2019年上海市复旦附中高三(上)开学考数学试卷(含答案)

2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为 （用数字作答）． 2．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð ．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是 ．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是 ． 5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 ．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为 ．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是 ．8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 ．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为 ．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是 ．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是 ．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为 ． 二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．19．（2016•东城区一模） 已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）． （1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围．21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围 （2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系;（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为 40 （用数字作答）． 【解答】解：设求的项为15(2)r r r T C x +=， 今2r =，222235240T C x x ∴==． 2x ∴的系数是402．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð {|02}x x <… ．【解答】解：全集U R =，集合{|2}A x x =<， {|0}{|0}B x x x x =<=…，那么{|02}U AB x x =<…ð．故选：{|02}x x <…．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是 ( ．【解答】解：函数y ，260x ∴->，解得x <y ∴的定义域是(．故答案为：(．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是 y =(0)x …．【解答】解：由1)y x =-…得，x =[0y ∈，)+∞，所以函数1)y x =-…的反函数是y =(0)x …．故答案为：y =(0)x …．5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 1{|2}3x x -<<【解答】解：不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，0a ∴<，且15322ba-+==-，13322ca-=-=， 0b ∴>，0c >，53b c =，23a c =-， ∴不等式20cx bx a ++<，即20b a x xc c ++<，即 252033x x +-<，即 23520x x +-<， 求得它的解集为1{|2}3x x -<<，故答案为：1{|2}3x x -<<．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为12或13-或 0 ．【解答】解：2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=且N M ⊆ {3M ∴=-，2} N =∅或{3}-或{2}N =∅时，0a =， {3}N =-时，13a =-，{2}N =时，12a =， 故答案为：11,,023-．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是 3[2，3] ．【解答】解：22325()34()24f x x x x =--=--，325()24f ∴=-，又(0)4f =-，故由二次函数图象可知：m 的值最小为32； 最大为3．m 的取值范围是：332m 剟．故答案3[2，3]8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 [3-，1] 【解答】解：根据题意化简得：22422xa a x x x+++-…对任意(1,)x ∈+∞恒成立， 令24()xf x x x x=+-， 222224()4(21)(1)(3)()1()()x x x x x x f x x x x x ---+-∴'=+=-- 令()03f x x '=⇒=或1-（舍负）令()03f x x '>⇒>；令()013f x x '<⇒<<； 3x ∴=时函数()f x 取得最小值且f （3）5=；2225a a ∴++…，化简得：2230a a +-…，即(1)(3)0a a -+…，解得31a -剟． 故答案为：[3-，1]．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为 {|11x x <<，或6}x > ． 【解答】解：由于关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，故有0a >，且1ba-=． 故关于x 的不等式2056ax bx x +>--，即10(6)(1)x x x ->-+． 用穿根法求得不等式的解集为{|11x x <<，或6}x >， 故答案为{|11x x <<，或6}x >．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是 (-∞，3)(3-⋃，)+∞【解答】解：由224936x y -=，得22194x y -=，∴y =由00x >⎧，解得3x >；由00x <⎧⎪⎨<⎪⎩，解得3x <-．∴函数()y f x =的定义域为(-∞，3)(3-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，3)(3-⋃，)+∞．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是 ①②④【解答】解：设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则 对于①：x X ∀∈，设,x a bQ =+∈，则x b =+，而b X ，从而x A ∈，故X A ⊆2b X =+，故A X ⊆，从而A X =； 对于②：x X ∀∈，设,,x a ab Q =+∈，令,x m n Q ∈，则可得2(2am bn an bm +++，从而22am bn +=，0an bm +=，解得2222am a b =-，222bn a b =--，且m ，n Q ∈，从而x B ∈，故X B ⊆，反过来，22222a X x a b ==-，故B X ⊆，从而B X =；对于③：取1211x x =+=--120x x X +=∉，从而C 不是X 的子集，故C X ≠；对于④：x X ∀∈，设x a b Q =+∈，则1(x a b =⨯+，取121,x x a ==+，则x D ∈，即X D ⊆，反过来1x ，2x X ∈时，12x x X ∈，故D X ⊆，故D X =． 综上，①②④正确， 故答案为①②④．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为 5 【解答】解：据题意知，A 的元素个数小于等于1，且A I ⊆，A ∴的可能情况为：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}， I ∴的所有好子集的个数为5．故答案为：5． 二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：实数a ，b ，c 满足c b a <<， 若“0ac <”，则0a >，“ab ac >”成立， 若“ab ac >”，则0a >，但“0ac <”不一定成立， 故“0ac <”是“ab ac >”成立的充分不必要条件， 故选：A ．14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：若不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”， 则根据题意需分两种情况：①当240a -=时，即2a =±，若2a =时，原不等式为410x -…，解得14x …，故舍去，若2a =-时，原不等式为10-…，无解，符合题意； ②当240a -≠时，即2a ≠±，22(4)(2)10a x a x -++-…的解集是空集，∴22240(2)4(4)(1)0a a a ⎧-<⎨=+--⨯-<⎩，解得625a -<<， 综上得，实数a 的取值范围是[2-，6]5．则当11a -剟时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题， 反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个， 故选：B ．15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π【解答】解：圆M 的面积为4π，∴圆M 的半径为2，根据勾股定理可知OM =过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ，60OMN ∴∠=︒，在直角三角形OMN 中，3ON ==，∴圆N ∴圆N 的面积为：7π．故选：A ．16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+【解答】解：依题意，1()f x -=([1,4])x ∈，所以函数121[()](2)y f x f x x --=+=x 满足14124x x ⎧⎨⎩剟剟，即12x 剟，又y x =[1，2]上的增函数，所以函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是[12+， 故选：C ． 三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．【解答】解：依题意，得2{|20}(A x x x =-->=-∞，1)(2-⋃，)+∞，310(0,3]B x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭…，于是可解得(2A B =，3]．设集合{|20}C x x p =+<，则(,)2px ∈-∞-．由于α是β的充分条件， 所以AB C ⊆．则须满足362pp <-⇒<-．所以，实数p 的取值范围是(,6)-∞-．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．【解答】解：（1）依题意，当x R ∈时，2680mx mx m -++…恒成立．当0m =时，x R ∈； 当0m ≠时，00m >⎧⎨⎩…即2(6)4(8)0m m m m >⎧⎨--+⎩…． 解之得01m <…，故实数m 的取值范围01m 剟．（2）当0m =时，y =当01m <…，ymin y ∴=因此，()1)f m m 剟， 易得0888m -剟．()f m ∴的值域为[0，．19．（2016•东城区一模） 已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．【解答】证明：（Ⅰ）1AA ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC1AC AA ∴⊥．90BAC ∠=︒，AC AB ∴⊥．又1A A ⊂平面11AA B B ，AB ⊂平面11AA B B ，1A A AB A =，AC ∴⊥平面11A ABB ． 1A B ⊂平面11A ABB ， 1AC A B ∴⊥．（Ⅱ）以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz ---，如图所示：则1(0A ，0，1)，B ，1(0,2,)2E ，F ．∴1(3,0,1)A B =-，31(1,)2EF =--． ∴1112cos ,||||A B EF A B EF A B EF 〈〉==． 直线EF 与1A B 所成的角为45︒．（Ⅲ）1(0,0,)2G ，(0,2,0)GE =，31()2GF =-．1(0AA =，0，1)．设平面GEF 的法向量为(n x =，y，)z ， 则n GE n GF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴2010.2y y z =⎧+-= 令z =(1,0,3)n =．1113cos ,||||n AA n AA n AA ∴<>==1A 在平面EFG 内的射影为H ，1HA A ∴∠为1AA 与平面EFG 所成的角的余角，113cos |cos ,|HA A n AA ∴∠=<>=． 16HA A π∴∠=．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）． （1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围． 【解答】解：（1）221212()24x x k x x +=…，当且仅当122kx x ==时等号成立，故u 的取值范围为2(0,]4k ．（2）解法一（函数法）:2222121212121212121221121212111111()()22x x x x k k x x x x x x x x u x x x x x x x x x x x x u+----=+--=+-=-+=-+ 由204k u <…，又1k …，210k -…， 21()2k f u u u -∴=-+在2(0,]4k 上是增函数所以121211()()x x x x --22222221142222()4424k k k k k u k u k k --=-+-+=-+=-…即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立．解法二（不等式证明的作差比较法）: 21212112()()()2k x x x x k---- 21212212211424x x k x x x x x x k =+----+ 212122122114()(2)4x x k x x x x k x x =----+- 2221212122121244()4k x x k x x x x k x x x x ---=--，将2212124()k x x x x -=-代入得： 21212112()()()2k x x x x k---- 2221212212()(44)4x x k x x k k x x ---=212()0x x -…，1k …时22221212444(1)0k x x k k k x x --=--<， ∴2221212212()(44)04x x k x x k k x x ---…， 即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立． （3）解法一（函数法）:记21212111()()2()k x x u f u x x u---=++=，则222()()24k k f k -=，即求使2()()4k f u f …对2(0,]4k u ∈恒成立的2k 的范围．