∴2∈A，∴4﹣2a+a2﹣19=0解得a=﹣3，a=5．当a=﹣3时，A={2，﹣5}满足题意；当a=5时，A={2，3}不满足题意，故a=﹣3．故答案为：a=﹣3．22．（16分）（2015秋•上海校级期中）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．【解答】解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，∴，矩形AMPN的面积，x∈[10，20]，由x（30﹣x）≤（）2=225，当x=15时，可得最大值为225，当x=10或20时，取得最小值200，于是为所求．（2）矩形AMPN健身场地造价T1=，又△ABC的面积为，即草坪造价T2=，由总造价T=T1+T2，∴，．（3）∵，当且仅当即时等号成立，此时，解得x=12或x=18，答：选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．23．（18分）（2015秋•上海校级期中）已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立．（1）已知函数f（x）=x2+1，，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；（2）已知函数g（x）=ax+b∈M，求实数a，b的取值范围；（3）是否存在实数a，使得，x∈[﹣1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）任取，∵，∴﹣1≤x1+x2≤1，∴0≤|x1+x2|≤1∴|x1+x2||x1﹣x2|≤|x1﹣x2|即|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，f（x）属于集合M…（4分）（2）∵g（x）=ax+b∈M，∴使得任意x1、x2∈R，均有|g（x1）﹣g（x2）|≤|x1﹣x2|成立．即存在|g（x1）﹣g（x2）|=|a||x1﹣x2|≤|x1﹣x2|∴…（10分）（3）若p（x）∈M，则|p（x1）﹣p（x2）|≤|x1﹣x2|对任意的x1、x2∈[﹣1，+∞）都成立．即，∴|a|≤|（x1+2）（x2+2）|∵x1、x2∈[﹣1，+∞），∴|（x1+2）（x2+2）|≥1，∴|a|≤1，﹣1≤a≤1∴当a∈[﹣1，1]时，p（x）∈M；当a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，p（x）∉M．…（18分）。

D. f x
x2 9 ， g x x 3 x3
【解析】A 选项对应关系不同， f x x ， g x x2 x ；C、D 选项定义域不相同.
x 3 x y 6 14、 是 成立的（ y 3 x y 9
2 x x 1
的定义域为_______.
【答案】 2,1
1, 2 ； 1,2 ，本题需注意定义域只能写成区间
2 x 0 2 x 2 【解析】由 ，即 x 2,1 x 1 x 1 0
或是集合的形式，避免写不等式的形式. 4、已知集合 A 1, 2,3, 4 ， B 1, 2 则满足 A C B C 的集合 C 有_______个. 【答案】4; 【解析】由条件 A C B C 可知， B B
复旦大学附属中学 2014-2015 学年第一学期 高一年级数学期中考试试卷
（时间 90 分钟，满分 120 分） 一、填空题（每小题 4 分，共 44 分）
6 1、用列举法表示集合 A a N* , a Z _______. 5 a
【答案】 1, 2,3, 4 ；
充要条件是“ a b 0 ”. 其中，正确结论的个数 是_______. ．． 【答案】3 个； 【解析】①正确，由于 2015 能够被 5 整除；②错误， 3 1 5 2 ，故 3 2 ；③正确， 将整数按照被 5 除分类，刚好分为 5 类；④正确. 10、某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费 p （万元）与仓库 到停车库的距离 x （公里）成反比，而每月库存货物的运费 k （万元）与仓库到停车库的距 离 x （公里）成正比. 如果在距离停车库 18 公里处建仓库，这两项费用 p 和 k 分别为 4 万元 和 144 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离 x _______公里. 【答案】 2 ； 【解析】 设 p 所以 p

上外附中高一上学期期中数学试卷2015.11一. 填空题（本大题共14题，每题3分，共42分）1. 有四个集合：①2{|33}x x +=；②2{(,)|,,}x y y x x y R =-∈；③2{|0}x x -≥；④{|x 210,}x x x R -+=∈；其中表示空集的序号是 ； 2. 已知2{|21}A y y x x ==-+-，{|21}B y y x ==+，则A B = ；3. 若全集{1,2,3,4,5}U =且{2,3}U C A =，则集合A 的真子集共有 个；4. 已知集合2{|320}A x ax x =-+=，若A 中至少有一个元素，则a 的取值范围是 ；5. 有下列四个命题：①命题“若1xy =，则,x y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1m ≤，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题；其中是真命题的是 ；6. 