2017届湖北省八校联考第二次联考文数试卷

湖北省2017年八校联考（荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等）高考二模数学（文科）试卷答 案一、选择题 1~5．DAACC6~10．DDCCA11~12．AA二、填空题 13．3 14．16 15．()20,e -16．24π3b a ⨯三、解答题17．解：(1)83526620a a d -==-=，∴公差4d =，∴()3346n a a n d n =+-=-... 又213642S S S =+．即()12112332b b b b b b +=+++，∴322b b =，∴公比2q =，∴12n n b -=…()21462232n n n c n n -=-=-，1︒当1n =时，230n -＜，∴12T =… 2︒当2n ≥时，230n -＞，()232n n c n=﹣， 2342123252232n n T n =+++++-（）， ∴34+1241232232n n T n =++++-（），∴()()()()323411121222222232222321452212n n n n n n T n n n -+++--=+++--=+⨯--=-+--（），∴()125214n n T n +=-+，当1n =时，满足上式，∴()125214n n T n +=-+；18．（1）证明：∵2AD DC ==且AD DC ⊥，∴AC CB == 又4AB =，满足222AC BC AB +=，∴BC AC ⊥… ∵平面ABC ⊥平面ADC ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面ADC AC =，∴BC ⊥平面ADC …（2）解：取AC 中点N ，连MN DN ,．在Rt ADC △中，DN AC ⊥且DN =ABC ⊥平面ADC ，∴DN ⊥平面ABC ，在ABC △中，MN BC ∥且12MN BC =由（1）知BC ⊥平面ADC ，则MN ⊥平面ADC ，又∵DN ⊂平面ADC ，∴MN DN ⊥，即2DM ==…在ABC △中，4AC BC AB ===∴2CM =，∴4DMC S ==△… 设点A 到平面DMC 的距离为h ，则由A DMC D AMC V V --=得1133DMC MC S h S DN ⨯⨯=⨯⨯△△A ，解得h =设AD 与平面DMC 所成角为θ，则2sin 323h AD θ==⨯=∴直线AD 与平面DMC …19．解：（1）由条形图可知22⨯列联表如下210045*********3.030 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯∴没有95%的把握认为优秀与文化程度有关．… （2）由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为7531004=． ∴所有参赛选手中优秀等级人数约为36 4.54⨯=万人． (3)a 从1，2，3，4，5，6中取，b 从1，2，3，4，5，6中取，故共有36种， 要使方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有唯一组实数解，则12a b ≠，共33种情形．故概率33113612P ==．… 20．解：（1）依题意，椭圆22:12x y Γ+=中，2221a b ==,，故()2221,10c a b F =-=,， 故12p=，则24p =， 故抛物线C 的方程为24y x =，将()02M x ,代入24y x =，解得01x =， 故122pMF =+=．…（2）依题意，()10F ,，设1l x ty =+：，设()()1122,A x y B x y ,,， 联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，消去x ，得2440y ty --=．∴1212+44y y ty y =⎧⎨=-⎩…① 且112211x ty x ty =+⎧⎨=+⎩，又AF FB λ=则()()112211x y x y λ--=-,,，即12y y λ=-，代入①得()222144y ty λλ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩，… 消去2y 得2142t λλ=+-，且()1,0H -，…()()()222222222211221212121122HA HB x y x y x x x x y y +=+++++=++++++，=()()()22221212121122+2ty ty ty ty y y ++++++++，=()()()2221212148t y y t y y +++++， =()()22421168448164016ttt t t t ++++=++．由42851640164t t ++=，… 解得218t =或2218t =-（舍），故2λ=或12．…21．解：（1）当1b =时，()()2211ln 2f x ax a x a x =-++，()()()()211ax x a a f x ax a x x--'=-++=，…讨论：1︒当0a ≤时，()10,0,100x a ax f x x'->>-<⇒<， 此时函数()f x 的单调递减区间为()0+∞,，无单调递增区间，…2︒当0a ＞时，令()10f x x a'=⇒=或a ， ①当()1=0a a a >，此时()()()2100x f x x x-=≥>， 此时函数()f x 单调递增区间为()0+∞,，无单调递减区间，…②当10a a <<，即1a >时，此时在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()a +∞,上函数()'0f x ＞，在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上函数()'0f x ＜，此时函数()f x 单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()a +∞,，单调递减区间为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭…③当10a a <<，即01a ＜＜时，此时函数()f x 单调递增区间为()0,a 和1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,； 单调递减区间为1a,a ⎛⎫⎪⎝⎭…（2）证明：（法一）当1a =时，()2e 1x f x x x +++＞只需证明ln e 10x x --：＞设()()e ln 10xg x x x =--＞，问题转化为证明()00x g x ∀＞，＞，令()1e x g x x '=-，()21e 0x g x x''=->， ∴()1e x g x x '=-为()0,+∞上的增函数，且()120,1e 102g g ⎛⎫''=<=-> ⎪⎝⎭… ∴存在惟一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'0o g x =，001x e x =，∴()g x 在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增…∴()()000min 01=e ln 11211x g x g x x x =--=-≥-=， ∴()min 0g x ＞∴不等式得证 … （法二）先证：()1ln 0x x x -≥＞， 令()()1ln 0h x x x x =--＞∴()111=01x h x x x x-'=-=⇒=， ∴()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴()()10min h x h ==，∴()()11ln h x h x x ≥⇒≥-， ∴()1ln 11ln 1x x x x x +≤+-=⇒+≤， ∴()1ln e e x x +≤…， ∴e 11ln x x x x ≥+≥+＞， ∴e 1ln x x +＞故e ln 10x x --＞，证毕 22．