由（2）知，要使21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立，必有01k <<， 因此210k ->，∴函数21()2k f u u u -=++在上递减，在)+∞上递增，要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f …，必有24k …4216160k k +-…，解得208k <…．解法二（不等式证明的作差比较法）:由（2）可知222212*********()(44)112()()()24x x k x x k k x x x x k k x x -------=，要不等式恒成立，必须2212440k x x k --…恒成立 即212244k x x k -…恒成立由21204k x x <…得222444k k k-…，即4216160k k +-…，解得208k <…． 因此不等式21212112()()()2k x x x x k---…恒成立的2k的范围是208k <… 21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围 （2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由【解答】（1）解：由：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭， ()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．可得函数()f x y x =，2()f x y x=在(0,)+∞为增函数， 2()22f x y x ax b x ==++，若1()f x ∈Ω，则02a-…，即0a …2()2f x by x a x x ==++， 22by x'=+， 当0b …，0x >时，0y '>，此时2()f x ∈Ω，不符合题意，舍去； 当0b <时，令0y '=，解得x ，此时函数在(0,)x ∈+∞有极值点，因此2()f x ∉Ω． 综上可得：当0b <时，1()f x ∈Ω且2()f x ∉Ω． （2）证明：由1()f x ∈Ω，若取120x x <<， 则12121212()()()f x f x f x x x x x x +<<+． 由表格可知：f （a ）d =，f （b ）d =，f （c ）t =，()4f a b c ++=， 0a b c a b c <<<<++，∴4d d t a b c a b c<<<++， 0d ∴<，4a d a b c <++，4b d a b c <++，4at a b c<++，24d t ∴+<，（3）对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <， 我们先证明()0f x …对(0,)x ∈+∞成立． 假设存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x >， 记02()0f x m x => 2()f x y x=是增函数． ∴当0x x >时，022()()0f x f x m x x >=>， 2()f x mx ∴>，∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立矛盾． 即()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．∴存在()f x T ∈，()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解． 假设存在20x >，使得2()0f x =， 2()f x y x =是增函数． 一定存在320x x >>，使322232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾． ()0f x ∴=在(0,)+∞上无解．综上，我们得到存在()f x T ∈，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立．∴存在常数0M …，使得存在()f x T ∈，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立．又令1()(0)f x x x=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，又有23()1f x x x=-在(0,)+∞上是增函数， ()f x T ∴∈，而任取常数0k <，总可以找到一个0n x >，使得n x x >时，有()f x k >．M ∴的最小值为0．。

2019年上海市复旦附中高考数学模拟试卷（4月份）一、填空题（本大题共有12题，满分33分）.1.方程的解为________________．【答案】【解析】或（舍）即，解得即答案为2.2.已知复数满足，则_____________．【答案】【解析】分析：设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案．详解：由，得，设，由得，即，解得，所以，则．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力．3.已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={,},则= .【答案】【解析】由题意或，因为，，，因此．【考点】集合的相等，解复数方程．4.袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是_____（结果用最简分数表示）.【答案】【解析】【分析】从5只球中随机取出3只，共种情况，而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况，由此能求出取出的球的编号之和为奇数的概率．【详解】从5只球中随机取出3只，共种情况，而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况，若取出3只球中有2只偶数1只是奇数，则有种情况，若取出的3只球中有3只是奇数则有种情况，所以取出的球的编号之和为奇数的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5.已知数列是共有k个项的有限数列，且满足，若，，，则_.【答案】【解析】由题数列是共有个项的有限数列，且满足，则，则……以上各式子同向相加，将代入可得（舍）.故答案为50.6._____【答案】2【解析】7.△ABC所在平面上一点P满足（，m为常数），若△ABP的面积为6，则△ABC 的面积为_____.【答案】12【解析】【分析】由已知中P是△ABC所在平面内一点，且满足，我们根据向量加法的三角形法则可得m2，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC＝2S△ABP，结合已知中△ABP的面积为6，即可得到答案．【详解】取AC的中点O，则（，m为常数），，到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC=2S△ABP=12.故答案为：12.【点睛】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义，其中根据m2，得到S△ABC＝2S△ABP，是解答本题的关键．8.若对任意，不等式恒成立，则m的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】问题转化为m＞对任意x∈R恒成立，只需由三角函数求出求y＝的最大值即可．【详解】不等式，即.由于的最大值为，，故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题．9.设，为的展开式的各项系数之和，，，（表示不超过实数x的最大整数），则的最小值为_____【答案】【解析】利用赋值法，令可得：，，利用数学归纳法证明：，当时，成立，假设当时不等式成立，即，当时：据此可知命题成立，则，，，故，的几何意义为点到点的距离，如图所示，最小值即到的距离，由点到直线距离公式可得的最小值为.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为 （用数字作答）． 2．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð ．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是 ．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是 ． 5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 ．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为 ．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是 ．8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 ．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为 ．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是 ．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是 ．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为 ． 二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．19．（2016•东城区一模） 已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）． （1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围．21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围 （2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系;（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为 40 （用数字作答）． 【解答】解：设求的项为15(2)r r r T C x +=， 今2r =，222235240T C x x ∴==． 2x ∴的系数是402．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð {|02}x x <… ．【解答】解：全集U R =，集合{|2}A x x =<， {|0}{|0}B x x x x =<=…，那么{|02}U AB x x =<…ð．故选：{|02}x x <…．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是 ( ．【解答】解：函数y ，260x ∴->，解得x <y ∴的定义域是(．故答案为：(．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是 y =(0)x …．【解答】解：由1)y x =-…得，x =[0y ∈，)+∞，所以函数1)y x =-…的反函数是y =(0)x …．故答案为：y =(0)x …．5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 1{|2}3x x -<<【解答】解：不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，0a ∴<，且15322ba-+==-，13322ca-=-=， 0b ∴>，0c >，53b c =，23a c =-， ∴不等式20cx bx a ++<，即20b a x xc c ++<，即 252033x x +-<，即 23520x x +-<， 求得它的解集为1{|2}3x x -<<，故答案为：1{|2}3x x -<<．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为12或13-或 0 ．【解答】解：2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=且N M ⊆ {3M ∴=-，2} N =∅或{3}-或{2}N =∅时，0a =， {3}N =-时，13a =-，{2}N =时，12a =， 故答案为：11,,023-．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是 3[2，3] ．【解答】解：22325()34()24f x x x x =--=--，325()24f ∴=-，又(0)4f =-，故由二次函数图象可知：m 的值最小为32； 最大为3．m 的取值范围是：332m 剟．故答案3[2，3]8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 [3-，1] 【解答】解：根据题意化简得：22422xa a x x x+++-…对任意(1,)x ∈+∞恒成立， 令24()xf x x x x=+-， 222224()4(21)(1)(3)()1()()x x x x x x f x x x x x ---+-∴'=+=-- 令()03f x x '=⇒=或1-（舍负）令()03f x x '>⇒>；令()013f x x '<⇒<<； 3x ∴=时函数()f x 取得最小值且f （3）5=；2225a a ∴++…，化简得：2230a a +-…，即(1)(3)0a a -+…，解得31a -剟． 故答案为：[3-，1]．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为 {|11x x <<，或6}x > ． 【解答】解：由于关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，故有0a >，且1ba-=． 故关于x 的不等式2056ax bx x +>--，即10(6)(1)x x x ->-+． 用穿根法求得不等式的解集为{|11x x <<，或6}x >， 故答案为{|11x x <<，或6}x >．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是 (-∞，3)(3-⋃，)+∞【解答】解：由224936x y -=，得22194x y -=，∴y =由00x >⎧，解得3x >；由00x <⎧⎪⎨<⎪⎩，解得3x <-．∴函数()y f x =的定义域为(-∞，3)(3-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，3)(3-⋃，)+∞．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是 ①②④【解答】解：设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则 对于①：x X ∀∈，设,x a bQ =+∈，则x b =+，而b X ，从而x A ∈，故X A ⊆2b X =+，故A X ⊆，从而A X =； 对于②：x X ∀∈，设,,x a ab Q =+∈，令,x m n Q ∈，则可得2(2am bn an bm +++，从而22am bn +=，0an bm +=，解得2222am a b =-，222bn a b =--，且m ，n Q ∈，从而x B ∈，故X B ⊆，反过来，22222a X x a b ==-，故B X ⊆，从而B X =；对于③：取1211x x =+=--120x x X +=∉，从而C 不是X 的子集，故C X ≠；对于④：x X ∀∈，设x a b Q =+∈，则1(x a b =⨯+，取121,x x a ==+，则x D ∈，即X D ⊆，反过来1x ，2x X ∈时，12x x X ∈，故D X ⊆，故D X =． 综上，①②④正确， 故答案为①②④．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为 5 【解答】解：据题意知，A 的元素个数小于等于1，且A I ⊆，A ∴的可能情况为：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}， I ∴的所有好子集的个数为5．