若集合12,A A 满足12A A A =，则称12(,)A A 为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当12A A =时，12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一种分拆，则集合123{,,}A a a a =的不同分拆种数是 ；7. 若20a a +<，则22,,,a a a a --由大到小排列顺序是 ； 8. 若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|12}x x -<<，则关于x 的不等式2cx +0bx a +>的解集是 ；9. 不等式4||x x<的解集是 ； 10. 若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1,2,3，则实数b 的取值范围是 ；11. 设0x >，则31x x ++的最小值为 ； 12. 已知方程2(1)(2)0x x x m --+=的三根可作为一个三角形的三边长，那么m 的取值范围是 ；13. 对于在区间[,]a b 上有意义的两个函数()f x 与()g x ，如果对任意[,]x a b ∈，均有|()()|1f x g x -≤，那么就称()f x 与()g x 在[,]a b 上是接近的，若函数2()32f x x x =-+与()23g x x =-在[,]a b 上是接近的，则该区间可以是 ；14. 三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立，求a 的取值范围”提出了各自解题思路，甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”，乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”，丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”，参考上述说法或自己其他解法，可求出实数a 的取值范围是 ；二. 选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）15. 下列说法中，正确的是（ ）A. 任何一个集合必有两个子集B. 若A B =∅，则,A B 中至少有一个为∅C. 任何集合必有一个真子集D. 若S 为全集，且AB S =，则A B S == 16. 已知p 与q 是两个命题，如果p 或q 为假命题，则（ ）A. ,p q 均为真命题B. ,p q 均为假命题C. ,p q 中至少有一个为真命题D. ,p q 中至多有一个为真命题17. 已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）A. 22a b <B. 22a b ab <C. 2211ab a b <D. b a a b<18. 使关于x k ≥有解的实数k 的最大值是（ ）不确定三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+10+12=46分）19. 对于集合,A B ，我们把{(,)|,}a b a A b B ∈∈记为A B ⨯，若{1,0}A =-，{1,2}B =，求A B ⨯，A A ⨯；20. 记关于x 的不等式111a x +<+的解集为P ，不等式|2|4x +<的解集为Q ； （1）若3a =，求P ；（2）若PQ Q =，求实数a 的取值范围；21. 已知：,,,[0,1]a b c d ∈；（1）比较1(1)(1)M a b =--与11N a b =--的大小；（2）比较2(1)(1)(1)(1)M a b c d =----与21N a b c d =----的大小；22. 已知不等式：3||2x x a a -+≥； （1）设不等式的解集是M ，如果2M ∈，求实数a 的取值范围；（2）若实数1a ≥，对任意实数[1,2]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围；23. 已知二次函数2()f x ax bx c =++和一次函数()g x bx =-，其中,,a b c 满足a b c >>且0a b c ++=(,,)a b c R ∈；（1）求证：两函数的图像交于不同的两点,A B ；（2）求c a的范围； （3）求线段AB 在x 轴上的射影11A B 的长的取值范围；参考答案1. ④；2. (,0]-∞；3. 7；4. 98a ≤； 5. ①②③；6. 27；7. 22a a a a ->>->；8. (,1)(0.5,)-∞-+∞；9. (0,2)； 10. (5,7)； 11. 1； 12. 3(,1]4；13. [1,2][3,4]（答案不唯一）； 14. 1a ≥-；15. D ； 16. D ； 17. C ； 18. B ；19. {(1,1),(1,2),(0,1),(0,2)}A B ⨯=--，{(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}A A ⨯=----；20.（1）(1,3)P =-；（2）[6,2]a ∈-；21.（1）11M N ≥；（2）22M N ≥；22.（1）116a ≤或52a ≥；（2）35[1,][,)22a ∈+∞；23.（1）略；（2）1(2,)2--；（3）；。

