数形结合数学思想方法

数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的教学方法。

著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。

数形结合就是通过数与形的相互转化、相辅相成来解决数学问题的一种思想方法。

它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。

在教学中渗透数形结合的思想，可把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念；可使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上掌握算法；可将复杂问题简单化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。

适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。

一、渗透数形结合思想，把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念，运用图形，建立表象，理解本质在低年级教学中学生都是从直观、形象的图形开始入门学习数学。

一年级的小学生学习数学，是从具体的物体开始认数，很多知识都是从具体形象逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。

数学意义所指的“意义”是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。

而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物，学生容易掌握和理解。

这方面的例子很多，如低年级开始学习认数、学习加减法、乘除法，到中年级的分数的初步认识、高年级的认识负数等都是以具体的事物或图形为依据，学生根据已有的生活经验，在具体的表象中抽象出数，算理等等。

在小学中高年级的教学中，我们要注重运用直观图形，巧妙地把数和形结合起来，把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念。

例如：如，教学“体积”概念。

教师可以借助形象物体设问，引导学生分析比较。

首先观察物体，初步感知。

让学生观察一块橡皮和铅笔盒，提问：哪个大，哪个小？又出示一个魔方和一个骰子，提问：那个大，那个小？通过观察物体，让学生对物体的大小有个感性认识。

接着在一个盛有半杯水的玻璃杯里慢慢加入一块石头，学生可以观察到，随着石头的投入，杯中的水位不断上升。

问：玻璃杯里的水位为什么会上升？学生从这一具体事例中获得了物体占有空间的表象。

⼩学数学“数形结合”思想⽅法在教材中的渗透-最新⽂档⼩学数学“数形结合”思想⽅法在教材中的渗透⼀、数形结合思想⽅法简述数形结合是⼩学数学中常⽤的、重要的⼀种数学思想⽅法。

数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化,把抽象的数量关系,通过形象化的⽅法,转化为适当的图形,从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系,解决数量关系的数学问题,这是数形结合思想在⼩学数学中最主要的呈现⽅式。

另外,数形结合思想在关于⼏何图形的问题中,⽤数量或⽅程等表⽰,从它们的结构研究⼏何图形的性质与特征,这是另⼀种呈现⽅式。

应⽤数形结合思想⽅法解题,从抽象到直观,再由直观到抽象,既能培养学⽣的形象思维能⼒,⼜能促进逻辑思维能⼒的发展。

通过数形结合,有助于学⽣对数学知识的记忆,训练学⽣数学直觉思维能⼒,培养学⽣的发散思维能⼒和创造性思维能⼒。

⼆、数形结合思想⽅法在教材中的渗透1.数形结合帮助学⽣建⽴起数学基本概念,形成整个数学知识体系。

数学是思维的阶梯。

纵观整个⼩学数学教材,从⼀年级到六年级,⽆不充分体现数与形的有机结合,帮助学⽣从直观到抽象,逐步建⽴起整个数学知识体系,培养学⽣的思维能⼒。

在⼀年级上册中,学⽣刚学习数学知识时,教材⾸先就是通过数与物(形)的对应关系,初步建⽴起数的基本概念,认识数,学习数的加减法;通过具体的物(形)帮助学⽣建⽴起初步的⽐较长短、多少、⾼矮等较为抽象的数学概念;通过图形的认识与组拼,在培养学⽣初步的空间观念的同时,也初步培养学⽣的数形结合的思想,帮助学⽣把数与形联系起来,数形有机结合。

在⼆年级上册学习乘法与除法的意义时,通过数与物(形的)对应结合,帮助学⽣理解掌握乘法与除法的意义,并抽象地运⽤于整个数学学习中。

在三年级上册分数的初步认识中,通过具体的形的操作与实践,让学⽣充分理解“平均分”,⼏分之⼀,⼏分之⼏等数学概念,掌握运⽤分数⼤⼩的⽐较,分数的意义,分数的加减等,使数形紧密地结合在⼀起,把抽象的数学概念直观地呈现在学⽣⾯前,帮助学⽣理解掌握分数的知识。

