2017-2018学年广东省珠海市高二下学期期中考试数学(文)试题Word版含答案

2017-2018学年广东省珠海市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）余弦函数是偶函数，因为f（x）＝cos（x﹣1）是余弦函数，所以f（x）＝cos（x ﹣1）是偶函数．以上推理（）A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．以上都不对2．（5分）已知f（x）＝x•2x，则f′（1）＝（）A．2B．4C．2ln 2D．2+2ln 23．（5分）为大力提倡“厉行节俭，反对浪费”，我市某学校通过随机询问100名性别不同的学生是否做到“光盘”行动，得到如下列联表：根据以上数据计算可得K2≈5.556，参照附表，以下结论中正确的是（）附表：A．有99%的把握认为“该校学生能否做到光盘行动与性别有关”B．有99%的把握认为“该校学生能否做到光盘行动与性别无关”C．有97.5% 的把握认为“该校学生能否做到光盘行动与性别有关”D．有97.5% 的把握认为“该校学生能否做到光盘行动与性别无关”4．（5分）（x﹣cos x）dx＝（）A．﹣1B．+1C．+1D．﹣15．（5分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜．根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，则本次比赛中甲获胜的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）若（1+mx）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6且a1+a2+…+a6＝63，则实数m＝（）A．1B．1或3C．﹣3D．1或﹣37．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x+．已知x i＝225，y i＝1600，＝4，该班某学生的身高为168，据此估计其脚长约为（）A．23B．24C．24.5D．25.58．（5分）若随机变量X～N（5，1），则P（4＜X＜7）＝（）A．0.8185B．0.8400C．0.4772D．0.97599．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣12x，若f（x）在区间（2m，m+1）上单调递减，则实数m 的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1]C．（﹣1，1）D．[﹣1，1）10．（5分）某学校组织5个年级的学生外出参观包括甲科技馆在内的5个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择甲科技馆的方案有（）A．A×A种B．A×43种C．C×A种D．C×43种11．（5分）已知函数f（x）＝（1﹣）e x，若同时满足条件：①∃x0∈（0，+∞），x0为f （x）的一个极大值点；②∀x∈（6，+∞），f（x）＞0．则实数a的取值范围是（）A．（4，6]B．[6，+∞）C．（﹣∞，0）∪[6，+∞）D．（﹣∞，0）∪（4，6]12．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（1）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C 相切；（2）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．给出下列四个命题：①直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx；③直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sin x；④直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝e x．其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分.13．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足（1+i）z＝|4+3i|，则z的虚部为．14．（5分）（3x﹣）6展开式中的常数项是．（用数字作答）15．（5分）已知ξ～B（n，p），Eξ＝3，D（2ξ+1）＝9，则P的值是．16．（5分）设可导函数f（x），g（x）满足：f（x）﹣g（x）＝x2，曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝x+1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．（用斜截式方程作答）17．（5分）已知＝，则x＝．18．（5分）观察下列等式：，，，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，＝．19．（5分）若点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y＝x﹣4的最小距离为．20．（5分）观察数字2447，2052，2131，它们都是首位数字是2的四位数且这些数中恰有两个数字相同，则具有这样特点的四位数的个数为．