上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（A 卷）一、填空题1．关于x 的不等式()100ax a +<>的解集为．2．已知集合{}1,31M a =--，则实数a 的取值范围为．3．已知集合{}43A x x =-<≤，{}29B x x =>，则A B =．4．已知函数()y f x =的定义域为[]1,3，则函数()21y f x =+的定义域为．5．已知集合{}1,2,4C ⊆，且满足：“若x C ∈则2x C ∉”，则满足条件的集合C 的个数为．6．已知函数()13,1,4,1a x x y a x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩是(),∞∞-+上的严格增函数，则实数a 的取值范围为．7．若对一切实数x ，不等式12x x a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围为．8．关于x 的不等式20ax bx c +->（a ，b ，c 均为实数）的解集为()1,3-，则关于x 的不等式220cx bx a -+<解集为．9．已知关于x 的不等式223220242024x x x ax ++-≥在0x >时恒成立，则实数a 的取值范围为．10．已知函数()y f x =定义在()0,∞+上，且对任意的1>0x ，20x >，12x x ≠，都有()()2112211x f x x f x x x ->-，()37f =，则不等式()22121f x x -≥-的解集为．11．已知函数()y f x =，[]0,1x ∈，且同时满足下列三个条件：①对任意的[]0,1x ∈，都有()()11f x f x +-=成立；②对任意的[]0,1x ∈，都有()210x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭成立；③对于1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤成立，则20242025f ⎛⎫=⎪⎝⎭．12．已知正数a 、b 、c 满足24a b +=，1c >，则22bc c c a b +-+的最小值为．二、单选题13．如果0a b <<，那么下列不等式恒成立的为（）．A ．2ab a >B ．2ab b <C ．1111a b >++D ．11a b-<-14．设集合{}22,,Z M x x m n m n ==-∈，{}21,Z T t t k k ==+∈，则“t M ∈”是“t T ∈”的（）条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要15．已知a ，b 为常数，且()2xf x ax b=+，满足()11f =．若关于x 的方程()2f x x =只有一解，则a b -的值的个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．以上都不对16．已知()341xf x x x =+++，若存在[]1,2a ∈，使得不等式()()2228f x ax f a x --+->能成立，则实数x 的取值范围为（）．A ．()(),02,-∞+∞B ．()(),12,-∞+∞C ．()2,+∞D ．(),1-∞三、解答题17．已知全集U =R ，集合103x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，2{|()(2)0}B x x a x a =---≤．(1)当12a =时，求A B ；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要非充分条件，求实数a 的取值范围．18．为实现节能减排，绿色生态的目标，某单位进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理总成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨．．的平均处理成本最低？(2)该单位每月处理量为多少吨时，每月的总获利最大，并求这个最大获利值．19．教材中曾有例题证明“命题①在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大；命题②在面积为常数的所有矩形中，正方形的周长最小．”于是我们联想到数学史上著名的等周问题：“在所有给定周长的平面曲线中，必存在一条封闭曲线，使其所包围的面积最大．”现将一边AB 依墙脚线，围成ABC V 或围成四边形ABCD ．请完成以下问题：(1)如图1，围成ABC V ，两边之和12AC BC +=，且90ACB ∠=︒，求ABC V 的面积1S 的最大值；(2)如图2，围成平行四边形ABCD ，且12AD DC CB ++=，求平行四边形ABCD 的面积2S 的最大值．20．已知函数()a f x x x a =+-，其中a R ∈．（1）判断函数()a y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）记点()00,P x y ，求证：存在实数a ，使得点P 在函数()a y f x =图像上的充要条件是00y x ≥；（3）对于给定的非负实数a ，求最小的实数()l a ，使得关于x 的不等式(1)()a a f x f x +≥对一切[(),)x l a ∈+∞恒成立.21．若函数=的定义域、值域均为[],a b ，则称=为[],a b 上的方正函数；(1)若21322y x x =-+为区间[]()1,1b b >的方正函数，求实数b 的值；(2)是否存在实数对(),a b ，使得函数()1xf x x=-+为区间[](),a b a b <上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对(),a b ，若不存在，请说明理由；=-+，求非负实数a的取值范围，满足：存在实数(3)设=B2+B+，()2g x cx bx a,b c，使得(),()y f x y g x==均为[]1,1-上的方正函数．。