数学培优 最值问题

模型2 胡不归模型
问题背景
构图
点 为直线 上一定点,点 为直线 外一定点,点 为直线 上一动点,当 的值最小时，确定点 的位置． .
①作角：以点 为顶点作 ,使 ;②作垂线：过点 作 于点 ，交直线 于点 ,此时 的值最小，最小值为 的长． .
续表
类别
问题背景
构图
一定两动
定点在角的边上
定点 、动点 在 上，动点 在 上，当 的值最小时，确定点 ， 的位置. .
作点 关于 的对称点 ,过点 作 于点 ，交 于点 ，点 , 即为所求. .
续表
类别
问题背景
构图
一定两动
模型1 一定一动或一定两动
例 在 中， ， ， 是角平分线，点 为 的中点， .
（1） 如图（1），若点 ， 分别为线段 ， 上的动点.
图（1）
① 连接 ，则 的最小值为___;
2
② 连接 ， ，则 的最小值为___.
2
（2） 如图（2），若点 ， 分别为线段 ， 上的动点，连接 ， .
过点 作 于点 ，点 即为所求. .
类别
问题背景
构图
一定两动
定点在角的外侧
定点 在 的外侧，动点 ， 分别在 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 上，当 的值最小时，确定点 ， 的位置. .
过点 作 于点 ，交 于点 ，点 ， 即为所求. .
定点在角的内部
点 在 的内部，在 上求作一点 ，在 上求作一点 ，使 的值最小. .
作点 关于 的对称点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，此时 的值最小，最小值即为 的长.
续表
强化训练
1.如图， 中， ,利用尺规在 , 上分别截取 , ,使 ;分别以点 ， 为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；作射线 交 于点G.若 , 为 上一动点，则 的最小值为( )

小升初培优23讲——最值问题
在日常生活中，经常会遇到有关最多、最少、最大、最小、最长、最短等问题，这类问题称之为“最值问题”，最值问题涉及的知识较多，题目也比较复杂，没有固定模式，求解时，要根据题目的特点，具体问题具体分析。

目录1
目录2
最值问题的几个常考类型：
1.1.两个数的最大乘积、最小乘积，两个数的和一定时，如果两数的差最小（即两数相等），则这两个数的乘积最大；如果两个数的差最大，则这两个数的乘积最小；
2.2.三个数的最大乘积；
3.3.把一个给定的自然数分拆成若干个自然数的和，求最大乘积；
4.4.用对称法求最短路线，在求最短路线时，可以先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线最短，从而找
到所需的最短路线。

