二重积分在极坐标下的计算法

解：画出积分区域，极点 在区域 D 的外部 区域 D可表示为
D {(r, ) | 2 r 3, 0 2 }
因此Biblioteka ex2y2dxdy 2d
3 er2 rdr
D
0
2
y
2 r 3
4 x2 y2 9
O
x
0 2
例2
2 0
[
1 2
er2
] |32
d
2 ( 1 e9 1 e4 )d
D
o
i1 i
i
r ri1 r ri
x
极坐标系下计算二重积分
再由直角坐标与极坐标的关系
x r cos , y r sin
可得
D f ( x, y)dxdy D f ( x, y)d D f (r cos , r sin )rdrd
D
o
i1
i
r
ri 1
i
r ri
x
极坐标系下计算二重积分
因此
O
x
x2 y2dxdy
d
2sin
r rdr
D
0
0
例3
0
[
1 3
r
3
]
|2sin
0
d
8 sin3 d
30
32 9
y
x2 y2 2y
2 sin
•
0
O
x
谢谢
此时
D f (r cos , r sin )rdrd
r ( )
= d 0 f (r cos , r sin )rdr
r r( )
D
o x
例1
计算
D1
1 x2

π 2 π 2 a cos θ 0
f ( r , θ)dr ( a ≥ 0).
思考题解答
π π ≤θ≤ D: 2 2 , 0 ≤ r ≤ a cos θ
I = ∫ dr ∫
0 a r arccos a r arccos a
y
θ = arccos
D
r a r = a cosθ
a x
o
f ( r ,θ )dθ .
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 示为极坐标形式的二次积分为______________. 3 、 将 ∫ dx ∫
0 2 3x x
x2
f ( x 2 + y 2 )dy 化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 次积分为______________________. 4 、 将 ∫ dx ∫
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
例3
求广义积分∫0 e
2
∞
x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
二、利用极坐标系计算二重积分
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
r = ri + ri
θ = θ i + θ i
ηi )xi yi
λ →0 i 1 = n

D
x 2 y 2 4 dxdy
D1 D2
o
2
x

D1

(4 x 2 y 2 )dxdy
2
D2

( x 2 y 2 4)dxdy
3

0 0
d
2
( 4 ) d d
3
2
0 2
3 3
2
( 2 4 ) d
41 2 (4 )d 2 ( 4 )d . 0 2 2


2 3a 1 a . [ sin6 ] 6 0 4 2 6
2

作变换 x u, v , y u, v , 其中 C
1
2 u , v R
,
C
1
,
且
x, y u v 0 u, v u v f x, y d x, y f u , v , u , v u, v dudv

2

例 4．球体 x 2 y 2 z 2 a 2 被圆柱面 x 2 y 2 ax (a 0) 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.
解：由对称性，得
z
x 2 y2 z 2 a 2
V 2

D
a 2 x 2 y 2 dxdy
4
D1

a 2 x 2 y 2 dxdy
2 3
例 2．将二次积分
0 dx 1 x
1
1 x 2
f ( x , y )dy 化为极坐标
下的二次积分.

浅谈极坐标系下的二重积分的计算
极坐标系，又称极座标系，它是在平面直角坐标系的基础上发展而来的一种特
殊坐标系，其参照点被称为极点，并以极点的横纵坐标作为极轴来表示，结合极轴和距离极点的极径，就可以确定任意点的位置。

在极坐标系下的二重积分被广泛地应用于工程和物理学中，以实现集中式物质的分布情况更加准确和快捷地确定。

极坐标系下的二重积分是指把平面上某区域按照极坐标系分界，然后利用积分
计算技术求出该区域内的某三维函数的定积分，其计算公式为：
$$∫_{∞}^{minθ}∫_{θ}^{maxθ} f(r,θ) rdrdθ$$
其中，$f(r,θ)$ 为极坐标系中的函数， $r$ 代表极径， $rdr$ 为微元积分值。

与常用的二重积分计算方法不同，极坐标系中求二重积分时，原函数会抽象为一个两变量函数$f(r,θ)$，其最主要的特点在于函数变换，即把二重积分拆解为两个一重积分计算，从而简化了二重积分的计算过程。

极坐标系下的二重积分由于可以实现更加精确的函数变换，避免了大容量的数
据计算，从而降低了计算难度，使得运算更加迅速。

此外，极坐标系下的二重积分还可以通过设置不同的数值参数，来实现不同的区域计算，更加实用。

极坐标系下的二重积分的计算虽然在某种程度上比普通几何体积计算更加便捷，但由于其计算对精度要求比较高，且变量之间有一定程度的关联，因此使用者在进行计算时要把握好参数的数量及有效性，以避免因缺乏考虑而造成计算结果出错。