（用数字作答）三、解答题：共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．（8分）已知m∈R，复数z＝（m2﹣4）+（m2﹣3m+2）i，i是虚数单位．（1）若复数z为纯虚数，求m的值；（2）若复数z在复平面内对应点A位于第二象限，求m的取值范围．22．（10分）已知一个袋中装有6个乒乓球，其中4个黄色，2个白色，每次从袋中随机摸出1个乒乓球，若摸到白球则停止，一共有3次摸球机会．记X表示停止摸球时的摸球次数．（1）若每次摸出乒乓球后不放回，求E（X）；（2）若每次摸出乒乓球后放回，求D（X）．23．（10分）已知函数f（x）＝e3x﹣1﹣3x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设m∈R，求函数f（x）在区间[m，m+1]上的最小值．24．（10分）请先阅读：设平面向量＝（a1，a2），＝（b1，b2），且与的夹角为θ，因为•＝||||cosθ，所以•≤||||，即a1b1+a2b2≤×，当且仅当θ＝0时，等号成立．（1）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有（a1b1+a2b2+a3b3）2≤（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）成立；（2）试求函数y＝++的最大值．25．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x．（1）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤a成立，求实数a的取值范围；（2）设x1，x2＞0，a1，a2∈[0，1]，且a1+a2＝1，求证：x1x2≤a1x1+a2x2．2017-2018学年广东省珠海市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：大前提余弦函数是偶函数，正确，小前提：f（x）＝cos（x+1）是余弦函数，错误，f（x）是与余弦函数有关的复合函数，不是余弦函数，故小前提不正确．故选：C．2．【解答】解：f′（x）＝2x+x•2x ln2；∴f′（1）＝2+2ln2．故选：D．3．【解答】解：根据统计数据计算可得K2≈5.556＞5.024，参照附表知，有97.5% 的把握认为“该校学生能否做到光盘行动与性别有关”．故选：C．4．【解答】解：由牛顿莱布尼兹公式可得，故选：A．5．【解答】解：甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜．根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，本次比赛中甲获胜的概率为：p＝（）2+（）＝．故选：D．6．【解答】解：根据题意，令x＝0，代入（1+mx）6中，可得：（1）6＝a0，即a0＝1；将x＝1代入（1+mx）6中，可得：（1+m）6＝a0+a1+a2+…+a6，又由a1+a2+…+a6＝63，则（1+m）6＝a0+a1+a2+…+a6＝64，解可得，m＝1或﹣3；故选：D．7．【解答】解：由题意知，＝x i＝22.5，＝y i＝160，且＝4，代入回归直线方程＝x+中，得160＝4×22.5+，解得＝70，∴y与x的线性回归直线方程为＝4x+70；令＝4x+70＝168，解得x＝24.5；即学生的身高为168时估计其脚长约为24.5．故选：C．8．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（5，1），∴P（4＜X＜6）＝0.6826，P（5＜X＜7）＝0.9544，∴P（6＜X＜7）＝（0.9544+0.6826）＝0.8185，故选：A．9．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣12x在（2m，m+1）上单调递减，∴f'（x）＝3x2﹣12≤0在（2m，m+1）上恒成立．故，即成立．解得：﹣1≤m＜1，故选：D．10．【解答】解：因为有且只有两个年级选择甲科技馆，所以参观甲科技馆的年级有C52种情况，其余年级均有4种选择，所以共有43种情况，根据乘法原理可得C52×43种情况，故选：D．11．【解答】解：由于f（x）＝（1﹣）e x，则f′（x）＝（﹣+1）e x＝•e x，令f′（x）＝0，则x1＝，x2＝，故函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上递增，在（x1，x2）上递减由于∀x∈（6，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（6，+∞）上的最小值大于0即可，当x2＞6，即a＞时，函数f（x）在（6，+∞）上的最小值为f（x2）＝（1﹣）e x2＞0，此时无解；当x2≤6，即a≤时，函数f（x）在（6，+∞）上的最小值为f（6）＝（1﹣）e6≥0，解得a≤6．又由∃x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点，故，解得a＞4；故实数a的取值范围为4＜a≤6，故选：A．12．