数学思想方法数形结合
数形结合是一种数学思想方法，它通过将数学问题与几何形状的图形相结合来解决问题。

这种方法可以帮助我们更好地理解和推导出数学关系和性质。

数形结合通常适用于与几何形状相关的数学问题，例如计算面积、体积、周长等。

通过将几何形状的图形分解、组合或变形，我们可以利用图形的性质和特点来发现数学规律和解决问题。

在使用数形结合方法时，我们可以通过画图、绘制图表、使用模型等方式将数学问题可视化，从而更直观地理解问题。

通过观察和分析图形的形状、位置、数量等方面的信息，我们可以得出一些推论和结论，进而解决问题。

数形结合方法可以激发学生的观察能力和逻辑思维能力，帮助他们建立数学问题与几何图形之间的联系，培养数学思维能力和解决问题的能力。

这种方法也有助于提高学生对数学的兴趣和学习动力。

初中数学思想方法有哪些1、数形结合思想：就是依据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又显示其几何意义;使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。

2、分类讨论的思想：在数学中，我们经常必须要依据研究对象性质的差异，分各种不同状况予以考查;这种分类思索的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。

3、联系与转化的思想：事物之间是互相联系、互相制约的，是可以互相转化的。

数学学科的各部分之间也是互相联系，可以互相转化的。

4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。

2方法一1.对应的思想和方法在初一代数入门教学中，有代数式求值的计算题，通过计算发现：代数式的值是由代数式里字母的取值所决定的，字母的不同取值可得不同的计算结果。

这里字母的取值与代数式的值之间就建立了一种对应关系，再如实数与数轴上的点，有序实数对与坐标平面内的点都存在对应关系在进行此类教学〔制定〕时，应注意渗透对应的思想，这样既有助于培养同学用变化的观点看问题，又助于培养同学的函数观念。

2.整体的思想和方法整体思想就是合计数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深入的观察，从宏观整体上熟悉问题的实质，把一些彼此独立但实质上又互相紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。

整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。

3.数形结合的思想和方法数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。

著名数学家华罗庚先生说："数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。

'这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。

4.分类的思想和方法教材中进行分类的实例比较多，如有理数、实数、三角形、四边形等分类的教学不仅可以使同学明确分类的重要性：一是使有关的概念系统化、完整化;二是使被分概念的外延更清楚、更深入、更具体，并且还能使同学掌握分数的要点方法：3方法二1、数形结合的思想和方法在同学刚接触初中数学不久，教材中设置利用"数轴'这一图形，巩固"具有相反意义的量'的概念，了解相反数，绝对值的概念，掌握有理数大小的道理，理解有理数加法、乘法的意义，掌握运算法则等。

高中四大数学思想方法高中四大数学思想方法数学（mathematics或maths，来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。

数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

下面是店铺整理的高中四大数学思想方法，希望对你有所帮助！一、数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。

应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。

运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线。

以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法。

以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。

二、分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决。

分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”。

应用分类讨论思想方法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学，既不重复，又不遗漏。

如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结。

数形结合数学思想⽅法 ⼩学数学中虽然没有学习函数，但还是慢慢的开始渗透函数的思想。

为初中数学学习打好基础，如确实位置中，⽤数对表⽰平⾯图形上的点，点的平移引起了了数对的变化，⽽数对变化也对应了不同的点。

下⾯⼩编给⼤家整理了关于数形结合数学思想⽅法，希望对你有帮助! 1数形结合数学思想⽅法 “数”与“形”是数学的基本研究对象，他们之间存在着对⽴统⼀的辨证关系。

数形结合是⼀种重要的数学思想，是⼈们认识、理解、掌握数学的意识，它是我们解题的重要⼿段，是根据数理与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻求解决问题的⽅法的⼀种数学思想。

它是在⼀定的数学知识、数学⽅法的基础上形成的。

它对理解、掌握、运⽤数学知识和数学⽅法，觖决数学问题能起到促进和深化的作⽤。

2数形结合数学思想⽅法 ⽤图形的直观，帮助学⽣理解数量关系，提⾼教学效率 ⽤数形结合策略表⽰题中量与量之关系，可以达到化繁为简、化难为易的⽬的。

“数形结合”可以借助简单的图形(如统计图)、符号和⽂字所作的⽰意图，促进学⽣形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。

它是⼩学数学教材的⼀个重要特点，更是解决问题时常⽤的⽅法。

众所周知，学⽣从形象思维向抽象思维发展，⼀般来说需要借助于直观。

以数解形：有关图形中往往蕴含着数量关系，特别是复杂的⼏何形体可以⽤简单的数量关系来表⽰。

⽽我们也可以借助代数的运算，常常可以将⼏何图形化难为易，表⽰为简单的数量关系(如算式等)，以获得更多的知识⾯，简单地说就是“以数解形”。

它往往借助于数的精确性来阐明形的某些属性，表⽰形的特征、形的求积计算等等，⽽有的⽼师在出⽰图形时太过简单，学⽣直接来观察却看不出个所以然，这时我们就需要给图形赋予⼀定价值的问题。