故答案为：5． 二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：实数a ，b ，c 满足c b a <<， 若“0ac <”，则0a >，“ab ac >”成立， 若“ab ac >”，则0a >，但“0ac <”不一定成立， 故“0ac <”是“ab ac >”成立的充分不必要条件， 故选：A ．14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：若不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”， 则根据题意需分两种情况：①当240a -=时，即2a =±，若2a =时，原不等式为410x -…，解得14x …，故舍去，若2a =-时，原不等式为10-…，无解，符合题意； ②当240a -≠时，即2a ≠±，22(4)(2)10a x a x -++-…的解集是空集，∴22240(2)4(4)(1)0a a a ⎧-<⎨=+--⨯-<⎩，解得625a -<<， 综上得，实数a 的取值范围是[2-，6]5．则当11a -剟时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题， 反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个， 故选：B ．15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π【解答】解：圆M 的面积为4π，∴圆M 的半径为2，根据勾股定理可知OM =过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ，60OMN ∴∠=︒，在直角三角形OMN 中，3ON ==，∴圆N ∴圆N 的面积为：7π．故选：A ．16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+【解答】解：依题意，1()f x -=([1,4])x ∈，所以函数121[()](2)y f x f x x --=+=x 满足14124x x ⎧⎨⎩剟剟，即12x 剟，又y x =[1，2]上的增函数，所以函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是[12+， 故选：C ． 三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．【解答】解：依题意，得2{|20}(A x x x =-->=-∞，1)(2-⋃，)+∞，310(0,3]B x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭…，于是可解得(2A B =，3]．设集合{|20}C x x p =+<，则(,)2px ∈-∞-．由于α是β的充分条件， 所以AB C ⊆．则须满足362pp <-⇒<-．所以，实数p 的取值范围是(,6)-∞-．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．【解答】解：（1）依题意，当x R ∈时，2680mx mx m -++…恒成立．当0m =时，x R ∈； 当0m ≠时，00m >⎧⎨⎩…即2(6)4(8)0m m m m >⎧⎨--+⎩…． 解之得01m <…，故实数m 的取值范围01m 剟．（2）当0m =时，y =当01m <…，ymin y ∴=因此，()1)f m m 剟， 易得0888m -剟．()f m ∴的值域为[0，．19．（2016•东城区一模） 已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．【解答】证明：（Ⅰ）1AA ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC1AC AA ∴⊥．90BAC ∠=︒，AC AB ∴⊥．又1A A ⊂平面11AA B B ，AB ⊂平面11AA B B ，1A A AB A =，AC ∴⊥平面11A ABB ． 1A B ⊂平面11A ABB ， 1AC A B ∴⊥．（Ⅱ）以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz ---，如图所示：则1(0A ，0，1)，B ，1(0,2,)2E ，F ．∴1(3,0,1)A B =-，31(1,)2EF =--． ∴1112cos ,||||A B EF A B EF A B EF 〈〉==． 直线EF 与1A B 所成的角为45︒．（Ⅲ）1(0,0,)2G ，(0,2,0)GE =，31()2GF =-．1(0AA =，0，1)．设平面GEF 的法向量为(n x =，y，)z ， 则n GE n GF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴2010.2y y z =⎧+-= 令z =(1,0,3)n =．1113cos ,||||n AA n AA n AA ∴<>==1A 在平面EFG 内的射影为H ，1HA A ∴∠为1AA 与平面EFG 所成的角的余角，113cos |cos ,|HA A n AA ∴∠=<>=． 16HA A π∴∠=．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）． （1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围． 【解答】解：（1）221212()24x x k x x +=…，当且仅当122kx x ==时等号成立，故u 的取值范围为2(0,]4k ．（2）解法一（函数法）:2222121212121212121221121212111111()()22x x x x k k x x x x x x x x u x x x x x x x x x x x x u+----=+--=+-=-+=-+ 由204k u <…，又1k …，210k -…， 21()2k f u u u -∴=-+在2(0,]4k 上是增函数所以121211()()x x x x --22222221142222()4424k k k k k u k u k k --=-+-+=-+=-…即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立．解法二（不等式证明的作差比较法）: 21212112()()()2k x x x x k---- 21212212211424x x k x x x x x x k =+----+ 212122122114()(2)4x x k x x x x k x x =----+- 2221212122121244()4k x x k x x x x k x x x x ---=--，将2212124()k x x x x -=-代入得： 21212112()()()2k x x x x k---- 2221212212()(44)4x x k x x k k x x ---=212()0x x -…，1k …时22221212444(1)0k x x k k k x x --=--<， ∴2221212212()(44)04x x k x x k k x x ---…， 即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立． （3）解法一（函数法）:记21212111()()2()k x x u f u x x u---=++=，则222()()24k k f k -=，即求使2()()4k f u f …对2(0,]4k u ∈恒成立的2k 的范围．由（2）知，要使21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立，必有01k <<， 因此210k ->，∴函数21()2k f u u u -=++在上递减，在)+∞上递增，要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f …，必有24k …4216160k k +-…，解得208k <…．解法二（不等式证明的作差比较法）:由（2）可知222212*********()(44)112()()()24x x k x x k k x x x x k k x x -------=，要不等式恒成立，必须2212440k x x k --…恒成立 即212244k x x k -…恒成立由21204k x x <…得222444k k k-…，即4216160k k +-…，解得208k <…． 因此不等式21212112()()()2k x x x x k---…恒成立的2k的范围是208k <… 21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围 （2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由【解答】（1）解：由：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭， ()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．可得函数()f x y x =，2()f x y x=在(0,)+∞为增函数， 2()22f x y x ax b x ==++，若1()f x ∈Ω，则02a-…，即0a …2()2f x by x a x x ==++， 22by x'=+， 当0b …，0x >时，0y '>，此时2()f x ∈Ω，不符合题意，舍去； 当0b <时，令0y '=，解得x ，此时函数在(0,)x ∈+∞有极值点，因此2()f x ∉Ω． 综上可得：当0b <时，1()f x ∈Ω且2()f x ∉Ω． （2）证明：由1()f x ∈Ω，若取120x x <<， 则12121212()()()f x f x f x x x x x x +<<+． 由表格可知：f （a ）d =，f （b ）d =，f （c ）t =，()4f a b c ++=， 0a b c a b c <<<<++，∴4d d t a b c a b c<<<++， 0d ∴<，4a d a b c <++，4b d a b c <++，4at a b c<++，24d t ∴+<，（3）对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <， 我们先证明()0f x …对(0,)x ∈+∞成立． 假设存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x >， 记02()0f x m x => 2()f x y x=是增函数． ∴当0x x >时，022()()0f x f x m x x >=>， 2()f x mx ∴>，∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立矛盾． 即()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．∴存在()f x T ∈，()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解． 假设存在20x >，使得2()0f x =， 2()f x y x =是增函数． 一定存在320x x >>，使322232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾． ()0f x ∴=在(0,)+∞上无解．综上，我们得到存在()f x T ∈，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立．∴存在常数0M …，使得存在()f x T ∈，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立．又令1()(0)f x x x=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，又有23()1f x x x=-在(0,)+∞上是增函数， ()f x T ∴∈，而任取常数0k <，总可以找到一个0n x >，使得n x x >时，有()f x k >．M ∴的最小值为0．。

上海市复旦附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 设x ∈R ，则“x 2<1”是“lgx <0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 定义在R 上的函数f(x)的反函数为f −1(x)且对于任意x ∈R ，都有f(−x)+f(x)=3，则f −1(x −1)+f −1(4−x)=( )A. 0B. −2C. 2D. 2x −43. 如果双曲线x 2m−y 2n=1(m >0,n >0)的渐近线方程渐近线为y =±12x ，则双曲线的离心率为( )A. 54B. 32C. √54 D. √524. 已知函数f(x)满足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f(x +y)+f(x −y)(x,y ∈R)，则f(10)=( )A. 14B. 4C. −14D. −4二、填空题（本大题共12小题，共52.0分） 5. 计算n →∞lim(1−n n+1)的结果是______．6. 复数z =ai 1+2i (a <0)，其中i 为虚数单位，|z|=√5，则a 的值为______ ．7. 已知向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(−2,4)，且(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则实数x =______8. 集合A ={0,1，2，3}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =______．9. (x 2−2x +1)4的展开式中x 7的系数是______ ．10. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 对应的边分别为a ，b ，c ，若∠A =2π3，a =2，b =2√33，则∠B 等于_______．11. 若圆锥底面圆的半径为3，体积为12π，则该圆锥的侧面积是________。