更多完整版资料，看置顶会员资料群。

培优专题19 圆中的最值问题◎类型一：利用圆的对称性求最值1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（ ）A．1B C D．2【答案】B【分析】作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E，则CE+DE的最小值就是CD′的长度，根据已知易证∠COD′=90°，然后利用勾股定理进行计算即可解答．【详解】解：作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E，∴DE=D′E，∴CE+DE=CE+D′E=CD′，2．（2021·江苏·常熟市第一中学九年级阶段练习）如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠M =30°，B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA +PB 的最小值为（ ）A ．BC ．1D ．2【答案】B 【分析】过点A 作直线MN 的对称点A ¢ ，连接A B ¢ ，AO ，则PA PA ¢= ，可得当点,,A P B ¢ 三点共线时，PA +PB 的值最小，最小值为A B ¢ 的长，再由圆周角定理可得==60A ON AON ¢Ðа ，从而得到90A OB ¢Ð=°，即可求解．【详解】解：如图，过点A 作直线MN 的对称点A ¢ ，连接A B ¢ ，AO ，则PA PA ¢= ，∴PA PB A B +³¢ ，即当点,,A P B ¢ 三点共线时，∵AA ¢ 关于直线MN 对称，3．（2020·天津·耀华中学九年级期中）如图，AB 是⊙O 的直径，AB =2，点C 在⊙O 上，∠CAB =30°，D 为 BC的中点，P 是直径AB 上一动点，则PC +PD 的最小值为A ．BC ．1D ．24．（2021·贵州安顺·九年级期末）如图，MN 为O e 的直径，⊙O 的半径为3，点A 在O e 上，30AMN Ð=°，B 为 AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为______．∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵B 为弧AN 的中点，∴∠NOB′=12×60°=30°，∴∠AOB′=90°，◎类型二：利用垂线段最短求最值5．（2017·江苏扬州·中考模拟）如图，⊙O 是以原点为圆心，P 是直线8y x =-+上的一点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为（ ）A ．4B ．C ．8-D ．◎类型三：利用两点之间线段最短求最值6．（2020·江苏·九年级专题练习）如图，O e 是ABC D 的外接圆，60A Ð=°，点P 是ABC D 外一点，6BP =，3CP =，则线段OP 的最大值为（ ）A ．9B ．4.5C ．D【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、旋转的性质、解直角三角形和两点之间线段最短等知识，具有一定的难度，将△OPC 绕点O 顺时针旋转120°到△OMB 的位置，将求OP 的最大值转化为求PM 的最大值是解题的关键.7．（2018·江苏·海安市白甸镇初级中学一模）如图，已知⊙C 的半径为3，圆外一点O 满足5OC =，点P 为⊙C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA OB =，90APB Ð=°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为_____.【答案】4【详解】分析：连接OP 、OC 、PC ，如图所示，则有OP ≥OC -PC ，当O 、P 、C 三点共线时，OP =OC -PC ；由∠APB =90°可知点P 在以AB 为直径的圆上，则⊙O 与⊙C 相切时，OP 取得最小值，据此求解即可.详解：连接OP 、OC 、PC ，如图所示，则有OP ≥OC -PC ，当O 、P 、C 三点共线时，OP =OC -PC .∵∠APB =90°，OA =OB ，∴点P 在以AB 为直径的圆上，∴⊙O 与⊙C 相切时，OP 取得最小值，则OP ′=OC -CP ′=2，∴AB =2OP ′=4.故答案为4.点睛：本题考查了圆与圆的位置关系，两点之间线段最短，判断出当⊙O 与⊙C 相切时，OP 取得最小值是解答本题的关键.◎类型四：利用直径是圆中最长的弦求最值8．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在ABC V 中，10,8,6AB AC BC ===，经过点C 且与边AB 相切的动圆与,CB CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是（ ）A ．B ．4.75C ．5D ．4.8【答案】D 【分析】设EF 的中点为O ，⊙O 与AB 的切点为D ，连接OD ，连接CO ，CD ，则有OD ⊥AB ，由勾股定理逆定理知，ABC V 是直角三角形，OC +OD =EF ，而 OC +OD ≥CD ，只有当点O 在CD 上时，OC +OD =EF 有最小值为CD 的长，即当点O 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高上CD 时，EF =CD 有最小值，由直角三角形的面积公式知求出CD 的长即可．【详解】解：设EF 的中点为O ，⊙O 与AB 的切点为D ，连接OD ，连接CO ，CD ，∵10,8,6AB AC BC ===，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴ABC V 是直角三角形，∠ACB =90°，∴EF 是⊙O 的直径，9．（2021·四川绵阳·九年级期末）如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A(6，0)和B(0，2)，点P是圆上一个动点，点C(0，﹣3)，则PC长度的最小值为（）A．B．C．D．510．（2018·全国·九年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，经过点C且与边AB 相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是( )A．125B．6013C．5D．无法确定【答案】B【详解】∵在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=12，∴AB2=AC2+BC2．∴∠ACB=90°，∴PQ一定是直径．要使过点C且与边AB相切的动圆的直径最小，则PQ等于斜边上的高，则PQ==．故选B．点睛：本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，圆周角定理的推论，直角三角形的面积公式，判断出PQ等于斜边上的高是解答本题的关键.11．（2015·江苏镇江·一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．B．C．D．考点：1．圆的性质；2．直角三角形的性质．12．（2022·安徽·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为___．∵E点在以CD为直径的圆上，∴∠CED＝90°，故答案为：1【点睛】本题考查直径所对圆周角性质，动点轨迹，勾股定理，最短路径，掌握直径所对圆周角性质，动点轨迹，勾股定理，最短路径是解题关键．。

数学培优微专题《解三角形中的最值问题》1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(c+a，b)，n=(c-a，b+c)，且a=3，m⊥n.(1)求△ABC面积的最大值；(2)求b+c的取值范围．

答案：(1)334；(2)(3，23]．解析：(1)因为m⊥n，所以(c+a)(c-a)+b(b+c)=0，即c2-a2+b2+bc=0，所以cosA=b2+c2-a22bc=-12，又A是三角形的内角，所以A=120°，由c2-a2+b2+bc=0，

且a=3，所以b2+c2=9-bc≥2bc，解得bc≤3.所以S△ABC=12bcsinA≤12×3·sin120°=334.(2)由(1)可知c2+b2+bc=9，(b+c)2-bc=9，即(b+c)2-9=bc≤b+c22

，解得b+

c≤23，又b+c>a=3，所以b+c的取值范围是(3，23]．2.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsinBsinA－3a＝0.(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．解(1)由正弦定理，得2sinBsinA＝3sinA，故sinB＝32，由题意得B＝π3.

(2)由A＋B＋C＝π，得C＝2π3-A.由△ABC是锐角三角形，得A∈(π6,π2).

由cosC＝cos(2π3-A)＝-12cosA＋32sinA，得

cosA＋cosB＋cosC＝32sinA＋12cosA＋12

＝sin(A＋π6)+12∈(3+12,32)

故cosA＋cosB＋cosC的取值范围是(3+12,32)

3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+C2＝bsinA.

(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

解(1)由题设及正弦定理得sinAsinA+C2＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinA+C2＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sinA+C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.