解：（1）消t得2x y a =+，∴直线l的普通方程为0x a =… 由4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=…（2）假设存在实数a ，使得6PA PB +=且4AB =成立，将12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2240x y x -+=中，则221404a t a ⎫⎫++-+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴2240t t a a +-+-=，由026a ⇒-△＞＜＜…由226236PA PB PA PA PB PB +=⇒++=①224216AB PB PA PB PB PA PA =-=⇒-+=②… -①②：5PA PB =，即5PA PB =±，∴22124545PA PB t t a a a a ==-=⇒-=或245a a -=-（舍）∴1a =-或5．…23．解：（1）当0a =时，()1g x x =--，∴12x x b --≤-+， ∴1+2b x x -≤--，∵1+2121x x x x --≥-+-=，∴1b -≤，∴1b ≥-，…（2）当1a =时，()21,0111,1x x g x x x x -<<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，…可知()g x 在()01，上单调递增，在()1,+∞单调递减， ∴()()11max g x g ==．…2017年湖北省八校联考（荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等）高考数学二模试卷（文科）解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先由补集定义求出C B U ，再由交集定义能求出()AB U ð．【解答】解：∵全集{}2,34567=U ,,,,，集合{}{}45746A B ==,,,,， ∴{}2357C B =U ,,,， ∴(){}5,7AB =U ð．故选：D ．2．【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简()i 2i -，再由共轭复数的概念得答案． 【解答】解：∵()i 2i 12i -=+， 又复数z 与复数()i 2i - 互为共轭复数， ∴12i z =-． 故选：A ．3．【考点】简单线性规划．【分析】由题意画出图形，求出M N 、的面积，结合几何概型求得答案． 【解答】解：由题意画出图形如图，直线50x y +-=与两坐标轴围成的区域为M 为三角形AOB 及其内部区域，其面积为1255522⨯⨯=； 不等式组503y xx y x≤-⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所形成的区域为N 为图中阴影部分，联立35y x x y =⎧⎨+=⎩，解得515,44C ⎛⎫⎪⎝⎭，其面积为115755248⨯⨯=． 由几何概型可得：点落在区域N 的概率是75382542=．故选：A ． 4．【考点】程序框图．【分析】由算法的程序框图，计算各次循环的结果，满足条件，结束程序． 【解答】解：第一次循环，1100,232100s s a s =≤===≤,,，第二次循环，210064s s a =≤==,,， 第三次循环，6100245s s a =≤==,,， 第四次循环，241001206s s a =≤==,,，第五次循环，120100s =＞，输出120s =， 故选：C ．5．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用抛物线的焦点坐标，准线方程及M 点坐标，即可求得p 的值，根据勾股定理即可求得t 的值，代入渐近线方程，求得a 与b 的关系，求得双曲线的离心率公式．【解答】解：由题意可知：抛物线()220y px p =＞焦点坐标02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,，准线方程2p x =-， 由M 在抛物线的准线上，则=32p--，则6p =，则焦点坐标为()3,0F ，∴MF ==294t =，解得：32t =±，双曲线的渐近线方程by x a=±，将M 代入渐近线方程，3=32b a ⨯，即12b a =，则双曲线的离心率e c a ==故选C ．6．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求AC 的值，进而利用余弦定理即可计算得解BC 的值．【解答】解：∵π6A =，5AB =，ABC △的面积为111sin 5222AB AC A AC ∙∙=⨯⨯⨯，∴解得：AC =∴BC ==故选：D ．7．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体， 结合图中数据求出组合体的体积．【解答】解：根据三视图知：该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体， 且四棱柱的底面是等腰梯形，高为3； 所以该组合体的体积为：()211484323726π22V π=⨯+⨯⨯-⨯⨯=-．故选：D ．8．【考点】函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换．【分析】根据函数()y Asin x ω=+∅的图象变换规律得出结论．【解答】解：将函数πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位，可得函数ππsin 2sin284y x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象， 故选C ．9．【考点】函数的图象．【分析】化简函数的解析式，判断函数的对称性，利用函数的值判断即可． 【解答】解：函数()()()()()2233ln 44ln 222x x x f x x x -+-==--，可知函数的图象关于()2,0对称，排除,A B ．