八年级数学轴对称变换

▪ 看老师现场完成一件艺术品
• 同学们仿照完成教材上的 • 作品“一双脚印”
• 你能说出其中包含的数学原理吗？
• 欣赏下面图案的形成过程，你能从 中发现什么结论？
▪ 归纳：由一个平面图形可以得到它 关于一条直线 l对称的图形，这个 图形与原图形的形状、大小完全一 样；
▪ 新的图形上的每一点，都是原图形 上的某一点关于直线l 的对称点；
▪ 连接任意一对对应点的线段被对称 轴垂直平分。
轴对称变换：由一个平面图形得到 它的轴对称图形的过程。
怎样作一个图பைடு நூலகம்关于一条直线 的对称图形呢？
▪ 例1：如图，已知⊿ABC和直线L，作 出与⊿ABC关于直线L对称的图形。
A
BO B’
C 你能准确流利地 L 表达上述的作图 过程吗？
C’
A’
利用轴对称变换，可以 设计出精美的图案。
▪ 课堂练习：教材P131

A’
对称线段A’B’?
B
B’
找关键点作出其对称点！
然后连结线段.
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对 称变换后得到。一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础， 经轴对称变换扩展而得到
探究一 如果有一 个图形和一条直线，如何作出与这个
通行关于这条直线对称的图形呢？
例1、 如图，已知△ABC
由一个平面图形得到它 的轴对称图形叫做轴对 称变换
尝试探究 l 已知对称轴 l 和一个点A如
何画出点A关于 l 的对称点A’ ?
A
B
A’
1、过点A作对称轴 l 的垂线，垂足为B； 2、延长A B 至A’,使得BA’= A B. 3、点 A’ 就是点A关于 l 的对称点.
基础训练
l
1、 如何画线段AB关于直线 l的 A
请你用所学的知识来欣赏下列美丽的图案
要在燃气管道L上修建一个 泵站，分别向A、B两镇供 气，
你可以在L上找几个点 试一试，能发现什么规 律吗？
哈，我知道怎样作
B A
C C B
基础训练
5、用两个圆、两个三角形、两条平行线段可以构造出许 多独特而有意义的轴对称图形（如下图），请你也仿 照构思一个图案，别忘了加上一两句贴切的解说词哦.
动手试一试
在一 张半透明的纸的左边画一只左脚印，
在把这张纸对折后描图，打开对折的纸。
就能得到相应的
右脚印
动脑想一 想
左脚印和右脚印有什么关系？ 成轴对称 对称轴是 折痕所在的 直线，既直线 ︱
图中的 PP 与 ︱ 是什么关系？
类似地。我们可由一个图形 得到与它成轴对称的另一个 图形，重复此过程，可得到 美丽的图案

4．AO = DO、BO = EO；
5．∠ AOE = ∠ BOE。
D
C
B L
注：对称轴上的点的对应点是它本身
闯关成功
轴对称变换的性质： 轴对称变换不改变原图
形的形状和大小。
由此你会想到什么？
生活中的平移现象
如：铝合金窗户的移动，工厂里传 输带上的物品，电梯上的人等。
A
A’
C
B
C’
B’
由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，
原图形上的所有的点都向同一个方向运动，且运动相 等的距离，这样的图形改变叫做图形的平移变换，简 称平移。
2.2轴对称变换
2020/12/13
请观察下面的图形是不是我们以前学过 的轴对称图形?若是请画出它的对称轴.
由一个图形变为另一个图 形,并使这两个图形关于某一条 直线成轴对称,这样的图形改变 叫做图形的轴对称变换，也叫 反射变换,简称反射.经变换所 得的新图形叫原图形的像。
已知线段AB和直线MN,画出线段AB关于 直线MN的对称线段A′B′.
旋转的基本性质
（１）旋转不改变图形的大小和形状． （２）对应点到旋转中心的距离相等． （３）任意一对对应点与旋转中心的连
线所成的角度都是旋转的角度． （４）图形上的每一点都绕旋转中心沿
相同方向转动了相同的角度．
[试一试]
如图，在一个10×10的正方形网格中有一个 △ABC.
①在网格中△ABC经过怎样变化得到的△ A1B1C1。 ②在网格中△ABC经过怎样变化得到的△ A2B2C2。
M
A
B
N
第一关
已知对称轴l和一个点A，画出点 A经轴对称变换后所得的像A′
1、过一点画已知直线的垂线

轴对称图形的变换二、知识要点1、轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•注：成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．2、轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．3、作一个图形关于某条直线的轴对称图形【重点】（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．例：画出△ABC的轴对称变换后的得到的图形。

分析：我们找到能决定形状的点，①找到点A、B、C，②接着过点A、B、C分别作对称轴的垂线，并使得垂足到两个两个点的的距离相等，如：B、B＇到对称轴的距离相等③连接经过轴对称变换后的几个点A＇B＇C＇，得到△A＇B＇C＇，完毕。

4、找一点使距离之和最短【重点】条件：如下左图，Ａ、Ｂ是直线Ｌ同旁的两个定点．问题：在直线Ｌ上确定一点Ｐ，使PA＋PB的值最小．方法：作点A关于直线L的对称点A＇，连结A＇B交L于点P，则PA+PB=A＇B的值最小。

注：这个知识点非常有技巧，以后遇到的很多题型如果会运用这个方法就省很多事。

用坐标表示轴对称5、关于坐标轴对称【重点】点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）图1 图2三、经验之谈：上面的总结已经淋漓尽致了，基本上每个知识点都说的很清楚，剩下的就看同学们愿不愿意思考和动手了。

上图2中，同学们想一想P(x,y)关于y=-x轴对称点P2的坐标是什么。