(完整word)数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总,推荐文档

数形结合思想在高考中的应用举例数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路。

最常用的是以形助数的解题方法，其实质就是对图形性质的研究，使要解决的数的问题转化为形的讨论，实现“由一种代数形式转化为几何形式”的数学化归。

例1. 函数f x x x ()||||=+--211，求使f x ()≥22的x 的取值范围。

解：f x ()≥22，也即||||x x +--≥1132。

设函数g x x x x x x x ()||||()()()=+--=-≤--<<≥⎧⎨⎪⎩⎪112121121h x ()=32如图1，由g x ()、h x ()的图象和g x h x ()()≥，可得x ≥34。

图1评析：数与形之间存在着密切的联系，很多代数问题若能转化成图形，则思路和方法可以从图形中直观地显示出来。

数形结合，简明直观，作出图表，一目了然。

例2. 已知a >0，函数f x x ax e x ()()=-22，设f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围。

解：f x e x a x a x '()[()]=+--2212。

由f x ()在[－1，1]上是单调函数，知g x x a x a ()()=+--2212在[－1，1]上有g x ()≥0恒成立，或g x ()≤0恒成立。

（1）如图2，g x ()≥0恒成立时([])x ∈-11，，有三种情况：图2①∆≤0；②a g -≤--≥⎧⎨⎩1110() ③a g -≥≥⎧⎨⎩1110() 均无解。

（2）如图3，g x ()≤0恒成立时([])x ∈-11，，有图3g g a ()()101034≤-≤⎧⎨⎩⇔≥。

综上得a ≥34。

评析：本题融函数、导数、不等式为一体，在网络交汇处设计的试题，通过借助于图形的直观性，以图助算，就可避免烦琐的计算。

数形结合思想在解题中的应用摘要：数形结合的解题思路在高中数学教学过程中占据着非常重要的地位，即使在高考时，数形结合思想的运用也是非常普遍的。

在利用数形结合思想来解决数学问题的过程中，必须认识到这一解题思想的灵魂，就是对数学知识有最基本的认知和掌握，只有熟练地运用各种数学知识、概念、公式，才有可能更好地应用数形结合的思想解决数学问题。

关键词：数形结合；高考解题；抽象概念；数学公式一、绪言新课标的背景之下，数形结合的解题思路运用非常广泛，这主要是由于这种解题方法可以将一些非常抽象的数学问题用一种生动直观的方式呈现，变抽象为形象，辅助高中生非常直观地把握数学问题的本质。

这种解题方法不仅可以调动学生学习数学的积极性，提高他们的思维能力，而且还可以使复杂的解题过程变得更为简单，减少解题过程中不必要的运算量，避免不必要的运算失误。

二、数形结合的概念以及解决问题的对象数形结合，简单地说，就是通过对数学问题的内在层次与结构进行分析，理清各个条件与结论之间的内在联系，不仅分析它的代数含义，还能指出它的几何意义，将数学问题的各种关系以及空间形式有效地结合起来，并充分地利用这种结合，找出解决问题的思路和方向，从而使问题得到顺利解决。

它的本质在于将抽象的数学语言和直观形象的图形有效地结合起来，特别是一些代数问题和形象的图表结合起来，将代数问题几何化，将抽象问题形象化。

数形结合思想在高中数学解题中的应用非常广泛，譬如说在处理函数问题的过程当中，建立有效的函数模型，结合函数的图像，求出参数的取值范围，当然也可以在这个过程之中分析方程根的有效范围，以及各量与量之间的有效关系。

除了函数问题之外，数形结合思想还可以将代数问题有效的几何化，建立几何模型，分析问题的本质，从而解决问题。

当然，也可以分析出几何问题中的斜率、截距，研究出最大最小值；最后，数形结合的思维方式还可以有效地研究图形的形状以及位置关系等，分析出图形之间的内在联系，并求出答案。