当0x ＜时，()()23ln 20,20x x --＞＜，函数的图象在x 轴下方，排除D ， 故选：C10．【考点】函数零点的判定定理．【分析】分别求三个函数的零点，判断零点的范围，从而得到结果．【解答】解A ：令函数()210xf x x =++=，可知0x ＜，即0a ＜；令()2l og 10g x x x =++=，则01x ＜＜，即01b ＜＜； 令()2log 10h x x =-=，可知2x =，即2c =．显然a b c ＜＜． 故选A ．11．【考点】棱柱的结构特征．【分析】取11A D 中点E ，在1DD 上取点F ，使12D F D F =，连结11EF C E C F 、、，则平面CMN ∥平面1C EF ，由此推导出P ∈线段EF ，当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ，由此能求出线段1C P 长度的取值范围． 【解答】解：取11A D 中点E ，在1DD 上取点F ，使12D F DF =，连结11EF C E C F 、、， 则平面CMN ∥平面1C EF ，∵是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1C P ∥平面CMN ， ∴P ∈线段EF ，∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ， 当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ， ∵在长方体1111ABCD A B C D -中，16,38AA AB AD ===,， 点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，∴111max C P C E C F EF ===1min C P PO ==∴线段1C P 长度的取值范围是⎤⎦．故选：A ．12．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可知：()f x 为R 上的单调函数，则()2017x f x -为定值，由指数函数的性质可知()f x 为R上的增函数，则()g x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，求导，则()'0g x ≥恒成立，则π4min k x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，根据函数的正弦函数的性质即可求得k 的取值范围．【解答】解：若方程()'0f x =无解，则()0f x '＞或()0f x '<恒成立，所以()f x 为R 上的单调函数，x ∀∈R 都有()20172017x f f x ⎡⎤-=⎣⎦， 则()2017xf x -为定值，设()2017x t f x =-，则()2017xf x t =+，易知()f x 为R 上的增函数，∵()sin cos g x x x kx =--，∴()πcos sin 4g x x x k x k ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭，又()g x 与()f x 的单调性相同，∴()g x 在R 上单调递增，则当ππ,22x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∈，()'0g x ≥恒成立，当ππ,22x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∈时，ππ3π,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，πsin 42x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， π4x ⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭， 此时1k ≤-， 故选A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的坐标运算和向量的模以及三角函数的化简，以及正弦函数的性质即可求出．【解答】解：∵()=cos ,sin ,3,122x x n ⎛⎫∏- ⎪⎝⎭，∴=cos 122x x n ⎛⎫∏-- ⎪⎝⎭，∴222π=cos sin 152sin 54sin 549222232x x x x x n ⎛⎛⎫⎫⎛⎫∏-+-=+-=+-≤+= ⎪⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭⎝⎭，∴n ∏-的最大值是3，故答案为：314．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心为()2,0，半径1r =，圆与x 轴交于()()1030C ,,,，从而PC 与圆相切，且4PC =，由此利用切割线定理能求出PA PB ∙的值． 【解答】解：∵圆的方程()2221x y -+=，∴圆心为()20,，半径1r =，∴圆与x 轴交于()()1030C ,,,， 过圆外一点()3,4P 作一条直线与圆交于,A B 两点， 则PC 与圆相切，且4PC =，由切割线定理得：2416PA PB PC ∙===， 故答案为：16．15．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线()y f x =上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，等价于函数()f x 有两个不同的极值点，等价于方程()'0f x =有两个不同的实根，等价于直线y m =与曲线()y g x =有两个不同的交点，即可解出a 的取值范围．【解答】解：曲线存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，等价于 函数()f x 有两个不同的极值点，等价于方程()'0f x =有两个不同的实根．令()'e e 0x xf x m x --=+-=，得：1e xx m -=令()1exx g x -=，则条件等价于直线y m =与曲线()y g x =有两个不同的交点． ()()()2e 1e 2e e x xxx x xg x ---'==当2x =时，()'0g x =；当2x ＞时，()'0g x ＜；当2x ＜时，()'0g x ＞； 从而当2x =时有最大值()22e g -=，()g x 在(),2-∞上递增，在()2,+∞上递减．当x →-∞时，()g x →-∞；当x →+∞时，()g x →+∞；如右图所示，从而()20e m -∈,．16．【考点】类比推理．【分析】椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积．【解答】解：椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积()2V V V =-=圆柱圆锥222142πb πb πb 33a a a ⎛⎫⨯⨯-⨯=⨯ ⎪⎝⎭．