上海中学、复旦附中等八校2011届高三联合调研数学理
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上海八校
2011届高三联合调研考试
数学试题（理科）
考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、准考证号填写清楚．
2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接
填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1． 函数21x y =+的反函数为 ． 2． 平面上的点(3,4)A 绕原点顺时针旋转π2
后, 所得点B 的坐标为 ．
3． 设m 是实数．若复数
1i i
m +-的实部为0（i 表示虚数单位）, 则m = ．
4． 若复数z 是方程2240x x -+=的一个根, 则||z = ． 5． 在右边所示流程图中, 若输入的x 值是3, 则最后输出的n 的
值为 ． 6． 设m 是正实数．若椭圆2
2
2
16
9
1x
y
m ++
=的焦距为8, 则
m = ．
7． 设k 是实数．若方程2
2
14
4
x
y
k k -
=-+表示的曲线是双曲线,
则k 的取值范围为 ．
8． 已知命题“a A ∈”是命题“1
321
101
1
1
a
a =”的充分非必要条件, 请写出一个满足条件的非空集合A , 你写的非空集合A 是 ．
9． 设全集U R =．若集合1
1A x
x ⎧
⎫
=≥⎨⎬⎩⎭
, 则U A =ð ． 10．设A 是三角形的内角．若1sin cos 5
A A -=
, 则tan 2A = ．
11．设a 是实数．若函数()|||1|f x x a x =+--是定义在R 上的奇函数, 但不是偶函数, 则
函数()f x 的递增区间为 ．
12．在数列{}n a 中, 10a ≠, 当*n N ∈时, 11
1n n a a n +⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
．
数列{}n a 的前n 项和为n S , 则2lim
n n n
S S →∞
= ． 13．若平面向量,a b
满足||2a = , (2)12a b b +⋅=
, 则||b
的取值范围为 ． 14．设1,,,,a b S a b c d b c c
d R ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
=∈=⎨⎬
⎪
⎝⎭⎪⎪⎩⎭, 2,,,,0a b S a b c d a d b c c d R ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
=∈==+=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
．
已知矩阵2468A B ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
, 其中1A S ∈, 2B S ∈．那么A B -= ． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分． 15．根据以下各组条件解三角形, 解不唯一．．．的是 （ ） A ．60A ︒=, 75B ︒=, 1c = B ．5a =, 10b =, 15A ︒=．
C ．5a =, 10b =, 30A ︒=．
D ．15a =, 10b =, 30A ︒=．
16．对于数列{}n a , 如果存在正实数M , 使得数列中每一项的绝对值均不大于M , 那么称
该数列为有界的, 否则称它为无界的．在以下各数列中, 无界的数列为 （ ）
A ．12a =, 123n n a a +=-+．
B ．12a =, 112
n n a a +=
+．
C ．12a =, 1arctan 1n n a a +=+．
D ．12a =, 11n a +=．
17．设,,a b k 是实数, 二次函数2
()f x x ax b =++满足: (1)f k -与()f k 异号, (1)
f k +与()f k 同号．在以下关于()f x 的零点的命题中, 假命题的序号为 （ ）
① 该二次函数的两个零点之差一定大于2; ② 该二次函数的零点都小于k ; ③ 该二次函数的零点都大于1k -．
A ．①②．
B ．②③．
C ．①③．
D ．①②③．
18．将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体1111ABC D A B C D -, 不同的标字母方式共有
（ ）
A ．24种
B ．48种
C
．
72
种
D ．144种
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）
已知a 是实数, 三条直线250x y -+=, 40x y a -++=, 0x a +=中任意两条的交点均不在椭圆22211x y +=上, 求a 的取值范围． 20．（本题满分12分）
某学生解下面的题目时, 出现了错误．指出该学生从
哪一个步骤开始犯了第一个错误, 并从该步骤开始改正他的解答．
【题目】有一块铁皮零件, 它的形状是由边长为40cm 的正方形C D E F 截去一个三角形ABF 所得的五边形A B C D E , 其中A F 长等于12cm, B F 长等于10cm, 如图所示．现在需要截取矩形铁皮, 使得矩形相邻两边在,CD DE 上．请问如何截取, 可以使得到的矩形
面积最大? （图中单位: cm ）
21．（本题满分14分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数1
π()sin
cos
sin 2222x x f x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭． （1） 写出()f x 的最小正周期以及单调区间;
（2） 若函数5π()cos 4h x x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
, 求函数22log ()log ()y f x h x =+的最大值, 以及使其取得最大值的x 的集合．
22．（本题满分18分） 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3
小题满分6分．
可以证明, 对任意的*n N ∈, 有2333
(12)12n n +++=+++ 成立．下面尝试推广该命题:
（1） 设由三项组成的数列123,,a a a 每项均非零, 且对任意的{1,2,3}n ∈有
2
3
3
3
1212()n n a a a a a a +++=+++ 成立, 求所有满足条件的数列;
（2）
设数列{}n a 每项均非零,
且对任意的*
n N
∈有
2
3
3
3
1212()n n a a a a a a +++=+++ 成立, 数列{}n a 的前n 项和为n S ．求证:
2112n n n a a S ++-=, *
n N ∈;
（3） 是否存在满足（2）中条件的无穷数列{}n a , 使得20122011a =-? 若存在, 写出一
个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）; 若不存在, 说明理由．
23．（本题满分18分） 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3
小题满分8分．
已知函数()2f x x x m =-, 常数m R ∈． （1） 设0m =．求证: 函数()f x 递增;
（2） 设0m >．若函数()f x 在区间[0,1]上的最大值为2m , 求正实数m 的取值范围; （3） 设20m -<<．记1()()
f x f x =, 1()(())k k f x f f x +=, *k N ∈．设n 是正整数, 求
关于x 的方程()0n f x =的解的个数．。