助表象，发展学⽣的空间观念，培养学⽣初步的逻辑思维能⼒。

⼉童的认识规律，⼀般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。

表象介于感知和形成科学概念之间，抓住这中间环节，在⼏何初步知识教学中，发展学⽣的空间观念，培养初步的逻辑思维能⼒，具有⼗分重要意义。

高考数学总复习第三讲：数形结合一、专题概述 ---什么是数形结合的思想数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等．二、例题分析1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程．例1．函数的图象的一条对称轴方程是：（A）（B）（C）（D）分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答案，如果对函数的图象做深入的观察，就可知，凡直线x=a通过这一曲线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：，其中只有–1是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．例2．问：圆上到直线的距离为的点共有几个？分析由平面几何知：到定直线L：的距离为的点的轨迹是平行L的两条直线．因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数．将圆方程变形为：，知其圆心是C(-1,-2)，半径，而圆心到定直线L的距离为，由此判定平行于直线L且距离为的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点（如图1）启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用．3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化．例3．判定下列图中，哪个是表示函数图象．分析由=，可知函数是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又，的图象应当是上凸的，（在第Ⅰ象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数图象．例4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）．分析由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B），下落时间t越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）．例5．若复数z满足，且，则在复平面上对应点的图形面积是多少？分析满足的复数z对应点的图形是：以C(1,1)为圆心，为半径的圆面，该圆面与图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°）因此所求图形的面积为：4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性．在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．例6．已知C<0，试比较的大小．分析这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在同一坐标系中，画出三个函数：的图象位于y轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论：例7 解不等式解法一（用代数方法求解），此不等式等价于：解得故原不等式的解集是解法二 （采用图象法） 设即对应的曲线是以为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象是一直线．（如图） 解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是．借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果．例8 讨论方程的实数解的个数．分析：作出函数的图象，保留其位于x 轴上方的部分，将位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，便可得到函数的图象．（如图）再讨论它与直线y=a 的交点个数即可． ∴当a ＜0时，解的个数是0；当a=0时或a ＞4时，解的个数是2；当0＜a ＜4时，解的个数是4；当a=4时，解的个数是3．9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k 的不同取值有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个 （D ）4个分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）例9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）例10．设点P(x,y)在曲线上移动，求的最大值和最小值．解曲线是中心在（3，3），长轴为，短轴为的椭圆．设，即y=kx为过原点的直线系，问题转化为：求过原点的直线与椭圆相切时的斜率．（如图所示）消去y得解得：故的最大值为，最小值为例11．求函数（其中a,b,c是正常数）的最小值．分析采用代数方法求解是十分困难的，剖析函数解析式的特征，两个根式均可视为平面上两点间的距离，故设法借助于几何图形求解．如图设A(0,a),B(b,-c)为两定点，P(x,0)为x轴上一动点，则其中的等号在P为线段AB与x轴的交点外，即时成立．故y的最小值为例12．P是椭圆上任意一点，以OP为一边作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆时针方向排列）使|OR|=2|OP|，求动点R的轨迹的普通方程．分析在矩形O P Q R中（如图），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆时针旋转90°，并将长度扩大为原来的2倍得到的．这一图形变换恰是复数乘法的几何意义，因此，可转化为复数的运算，找到R和P的两点坐标之间的关系，以求得问题的解决．解，设R点对应的复数为：，P点对应的复数为则故即由点在椭圆上可知有：整理得：就是R点的轨迹方程，表示半长轴为2a，半短轴为2b，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆．三解题训练1．求下列方程实根的个数：（1）（2）（3）2．无论m取任何实数值，方程的实根个数都是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）不确定3．已知函数的图象如右图则（）（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)（C）b∈(1,2) （D）b∈(2,+ ∞)4．不等式的解集是（）（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式一定有解，则a的取值范围是（）（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1]6．解下列不等式：（1）（2）7．复平面内点A、B分别对应复数2，2+i，向量绕点A逆时针方向旋转至向量，则点C对应的复数是_______．8．若复数z满足|z|<2，则arg(z-4)的最大值为___________9．若复数z满足10．函数的图象是平面上两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两定点的坐标是( )（A）（–，–）（，）（B）（–，）（，–）（C）（–2，2）（2，2）（D）（2，–2）（–2，2）11．曲线与直线的交点个数是（）．（A）0（B）1 （C）2（D）312．曲线与直线有两个交点，则实数k的取值是（）（A）（B）（C）（D）13．已知集合，满足，求实数b的取值范围．14．函数的值域是（）（A）（B）（C）（D）四、练习答案1．（1）2个（2）63个（3）2个提示：分别作出两个函数的图象，看交点的个数．2．B、提示：注意到方程右式，是过定点（，0）的直线系．3．A、提示：由图象知f(x)=0的三个实根是0，1，2这样，函数解析式可变形学习好资料欢迎下载f(x)=ax(x-1)(x-2)，又从图象中可以看出当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f(x)>0．而当x>2时，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而可知b=-3a<0，故选（A）4．A5．A6．（可以利用图象法求解）（1）x≤-1或0<x≤3（2）x≤-17．18．210°9．10．A11．D 提示：在曲线方程中，分x≥0或x<0两种情形讨论，作出图形即可．12．C13．14．A 提示：f(x)可以视作：A(cosx,sinx),B(1,2)，则f(x)=k AB，而A点为圆x2+y2=1上的动点。