故答案为：24πb 3a ⨯．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 【分析】()1利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．()2利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：()183526620a a d -==-=，∴公差4d =，∴()3346n a a n d n =+-=- 又213642S S S =+．即()12112332b b b b b b +=+++，∴322b b =，∴公比2q =，∴12n n b -=，()21462232n n n c n n -=-∙=-∙，1︒当1n =时，230n -＜，∴12T =， 2︒当2n ≥时，230n -＞，()232n n c n=∙﹣， 2342123252232n n T n =+∙+∙+∙++-∙（），∴34+1241232232n n T n =+∙+∙++-∙（），∴()()34122222232n n n T n +-=+++--∙()()3211212222321452212n n n n n -++-=+⨯--∙=-+-∙-（），∴()125214n n T n +=-∙+，当1n =时，满足上式，∴()125214n n T n +=-∙+；18．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】()Ⅰ证明BC AC ⊥，利用平面ABC ⊥平面ADC ，即可证明：BC ⊥平面ADC ； ()Ⅱ取AC 中点N ，连,MN DN ．由A DMC D AMC V V --=得点A 到平面DMC 的距离，即可求直线AD 与平面DMC 所成角的正弦值．【解答】()Ⅰ证明：∵2AD DC ==且AD DC ⊥，∴AC CB == 又4AB =，满足222AC BC AB +=，∴BC AC ⊥ ∵平面ABC ⊥平面ADC ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面ADC AC =，∴BC ⊥平面ADC ，()Ⅱ解：取AC 中点N ，连MN DN ,．在Rt ADC △中，DN AC ⊥且DN =ABC ⊥平面ADC ，∴DN ⊥平面ABC ，在ABC △中，MN BC ∥且12MN BC =由()Ⅰ知BC ⊥平面ADC ，则MN ⊥平面ADC ，又∵DN ⊂平面ADC ，∴MN DN ⊥，即2DM ==，在ABC △中，4AC BC AB ===∴2CM =，∴4DMC S ==△， 设点A 到平面DMC 的距离为h ，则由A DMC D AMC V V --=得1133DMC MC S h S DN ⨯⨯=⨯⨯△△A ，解得h =设AD 与平面DMC 所成角为θ，则2sin 3h AD θ===∴直线AD 与平面DMC 所成角正弦值为3．19．【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】()Ⅰ由条形图可知22⨯列联表，计算2k ，与临界值比较，即可得出结论； ()Ⅱ由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为7531004=．可得其中优秀等级的选手人数；()Ⅲ确定基本事件的个数，即可求出使得方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有唯一一组实数解(),x y 的概率．【解答】解：()Ⅰ由条形图可知22⨯列联表如下210045*********3.030 3.8417525455533K ⨯⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯∴没有95%的把握认为优秀与文化程度有关． ()Ⅱ由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为7531004=． ∴所有参赛选手中优秀等级人数约为36 4.54⨯=万人． ()Ⅲa 从1，2，3，4，5，6中取，b 从1，2，3，4，5，6中取，故共有36种，要使方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有唯一组实数解，则12a b ≠，共33种情形．故概率33113612P ==． 20．【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】()1由题意方程，求得椭圆的焦点坐标，则12p=，即可求得p 的值，求得抛物线方程，利用抛物线的焦点弦公式即可求得MF 的值；()2将直线方程代入抛物线方程，由向量数量积的坐标运算，求得2142t λλ=+-，利用两点之间的距离公式，列方程，即可求得实数λ的值．【解答】解：()1依题意，椭圆22:12x y Γ+=中，2221a b ==,，故()2221,10c a b F =-=,， 故12p=，则24p =， 故抛物线C 的方程为24y x =，将()02M x ,代入24y x =，解得01x =， 故122pMF =+=． ()2依题意，()10F ,，设1l x ty =+：，设()()1122,A x y B x y ,,，联立方程，消去x ，得2440y ty --=．∴1212+44y y t y y =⎧⎨=-⎩①且112211x ty x ty =+⎧⎨=+⎩，又AF FB λ=则()()112211x y x y λ--=-,,，即12y y λ=-，代入①得()222144y t y λλ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩， 消去2y 得2142t λλ=+-，且()1,0H -，()()()222222222211221212121122HA HB x y x y x x x x y y +=+++++=++++++，=()()()22221212121122+2ty ty ty ty y y ++++++++，=()()()2221212148t y y t y y +++++， =()()22421168448164016ttt t t t +++∙+=++．由42851640164t t ++=， 解得218t =或2218t =-（舍），故2λ=或12． 