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二重积分在极坐标下的计算

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2
2
乘积，即 4 d d ( 4 d ) ( d) .
0
1
0
1
大家要注意，并不是所有的累次积分都可以看作两次定积分的乘积，只有同时满足下述
两个条件的累次积分才可以——
① 两次定积分的上下限均为常数；
② 被积函数中的两个自变量可以各自分离至两次定积分当中，即被积函数具有形式
f (x, y) f1(x) f2 ( y) .
D {(, ) |1 2, 0 2}（见图 8）.
（直角坐标系里圆的方程 x2 y2 r2 (r 0) ，在极坐标系
图7
里可化为 2 r2 ( 0) ，即简单的常数函数 r .）
再把被积函数 f (x, y) x2 化为“ ( cos ) 2 ”.
因此，原积分可化为
2
d
2 ( cos ) 2 d
0
1
图8
2
d
2 3 cos2 d .
0
1
（说明：由以上几题可以发现——直角坐标在表示直线方程的时候，比极坐标简便；而极 坐标在表示圆形或扇形方程时，比直角坐标简便.）
（5） f (x, y)d x2 y2 4x
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
D {(x, y) | x2 y2 4x} （见图 9）.
先把这个直角坐标系里的闭区域，化为极坐标系里的闭区域
D {(, ) | 0 4cos , } （见图 10）.
2
2
图9
（直角坐标系里的圆的方程 x2 y2 4x ，也即
(x 2)2 y2 4 ，在极坐标系里可化为
2
2
原积分可化为
R2 x2 y2 dxdy
2
d
R cos 0
R2 2 d
D
2
1 2
2
d
2
R cos 0
R2 2 d(R2 2)
凑微分
1 2
2 2
2 (R2 3
3
2)2
d R cos
0
1 3
3
3
2
[(R2
R2
cos2
)2
(R2
0) 2
]d
2
注意：从平方根里开出析： 将本题中的积分区域 D {(x, y) |1 x2 y2 4, y 0, y x}（见图 19），化
为极坐标系里的闭区域 D {(, ) |1 2, 0 } （见图 20）. 4
被积函数 f (x, y) arctan y 可化为 x
“ arctan( sin ) arctan(tan ) ”. cos
2 4 cos ( 0) ，即 4cos ( 0) .）
图 10
再把被积函数 f (x, y) 化为 f ( cos, sin ) .
4 cos
注意不要漏掉
因此，原积分可化为
2
d
0
f ( cos , sin ) d .
2
1
x
（6） dx
x2 y2 d y
0
x2
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
2
这个定积分的时候，“θ”可以提到积分号外面去，即“ d ”. 1
积 出 的 结 果 “ (2 2
2 1
)
” 再 放 入 左 边 的 积 分 中 ， 作 为 “ 被 积 函 数 ”， 即
“
4
(
2
0
2
2 1
)d
4 (2
1 )d
”.
然后再算一次积分，此时，“θ”为积分变量，而“ρ”
0
2
已被代入上下限中的常数，计算出来是一个常数“ 3 ”，这个常数也可以提到积分号外面去， 2
sin 1 ( 0) ， 即 1 csc .
sin
3
csc
4
d
0
f ( cos , sin ) d
4
tan sec
3 d 0
f ( cos , sin ) d .
4
（可以发现，仅从积分区域这个要素来看，本题用直角坐标比极坐标简便. 但是，如果题中 给出了被积函数的具体解析式，还得综合分析“积分区域”和“被积函数”这两个要素， 才能知道应该在哪种坐标系下进行计算.）
（4） ex2 y2 dxdy ，其中区域 D {(x, y) | a2 x2 y2 b2, 0 a b}； D
解析： 将本题中的积分区域 D {(x, y) | a2 x2 y2 b2, 0 a b}（见图 21），化
为极坐标系里的闭区域 D {(, ) | a b , 0 2}（见图 22）.
先把这个直角坐标系里的闭区域，化为极坐标系里的闭区域
D {(, ) | 0 2 , }（见图 6）.
cos 4
3
（直角坐标系里简单的直线方程 x 2 ，在极坐标系里可化为
cos 2 ( 0) ，即 2 2sec . cos
直线 y x 在第一象限部分，可以看作一条射线，用 表示.） 4
1、将下列累次积分化为极坐标形式： 本题考查以下知识点——
注意不要漏掉
即“ 2 ”
即“ sin tan ”， cos
而 arctan(tan ) .
R
（1） dx
R2x2 f (x2 y2 )d y
0
0
(R>0)
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
0
D
2 d
e1 d()
2 d
1 d(e )
0
0
0
0
2 [(
0
e )
1 0
1 e d ] d
0
2 (e1 e
0
1 0
)d
为了拿指数函数 凑微分，先要把 其指数部分看作
一个整体.
2 (e1 e1 1)d
(2e1 1)
(1 2e1)
.
0
22
图 18
图 17
（3） arctan y dxdy ，其中区域 D {(x, y) |1 x2 y2 4, y 0, y x}；
sin cos2
sin cos
1 cos
tan sec
.）
图 12
再把被积函数 f (x, y) x2 y2 化为“ ”.
因此，原积分可化为
4 d
tan sec
d
4 d
tan sec 2 d .
0
0
0
0
1
1
（7） dx f (x, y)d y
1
x2
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
图 22
（注意：还可利用二重积分的对称性，只算出积分区域 D 在第一象限那部分的二重积
分，再乘以 4，即 ex2y2 dxdy 4 2 d b e2 d .）
0
a
D
（5）
1
dxdy ，其中区域 D {(x, y) | x2 y2 1}；
D {(x, y) | 0 x 1, x2 y x}（见图 11）.
先把这个直角坐标系里的闭区域，化为极坐标系里的闭区域
D {(, ) | 0 tan sec , 0 }（见图 12）.
4
图 11
（直角坐标系里的抛物线方程 y x2 ，在极坐标系里可化为
sin ( cos )2 ( 0) ， 即
1 3
2
[R3
2
(1 cos2 )3 R3]d
取绝对值，是偶函数
R3 3
2 2
( sin
3
1)d
R3 3
2 2
sin
3 d
R3 3
2
d
2
2R3
2
sin3 d
R3
[
(
)]
2R3
(2 1)
1
R3
30
32 2
33 3
图 15 图 16
4R3 1 R3 1 R3( 4) .
图4
再把被积函数 f (x, y) 化为 f ( cos, sin ) .
2a cos
注意不要漏掉
因此，原积分可化为
2
d
0
f ( cos , sin ) d .
2
2
（3） dx
3x
f(
x2 y2 )d y
0
x
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
D {(x, y) | 0 x 2 , x y 3x}（见图 5）.
因此，原积分可化为
原函数和反函数抵消
图 19
arctan y dxdy
4 d
2
d
D
x
0
1
4
(
2
0
2
2 1
)d
3 2 22
4 0
3 2 64
.
图 20
2
注意： 本题计算过程中的累次积分“ 4 d d ”，这个符号的意思是计算两次
0
1
2
定积分，先计算右边的“ d ”，此时，“ρ”为积分变量，“θ”看作常量，因此，算 1
93
3
3
参照上册课本第 163 页例 4.3.16 结论
n 1 n 3
“
2
sinn
xd x
0
n n 1
n2 n3
n n 2
3 1 (n为偶数)
42 2
”.
4 2 1 (n为奇数)
53
（2） e x2y2 dxdy ，其中区域 D {(x, y) | x2 y2 1, x 0, y 0}； D