数形结合思想方法［知识要点］数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

数形结合的思想方法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

［典型应用］在初中数学教材中，数形结合问题占有不小比例，代数中学过的代数式、方程、不等式、函数，几何中己经学过点、线、三角形、四边形、圆的知识，都是密切联系，互相统一的，不论用代数方法研究几何问题，还是用几何图形研究数或式，都贯穿着数形结合方法分析问题和解决问题的思想，其中比较典型的有：1、数轴数轴是初中数学教材中数形结合的第一个实例，它的建立，不仅使最简单的形——直线上的点与实数间建立一一对应关系，还揭示了数形间的内在联系，使实数的许多性质，可由数轴上相应点的位置关系得到形象生动的说明，也为学习具有相反意义的量、相反数、绝对值、有理数运算等作好了准备。

不等式的解集可以在数轴上直观、形象地表示出来，不等式组的解更要借助数轴来求解。

圆与圆的位置关系也可以用数轴来直观表示，设圆心距为d，两圆半径为R、r（R＞r），则五种位置关系表示为：2、平面直角坐标系与函数平面直角坐标系把“点”和“有序实数对”对应起来，使抽象的“数”与直观的“形”有了统一，开创了研究数学问题的新途径。

函数是初中数学的重要内容之一，也是学习的一个难点。

同时又是“数形结合”的思想方法体现得最充分的一个章节。

如，一次函数y＝kx＋b的图象中，k与直线的倾斜程度有关，b与直线和y轴的交点有关；又比如，二次函数中抛物线的开口、对称轴、顶点及与坐标轴交点更是与系数a 、b、 c 关系密切。