21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】()Ⅰ求出函数()f x 的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可； ()Ⅱ法一：问题转化为证明e ln 10x x --＞，设()()e ln 10x g x x x =--＞，问题转化为证明()00x g x ∀＞,＞，根据函数的单调性证明即可；法二：问题转化为证明()1ln 0x x x -≥＞，令()()1ln 0h x x x x =--＞，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：()Ⅰ当1b =时，()()2211ln 2f x ax a x a x =-++，()()()()211ax x a a f x ax a x x--'=-++=，讨论：1︒当0a ≤时，()10,0,100x a ax f x x'->>-<⇒<， 此时函数()f x 的单调递减区间为()0+∞,，无单调递增区间，2︒当0a ＞时，令()10f x x a'=⇒=或a ， ①当()10x a a =>，此时()()()2100x f x x x-=≥>，此时函数()f x 单调递增区间为()0+∞,，无单调递减区间，②当10a a <<，即1a ＞时，此时在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()a +∞,上函数()'0f x ＞，在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上函数()'0f x ＜，此时函数()f x 单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()a +∞,，单调递减区间为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，③当10a a <<，即01a ＜＜时，此时函数()f x 单调递增区间为()0,a 和1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,； 单调递减区间为1a,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()Ⅱ证明：（法一）当1a =时，()2e 1x f x x x +++＞只需证明ln e 10x x --：＞设()()e ln 10xg x x x =--＞，问题转化为证明()00x g x ∀＞，＞，令()1e x g x x '=-，()21e 0x g x x''=->， ∴()1e x g x x '=-为()0,+∞上的增函数，且()120,1e 102g g ⎛⎫''=<=-> ⎪⎝⎭， ∴存在惟一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'0o g x =，001x e x =， ∴()g x 在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增，∴()()000min 01=e ln 11211x g x g x x x =--=-≥-=， ∴()min 0g x ＞∴不等式得证； （法二）证明：()1ln 0x x x -≥＞， 令()()1ln 0h x x x x =--＞∴()111=01x h x x x x-'=-=⇒=，∴()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴()()10min h x h ==，∴()()11ln h x h x x ≥⇒≥-， ∴()1ln 11ln 1x x x x x +≤+-=⇒+≤， ∴()1ln e e x x +≤，∴e 11ln x x x x ≥+≥+＞， ∴e 1ln x x +＞故e ln 10x x --＞，证毕[选修44-：坐标系与参数方程选讲]22．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】()Ⅰ利用三种方程的转化方法，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； ()Ⅱ利用参数的几何意义，建立方程，即可求出实数a 的值．【解答】解：()Ⅰ消t得2x y a +，∴直线l的普通方程为0x a =， 由4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，()Ⅱ假设存在实数a ，使得6PA PB +=且4AB =成立，将12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2240x y x -+=中，则221404a t a ⎫⎫++-+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴2240t t a a +-+-=，由026a ⇒-△＞＜＜，由226236PA PB PA PA PB PB +=⇒+∙+=①224216AB PB PA PB PB PA PA =-=⇒-∙+=② -①②：5PA PB ∙=，即5PA PB ∙=±，∴22124545PA PB t t a a a a ∙=∙=-=⇒-=或245a a -=-（舍）∴1a =-或5．[选修45-：不等式选讲]23．【考点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．【分析】()Ⅰ当0a =时，若()2g x x b ≤-+对任意()0,x ∈+∞恒成立，1+2b x x -≤--，求出右边的最小值，即可求实数b 的取值范围；()Ⅱ当1a =时，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞单调递减，即可求()g x 的最大值．【解答】解：()Ⅰ当0a =时，()1g x x =--，∴12x x b --≤-+， ∴1+2b x x -≤--，∵1+2121x x x x --≥-+-=，∴1b -≤，∴1b ≥-，()Ⅱ当1a =时，()21,0111,1x x g x x x x-<<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，可知()g x 在()01，上单调递增，在()1,+∞单调递减， ∴()()11max g x g ==．湖北省2017年八校联考（荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等）高考二模数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}U 2,34567=,,,,，集合{}457A =,,，{}46B =,，则()A B =U ð（ ）A ．{}5B ．{}2C ．{}25,D ．{}57,2．复数z 与复数()i 2i -互为共轭复数（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --3．已知直线50x y +-=与两坐标轴围成的区域为M ，不等式组503y xx y x ≤-⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所形成的区域为N ，现在区域M中随机放置一点，则该点落在区域N 的概率是（ ）A ．34 B ．12 C ．14 D ．234．如图所示的程序框图中，输出的S 的值是（ ）A ．80B ．100C ．120D ．1405．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线()220y px p =＞有相同的焦点F，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点()3M t -,，2MF = ）A BC D6．