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高等数学：第三讲 极坐标系下二重积分的计算

高等数学：第三讲 极坐标系下二重积分的计算


解：画出积分区域，极点 在区域 D 的外部 区域 D可表示为
D {(r, ) | 2 r 3, 0 2 }
因此Biblioteka ex2y2dxdy 2d
3 er2 rdr
D
0
2
y
2 r 3
4 x2 y2 9
O
x
0 2
例2
2 0
[
1 2
er2
] |32
d
2 ( 1 e9 1 e4 )d
D
o
i1 i
i
r ri1 r ri
x
极坐标系下计算二重积分
再由直角坐标与极坐标的关系
x r cos , y r sin
可得
D f ( x, y)dxdy D f ( x, y)d D f (r cos , r sin )rdrd
D
o
i1
i
r
ri 1
i
r ri
x
极坐标系下计算二重积分
因此
O
x
x2 y2dxdy
d
2sin
r rdr
D
0
0
例3
0
[
1 3
r
3
]
|2sin
0
d
8 sin3 d
30
32 9
y
x2 y2 2y
2 sin
•
0
O
x
谢谢
此时
D f (r cos , r sin )rdrd
r ( )
= d 0 f (r cos , r sin )rdr
r r( )
D
o x
例1
计算
D1
1 x2
利用极坐标系计算二重积分