三角函数中的数形结合例题及其解法在三角函数中，利用数形结合的思想解决一些问题可以带来极大的方便，也容易理解，使一些抽象的问题形象化。

【例1】函数f（x）=sinx+2sinx，x∈［０，２π］的图象与直线y=k有且仅有２个不同的交点，则k的取值范围是.【分析】本题根据函数解析式，画出图象，可以直观而简明地得出答案，在有时间限制的高考中就能大大地节约时间，提高考试的效率.解：函数f（x）＝由图象可知：1<k<3.【例2】若sinα+cosα=tanα（0<α<），则α∈（）.解：令f（x）=sinx+cosx=sin（x+ ）（0<α<），g（x）=tanx，画出图象，从图象上看出交点Ｐ的横从标xP>.再令α＝，则sin+cos=≈１.366，tan=≈1.732>1.367，由图象知xP应小于.故选Ｃ.【点评】本题首先构造函数f（x），g（x），再利用两个函数的图象的交点位置确定α>，淘汰了Ａ、Ｂ两选项，然后又用特殊值估算，结合图象确定选项Ｃ，起到了出奇制胜的效果.【例3】已知函数f（x）是定义在（－３，３）上的奇函数，当0<x<3时f（x）图象如下图所示，那么不等式f（x）cosx<0的解集是（）.解：函数f（x）定义在（－３，３）上，且是奇函数，根据奇函数图象性质可知，f（x）在（－３，０）上的图象如图所示，若使f（x）cosx<0，只需f（x）与cosx异号，即图象须分别分布在x轴上下侧，由图可知，有三部分区间符合条件要求，即（－，－１）∪（０，１）∪（，３），故选B.【点评】已知函数的一部分图象，根据函数的性质可得到函数的另一部分图象，利用数形结合的思想，可以先画出完整的函数图象，再研究有关问题.另外，单位圆在求值域、定义域等问题中也有广泛应用。