12. 首项和公比均为12的等比数列{a n }，S n 是它的前n 项和，则n →∞limS n =______．13. 在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若同学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为____;乙、丙两人都选物理的概率是____． 14. 比较大小：(1)a 2+b 2_______2ab(a,b ∈R)；(2)ab +ba_________2(ab>0)．15.已知函数f(x)=2sin(x+π3),x∈(0,π3)，则f(x)的值域为__________．16.函数f(x)=2sin(2x+π6)−1在x∈[π12,π2]上的值域为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n，T n=b1+b2+⋯+b n，求T n．18.已知函数f(x)=2sin (x+π3)⋅cosx．(1)若0≤x≤π2，求函数f(x)的值域；(2)设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A为锐角，且b=2，a=√7，f(A)=√32，求cos(A−B)的值．19.随着人们生活水平的逐步提高，保健品市场正在逐步扩大．某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年度进行一系列的促销活动，经过市场调查和测算，保健品的年销量(k为常数)，如果不搞促销活动，保健品的年x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3−x=kt+1销量只有1万件．已知2019年生产保健品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件保健品需再投入32万元的生产费用．每件保健品的售价为其生产成本的150％与平均每件促销费用的一半之和，且当年生产的保健品正好能销完．(1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t的函数；(2)该企业2019年的促销费用投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润=销售收入−生产成本−促销费用，生产成本=固定费用+生产费用)20.已知函数f(x)=x，若数列{a n}(n∈N∗)满足：a1=1，a n+1=f(a n)x+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{c n}满足：c n=2n，求数列{c n}的前n项的和S n．a n21.设实数a∈R，函数f(x)=a−2是R上的奇函数．2x+1(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)当x∈(−1,1)时，求满足不等式f(1−m)+f(1−m2)<0的实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．先分别求解”x2<1”、“lgx<0”中x的取值范围，再根据必要条件、充分条件、充要条件定义判断即可．解：∵x2<1，即−1<x<1，lgx<0，即0<x<1，∴由0<x<1推出−1<x<1，而由−1<x<1推不出0<x<1，∴“x2<1”是“lgx<0”的必要不充分条件．故选B．2.答案：A解析：本题考查反函数的运算性质，属于基础题，利用反函数的运算性质即可得出．解：∵在R上的函数f(x)的反函数为f−1(x)，且对于任意x∈R，都有f(−x)+f(x)=3，∴f−1(3)=−x+x=0，则f(f−1(x−1)+f−1(4−x))=x−1+4−x=3，∴f−1(x−1)+f−1(4−x)=0．故选A．3.答案：D解析：解：∵双曲线方程为x2m −y2n=1(m>0,n>0)∴a2=m，b2=n，得a=√m，b=√n因此双曲线的渐近线方程y=±ba x，即y=±√nmx∴√n m =12，得m =4n ，所以c =√a 2+b 2=√5n 双曲线的离心率e =c a=√5n m=√5n 4n=√52故选：D ．根据双曲线方程得a =√m ，b =√n.结合双曲线的渐近线方程，得a =2b ，即m =4n ，再利用离心率的计算公式即可算出该双曲线的离心率．本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．4.答案：C解析：令y =1，则4f(x)f(1)=f(x +1)+f(x −1)，所以f(x)=f(x +1)+f(x −1)，所以f(x +1)=f(x +2)+f(x)，所以f(x +2)+f(x −1)=0，即f(x)+f(x +3)=0，所以f(10)=−f(7)=f(4)=−f(1)=−145.答案：0解析：解：n →∞lim(1−nn+1)=n →∞lim(1−11+1n)=1−11−0=0．故答案为：0．利用数列的极限的运算法则求解即可．本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．6.答案：−5解析：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 解：复数z =ai1+2i =ai(1−2i)(1+2i)(1−2i)=ai+2a 5，∵|z|=√5，∴√(2a5)2+(a 5)2=√5，化为：a 2=25，(a <0)． 解得a =−5． 故答案为：−5．7.答案：112解析：解：a⃗−b⃗ =(3,x−4)；∵(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ；∴(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =−6+4(x−4)=0；∴x=11．2故答案为：11．2可求出a⃗−b⃗ =(3,x−4)，根据(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ 即可得出(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量坐标的减法和数量积的运算，向量垂直的充要条件．8.答案：{0,1，2}解析：解：∵集合A={0,1，2，3}，B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∩B={0,1，2}．故答案为：{0,1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：−8解析：解：(x2−2x+1)4=(x−1)8的展开式的通项公式为T r+1=C8r⋅(−1)r⋅x8−r，令8−r=7，求得r=1，可得展开式中x7的系数是−8，故答案为：−8．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于07，求得r的值，即可求得展开式中的x7的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．10.答案：π6解析：本题主要考查正弦定理的应用.直接利用正弦定理求解sin B ，进而得到角B 的大小．解：在三角形ABC 中，由正弦定理得asinA =bsinB ， 即2√32=2√33sinB，解得sinB =12，因为b <a ， 则B =π6，故答案为π6．11.答案：15π解析：本题主要考查圆锥侧面积，解答本题的关键是求出圆锥的母线长l =√r 2+ℎ2=√32+42=5，然后再求它的侧面积．解：设圆锥的高为h ，底面半径为r ， ∵圆锥底面圆的半径为3，体积为12π，，即ℎ=4，∴圆锥的母线长l =√r 2+ℎ2=√32+42=5， ∴圆锥的侧面积，故答案为15π．12.答案：1解析：解：根据题意，等比数列{a n }的首项和公比均为12， 则其前n 项和S n =12[1−(12)n ]1−12=1−(12)n ，则n →∞limS n =1； 故答案为：1．。

复旦大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()y f x =的图象如图甲所示，则函数(||)f x 的图象是 图乙中的（ ）2． 设βα,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若α⊥l ，βα⊥，则β⊂l B ．若α//l ， βα//，则β⊂l C ．若α⊥l ，βα//，则β⊥l D ．若α//l ，βα⊥，则β⊥l 3． 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A B1C D4． “3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．5． 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）6．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．77．已知函数，，若，则（）A1B2 C3 D-18． 函数21()ln 2f x x x ax =++存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力． 9． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）A ．725B ．725- C. 725± D ．242510．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交双曲线于Q P ,两点且1PF PQ ⊥，若||||1PF PQ λ=，34125≤≤λ，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）.A. ]210,1(B. ]537,1(C. ]210,537[ D. ),210[+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）11．4213532,4,25a b c ===，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<12．已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A B k k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ> ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上） 14．设集合 {}{}22|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,满足A B =∅,{}|52A B x x =-<≤,求实数a =__________.15．在ABC ∆中，90C ∠=，2BC =，M 为BC 的中点，1sin 3BAM ∠=，则AC 的长为_________. 16．数列{ a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c （c 为常数），{a n }的前10项和为S 10＝200，则c ＝________．三、解答题（本大共6小题，共70分。

2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）第一次综合测试数学试卷（10月份）一、填空题[第16题每题4分，第7-12每题5分，共54分）1. 已知P：“角α的终边在第一象限”，q：“sinα>0”，则p是q的________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】充分非必要【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由“sinα>0”，可以推出“角α的终边在第一，第二象限以及y轴正半轴“；由此即可判断．【解答】若：“角α的终边在第一象限”，则“sinα>0”成立；所以p是q的充分条件；若“sinα>0”，则“角α的终边在第一，第二象限以及y轴正半轴”；所以p不是q的必要条件；2. 函数f(x)＝x2−1(x<0)的反函数f−1(x)＝________−√x+1（________>−1）．【答案】,x【考点】反函数【解析】求出值域值域为(−1, +∞)，根据得出x=−√y+1，转化变量求解反函数即可．【解答】∵函数f(x)＝x2−1(x<0)，∴值域为(−1, +∞)，y＝x2−1，∴反函数f−1(x)=−√x+1(x>−1)，3. 记不等式x2+x−6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x−a)的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．【答案】(−∞, −3]【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】由x2+x−6<0得−3<x<2，即A(−3, 2)，由x−a>0，得x>a，即B＝(a, +∞)，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，即a≤−3，4. 设f(x)＝1g1−axx−1为奇函数，则a＝________．【答案】−1【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由奇函数的定义可得f(x)+f(−x)＝0，即1g1−axx−1+1g1+ax−x−1=lg1−a2x21−x2=0，分析可得a的值，验证f(x)的奇偶性即可得答案．【解答】根据题意，f(x)＝1g1−axx−1为奇函数，则f(x)+f(−x)＝0，即1g1−axx−1+1g1+ax−x−1=lg1−a2x21−x=0，必有1−a 2x21−x2=1，解可得a＝1或−1，若a＝1，f(x)＝1g1−xx−1=lg(−1)，没有意义，舍去；若a＝−1，f(x)＝1g1+xx−1，为奇函数，符合题意；故a＝−1；5. 已知a>1，则不等式a+2a−1的最小值为________．【答案】1+2√2．【考点】基本不等式【解析】由基本不等式可得a+2a−1=a−1+2a−1+1≥1+2√2，检验取等号的条件．【解答】解：∵a>1,∴a−1>0,∴a+2a−1=a−1+2a−1+1≥1+2√2，当且仅当a−1=2a−1，即a=1+√2时等号成立．∴不等式a+2a−1的最小值为1+2√2．故答案为1+2√2．6. 已知集合A＝{−2, −1, 0}，B＝{−1, 0, 1, 2}，则集合{a−b|a∈A, b∈B}的子集个数为________．【答案】64【考点】 子集与真子集 【解析】可以求出集合{a −b|a ∈A, b ∈B}＝{1, 0, −1, −2, −3, −4}，从而子集个数为26． 【解答】a ∈A ，b ∈B ，∴ a −b ＝−1，−2，−3，−4，0，1，∴ 集合{a −b|a ∈A, b ∈B}＝{1, 0, −1, −2, −3, −4}； ∴ {a −b|a ∈A, b ∈B}的子集个数为：26＝64．7. 已知sin α+cos α=−713，α∈(−π2,0)，则tan α＝________．【答案】−125【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系变形求出2sin αcos α的值，进而判断出sin α−cos α的正负，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sin α−cos α的值，联立求出sin α与cos α的值，即可确定出tan α的值． 【解答】 把sin α+cos α=−713①，两边平方得：(sin α+cos α)2＝1+2sin αcos α=49169， ∴ 2sin αcos α=−120169，∵ α∈(−π2, 0)，∴ sin α<0，cos α>0，即sin α−cos α<0，∴ (sin α−cos α)2＝1−2sin αcos α=289169，即sin α−cos α=−1713②， 联立①②，解得：sin α=−1213，cos α=513，则tan α=−125．8. 已知正数a ，b 满足b a ＝4，且a +log 2b ＝3，则a +b ＝________．【答案】 4或5 【考点】指数式与对数式的互化 【解析】将b a ＝4等号两边取以2为底的对数，结合已知条件，转化为关于a 和log 2b 的方程，求出a 和log 2b ，即可得到所求． 【解答】 ∵ b a ＝4，∴ log 2b a =log 24，即a log 2b ＝2①，又a +log 2b ＝3②，联立①②得{a =1log 2b =2 或者{a =2log 2b =1 ，即{a =1b =4 或者{a =2b =2 ， ∴ a +b ＝4或者a +b ＝5，9. 已知函数f(x)=2x−1x−1的定义域是(−∞, 0]∪[3, +∞)，则f(x)的值域是________．【答案】[1,2)∪(2,52]【考点】函数的值域及其求法 函数的定义域及其求法 【解析】分x ≤0及x ≥3两种情况，利用不等式的性质求解． 【解答】 f(x)=2(x−1)+1x−1=2+1x−1，当x ≤0时，x −1≤−1,−1≤1x−1<0,1≤2+1x−1<2，当x ≥3时，x −1≥2,0<1x−1≤12,2<2+1x−1≤52， 综上，函数f(x)在(−∞, 0]∪[3, +∞)的值域为[1,2)∪(2,52]．10. 对于函数f(x)，若存在正实数M ，对于任意x ∈(1, +∞)，都有|f(x)|≤M ，则称函数f(x)在(1, +∞)上是有界函数．下列函数：①f(x)=xx−1；②f(x)=xx 2+1；③f(x)=x−1x+1；④f(x)＝x sin x ；其中在(1, +∞)上是有界函数的序号为________． 【答案】 ②③ 【考点】函数的值域及其求法 【解析】分析求出当x ∈(1, +∞)时，给定四个函数的值域，进而判断是否存在正实数M ，对于任意任意x ∈(1, +∞)，都有|f(x)|≤M ，进而得出结论． 