利用极坐标系计算二重积分

π 2 π 2 a cos θ 0
f ( r , θ)dr ( a ≥ 0).
思考题解答
π π ≤θ≤ D: 2 2 , 0 ≤ r ≤ a cos θ
I = ∫ dr ∫
0 a r arccos a r arccos a
y
θ = arccos
D
r a r = a cosθ
a x
o
f ( r ,θ )dθ .
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 示为极坐标形式的二次积分为______________. 3 、 将 ∫ dx ∫
0 2 3x x
x2
f ( x 2 + y 2 )dy 化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 次积分为______________________. 4 、 将 ∫ dx ∫
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
例3
求广义积分∫0 e
2
∞
x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
二、利用极坐标系计算二重积分
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
r = ri + ri
θ = θ i + θ i
ηi )xi yi
λ →0 i 1 = n
用极坐标计算二重积分

用极坐标计算二重积分



D
x 2 y 2 4 dxdy
D1 D2
o
2
x

D1

(4 x 2 y 2 )dxdy
2
D2

( x 2 y 2 4)dxdy
3

0 0
d
2
( 4 ) d d
3
2
0 2
3 3
2
( 2 4 ) d
41 2 (4 )d 2 ( 4 )d . 0 2 2


2 3a 1 a . [ sin6 ] 6 0 4 2 6
2

作变换 x u, v , y u, v , 其中 C
1
2 u , v R
,
C
1
,
且
x, y u v 0 u, v u v f x, y d x, y f u , v , u , v u, v dudv

2

例 4．球体 x 2 y 2 z 2 a 2 被圆柱面 x 2 y 2 ax (a 0) 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.
解：由对称性，得
z
x 2 y2 z 2 a 2
V 2

D
a 2 x 2 y 2 dxdy
4
D1

a 2 x 2 y 2 dxdy
2 3
例 2．将二次积分
0 dx 1 x
1
1 x 2
f ( x , y )dy 化为极坐标
下的二次积分.
浅谈极坐标系下的二重积分的计算

浅谈极坐标系下的二重积分的计算

浅谈极坐标系下的二重积分的计算
极坐标系，又称极座标系，它是在平面直角坐标系的基础上发展而来的一种特
殊坐标系，其参照点被称为极点，并以极点的横纵坐标作为极轴来表示，结合极轴和距离极点的极径，就可以确定任意点的位置。

在极坐标系下的二重积分被广泛地应用于工程和物理学中，以实现集中式物质的分布情况更加准确和快捷地确定。

极坐标系下的二重积分是指把平面上某区域按照极坐标系分界，然后利用积分
计算技术求出该区域内的某三维函数的定积分，其计算公式为：
$$∫_{∞}^{minθ}∫_{θ}^{maxθ} f(r,θ) rdrdθ$$
其中，$f(r,θ)$ 为极坐标系中的函数， $r$ 代表极径， $rdr$ 为微元积分值。

与常用的二重积分计算方法不同，极坐标系中求二重积分时，原函数会抽象为一个两变量函数$f(r,θ)$，其最主要的特点在于函数变换，即把二重积分拆解为两个一重积分计算，从而简化了二重积分的计算过程。

极坐标系下的二重积分由于可以实现更加精确的函数变换，避免了大容量的数
据计算，从而降低了计算难度，使得运算更加迅速。

此外，极坐标系下的二重积分还可以通过设置不同的数值参数，来实现不同的区域计算，更加实用。

极坐标系下的二重积分的计算虽然在某种程度上比普通几何体积计算更加便捷，但由于其计算对精度要求比较高，且变量之间有一定程度的关联，因此使用者在进行计算时要把握好参数的数量及有效性，以避免因缺乏考虑而造成计算结果出错。