已知ABC △的面积为π6A =，5AB =，则BC =（ ）A ．B ．C ．D7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．6012π-B ．606π-C ．7212π-D ．726π-8．要得到函数sin 2y x =的图象，只要将函数πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移π4单位 B ．向右平移π4单位 C ．向左平移π8单位D ．向右平移π8单位9．函数()()()23ln 442x x f x x -+=-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()21xf x x =++，()2log 1g x x x =++，()2log 1h x x =-的零点依次为a b c ，，，则（ ）A ．a b c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．b c a ＜＜D ．b a c ＜＜11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，16AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1C P ∥平面CMN ，则线段1C P长度的取值范围是（ ）A ．⎤⎦B ．[]45,C ．[]3,5D ．⎡⎣12．已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()f x '，若方程()'0f x =无解，且()20172017xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，当()sin cos g x x x kx =--在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦与()f x 在R 上的单调性相同时，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．(-∞C ．⎡-⎣D ．⎤∞⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知cos ,sin 22x x ⎛⎫∏= ⎪⎝⎭，()3,1n =-，x R ∈，则n ∏-的最大值是________．14．已知圆的方程()2221x y -+=，过圆外一点()34P ,作一条直线与圆交于A B ,两点，那么PA PB =________．15．已知函数()()e xf x x m -=+（其中e 为自然对数的底数），曲线()y f x =上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数m 的取值范围是________．16．祖暅（公元前56～世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆()222210y x a b a b+=>>所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图）（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在等差数列{}n a 中，36a =，826a =，n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，且11b =，14S ，23S ，32S 成等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．如图，在三棱锥A BCD -中，2AD DC ==，AD DC ⊥，AC CB =，4AB =，平面ADC ⊥平面ABC ，M 为AB 的中点．（1）求证：BC ⊥平面ADC ；（2）求直线AD 与平面DMC 所成角的正弦值．19．传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏．将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图．（1）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？注：()()()()()22+c n ad bc K a b c d a b d -=+++，其中n a b c d =+++．（2）若参赛选手共6万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；（3）在优秀等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在良好等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在选出的6名优秀等级的选手中任取一名，记其编号为a ，在选出的6名良好等级的选手中任取一名，记其编号为b ，求使得方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有唯一一组实数解(),x y 的概率．- 21 - / 21 20．已知抛物线()220C y px p =：＞的焦点F 与椭圆Γ：2212x y +=的一个焦点重合，点02M x （,）在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于A B ,两点． ()Ⅰ求抛物线C 的方程以及MF 的值；()Ⅱ记抛物线C 的准线与x 轴交于点H ，试问是否存在常数R λ∈，使得AF FB λ=且22854HA HB +=都成立？若存在，求出实数λ的值； 若不存在，请说明理由．21．已知函数()()()221ln 2f x ax a b x a x a b =-++∈R ,． （1）当1b =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =-，0b =时，证明：()1e 12x f x x x +--+＞（其中e 为自然对数的底数）． [选修44-：坐标系与参数方程选讲] 22．已知过点()0P a ,的直线l的参数方程是12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A B ,两点，试问是否存在实数a ，使得6PA PB +=且4AB =？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由．[选修45-：不等式选讲]23．已知函数(),011,1x x f x x x<<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，()()1g x af x x =--． （1）当0a =时，若()2g x x b ≤-+对任意()0,x ∈+∞恒成立，求实数b 的取值范围； （2）当1a =时，求()g x 的最大值．。

鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中荆州中学孝感高中襄阳四中襄阳五中2017届高三第二次联考语文参考答案1．B （司马迁的《史记》虽然具备极高的文学成就，但是从其创作动机来看，并非“为艺术而艺术”的刻意为文。

）2．B （“从人生价值的角度看，写出传世的文章比位居帝王将相更有价值”表述不当，曹丕的观点仅仅就人生的不朽来谈，不能笼统地说“人生价值”。

）3．C （“让诗文开始具备自身的价值”说法有误，原文表述为“确认诗文具有自身的价值意义”。

）4．B5．A （根据上下文意思，这里的“粮道”指官名，明清两代都设督粮道，督运各省漕粮，简称“粮道”。

）6．C （原文“迭疏论列，议遂寝”，这件事最终废止不行，并没有继续推行。

）7．（1）广东读书人大多善于打官司，（星沅）发文在全省范围登记热衷追求打官司的书生，并发布公文治理这件事，士风因（此）得以肃整。

（健，1分；檄，1分；籍，1分；干，1分；以，1分；）（2）星沅因为处理事情的职权不统一，上奏请求专门选拔统帅率领军队督导围剿，皇帝下诏斥责他推卸责任。

（一，1分；特，1分；简，1分，将，1分；诏1分）附：参考译文李星沅，字石梧。

湖南湘阴人。

道光十二年考中进士，选为庶吉士，授予编修。

十五年任广东学政。

粤地读书人大多善于打官司，（星沅）发文在全省范围登记热衷追求打官司的书生，并发布公文（下令）整治，士风因（此）得以肃整。

任期满后，被授予陕西汉中知府，历任河南粮道，陕西、四川、江苏按察使。

在川、陕严厉整治寇匪，多次擒获他们的首领并将其绳之于法。

这之前，永昌发生回乱，迤西道罗天池胡乱杀人，不分好人坏人，众多回人更加滋扰生乱。

总督贺长龄、提督张必禄急于主张安抚，投降的人动不动就又反目叛乱了。

至此，缅宁匪首马国海被追剿而逃亡，暗中勾结云州回人马登霄、海连升等再次发动叛乱，迤西大为动荡。

星沅追究造成祸乱的缘由，长龄、天池一并受到责斥。

二十七年，派遣军队进行围剿，解散被胁迫的回族众人，造反作乱的首领被歼灭，其余的匪徒也被消灭干净。

湖北省八校2017届高三第二次联考数学（文科）试题（WORD 版）一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若复数z 满足i z i 21)1(+=+(其中i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面的 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设集合2{(3)30}A x x a x a =-++=，2{540}B x x x =-+=，集合A B 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为A ．{0}B ．{03}，C ．{13,4}，D ．{013,4}，， 3．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，则该几何体的体积是A ．108cm 3B ．98cm 3C ．88cm 3D ．78cm 3 4．下列说法正确的是 A ．“a b >”是“22a b >”的必要条件 B ．自然数的平方大于0C ．存在一个钝角三角形，它的三边长均为整数D ．“若a b ，都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题为真5．把函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为A ．sin 2,3y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭B ．sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭ C ．1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭D ．1sin ,26y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭6．某公司的一品牌电子产品，2017年年初，由于市场疲软，产品销售量逐渐下降，五月份公司加大了宣传力度，销售量出现明显的回升，九月份，公司借大学生开学之机，采取了促销等手段，产品的销售量猛增，十一月份之后，销售量有所回落。