【解答】对①，函数f(x)=xx−1=x−1+1x−1=1+1x−1，其在(1, +∞)上为减函数，且值域为(1, +∞)，故不是有界函数； 对②，函数f(x)=x x 2+1=1x+1x(x >1)，由于x +1x >2(x >1)，故0<f(x)<12，则|f(x)|<12，即存在M =12，故是有界函数； 对③，函数f(x)=x+1−2x+1=1−2x+1(x >1)，由于0<1x+1<12，0<2x+1<1，故0<1−2x+1<1，则|f(x)|<1，即存在M＝1，故是有界函数；对④，函数f(x)＝x sin x在(1, +∞)上的值域为R，故不是有界函数．11. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝21og2x、y＝log2x、y＝k log2x(k为常数，0<k<1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C．若四边形ABCD为矩形，则k的值是________12．【答案】12【考点】对数函数的图象与性质【解析】设A(t, 21og2t)(t>1)，则B(t2, 21og2t)，D(t, log2t)，C(t2, 2k log2t)，则有log2t＝2k log2t，解出即可．【解答】设A(t, 21og2t)(t>1)，由AB平行x轴得B(t2, 21og2t)，由AD平行y轴得D(t, log2t)，又BC平行y轴，∴C的坐标为(t2, 2k log2t)，∵四边形ABCD为矩形，∴有log2t＝2k log2t，由于log2t>0，故2k＝1，即k=12．12. 已知函数g(x)的定义域为R，对任何实数m，n，都有g(m+n)＝g(m)+g(n)−3，且函数f(x)=x√1−x2x2+1+g(x)的最大值为p，最小值为q，则p+q值为________．【答案】6【考点】函数的最值及其几何意义【解析】根据题意，可令m＝n＝0，从而求出g(0)＝3，然后令m＝−n可得出函数g(x)−3是奇函数，并且y=x√1−x2x2+1是奇函数，从而可得出f(x)−3是奇函数，从而得出p−3+q−3＝0，从而可求出p+q的值．【解答】∵g(x)的定义域为R，对任何实数m，n，都有g(m+n)＝g(m)+g(n)−3，∴令m＝n＝0得，g(0)＝g(0)+g(0)−3，∴令m＝−n得，g(0)＝g(−n)+g(n)−3＝3，∴[g(−n)−3]+[g(n)−3]＝0，∴g(x)−3是R上的奇函数，且函数y=x√1−x2x2+1是R上的奇函数，∴f(x)−3是R上的奇函数，根据奇函数最大值和最小值互为相反数得，p−3+q−3＝0，∴p+q＝6．二、选择题（每题5分，共20分）设a∈(0, +∞)，b∈(0, +∞)，则“a<b“是“a−1a <b−1b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】将a−1a −b+1b化简成(a−b)(1+1ab)，由此来判断a，b的大小关系；即可求解．【解答】∵a−1a −b+1b=(a−b)(1+1ab)，a∈(0, +∞)，b∈(0, +∞)，∴ ①若“a<b“，则a−1a −b+1b<0，即a−1a<b−1b；所以具有充分性；②若a−1a <b−1b，则(a−b)(1+1ab)<0，即a<b；所以具有必要性；设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πa2B.73πa2 C.113πa2 D.5πa2【答案】B【考点】球内接多面体【解析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为R=√(a2)2+(a2sin60∘)2=√712a2，球的表面积为S=4π⋅7a 212=73πa2.故选B.函数f(x)的定义域为[−1, 1]，图象如图1所示；函数g(x)的定义域为[−1, 2]，图象如图2所示．A ＝{x|f(g(x))＝0}，B ＝{x|g(f(x))＝0}，则A ∩B 中元素的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】 C【考点】 交集及其运算函数的图象与图象的变换 【解析】结合图象，分别求出集合A ，B ，再根据交集的定义求出A ∩B ，问题得以解决． 【解答】 由图象可知，若f （g(x)）＝0， 则g(x)＝0或g(x)＝1，由图2知，g(x)＝0时，x ＝0，或x ＝2， g(x)＝1时，x ＝1或x ＝−1 故A ＝{−1, 0, 1, 2}， 若g （f(x)）＝0，由图1知，f(x)＝0，或f(x)＝2（舍去）， 当f(x)＝0时，x ＝−1或0或1， 故B ＝{−1, 0, 1}，所以A ∩B ＝{−1, 0, 1}，则A ∩B 中元素的个数为3个．设函数f(x)的定义域为R ，满足f(x +2)＝2f(x)，且当x ∈(0, 2]时，f(x)=x +1x −94．若对任意x ∈(−∞, m]，都有f(x)≥−23，则m 的取值范围是( )A.(−∞,215] B.(−∞,163]C.(−∞,184]D.(−∞,194]【答案】 D【考点】已知函数的单调性求参数问题 基本不等式在最值问题中的应用 【解析】先利用函数f(x)的单调性，求出其在x ∈(0, 2]时的最值，然后根据递推关系可知， 当图象向右平移2个单位时，最小值变为原来的2倍，即可分析出何时f(x)min ≥−23． 【解答】解：当x ∈(4, 6]时，f min =f(5)=−1(1)所以要对任意x ∈(−∞, m]，都有f(x)≥−23，∵x∈(4, 5)时，函数f(x)递减，x∈(5, 6]时，函数f(x)递增，所以当m最大时，m∈(4, 5)，且f(x)min=f(m)=2f(m−2)=4f(m−4)=4[m−4+1m−4−94]≥−23，解得m≤194，故m的取值范围是(−∞, 194]．故选D.三、解笞题（共76分）三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且√2sin B=√3cos B．(1)若cos A=13，求sin C的值；(2)若b=√7，sin A=3sin C，求三角形ABC的面积．【答案】解：(1)由√2sin B=√3cos B，两边平方得2sin2B=3cos B，即2(1−cos2B)=3cos B，解得：cos B=12或cos B=−2（舍去），又B为三角形内角，∴B=π3，∵cos A=13，且A为三角形内角，∴sin A=√1−cos2A=2√23，则sin C=sin(B+A)=sin(π3+A)=√32cos A+12sin A=√3+2√26；(2)∵sin A=3sin C，由正弦定理可得a=3c，∵cos B=12，b=√7，∴由余弦定理知：b2=a2+c2−2ac cos B，即7=9c2+c2−3c2，解得：c=1，a=3c=3，则S△ABC=12ac sin B=3√34．【考点】余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】（1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简求出cos B的值，即可确定出B的度数；（2）利用正弦定理化简sin A＝3sin C，得到a＝3c，利用余弦定理列出关系式，将b，cos B，以及a＝3c代入求出c的值，进而求出a的值，再由sin B的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：(1)由√2sin B =√3cos B ，两边平方得2sin 2B =3cos B ， 即2(1−cos 2B)=3cos B ，解得：cos B =12或cos B =−2（舍去）， 又B 为三角形内角， ∴ B =π3，∵ cos A =13，且A 为三角形内角， ∴ sin A =√1−cos 2A =2√23， 则sin C =sin (B +A)=sin (π3+A) =√32cos A +12sin A =√3+2√26； (2) ∵ sin A =3sin C ，由正弦定理可得a =3c ， ∵ cos B =12，b =√7，∴ 由余弦定理知：b 2=a 2+c 2−2ac cos B ，即7=9c 2+c 2−3c 2，解得：c =1，a =3c =3， 则S △ABC =12ac sin B =3√34．如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD // BC ，AB ⊥AD ，BC =2√33，AB ＝1，BD ＝PA ＝2．（1）求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值；（2）求二面角A −PD −C 的余弦值． 【答案】∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥AB ，PA ⊥AD ．又AD ⊥AB ，故分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 根据条件得AD =√3，所以B(1, 0, 0)，D(0, √3, 0)，C(1, 2√33, 0)，P(0, 0, 2)． 从而BD →=(−1, √3, 0)，PC →=(1, 2√33, −2)． 设异面直线BD ，PC 所成角为θ，则cos θ＝|cos <BD →，PC →)>|=|BD →⋅PC →|BD →||PC →||=(−1,√3,0)⋅(1,2√33,−2)2×√193=√5738， 即异面直线BD 与PC 所成角的余弦值为√5738； ∵ AB ⊥平面PAD ，∴ 平面PAD 的一个法向量为AB →=(1, 0, 0)． 设平面PCD 的一个法向量为n →=(x, y, z)， 由n →⊥PC →，n →⊥PD →，PC →=(1, 2√33, −2)，PD →=(0, √3, −2)，得{x +2√33y −2z =0√3y −2z =0，令z ＝3，得n →=(2, 2√3, 3)．设二面角A −PD −C 的大小为φ，且为锐角， 则cos φ＝cos <AB →，n →>=AB →⋅n→|AB →||n →|=(1,0,0)⋅(2,2√3,3)1×5=25，即二面角A −PD −C 的余弦值为25．【考点】二面角的平面角及求法 异面直线及其所成的角 【解析】（1）以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，所求值即为BD →与PC →夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）所求值即为平面PAD 的一个法向量与平面PCD 的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可． 【解答】∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥AB ，PA ⊥AD ．又AD ⊥AB ，故分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 根据条件得AD =√3，所以B(1, 0, 0)，D(0, √3, 0)，C(1, 2√33, 0)，P(0, 0, 2)． 从而BD →=(−1, √3, 0)，PC →=(1, 2√33, −2)． 设异面直线BD ，PC 所成角为θ，则cos θ＝|cos <BD →，PC →)>|=|BD →⋅PC →|BD →||PC →||=(−1,√3,0)⋅(1,2√33,−2)2×√193=√5738， 即异面直线BD 与PC 所成角的余弦值为√5738； ∵ AB ⊥平面PAD ，∴ 平面PAD 的一个法向量为AB →=(1, 0, 0)． 设平面PCD 的一个法向量为n →=(x, y, z)， 由n →⊥PC →，n →⊥PD →，PC →=(1, 2√33, −2)，PD →=(0, √3, −2)，得{x +2√33y −2z =0√3y −2z =0，令z ＝3，得n →=(2, 2√3, 3)．设二面角A −PD −C 的大小为φ，且为锐角， 则cos φ＝cos <AB →，n →>=AB →⋅n→|AB →||n →|=(1,0,0)⋅(2,2√3,3)1×5=25，即二面角A −PD −C 的余弦值为25．某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足y ＝mf(x)，其中f(x)={x4+2(0<x ≤4)6x−2(x >4)，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水口释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．（1）如果投放的药剂质量为m ＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m 的值． 【答案】因为m ＝4，所以y ＝m ⋅f(x)={x +8(0<x ≤4)24x−2(x >4) ； 所以，当0<x ≤4时，x +8≥4显然成立，当x >4时，24x−2≥4，得4<x ≤8；综上知，0<x ≤8；所以，自来水达到有效净化一共可持续8天．由y＝m⋅f(x)={mx4+2m(0<x≤4)6mx−2(x>4)知，在区间(0, 4]上单调递增，即2m<y≤3m，在区间(4, 7]上单调递减，即6m5≤y<3m，综上知，6m5≤y≤3m；为使4≤y≤10恒成立，只要6m5≥4，且3m≤10即可，即m=103；所以，为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，该投放的药剂量应为103．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）由m＝4，且y＝m⋅f(x)，可得药剂在水中释放浓度y的函数；因为函数y是分段函数，在求释放浓度不低于4（即y≥4）时，要分区间去求解．（2）由函数y是分段函数，故分区间讨论函数的单调性，从而求得y的取值范围，即药剂在水中释放浓度的大小；为使最佳净化，即4≤y≤10恒成立，只要使y的取值范围在区间[4, 10]内即可，从而解出m的值．【解答】因为m＝4，所以y＝m⋅f(x)={x+8(0<x≤4)24x−2(x>4)；所以，当0<x≤4时，x+8≥4显然成立，当x>4时，24x−2≥4，得4<x≤8；综上知，0<x≤8；所以，自来水达到有效净化一共可持续8天．由y＝m⋅f(x)={mx4+2m(0<x≤4)6mx−2(x>4)知，在区间(0, 4]上单调递增，即2m<y≤3m，在区间(4, 7]上单调递减，即6m5≤y<3m，综上知，6m5≤y≤3m；为使4≤y≤10恒成立，只要6m5≥4，且3m≤10即可，即m=103；所以，为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，该投放的药剂量应为103．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x−log2(1+2−x)+a，其中a是常数．（1）求f(x)(x∈R)的解析式；（2）求实数m的值，使得函数ℎ(x)＝2f（x）+1++m⋅2x−2m，x∈[0, 1]的最小值为14；（3）已知函数g(x)(x≥1)满足：对任何不小于1的实数x，都有f(log2x)＝−1+log2[x⋅g(x)−k2]，其中k为不小于2的正整数常数，求证：g(1)+g(2)+...+g(k−1)>g(k+1)+g(k+2)+...+g(2k−1)．【答案】∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x−log2(1+2−x)+a，则有f(0)＝0−log2(1+1)+a＝0，∴a＝1．∴当x≤0时，f(x)＝x−log2(1+2−x)+1，令x>0，则−x<0，f(x)＝−f(−x)＝−[−x−log2(1+2x)+1]＝x+log2(1+2x)−1∴f(x)={x−log2(1+2−x)+1,x≤0x+log2(1+2x)−1,x>0；当x∈[0, 1]时，函数ℎ(x)＝2f（x）+1++m⋅2x−2m＝2x+log2(1+2x)+m⋅2x−2m＝2x（(1+2x)+m⋅2x−2m＝(2x)2+(1+m)⋅2x−2m令2x＝t，t∈[1, 2]，ℎ(x)＝G(t)＝t2+(1+m)t−2m，t∈[1, 2]，①当−1+m2≥2，即m≤−5时，函数ℎ(x)最小值为G(2)＝6≠14，不符合题意；②当−1+m2≤1，即m≥−3时，函数ℎ(x)最小值为G(1)＝2−m=14，解得m=74，不符合题意；③当−5<m<−3时，函数ℎ(x)最小值为G(−1+m2)=−m2−10m−14=14，即m2+10m+2＝0，∵{(−5)2+10×(−5)+2<0(−3)2+10×(−3)+2<，∴方程m2+10m+2＝0在(−5, −3)无解；综上，m=74．