数形结合思想数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学．”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决．“数”与“形”是一对矛盾，华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合．如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系和单位圆来定义的．数形结合在解决集合运算、函数方程、不等式、解析几何、三角、向量等问题中均有广泛运用．应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．数形结合的途径（1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化．这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大简化代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义，如等式22(2)(1)4xy ．常见方法有：（1）解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系．（2）三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径． （3）向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．把抽象的几何推理化为代数运算．特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循．（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将|a |与距离互化，将a 2与面积互化，将a ≥b ≥c ＞0且b +c ＞a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）．另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用．常见的转换途径为：1°方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题．2°利用平面向量的数量关系及模AB 的性质来寻求代数式性质．3°构造几何模型．通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将2a与正方形的面积互化，将abc 与勾股定理沟通等等．4°利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离002dA B，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质．2．数形结合的原则 （1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导．（2）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．（3）简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单．而不是去刻意追求一种固定的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法．一、引入1．函数()|log |(0a f x x a ，1)a 的单调递增区间是 A ．(0]a , B ．(0),C ．(01],D ．[1),2．方程2243xx x 的实数解的个数是A ．1B ．2C ．3D ．以上都不对3．已知不等式2log 0m xx在1(0)2x,时恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．01mB ．1116mC ．1mD ．1016m4．如果实数x y 、满足22(2)3x y ，则y x的最大值为A ．12B ．3C ．2D ．5．在平面直角坐标系中，点O (0，0)，P (6，8)，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得向量OQ ，则点Q 的坐标是 A ．(722), B ．(722), C ．(462), D ．(462),6．若2()f x x bx c 对任意实数t ，都有(2)(2)f t f t ，则(1)f 、(3)f 、f ()4由小到大依次为___________．7．对a b R ,，记max{}.a ab a b b ab ,,,, 函数()max{|1||2|}f x x x ,的最小值是_________．8．若方程22320xax a 的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a 的取值范围是______．9．已知奇函数()f x 在(0),上是增函数，且(3)0f ，不等式()0xf x 的解集为_________．10．已知定义在[11],上的函数()f x 为增函数，则不等式11()()21f x f x 的解集为 ． 11．若关于x 的方程223320x xa 在[02],上只有一个根，则实数a 的取值范围是______． 12．讨论关于x 的方程|31|xk （k R ）根的个数．二、例题：1．方程2221xx x 的实数解的个数是A ．1B ．2C ．3D ．以上都不对2．已知不等式2log 0xm x在1(0)2x,时恒成立，则m 的取值范围是 ．3．点A (2，1)在圆225x y 上，将点A 绕原点O 顺时针旋转到点B ，求B 的坐标．4．当[1)x ,时，不等式222x ax a 恒成立，求a 的取值范围．5．设关于θsin 0θθa 在区间(02)π,内有相异的两个实根α，β，求实数a 的取值范围，并求α+β的值．三、练习：1．方程sin lg x x 的根的个数有 ．2．设方程 22xx的实根为a ，2log 2xx的实根为b ，则ab．3．方程2||10xx a 有四个根，则a 的取值范围是 ．4．设a b c ,,均为正数，且122log aa ，121()log 2b b ，21()log 2c c ，则A ．ab c B ．c b a C ．c a b D ．b a c5．设函数2log (1)2()1()1 2.2xx xf x x ,,,若0()1f x ，则0x 的取值范围是 A ．(0)(2),, B ．(02), C ．(1)(3),, D ．(13), 6．若log a 2<log b 2<0，则a ，b 的取值范围是A ． 0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．a >b >1D ．b >a >1 7．已知0x 是函数1()21xf x x的一个零点，若10(1)x x ,，20()x x ,，则A ．12()0()0f x f x ,B ．12()0()0f x f x ,C ．12()0()0f x f x , D ．12()0()0f x f x ,8．已知01a ，则方程|||log |x a a x 的根的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3个 9．方程1sin()44πxx 的实数解的个数是( ) A ． 2 B ．3 C ．4 D ．以上均不对 10．函数||y a x 与y x a 的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是A ．(1)，B ．(11)，C ．(1][1)，，D ．(1)(1)，，11．若(12)x ，时，不等式2(1)log a x x 恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（1，2]D ． [1，2]12．定义在R 上的函数()y f x 在(2)，上为增函数，且(2)y f x 是偶函数，则（ ）A ．(1)(3)f fB ．(0)(3)f f C ．(1)(3)f f D ．(2)(3)f f13．已知51260xy 的最小值是A ． 6013B ．135C ．1312D ．1 14．已知()22ππx ,，则sin x ，tan x 与x 的关系是 A ．tan sin xx x B ．tan sin x x x C ．|tan ||||sin |x x x D ．不确定15．已知函数2()11([01])f x x x ,，对于满足121x x 的任意12x x ,，给出下列结论：①1212()[()()]0x x f x f x -；②2121()()()f x f x x x -；③2121()()()22f x f x x x f ．其中正确的结论的序号是A ．①B ．②C ．③D ．①③ 16．若关于x 的方程24||5x x m 有四个互不相等的实根，则实数m 的取值范围是 ． 17．函数2222613y x x x x 的最小值为___________．18．若直线yx m 与曲线21yx 有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ．19．若不等式|1||1|m x x 的解集是非空数集，那么实数m 的取值范围是_________． 20．对a bR ,，记min{}.b a b a b a ab ,,,, 函数1()min{|1|2}2f x x x ,的最大值是_________． 21．求函数sin 2cos 2x y x 的值域．22．关于x 的方程2230x kx k 的两根都在1和3之间，求k 的取值范围．23．已知向量(34)OA ,，(63)OB ,，(53)OC m m ,． （1）若点A B C ,,能够成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若△ABC 为直角三角形，且A 为直角，求实数m 的值．。