用单位圆理解问题十分实用，是三角函数中必须掌握的。

在此就不多举例了。

(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线():4l y k =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 8分(3)由(2)知，曲线C 是在区间5,33⎛⎤⎥⎝⎦上的一段圆弧．如图，525,33D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，525,33E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0F ，直线l 过定点()4,0G ． 联立直线l 的方程与曲线C 的方程，消去y 整理得()()2222138160k x k x k +--+=．令判别式0∆=，解得34k =±，由求根公式解得交点的横坐标为H x ，125,353I ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦． 11分 由图可知：要使直线l 与曲线C 只有一个交点，则[]{},,DG EG GH GI k k k k k ∈U ，即252533,,7744k ⎡⎤⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦U ． 12分高考数学（理科）专题练习数形结合思想解 析1．∵a ＞0，∴a 2＋1＞1． 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点．2．在同一坐标系中分别作出f 1(x )＝|log 2|x ||与f 2(x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，如图所示，由图象知f 1(x )与f 2(x )有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是x 1，x 2，x 3，因为f ⎝⎛⎭⎫－12＜0，f ⎝⎛⎭⎫－14＞0，所以－12＜x 1＜－14，同理12＜x 2＜1，1＜x 3＜2，即－1＜x 1x 2x 3＜－18，即所有零点之积大于－1．3．函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，52上的零点为函数h (x )＝|cos(πx )|与函数f (x )的交点的横坐标．因为f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )为关于x ＝1对称的偶函数，又因为当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，则在平面直角坐标系内画出函数h (x )＝|cos(πx )|与函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，52内的图象，如图所示，由图易得两函数图象共有7个交点，不妨设从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，则由图易得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 5＝2，x 4＝1，x 6＋x 7＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＝7，即函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，52上的零点的和为7，故选A ．4．函数f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程a ＋sin x ＝0在[π，2π]上只有一解，即函数y ＝－a 与y ＝sin x ，x ∈[π，2π]的图象只有一个交点，由图象可得a ＝1．5．函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点．①若a ＜0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x ＞a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点．③若a ＞1，则a 3＞a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．综上，a ＜0或a ＞1．6．记y 1＝log a x (a ＞0，a ≠1)，y 2＝sin 2x ，原不等式即为y 1＞y 2，由题意作出两个函数的图象，如图所示，知当y 1＝log a x 的图象过点A ⎝⎛⎭⎫π4，1时，a ＝π4，所以当π4＜a ＜1时，对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4都有y 1＞y 2．7．令g (x )＝xf (x )－ln|x |，则g (x )是偶函数， 且当x ＞0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )－1x ＞0， ∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增． 故不等式xf (x )＞1＋ln|x |⇔g (|x |)＞g (1)， ∴|x |＞1，解得x ＞1或x ＜－1．故选A ．8．作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12．] 9．作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f （A ）＝f （B ）＝f （C ），不妨设a ＜b ＜c ， 则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6．∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝C ． 由图知10＜c ＜12，∴abc ∈(10，12)．10．因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π4，结合三角函数的图象可知T 2＝π4，即T ＝π2． 又T ＝2π2ω＝π2，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3．将f (x )的图象向右平移π8个单位得到f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π8＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6的图象，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象． 所以方程为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋k ＝0. 令2x －π6＝t ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以－π6≤t ≤5π6．若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数根，即y ＝sin t 与y ＝－k 在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图所示，由正弦函数的图象可知－12≤－k ＜12或－k ＝1， 即－12＜k ≤12或k ＝－1．]11．根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m ．要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6．12．如图所示，直线与抛物线交于B ，C 两点，与抛物线的准线交于A 点．∵AF →＝2FB →，∴F 在A ，B 中间，C 在A ，F 之间，分别过B ，C 作准线的垂线BB 1，CC 1，垂足分别为B 1，C 1．由抛物线的定义可知|BF |＝|BB 1|，|CF |＝|CC 1|．∵AF →＝2FB →，|AF |＝6， ∴|FB |＝|BB 1|＝3． 由△AFK ∽△ABB 1可知， |FK ||BB 1|＝|AF ||AB |，∴|FK |＝2． 设|CF |＝a ，则|CC 1|＝a ，由△ACC 1∽△AFK ，得|CC 1||FK |＝|AC ||AF |． ∴a 2＝6－a 6，∴a ＝32． ∴|BC |＝|BF |＋|FC |＝3＋32＝92．13．从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC ＝12|P A |·|AC |＝12|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形P ACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 从而|P A |＝|PC |2－|AC |2＝22．所以(S 四边形P ACB )min ＝2×12×|P A |×|AC |＝22． 14．。

初中数学教学中数形结合法的应用案例分析初中数学教学中培养学生的创新思维、逻辑推理等数学综合能力是素质教育和新课改的要求.实践证明，数形结合的教学方法是初中数学教学中有效的教学方法之一，对此，本文将初中数学教学作为研究对象，对数形结合思想在初中数学教学中的有效应用展开探究.一、数形结合思想的应用策略首先，将数形结合思想适时导入到课堂教学中.教师在适当的时候引入数形结合思想能够使得教学取得事半功倍的效果.对于引入时机，教师要根据学生对讲解知识的理解程度，在学生对于抽象知识理解较吃力时，教师可以通过数形结合思想将知识形象化.其次，在课堂中进一步利用数形结合思想.此方式能够帮助学生理解“方程”等较复杂的概念，学习解方程的方法.因此，教师要将数形结合思想融入到解方程组这部分的知识中，通过坐标系中线的交点获得方程组的解.此外，数学应用题总经常会出现相遇、追击等路程问题，这类题目需要借助画图展现出车辆的运动过程，有助于学生对于题目的理解，掌握这类题型的解答方法.最后，升华数形结合思想.函数的应用题比较复杂，函数与函数图像关系密切，相辅相成.因此，教师在讲解函数部分的知识时，可以先画出函数图像，让学生通过“形”总结“数”的知识，学习函数的特点.二、数形结合思想在初中数学教学中的应用实例数形结合思想包含两个方面：以数解形、以形“助”数。