∵x≥1，∴log2x≥0，则f(log2x)＝−1+log2[x⋅g(x)−k2]⇔log2x+log2(x+1)−1＝−1+log2[x⋅g(x)−k2]⇔log2(x+1)x＝log2[x⋅g(x)−k2]⇔x(1+x)＝x⋅g(x)−k2⇔g(x)＝x+k2x+1．(x≥1, k≥2, k∈N)．g(x1)−g(x2)=(x1x2−k2)(x1−x2)x1x2，令x1＝k−n，x2＝k+n，n∈N•，n≤k−1，则0<x1<k<x2，且x1x2<k2∴g(x1)>g(x2)，亦即g(k−n)>g(k+n)，∴g(1)>g(2k−1)，g(2)>g(2k−2)，……，g(k−1)>g(k+1)，∴g(1)+g(2)+...+g(k−1)>g(k+1)+g(k+2)+...+g(2k−1)．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）由f(0)＝0−log2(1+1)+a＝0，可得a＝1．当x≤0时，f(x)＝x−log2(1+2−x)+1，令x>0，则f(x)＝−f(−x)＝−[−x−log2(1+2x)+1]＝x+log2(1+2x)−1即可求解．（2）当x∈[0, 1]时，函数ℎ(x)＝2f（x）+1++m⋅2x−2m＝2x+log2(1+2x)+m⋅2x−2m＝2x（(1+2x)+m⋅2x−2m＝(2x)2+(1+m)⋅2x−2m令2x＝t，t∈[1, 2]，ℎ(x)＝G(t)＝t2+(1+m)t−2m，t∈[1, 2]，分类讨论即可．（3）可得0<x1<k<x2，且x1x2<k2时，则g(x1)>g(x2)，令x1＝k−n，x2＝k+n，n∈N•，n≤k−1，则g(k−n)>g(k+n)，由此即可得证．【解答】∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x−log2(1+2−x)+a，则有f(0)＝0−log2(1+1)+a＝0，∴a＝1．∴当x≤0时，f(x)＝x−log2(1+2−x)+1，令x>0，则−x<0，f(x)＝−f(−x)＝−[−x−log2(1+2x)+1]＝x+log2(1+2x)−1∴f(x)={x−log2(1+2−x)+1,x≤0x+log2(1+2x)−1,x>0；当x∈[0, 1]时，函数ℎ(x)＝2f（x）+1++m⋅2x−2m＝2x+log2(1+2x)+m⋅2x−2m＝2x（(1+2x)+m⋅2x−2m＝(2x)2+(1+m)⋅2x−2m令2x＝t，t∈[1, 2]，ℎ(x)＝G(t)＝t2+(1+m)t−2m，t∈[1, 2]，①当−1+m2≥2，即m≤−5时，函数ℎ(x)最小值为G(2)＝6≠14，不符合题意；②当−1+m2≤1，即m≥−3时，函数ℎ(x)最小值为G(1)＝2−m=14，解得m=74，不符合题意；③当−5<m<−3时，函数ℎ(x)最小值为G(−1+m2)=−m2−10m−14=14，即m2+10m+2＝0，∵{(−5)2+10×(−5)+2<0(−3)2+10×(−3)+2<，∴方程m2+10m+2＝0在(−5, −3)无解；综上，m=74．∵x≥1，∴log2x≥0，则f(log2x)＝−1+log2[x⋅g(x)−k2]⇔log2x+log2(x+1)−1＝−1+log2[x⋅g(x)−k2]⇔log2(x+1)x＝log2[x⋅g(x)−k2]⇔x(1+x)＝x⋅g(x)−k2⇔g(x)＝x+k2x+1．(x≥1, k≥2, k∈N)．g(x1)−g(x2)=(x1x2−k2)(x1−x2)x1x2，令x1＝k−n，x2＝k+n，n∈N•，n≤k−1，则0<x1<k<x2，且x1x2<k2∴g(x1)>g(x2)，亦即g(k−n)>g(k+n)，∴g(1)>g(2k−1)，g(2)>g(2k−2)，……，g(k−1)>g(k+1)，∴g(1)+g(2)+...+g(k−1)>g(k+1)+g(k+2)+...+g(2k−1)．若定义在R上，且不恒为零的函数y＝f(x)满足：对于任意实数x和y，总有f(x+y)+ f(x−y)＝2f(x)f(y)恒成立，则称f(x)为“类余弦型”函数．（1）已知f(x)为“类余弦型”函数，且f(1)=54，求f(0)和f(2)的值；（2）证明：函数f(x)为偶函数；（3）若f(x)为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t，总有f(t)>1，设有理数x1，x2满足|x1|<|x2|，判断f(x1)和f(x2)的大小关系，并证明你的结论．【答案】令x＝1，y＝0，得f(1)+f(1)＝2f(1)f(0)，∴f(0)＝1；令x＝y＝1得f(2)+f(0)＝2f2(1)，∴f(2)＝2f2(1)−f(0)，∴f(2)＝2×(54)2−1=178．令x＝0，得f(y)+f(−y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，∴f(−y)＝f(y)，即f(−x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．∵f(x+y)+f(x−y)＝2f(x)f(y)，又∵t≠0时f(t)>1，∴2f(x)f(y)>2f(y)，即f(x+y)−f(y)>f(y)−f(x−y)∴令y＝kx（k为正整数），对任意的k为正整数，有f[(k+1)x]−f(kx)>f(kx)−f[(k−1)x]，则f[(k+1)x]−f(kx)>f(kx)−f[(k−1)x]>...>f(x)−f(0)>0，∴对于k为正整数，总有f[(k+1)x]>f(kx)成立．∴对于m，n为正整数，若n<m，则有f(nx)<f[(n−1)x]<...<f(mx)成立．∵x1，x2为有理数，所以可设|x1|=q1p1，|x2|=q2p2，其中q1，q2是非负整数，p1，p2都是正整数，则|x1|=q1p2p1p2，|x2|=q2p1p1p2，令x=1p1p2，t＝q1p2，s＝p1q2，则t，s为正整数．∵|x1|<|x2|，∴t<s，∴f(tx)<f(sx)，即f(|x1|)<f(|x2|)．∵函数f(x)为偶函数，∴f(|x1|)＝f(x1)，f(|x2|)＝f(x2)，∴f(x1)<f(x2)．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）令x＝1，y＝0计算f(0)，再令x＝y＝1计算f(2)；（2）令x＝0，得f(y)+f(−y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(−y)＝f(y)，即f(−x)＝f(x)，即可得出f(x)的奇偶性．（3）由t≠0时，f(t)>1，则f(x+y)+f(x−y)＝f(x)f(y)>2f(y)，即f(x+y)−f(y)>f(y)−f(x−y)令y＝kx（k为正整数），对任意的k为正整数，有f[(k+1)x]−f(kx)>f(kx)−f[(k−1)x]，再由递推即可得到对于k为正整数，总有f[(k+1)x]>f(kx)成立，即有n<m，则有f(nx)<f(mx)成立，可设||x1|=q1p2p1p2，|x2|=q2p1p1p2，其中q1，q2是非负整数，p1，p2都是正整数，再由偶函数的结论和前面的结论，即可得到大小．【解答】令x＝1，y＝0，得f(1)+f(1)＝2f(1)f(0)，∴f(0)＝1；令x＝y＝1得f(2)+f(0)＝2f2(1)，∴f(2)＝2f2(1)−f(0)，∴f(2)＝2×(54)2−1=178．令x＝0，得f(y)+f(−y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，∴f(−y)＝f(y)，即f(−x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．∵f(x+y)+f(x−y)＝2f(x)f(y)，又∵t≠0时f(t)>1，∴2f(x)f(y)>2f(y)，即f(x+y)−f(y)>f(y)−f(x−y)∴令y＝kx（k为正整数），对任意的k为正整数，有f[(k+1)x]−f(kx)>f(kx)−f[(k−1)x]，则f[(k+1)x]−f(kx)>f(kx)−f[(k−1)x]>...>f(x)−f(0)>0，∴对于k为正整数，总有f[(k+1)x]>f(kx)成立．∴对于m，n为正整数，若n<m，则有f(nx)<f[(n−1)x]<...<f(mx)成立．∵x1，x2为有理数，所以可设|x1|=q1p1，|x2|=q2p2，其中q1，q2是非负整数，p1，p2都是正整数，则|x1|=q1p2p1p2，|x2|=q2p1p1p2，令x=1p1p2，t＝q1p2，s＝p1q2，则t，s为正整数．∵|x1|<|x2|，∴t<s，∴f(tx)<f(sx)，即f(|x1|)<f(|x2|)．∵函数f(x)为偶函数，∴f(|x1|)＝f(x1)，f(|x2|)＝f(x2)，∴f(x1)<f(x2)．。

2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）第一次综合测试数学试卷（10月份）（39）一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“a≤0”是“函数f(x)=lnx+ax+1x在[1,+∞)上为减函数”的()A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要2.一个直三棱柱的每条棱长都是4√3，且每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A. 84πB. 96πC. 112πD. 144π3.若集合A={x|xx−1≤0},B={x|x2<2x}则A∩B=()．A. {x|0<x<1}B. {x|0≤x<1}C. {x|0<x≤1}D. {x|0≤x≤1}4.定义：min{a,b}表示a，b两数中较小的数．例如：min{2,4}=2.已知f(x)=min{−x2,−x−2},g(x)=2x+x+m(m∈R)，若对任意x1∈[−2,0]，存在x2∈[1,2]，都有f(x1)≤g(x2)成立，则m的取值范围为()A. [−4,+∞)B. [−6,+∞)C. [−7,+∞)D. [−10,+∞)二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）5.“x>0”是“x≠0”的______条件；(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”)6.函数f(x)=x2(x>0)的反函数为______．7.已知集合A={y|y=x2−32x+1,x∈[34,2]}，B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数m的取值范围________．8.若f(x)=12x−1+a是奇函数，则a=__________．9.已知a>3，求a+1a−3的最小值______ ．10.若集合A={−1,1},B={0,2}，集合C={z|z=x+y,x∈A,y∈B}，则集合C的真子集个数为__________．11.已知sinα+cosα=12,α∈(0,π)，则1−tanα1+tanα=_______．12.已知|a−8b|+(4b−1)2=0，则log2a b=__________．13.已知函数f(x)的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则f(x+2)的定义域是__________，值域是__________．14.函数f(x)=1x2−2x+3，x∈[0,3]的最大值为______ ．15.已知函数y=log√22(x2+4x+5)，x∈[−1,3]的值域为__________．16.已知函数f(x+1)=x2−2x+1的定义域为[−2,0]，则函数f(x)的最大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且a =√5，b =3，sinC =2sinA ．(1)求c 的值；(2)求cos2A 的值和三角形ABC 的面积．18. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P −ABCD 中，AD//BC ，∠ABC =90°，PA ⊥平面ABCD ，PA =3，AD =2，AB =2√3，BC =6．(1)求异面直线BD 与PC 所成角的大小；(2)求二面角P −DC −B 的余弦值．19. 由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y(个浓度单位)与时间x(个时间单位)的关系为y ={−24x+3−x +8, 0≤x ≤322312−12x , 32<x ≤236.只有当河流中碱的浓度不低于1(个浓度单位)时，才能对污染产生有效的抑制作用．(1)如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？(2)当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是两次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．20. 已知函数f(x)=log 2(x +2)，g(x)=a ⋅4x −2x+1−a +1．(1)判断函数ℎ(x)=f(x)+f(x −6)的单调性，并说明理由；(2)若对任意的x1，x2∈[1,2]，f(x1)<g(x2)恒成立，求a的取值范围．21.已知函数f(x)是R上的增函数，对任意实数m，n，都有f(m+n)=f(m)+f(n)，且f(4)=2．(Ⅰ)求f(2)的值；(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；(Ⅲ)对任意x∈[0,4]，都有f(x)−f(2a−1)<1，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：函数f(x)=lnx +ax +1x ，在[1,+∞)在为减函数，∴f′(x)=1x +a −1x 2≤0，在[1,+∞)上恒成立，∴a ≤1x 2−1x， 设g(x)=1x 2−1x ，∴g′(x)=x−2x 3，当x ∈[1,2]，g′(x)<0，g(x)为减函数，当x ∈[2,+∞)，g′(x)>0，g(x)为增函数，∴g(x)min =g(2)=14−12=−14， ∴a ≤−14，∴当a ≤−14，函数f(x)=lnx +ax +1x 在[1,+∞)上为减函数，∴“a ≤0”是“函数f(x)=lnx +ax +1x 在[1,+∞)上为减函数”的必要不充分条件， 故选：C ．先根据导数和函数单调性的关系求出a 的范围，再结合充分条件，必要条件的定义即可判断． 本题考查了导数和函数的单调性的关系和充分必要条件的定义，属于中档题．2.答案：C解析：解：∵一个直三棱柱的每条棱长都是4√3，且每个顶点都在球O 的球面上，∴设此直三棱柱两底面的中心分别为O 1，O 2，则球O 的球心O 为线段O 1O 2的中点， 设球O 的半径为R ，则R 2=(4√32)2+(23×√32×4√3)2=28，∴球O 的表面积S =4πR 2=112π．故选：C ．设此直三棱柱两底面的中心分别为O 1，O 2，则球O 的球心O 为线段O 1O 2的中点，设球O 的半径为R ，利用勾股定理求出R 2，由此能求出球O 的表面积．本题考查三棱柱的外接球的表面积的求法，是较易题．3.答案：A解析：【分析】本题考查了交集及其运算．【解答】解：由已知解得：集合A={x|0≤x<1}，B={x|0<x<2}，所以A∩B={x|0<x<1}．故选：A．4.答案：C解析：【分析】本题考查函数的最值以及不等式恒成立和存在性问题的求解．首先将要求的问题转化为最值问题，然后结合函数图象即可求解．【解答】解：如图，当x1∈[−2,0]时，f(x1)max=f(−1)=−1；当x2∈[1,2]时，g(x2)为增函数，则g(x2)max=g(2)=6+m．由题意知f(x1)max⩽g(x2)max，即−1≤6+m，即m≥−7．故选C．5.答案：充分不必要解析：解：原命题：若“x>0”则“x≠0”，此是个真命题其逆命题：若“x≠0”，则“x>0”，是个假命题，因为当“x≠0”时“x<0”，也可能成立，故不一定得出“x >0”，综上知“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件故答案为：充分不必要．