数学思想方法有哪七种
1、数形结合：是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。

“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。

2、转化思想：在整个初中数学中，转化(化归)思想一直贯穿其中。

转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想,它是数学基本思想方法之一。

3、分类思想：有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论的。

4、整体思想
从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

5、类比思想
把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某
些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

6、配方法
将一个式子设法构成平方式，然后再进行所需要的转化。

当在求二次函数最值问题、解决实际问题最省钱、盈利最大化等问题时，经常要用到此方法。

7、待定系数法法
当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待定的字母的值就可以了，为此，需要把已知的条件代入到这个待定的式子中，往往会得到含待定字母的方程或者方程组，然后解这个方程或者方程组就可以使问题得到解决。

解题思想之数形结合一、注解：数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析，又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分析，达到更加完整、严密和准确。

在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。

数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平面直角坐标系，数轴及其他数学概念同时使用。

二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】如图，在所给数轴上表示出实数—3，—1，2-的点，并把这组数从小到大用“＜”连接。

【例2】已知a＜0，b＜0，且a＜b，则（）A —b＞—aB —b＞aC —a ＞bD b＞a2.在不等式中的运用【例3】不等式组2030xx-⎧⎨-≥⎩的正整数解的个数为（）A 1个B 2个C 3个D 4个【例4】关于x的不等式组521xx a-≥-⎧⎨-⎩无解，则a的取值范围是。

3.在方程（组）中的运用【例5】利用图像法解方程组24212x yx y-=⎧⎨+=⎩4.在函数中的运用【例6】某水电站的蓄水池有2个进水口和1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。

已知某天0点到6点进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示。

给出三个判断：（1）0点到3点，只进水不出水；（2）3点到4点，不进水只出水；（3）4点到6点，不进水不出水。

则以上判断正确的是（）A （1）B （2）C （2）（3）D （1）（2）（3）【例7】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在（1）a＜0,（2）b＞0（3）c＜0（4）b2-4ac＞0中，正确的判断是（）A （1）（2）（3）（4）B （4）C（1）（2）（3）D（1）（4）5.在统计与概率中的运用【例8】近年来，某市旅游业蓬勃发展，吸引了大批海内外游客前来观光，下面两图分别反映了该市2001—2004年旅客总人数和旅游业总收入的情况。

浅议数形结合思想在小学数学教学中的运用数形结合思想是指将数学内容与图形相结合，从而更直观地理解和掌握数学知识的一种方法。

在小学数学教学中，运用数形结合思想可以提高学生的学习兴趣和思维能力，加深对数学概念的理解，同时也可以培养学生的空间想象力和解决实际问题的能力。

本文将探讨数形结合思想在小学数学教学中的运用。

一、教学方法1. 图形帮助理解数学概念在小学数学中有很多概念是抽象的，难以被学生直观理解。

例如，正方形的定义可以用文字描述，但是对于学生，看到图形后，他们更容易理解正方形的属性。

因此，在教学过程中，可以先给学生呈现一个图形，然后帮助他们理解和记忆相应的概念。

例如，可以让学生画出正方形、长方形、三角形等，并让他们根据图形的角度、边长等属性来描述它们。

2. 图形与计算相结合在小学数学教学中，计算与图形的结合也非常常见。

例如，学习长方形面积时，可以让学生通过画出长方形、计算公式的方式来理解计算方法。

又如，学习周长时，可以让学生通过画出图形，根据公式计算边长的方式来掌握周长的计算方法。

3. 图形辅助解题采用数形结合思想，有助于学生更直观地理解解题方法。

例如，在求解问题时，可以通过画出图形的方式来辅助解题。

例如，学生可以用图形来解决比例问题、分数问题等，这有助于学生更快地理解计算过程中的数学概念和方法。

二、教学实例1. 长方形面积教授长方形面积时，可以先让学生画出长方形，并标出长和宽。

然后，可以计算出长方形的面积，并要求学生复述计算方法。

这样，学生会更清楚地理解长方形面积的计算方法。

2. 分数的大小比较教授分数的大小比较时，可以画出图形辅助教学。

例如，可以画出一个圆形，然后将其分成几个部分，并让学生根据分数的大小来完成相应的练习。

通过这种方法，学生不仅可以更直观地理解分数的大小比较方法，还可以培养他们的空间想象力。

3. 三角形的面积教授三角形面积时，也可以画出图形来辅助教学。

例如，可以将一个三角形图形与一个矩形图形组合起来，这样学生可以更直观地理解三角形面积的计算方法。

数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析例1.的取值范围。

之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。