以下从这两个方面举出具体的实例，对数形结合思想在初中数学教学中的应用进行分析.（一）以数解形在学习“数轴”部分的知识时，教师利用温度计上的示数引出数轴的概念；在学习“一次函数”时，利用一次函数的解析式画出函数图像；利用勾股定理证明三角形的直角；学习“相似三角形”时，教师利用线段的比例证明相似.以数解形的方法可以分为两个方面：（1）利用平面直角坐标系和数轴将几何问题转变成代数问题；（2）利用面积、角度等进行几何问题的解答[3].例1：探究两直线的位置关系时，利用方程组的解判断两直线y=ax+b，y=ax+b两直线的位置关系.二元一次方程组y=ax+by=ax+b的几何意义就是两直线的位置关系.对于上述方程组的解只有三种情况：有无数个解；无解；只有一个解，这三种情况分别对应的两直线的位置关系为重合、平行、相交.例2：已知正比例函数y=kx的图像与反比例函数y=（5-k）/x（k为常数，且k不为0）的图像有一个交点，横坐标为2.求两函数的交点坐标，并画出两函数的图像.利用“以数助形”的思想解答，根据题目中交点横坐标为2可以得出以下方程组y=2ky=（5-k）/2，并消掉y，得到2k=（5-k）/2，解得k=1.得出正比例函数的表达式为y=x.反比例函数的表达式为y=4/x.根据横坐标为2求出纵坐标，得出交点坐标，根据图像成中心对称可以得到另一个交点的坐标为（-2，-2），并画出两函数的图像.（二）以形助数数形结合应用最多的方法为“以形助数”，在学习“幂的乘除和因式分解”时，教师可以利用长方形的面积推导出完全平方公式和平方差公式；利用数轴学习有理数和绝对值；度量正方形的对角线和边长，找不到成倍数关系的对角线长度和边长，引出无理数的概念等.从“以形助数”的角度看数形结合思想，包含以下两方面：（1）利用几何图形理解复杂的公式；（2）利用平面直角坐标系和数轴构造几何图形，解决相关的代数问题.例3：利用面积的方法证明两数和的完全平方公式求大正方形的面积为（a+b）（a+b）即（a+b），将大正方形的面积看成多个小正方形的面积之和分别为a，2ab，b，由此可以得出（a+b）=a+2ab+b.例4：有理数在数轴上的位置如图所示，式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为（）需要利用数轴解题，观察数轴上的各点的性质，判断a，b，（a+b），（b-c）的正负性质，去掉绝对值，再将没有绝对值的式子相加减，得出式子的最终结果为b+c.初中没有学过解一元二次不等式，因此我们可以利用数形结合的思想，通过画出y=x-1和y=-x+2x+1这两个函数的图像，找出y在y上方对应的x的范围就是这个不等式的解.例6：上文中的例2还可以提出以下问题：若A（x，y），B（x，y）是反比例函数图像上的两个点，且xy；当0y；当x0，所以y希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。

22教育版内容摘要：本文介绍了初中数学解题中的一种重要的思想方法——数形结合. 数形结合思想主要是利用了数的结构特征，绘制出同其相对应的数学图形，同时通过对图形特点及规律的运用，使数学问题得到解决，或是将图形转化为代数，无需进行推理，便将要解答的问题转变为数量关系.在数学教学中合理结合数形结合思想能够有效调动学生的积极性，让学生通过直观的视觉观察来理解数学的概念和知识，为学生解题提供一定的帮助.关键词：数形结合　初中数学　应用一、数形结合的本质和内涵：数形结合思想就是通过对数与形间关系的运用，对数学习题中的知识点及问题进行研究，从而使问题得到解决的一种方法.分析及研究数与形间的关系，学生会清晰地看到数与形之间在一定的状况之下是能实现转换的.它们之间具有一定的等量关联，能让学生更加深入地对知识进行理解，并解决相关问题.在初中数学中，数指的是方程、函数、指数等，形指的是函数图形与几何图形.学生若能把它们结合起来运用，就能使问题的解答更加容易，从而提升学生解题的能力。

二、数与形之间的转化：中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合.作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