将题设中的命题改写成命题的形式，分别判断它的真假及其逆命题的真假，再依据充分条件，必要条件的定义作出判断得出正确答案本题考查充分条件必要条件的判断，解题的关键是熟练掌握充分条件与必要条件的定义，本题是基本概念考查题，难度较低，在高考中出现的机率较小6.答案：f −1(x)=√x(x >0)解析：解：由f(x)=y =x 2(x >0)解得x =√y ，∴f −1(x)=√x(x >0)故答案为f −1 (x)=√x(x >0)由y =x 2(x >0)解得x =√y(y >0)，再交换x 与y 的位置即得反函数．本题考查了反函数，属基础题．7.答案：m ≥34或m ≤−34解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，先化简集合A ，利用充分条件和必要条件的关系进行求值．【解答】解：A ={y |y =x 2−32x +1,x ∈[34,2]}={y| 716≤y ≤2}，B ={x | x +m 2≥1}={x | x ≥1−m 2}，∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，∴A ∈B 且A ≠B ，∴1−m 2≤716，解得m ≥34或m ≤−34，故m 的取值范围为(−∞,−34]∪[34,+∞)．8.答案：12解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性．【解答】解：因为f(x)是奇函数，所以f(x)=−f(−x)，所以12x −1+a =−12−x −1−a ，解得a =12．故答案为12．9.答案：5解析：解：∵a >3，a +1a−3=a −3+1a−3+3≥2√(a −3)⋅1a−3+3=5， 当且仅当a −3=1a−3即a =4时取等号， ∴a +1a−3的最小值是5， 故答案为：5． a +1a−3=a −3+1a−3+3，利用基本不等式可求函数的最值． 该题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属基础题，熟记基本不等式的使用条件及常见不等式变形是解题关键． 10.答案：7 解析：【分析】 本题主要考查了真子集个数的判断，属于基本题型． 求出集合C 中的元素，是解决本题的关键． 【解答】 解：∵A ={−1,1},B ={0,2}， ∴集合C ={z |z =x +y,x ∈A,y ∈B}={−1,1,3}， 则集合C 的真子集个数为7． 故答案为7． 11.答案：−√7解析：【分析】本题考查同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．由条件利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号求得cosα−sinα的值，可得的值．【解答】解：∵已知sinα+cosα=12，α∈(0,π)，∴1+2sinαcosα=14，求得2sinαcosα=−34，结合α∈(0,π)，可得α为钝角，，则=−√7， 故答案为−√7．12.答案：14解析：【分析】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．根据绝对值和偶次方的非负性，得{a −8b =04b −1=0，求出a ，b 的值，然后利用对数的运算性质可得结果． 【解答】解：由|a −8b |+(4b −1)2=0，得{a −8b =04b −1=0, 解得a =2，b =14，所以log 2a b =log 2214=14． 故答案为14． 13.答案：[−2,−1][1,2]解析：∵f(x)的定义域为[0,1]，∴0≤x +2≤1，∴−2≤x ≤−1.即f(x +2)的定义域为[−2,−1]，值域仍然为[1,2]．14.答案：12解析：解：设g(x)=x 2−2x +3=(x −1)2+2，∵在[0,1]单调递减，在[1,3]单调递增，∴g(1)=2，g(3)=2，g(3)=6，∴2≤g(x)≤6，∴函数f(x)=1x 2−2x+3的值域为[16,12]故答案为：12．先利用g(x)=x 2−2x +3=(x −1)2+2，求出值域，再利用f(x)=1g(x)求解．本题考查了二次函数的性质，整体求解函数值域，最值问题，属于容易题．15.答案：[−2log 226,−2]．解析：令t =x 2+4x +5，则y =log √22t ，因为x ∈[−1,3]，所以t ∈[2,26]，y ∈[−2log 226,−2]． 16.答案：9解析：解：因为f(x +1)=x 2−2x +1=(x +1)2−4(x +1)+4，所以函数解析式为f(x)=x 2−4x +4，又因为f(x +1)=x 2−2x +1的定义域为[−2,0]，所以x +1∈[−1,1]，所以f(x)的定义域为[−1,1]，并且f(x)在[−1,1]上是减函数，所以f(x)的最大值为f(−1)=1+4+4=9；故答案为：9．首先求出函数的解析式，然后求二次函数的最值． 本题考查了复合函数的定义域求法、解析式的求法以及二次函数解析式最值求法． 17.答案：解：(Ⅰ)∵a =√5，sinC =2sinA ，∴根据正弦定理得：c =sinC sinAa =2a =2√5； (Ⅱ)∵a =√5，b =3，c =2√5，∴由余弦定理得：cosA =2×3×2√5=2√55， 又A 为三角形的内角， ∴sinA =√55， ∴sin2A =2sinAcosA =45，cos2A =cos 2A −sin 2A =35， 三角形ABC 的面积S =12×3×2√5×√55=3．解析：(1)利用正弦定理得到c =sinCsinA a ，将a 的值及sinC =2sinA 代入，即可求出c 的值；(2)利用余弦定理表示出cos A ，将a ，b 及求出的c 值代入，求出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin A 的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin2A 及cos2A 的值，可求三角形ABC 的面积．此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 18.答案：解：如图以A 为坐标原点，以直线AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ， 则A(0,0,0),B(2√3,0,0,),C(2√3,6,0),D(0,2,0),P(0,0,3)．(1)∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,2,0),PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,6,−3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即异面直线BD 与PC 所成的角为π2；(2)由题意得：PA ⊥平面ABCD ，则平面BCD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，设平面PCD 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，∵DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,4,0),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−3)， ∴{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x +4y =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −3z =0, 解得平面PCD 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−3,−2)，∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+9+4=−25， 由图可得二面角P −DC −B 为锐二面角， 即二面角P −DC −B 的余弦值为25．解析：本题考查求异面直线的夹角、二面角的余弦值，注意解题方法的积累，属于中档题．(1)以A 为坐标原点，以直线AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A −xyz.通过BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即得异面直线BD 与PC 所成的角为π2； (2)所求值即为平面BCD 的一个法向量与平面PCD 的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．19.答案：解：(1)由题意，{−24x+3−x +8≥10≤x ≤32⇒{1≤x ≤30≤x ≤32⇒1≤x ≤32 {2312−12x ≥132<x ≤236⇒32<x ≤116 综上，得1≤x ≤116即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为116−1=56(2)当0≤x ≤32时，y′=24−(x+3)2(x+3)>0，所以y =−24(x+3)−x +8单调递增 当2<x ≤4时，y =2311−12x 单调递减所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，即x >32，由{0≤x −32≤3232<x ≤236得32<x ≤3，当x >3时，第一、二次投放的固体碱的浓度均在下降(或降为0)． 所以最大浓度发生的时间位于区间(32,3]当32<x ≤3时，y =2312−12x +[−24(x−32)+3−(x −32)+8] =−32(x +32)−24x +32+413≤−12+413=53故当且仅当x +32=16x+32,即x =52时，y 有最大值53．解析：(1)利用分段函数解析式，分别列出不等式，解之，即可求得x 的范围，从而可得能够维持有效抑制作用的时间；(2)确定函数y =−24(x+3)−x +8单调递增，当2<x ≤4时，y =2311−12x 单调递减，进而可得函数，利用基本不等式，即可求得最值．本题考查分段函数，考查解不等式，考查函数的单调性，考查利用基本不等式求函数的最值，确定函数的解析式是关键．20.答案：解：(1)因为ℎ(x)=log 2(x +2)+log 2(x −4)，定义域为(4,+∞)，设x 2>x 1>4， ℎ(x 2)−ℎ(x 1)=log 2x 2+2x 1+2+log 2x 2−4x 1−4， ∵x 2>x 1>4，∴x 2+2x1+2>1,x 2−4x 1−4>1， ∴log 2x 2+2x 1+2>0,log 2x 2−4x 1−4>0，即ℎ(x 2)>ℎ(x 1)，所以函数ℎ(x)在定义域上为增函数．(2)依题意有，f(x)max <g(x)在[1,2]上恒成立．因为f(x)在[1,2]上单调递增，所以f(x)max =log 24=2，a ·4x −2x+1−a +1>2在[1,2]上恒成立，令t =2x ∈[2,4]，即at 2−2t −a +1>2，所以a >2t+1t 2−1，设g(t)=2t+1t 2−1，g′(t)=−2t 2−2t−2(t −1)<0，故g max =g(2)=53即a 的取值范围为(53,+∞)．解析：(1)先求出函数ℎ(x)的解析式，利用定义即可判断；(2)根据题意可知，只要f(x)max <g(x)恒成立即可，分参换元，求函数y =2t+1t 2−1的最大值，即可以得到a 的取值范围．本题主要考查函数单调性的证明以及不等式恒成立问题的解法，解题关键是转化分参，属于中档题． 21.答案：解：(Ⅰ)因为对任意实数m ，n 都有f(m +n)=f(m)+f(n)，令m =n =2，所以f(4)=f(2)+f(2)=2，解得f(2)=1；(Ⅱ)函数f(x)为奇函数，证明如下：因为f(m +n)=f(m)+f(n)对任意实数m ，n 都成立，令m =x ，n =−x ，所以f(0)=f(x)+f(−x)．令m =n =0，所以f(0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0，所以f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数；(Ⅲ)因为对于任意x ∈[0,4]，都有f(x)−f(2a −1)<1，所以f(x)<1+f(2a−1)，即f(x)<f(2)+f(2a−1)．又因为f(2)+f(2a−1)=f(2+2a−1)=f(2a+1)，所以f(x)<f(2a+1)，因为函数f(x)在R是增函数，所以2a+1>x．因为任意x∈[0,4]，都有2a+1>x成立，所以2a+1>(x)max，，由此得2a+1>4，即a>32, +∞)．所以a的取值范围是(32解析：(Ⅰ)可令m=n=2，代入计算可得所求值；(Ⅱ)函数f(x)为奇函数，可令m=n=0，求得f(0)，再令m=x，n=−x，结合奇偶性的定义，即可得到所求结论；(Ⅲ)由条件和f(2)=1，可得f(x)<f(2a+1)，再由单调性和恒成立思想，可得a的范围．本题考查抽象函数的函数值和性质，注意运用定义法和转化思想，考查方程思想和赋值法，化简整理的运算能力，属于中档题．。

2019届上海市复旦附中高三上学期第一次月考数学试题一、单选题 1．设集合1{|0}x A x x a-=≥-，集合{}21B x x =->，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是 （） A.1a ≤ B.3a ≤C.13a ≤≤D.3a ≥【答案】C【解析】先求出集合B ，比较a 与1的大小关系，结合B A ⊆，可求出实数a 的取值范围. 【详解】解不等式21x ->，即21x -<-或21x ->，解得1x <或3x >，{1B x x ∴=<或}3x >.①当1a =时，{}1A x x =≠，则B A ⊆成立，符合题意； ②当1a <时，{A x x a =<或}1x ≥，B A ⊄，不符合题意；③当1a >时，{1A x x =≤或}x a >，由B A ⊆，可得出3a ≤，此时13a <?. 综上所述，实数a 的取值范围是13a ≤≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合之间关系的判断，涉及分式、绝对值不等式的解法，解分式不等式一般要转化为整式不等式，有参数时，一般要分类讨论． 2．条件甲：函数满足()1()f x f x -=；条件乙：函数是偶函数，则甲是乙的 （ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】【详解】 条件甲:函数()f x 满足()1()f x f x -=, 即()()f x f x -=可以得到函数是一个偶函数条件乙:函数()f x 是偶函数,一定要满足()()f x f x =-, 但是不能保证两边同除以()f x 有意义, 所以条件甲是条件乙的充分非必要条件, 所以A 选项是正确的，故选A.3．关于函数()()4f x x x x x R =+∈的反函数，正确的是 （） A.有反函数()12,02,0x fx x -≥=< B.有反函数()12,020x fx x -≥=-<⎪⎩ C.有反函数()12,02,0x f x x -≥=< D.无反函数 【答案】B【解析】将函数()y f x =表示为分段函数的形式，判断该函数为增函数，然后分0x ≥和0x <解出该函数的反函数. 【详解】()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，作出函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，函数()y f x =在R 上为增函数，该函数存在反函数. 当0x ≥时，由()22424y x x x =+=+-，得2x =-当0x <时，由()22y x 4x x 24=-+=--+，得2x =. 因此， ()12,020x f x x -≥=<⎪⎩，故选：B.