下面大致能反映出公司2017年该产品销售量的变化情况的图象是7．如图，在半径为R 的圆C 中，已知弦AB 的长为5，则AB AC=A ．25B ．225C ．R 25D ．R 2258．已知双曲线)0( 14222>=-a y a x 的一条渐近线与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点且4||=MN , 则此双曲线的离心率为 A ．5 B ．553 C ．355 D ．59．已知函数m x x e x f x -+-=)1()(2，若,,a b c R ∃∈，且a b c <<，使得 0)()()(===c f b f a f .则实数m 的取值范围是A ．)1,(-∞B ．)3,1(eC ．()31,eD ．)()1,(3∞+-∞e10．对于函数，部分与的对应关系如下表：数列n 满足1，且对任意*n ∈N ，点),(1+n n x x 都在函数)y f x =的图象上，则123420132014x x x x x x ++++++ 的值为A ．7549B ．7545C ．7539D ．7535二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．记集合{}22(,)|4A x y x y =+≤和集合{}(,)|20,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为12ΩΩ、，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为 ．12．已知A 是角α终边上一点，且A 点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，则212sin cos cos ααα+＝ ．第14题图xx 13．已知函数()()12310()0x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩在区间[]1,m -上的最大值是2，则m 的取值范围是 ．14．如图所示，用边长为60cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个相同的小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接成无盖水箱，则水箱的最大容积为_______()3cm ．15．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45 至70之间．将数据分成以下5组：第1组[4550)，，第2组[5055)，，第3组[5560)，，第4组[6065)，，第5组[6570]，，得到如图所示的频率分布直方图．则a = ，现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生，则第3，4，5组抽取的学生人数依次为 ．16．画一条直线，将平面分成两个部分；画两条相交直线，将平面分成四个部分，画三条直线，最多可将平面分成7个部分，……，画n 条直线，最多可将面分成)(n f 个部分，则=)4(f ______．17．定义某种运算“⊗””，S a b =⊗的运算原理如右图所示.设)3()0()(x x x x f ⊗-⊗=，则=)3(f ______；)(x f 在区间[]3,3-上的最小值为______．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知向量22cos m x =（，1,sin 2n x =（），函数()f x m n =⋅ . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角,,A B C 的对边，且()3,1f C c ==，32=ab ，且b a >，求ba ,的值．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113n n S a +=)(*∈N n ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设41log (1)n n b S +=-)(*∈N n ，12231111n n n T bb b b b b +=+++，求使10072016n T ≥成立的最小的正整数n 的值．20．（本小题满分13分）CD 是正△ABC 的边AB 上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B ，如图所示.（Ⅰ）试判断折叠后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）若AC=2,求棱锥E-DFC 的体积；（Ⅲ）在线段AC 上是否存在一点P ，使BP ⊥DF ？如果存在，求出ACAP的值；如果不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数()ln 1()f x x ax a R =++∈.（Ⅰ）若1a =时，求曲线=()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）设()21,xg x =-若存在),,0(1+∞∈x 对于任意],1,0[2∈x 使),()(21x g x f ≥ 求a 的取值范围．如图所示，已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点)0,1(F ,1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点)0,4(M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于B A ,两点．（Ⅰ）写出抛物线2C 的标准方程； （Ⅱ）求证：以AB 为直径的圆过原点；（Ⅲ）若坐标原点关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 相切，求椭圆1C 的标准方程．参考答案一、选择题二、填空题三、解答题19．（1） 当1n =时，11a s =，由11113134S a a +=⇒=， ……………………1分 当2n ≥时，11111113()01313n nn n n n n n S a S S a a S a ----⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩114n n a a -⇒= ∴{}n a 是以34为首项，14为公比的等比数列． ……………………4分故1311()3()444n n n a -== )(*∈N n ………………6分（2）由（1）知111111()34n n n S a +++-==， 14141l o g (1)l o g ()(1)4n n n b S n ++=-==-+ ………………8分11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++ 1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++1110072014222016n n -≥⇒≥+， 故使10072016n T ≥成立的最小的正整数n 的值2014n =. ………………12分21．解：()ln 1()(0,)f x x ax a R x =++∈∴∈+∞'11()ax f x a x x+=+= ……………… 1分 （Ⅰ）当1,a =(1)2f =，'(1)112k f ==+=；故=()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为：22(1)y x -=-，即20x y -=; ………………… 4分（Ⅱ）当）为增函数，在（∞+∴>≥0)(,0)(,0'x f x f a当0a <，令,100)('ax x f -<<⇒>,10)('a x x f ->⇒<综上：），的单调增区间为（∞+≥0)(,0x f a110,()0,,)a f x a a <-+∞的单调增区间为（，-）减区间为（ ………………… 8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，10,()0a f x ≥+∞当在（，）上单调递增， 1()(0)1f x f >=，2()21[0,1],xg x =-而在上单调递增则2()(1)1g x g ≤=, 因此，当0≥a 时，一定符合题意; …………………11分当110,()0,,)a f x a a<-+∞的单调增区间为（，-）减区间为（m a x 11()()ln()f x f a a∴=-=-由题意知，只需满足max max 11()()(1)1ln()10f x g x g a ae∴≥==⇒-≥⇒-≤< … …13分 综上：ea 1-≥ …………………14分。

（2）当
a

1
时，
g

x


1
x
x 1, x 1
，…
可知 g x 在 0，1 上单调递增，在 1, 单调递减，
∴ g xmax g 1 1．…
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2017 年湖北省八校联考（荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等） 高考数学二模试卷（文科）解析
∴ A UB 5,7 ．
故选：D． 2．【考点】复数的基本概念．
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简 i2 i ，再由共轭复数的概念得答案． 【解答】解：∵ i2 i 1 2i ， 又复数 z 与复数 i2 i 互为共轭复数，
∴ z 1 2i ． 故选：A． 3．【考点】简单线性规划． 【分析】由题意画出图形，求出 M、N 的面积，结合几何概型求得答案． 【解答】解：由题意画出图形如图，
…
①
且

x1 x2
ty1 1 ，又 ty2 1
AF

FB
则
1
x1,
y1




x2
1,y2

，即
y1


y2
，代入
①
得
1 y2

y22

4
4t
，…
消去
y2
得
4t 2



1

2
，且
H
1, 0
，…
HA 2 HB 2 x1 12 y12 x2 12 y22 x12 x22 2 x1 x2 2 y12 y22 ，