三、数形结合思想在初中数学解题中的应用：（一）数形结合思想在数与式问题中的应用。

数形结合的教学思想可以把有理数和数轴紧密联系起来.所有的有理数都可以在数轴.上找到相对应的唯一的点，如果想要对比两个有理数的大小，就可以通过比较分析在数轴上两个有理数的位置关系来得出结果.同时，依据数轴上原点与点的位a 、b ．（图略）【分析】 由上a ，b 的位置可以得到a <b．∴a =−，ab b a −=−【解】 ()a b a +−除此以外，数形结合思想还运用于一些图形类的规律题中，比如下面这个题目.【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴______根。

数形结合思想在解题中的应用摘要数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，将数量关系与直观的图形的相互转化来解决数学问题。

数形结合方法是数学解题中常用的思想方法。

它被广泛地应用于解决数学问题之中。

数形结合方法可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到解决问题的目的。

本文阐述数形结合在中学数学中的应用，并结合适当的例题来加以说明。

关键词数形结合思想解题应用抽象直观Several form combining the application in problem solving thinkingAbstract Several form combining, is according to the fractal number and the corresponding relation between the quantity relationship, with intuitive graphic conversion to solve mathematics problems. Several form combining method is used in mathematics problem-solving thought method .It is widely used in solving mathematical problems. Several form combining method can make complex problem is simplified, abstract problem specific, achieve the purpose of solving problems. This paper describes Shuoxingjiege Mathematics in secondary schools, combined with appropriate examples to illustrate.Keywords Several form combining ideas problem-solving application目录一、前言 (5)二、正文 (6)（一）解决实数比较大小问题 (6)（二）解决集合问题 (6)（三）解决函数问题 (7)（四）解决方程与不等式的问题 (9)（五）解决三角函数问题 (11)（六）解决线性规划问题 (12)（七）解决数列问题 (14)（八）解决解析几何问题 (14)（九）解决立体几何问题 (16)三、结束语 (18)四、参考文献 (19)五、致谢 (20)数与形是数学中的两个最古老、最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

教学·策略数形结合思想在初中数学教学中的应用———以“函数”教学为例文|林欣为了促进教学活动的顺利、高效开展，明确落实教学目标，教师需要重视对教学理念的创新与变革，以便为学生创造良好的学习环境，进一步挖掘学生的潜能，为学生高效开展数学学习奠定基础。

数形结合思想作为重要的数学思想，对提升学生的数学学习能力有着重要意义。

教师应将数形结合思想融入日常教学中，以助力学生更高效地解决数学问题，促使学生形成良好的数学思维。

同时函数作为初中数学的重要内容，对学生数学素养与能力的提升有着重要影响。

因此，在“函数”教学中，教师应重视对数形结合思想的有效应用，直观、生动地展现抽象的函数知识，充分发挥学生的形象思维能力，帮助学生掌握问题的本质，使其能够快速、高效地解决问题，从而为初中数学教学的高质、高效开展提供助力。

一、创设教学情境在初中数学教学活动中，教师可以结合教学知识创设生动、有趣的教学情境，以吸引学生的注意力，使学生能够真正关注到问题，并运用图形对问题中所包含的内容进行直观呈现，让学生亲身感受到数形结合所创造的便利，进而激发学生运用数形结合方法解决数学问题的热情，并深刻认识到数形结合思想的价值与意义。

例如，教师可以结合生活实际设置例题，通过创设良好的教学情境，激发学生的解题兴趣。

问题：25路公交车往返于A、B两地，两地的发车时刻表相同。

假设公交车均速直线向前行驶，从A 地到B地，从B地到A地所用时间都是60分钟，每间隔10分钟发一趟车。

提问：一辆25路公交车从A 地出发，途中能遇到几辆由B地出发的25路公交车？在分析问题后：学生1：能够遇到4辆。

学生2：能够遇到5辆。

学生3：能够遇到6辆。

学生4：能够遇到7辆。

教师：针对这一问题，大家的答案各不相同，以前也有数学家针对类似问题进行了激烈争论。

虽然这道题十分简单，却隐藏着重要信息，需要我们运用合理的方法解题。

学生一听数学家都没有解出这道题都感到十分的疑惑，非常想知道最后数学家是怎样解出问题的。