【点睛】本题考查反函数解析式的求解，在判断函数的存在性时，还应考查函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题： ①若0a >，0b >，则()ln lnln ab a b +++=+；②若0a >，0b >，则l ln n b a b a ++=； ③若0a >，0b >，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭； ④若0a >，0b >，则()ln ln n l l 2na b a b +++++≤++.则所有真命题的序号为 （） A.①②③ B.①②④C.③④D.②③④【答案】D【解析】对于①，通过举反例说明错误；对于②，由“正对数”的定义分别对a 、b 分01a <<，0b >；1a ≥，0b >两种情况进行推理；对于③④，分别从四种情况，即当01a <<，0b >时；当1a ≥，01b <<时；当01a <<，1b ≥时；当1a ≥，1b ≥时进行推理． 【详解】 对于①，当14a =，2b =时，满足0a >，0b >，而()1ln ln02ab ++==， 1ln a ln b ln ln 2ln24+++++=+=，()ln ln ln ab a b +++∴≠+，命题①错误；对于②，当01a <<，0b >时，有01b a <<， 从而()ln0ba +=，ln00b a b +=⨯=，()lnlnb a a b ++∴=；当1a ≥，0b >时，有1b a >，从而()lnln ln bba ab a +==，ln ln b a b a +=，()ln ln b a b a ++∴=.∴当0a >，0b >时，()ln ln b a b a ++=，命题②正确；对于③，由“正对数”的定义知，ln 0x +≥且ln ln x x +≥．当01a <<，01b <<时，ln ln 000a b ++-=-=，而ln 0a b +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭；当1a ≥，01b <<时，有1ab>，ln ln ln 0ln a b a a +++-=-=，而ln ln ln ln a a a b b b +⎛⎫==- ⎪⎝⎭，ln 0b <Q ，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭．当01a <<，1b ≥时，有01ab<<，ln ln 0ln ln 0a b b b +++-=-=-<，而ln 0a b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭．当1a ≥，1b ≥时，ln ln ln ln lna ab a b b ++-=-=，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭． ∴当0a >，0b >时，n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，命题③正确；对于④，由“正对数”的定义知，当12x x ≤时，有12ln ln x x ++≤.当01a <<，01b <<时，有02a b <+<， 从而()lnln 2ln 2a b +++<=，ln ln ln 200ln 2ln 2a b +++++=++=，()ln ln ln ln 2a b a b ++++∴+≤++；当1a ≥，01b <<时，有1a b +>，从而()()()lnln ln ln 2a b a b a a a ++=+<+=，ln ln ln 2ln 0ln 2ln 2a b a a +++++=++=，()ln ln ln ln 2a b a b ++++∴+≤++；当01a <<，1b ≥时，有1a b +>，从而()()()lnln ln ln 2a b a b b b b ++=+<+=，ln ln ln 20ln ln 2ln 2a b b b +++++=++=，()ln ln ln ln 2a b a b ++++∴+≤++；当1a ≥，1b ≥时，()()lnln a b a b ++=+，()ln ln ln 2ln ln ln 2ln 2a b a b ab +++++=++=，()()()2110ab a b ab a ab b a b b a -+=-+-=-+-≥Q ，2ab a b ∴≥+，从而()ln ln n l l 2na b a b +++++≤++，命题④正确．∴正确的命题是②③④．故选：D ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查运算能力和逻辑推理能力，属于难题．二、填空题 5．已知全集，,则_________．【答案】【解析】试题分析：根据条件得到集合A ，集合B 的补集，再由集合的交集运算得到最终结果. 详解: 根据条件得到,,,则。

上海市2018-2019学年复旦附中高三上学期第一次月考一、选择题（本大题共4小题）1.设集合，集合，且，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：或，则或，对于A，且，时，，成立，符合题意，时，或，不会成立，不符合题意，时，或，要使成立，必有，则a的范围是，综合可得，a的取值范围为；故选：C．解可得集合B，对于A，先将转化为且，分，，三种情况讨论，求出集合A，判断是否成立，综合可得a的范围，即可得答案．本题考查集合之间关系的判断，涉及分式、绝对值不等式的解法，解分式不等式一般要转化为整式不等式，有参数时，一般要分类讨论．2.条件甲：函数满足；条件乙：函数是偶函数，则甲是乙的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】解：条件甲：函数满足，即可以得到函数是一个偶函数条件乙：函数是偶函数，一定要满足，但是不能保证两边同除以有意义，条件甲是条件乙的充分非必要条件，故选：A．利用奇函数的定义“函数的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有，且，则这个函数叫做偶函数”，针对于两个条件分析得到结论．本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，本题解题的关键是对函数式要进行等价变形，本题属于基础题．3.关于函数的反函数，正确的是A. 有反函数B. 有反函数C. 有反函数D. 无反函数【答案】B【解析】解：因为，由得；由，得，，故选：B．直接就出反函数．本题考查了反函数属基础题．4.定义“正对数”：，现有四个命题：若，，则；若，，则若，，则若，，则则所有真命题的序号为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：对于，当，时，满足，，而，，，命题错误；对于，当，时，有，从而，，；当，时，有，从而，，；当，时，，命题正确；对于，由“正对数”的定义知，且．当，时，，而，则；当，时，有，，而，，则．当，时，有，，而，则．当，时，，则．当，时，，命题正确；对于，由“正对数”的定义知，当时，有，当，时，有，从而，，当，时，有，从而，，当，时，有，从而，，当，时，，，，，从而命题正确．正确的命题是．故选：D．对于，通过举反例说明错误；对于，由“正对数”的定义分别对a，b从，；，两种情况进行推理；对于，分别从四种情况，即当，时；当，时；当，时；当，时进行推理．本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查运算能力和逻辑推理能力，属于难题．二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知全集，，，则______．【答案】【解析】解：全集，，，，．故答案为：．利用题设条件，先分别求出集合A和，由此能求出B.本题考查集合的交、交、补的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答．6.在复数集上，方程的根是______．【答案】【解析】解：根据题意，：所以原方程的根为：是虚数单位整理，得，故答案为：方程的根的判别式：，再用一元二次方程的求根的公式可以得出原方程的解．本题考查了一元二次方程根的求解，属于基础题当根的判别式小于0时，方程有一对共轭的虚数根．7.方程的解是______．【答案】2【解析】解：，，，解得舍，，．故答案为：2．由，得，由此能求出x的值，解题时要注意验根．本题考查对数的性质和运算法则的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，易错点是容易产生增根．8.已知AB为抛物线的弦，如果此弦的垂直平分线的方程是，则弦AB所在直线的方程是______．【答案】【解析】解：设，，AB的中点，则，，两式作差可得：，，即．的垂直平分线的方程是，，即，代入，得．则弦AB所在直线的方程是，即．故答案为：．设出A，B，M的坐标，把A，B的坐标代入抛物线方程，作差可得AB的斜率，再由AB的垂直平分线的方程是得M的坐标，由直线方程点斜式得答案．本题考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解中点弦问题，是中档题．9.函数的递增区间是______．【答案】【解析】解：函数的递增区间，即函数的增区间，结合函数的图象可得它的增区间为，故答案为：．函数的递增区间，即函数的增区间，结合函数的图象可得结论．本题主要考查根式、绝对值的性质，体现了转化思想，属于基础题．10.设a、，则______．【答案】0【解析】解：因为a、，所以，分式分子、分母同时除以，有：故答案为：0因为a、，所以，则，即得解．本题考查了极限及其运算，考查了极限思想，属简单题．11.若函数偶函数，则实数k的值是______．【答案】【解析】解：函数偶函数，的定义域为R，即有，，可得，即有恒成立，解得．故答案为：．由题意可得函数的定义域为R，且有，运用对数的运算性质，化简可得k 的值．本题考查函数的奇偶性的定义和应用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.正方体的体对角线与面对角线所成的角的集合是______．【答案】【解析】解：如图所示，连接AC，．则，．．平面．．体对角线与面对角线BD所成角为；设正方体的棱长为1，则，，，体对角线与面对角线AC所成角为．正方体的体对角线与面对角线所成的角的集合是故答案为：利用正方体的性质、线面垂直的判定与性质即可得出．本题考查正方体的性质、线面垂直的判定与性质，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．13.某班级有38人，现需要随机抽取2人参加一次问卷调查，那么甲同学选上，乙同学未选上的概率是______用分数作答．【答案】【解析】解：由题意，基本事件总数为，甲同学选上，乙同学未选上共有36种故甲同学选上，乙同学未选上的概率是故答案为：确定基本事件总数，甲同学选上，乙同学未选上的情况种数，由此即可求得概率．本题考查古典概型概率的计算，解题的关键是确定基本事件总数，属于基础题．14.观察下列等式：照此规律，第n个等式可为______．【答案】【解析】解：观察下列等式：分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为．当n为偶数时，分组求和，当n为奇数时，第n个等式左边．综上，第n个等式为．故答案为：．等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．15.已知二次函数的图象为开口向下的抛物线，且对任意都有若向量，，则满足不等式的m的取值范围为______．【答案】【解析】解：不等式转化为：．函数的图象关于直线对称又开口向下又故答案为：由将不等式转化为，再由可知函数的图象关于直线对称，又开口向下，利用二次函数的图象特征求解．本题主要考查二次函数的单调性和对称性，还考查了数量积运算．16.某班共有50名学生，已知以下信息：男生共有33人；女团员共有7人；住校的女生共有9人；不住校的团员共有15人；住校的男团员共有6人；男生中非团员且不住校的共有8人；女生中非团员且不住校的共有3人．根据以上信息，该班住校生共有______人【答案】24【解析】解：女生共有人，其中住校的有9人，则不住校的有8人，而不住校的非团员共有3人，不住校的团员有5人，由女团员共有7人，住校的女团员2人；由不住校的团员共有15人，而其中女团员5人，不住校的男团员有10人，又男生中非团员且不住校的共有8人；综上可知：不住校的男团员有10人，女团员5人；不住校的男非团员8人，女非团员3人．即不住校的学生共有人，因此该班住校生共有24人．故答案为24．通过分类讨论得出如下表格即可求出答案．熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知集合且．用列举法写出集合；是否存在自然数n，使得，若存在，求出n的值，并写出此时集合P 的元素个数；若不存在，请说明理由．【答案】解：当时，且24，；，且，故，此时中最小的元素为：1029，最大的元素为：2044，，故此时P中共有元素146个．【解析】当时，且，进而可得答案；由，且，可得，求出P中元素的最值，结合各元素之间公差为7，可得元素个数．本题考查的知识点是等差数列的应用，集合的表示法，集合元素的个数，难度中档．18.设函数是由曲线：确定的．写出函数，并判断该函数的奇偶性；求函数的单调区间并证明其单调性．【答案】解：根据题意，是由曲线：确定的，其定义域为或，则，当时，，则，即函数为奇函数；的单调递增区间为、；证明：设，则，又由，则，，则，则函数为增函数；设，则，又由，则，，则，则函数为增函数；即可得证明．【解析】根据题意，分析可得函数的定义域，结合可得函数的解析式，结合函数奇偶性定义分析可得答案；根据题意，由作差法分析可得结论．本题考查函数的单调性与奇偶性的判断与证明，关键是确定函数的解析式，属于基础题．19.中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受如图为一花窗；图所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30cm，宽26cm，其内部窗芯不含长方形边框用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．试用x，y表示L；如果要求六根支条的长度均不小于2cm，每个菱形的面积为，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料不计榫卯及其它损耗？【答案】解：由题意，水平方向每根支条长为，竖直方向每根支条长为，菱形的边长为．从而，所需木料的长度之和．由题意，，即，又由可得所以．令，其导函数在上恒成立，故在上单调递减，所以可得．则．因为函数和在上均为增函数，所以在上为增函数，故当，即，时L有最小值．答：做这样一个窗芯至少需要长的条形木料．【解析】分别求出水平方向每根支条长、竖直方向每根支条长、菱形的边长，即可用x，y表示L；换元，求导确定函数的单调性，即可得出结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．20.定义在R上的奇函数有最小正周期4，且时，．判断并证明在上的单调性，并求在上的解析式；当为何值时，关于x的方程在上有实数解？【答案】本题满分16分本题共有2个小题，第1小题满分分，第2小题满分分．解：在上为减函数分证明如下：设则，，．．；在上为减函数分当时，，又为奇函数，，分当时，由分有最小正周期4，分综上，周期为4的周期函数，关于方程在上有实数解的的范围即为求函数在上的值域分当时由知，在上为减函数，，当时，分当0，时，分的值域为分时方程方程在上有实数解分第 11 页共 12 页【解析】由是上的奇函数，得再由最小正周期为4，得到和的值然后求上的解析式，通过在上取变量，转化到上，即可得到结论．根据条件把问题转化为求函数在上的值域问题即可．本题主要考查如何利用求对称区间上的解析式，特别注意端点问题，还考查了用定义证明单调性求分段函数值域问题．21.已知及．分别求、的定义域，并求的值；求的最小值并说明理由；若，是否存在满足下列条件的正数t，使得对于任意的正数x，a、b、c都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：、的定义域均为；分分，分易知函数与在上均为减函数，在上均为增函数，分，分若能构成三角形，只需恒成立分由知，，，，即分由知，，分综上，存在，满足题设条件分【解析】利用被开放数大于0可求函数的定义域，直接相乘化简即可；先考虑，再说明函数与在上均为减函数，在上均为增函数，从未求出函数的最小值．利用构成三角形的条件，转化为恒成立问题利用的结论可确定．本题主要考查利用函数单调性求函数的最值，将是否存在性问题转化为恒成立问题时解题的关键．第 12 页共 12 页。