【解答】解：y＝x3的导数为y′＝3x2，可得切线方程为y＝0，即x轴，直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3，且由图象可得①正确；由lnx的导数为，可得切线方程为y﹣0＝x﹣1，且y＝lnx﹣（x﹣1）的导数为y′＝﹣1，当x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，可得x＝1处y＝lnx﹣x+1的最大值为0，则lnx≤x﹣1，②直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx不正确；y＝sin x的导数为y′＝cos x，可得在点P（π，0）处切线方程为y﹣x+π，由y＝sin x和直线y＝π﹣x可得切线穿过曲线，直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sin x，故③正确；y＝e x的导数为y′＝e x，可得在点P（0，1）处切线为y＝x+1，直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝e x不正确．故选：B．二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分.13．【解答】解：由（1+i）z＝|4+3i|＝5，得z＝．∴z的虚部为﹣．故答案为：．14．【解答】解：设（3x﹣）6的二项展开式的通项公式为T r+1，则T r+1＝•（3x）6﹣r•（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r•36﹣r••x6﹣2r．令6﹣2r＝0，得r＝3，∴（3x﹣）6的二项展开式中，常数项为T4＝（﹣1）3•33•＝﹣540，故答案为：540．15．【解答】解：∵ξ～B（n，p），Eξ＝3，D（2ξ+1）＝9，∴Dξ＝，∴np＝3，①np（1﹣p）＝②∴得1﹣p＝∴p＝故答案为：16．【解答】解：f′（x）＝g′（x）+2x，∵y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝x+1，∴g′（1）＝1，∴f′（1）＝g′（1）+2×1＝1+2＝3，∴y＝f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为3，f（1）＝g（1）+1＝2+1＝3，可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝3x．故答案为：y＝3x．17．【解答】解：因为C10x＝C103x﹣2，可得x＝3x﹣2或x+3x﹣2＝10解得x＝1或x＝3．故答案为1或318．【解答】解：由已知中的等式，，，，…我们可以推断：对于n∈N*，＝1﹣故答案为：1﹣19．【解答】解：点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x﹣4平行时，点P到直线y＝x﹣4的距离最小．直线y＝x﹣4的斜率等于1，y＝x2﹣lnx的导数y′＝2x﹣令y′＝1，解得x＝1，或x＝﹣（舍去），故曲线y＝x2﹣lnx上和直线y＝x﹣4平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y＝x﹣4的距离d＝，故点P到直线y＝x﹣4的最小距离为d＝＝2，故答案为：2．20．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，如果四位数中重复的数字是2，则这样的数字共有：9×8×3＝216个；②，如果四位数中重复的数字不是2，则这样的数一共有：9×8×3＝216个；所以这样的四位数一共有216+216＝432个．故答案为：432．三、解答题：共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．【解答】解：（1）由题意得：，解得：m＝﹣2．∴复数z为纯虚数，则m＝﹣2．（2）由题意得点（m2﹣4，m2﹣3m+2），由点A位于第二象限得：，解得：﹣2＜m＜1，m的取值范围为（﹣2，1）．22．【解答】（本小题满分10分）解：（1）X的所有可能取值为1，2，3，…………………………（1分）P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，…………………………（2分）P（X＝3）＝＝，…………………………（3分）则E（X）＝＝．…………………………（4分）（2）X的所有可能取值为1，2，3，…………………………（5分）P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝1﹣＝，………………………（7分）则E（X）＝＝，…………………………（8分）D （X ）＝（1﹣）2×+（2﹣）2×+（3﹣）2×＝．…………………………（10分）23．【解答】解：（1）由f （x ）＝e 3x ﹣1﹣3x ，得：f ′（x ）＝3e3x ﹣1﹣3，………………………………（1分）由f ′（x ）＞0解得x ＞；由f ′（x ）＜0时，解得x ＜，………………………………（3分）∴函数f （x ）的单调增区间是（，+∞），单调减区间是（﹣∞，）；………………………………（4分） （2）当m +1≤，即m ≤﹣时，函数f （x ）＝e 3x ﹣1﹣3x 在区间[m ，m +1]上递减， 则当x ＝m +1时，函数f （x ）＝e 3x ﹣1﹣3x 取最小值e3m +2﹣3m ﹣3； ……………………（6分）当m ＜＜m +1即﹣＜m ＜时，函数f （x ）＝e 3x ﹣1﹣3x 在区间[m ，）上递减，在区间[，m +1]上递增， 则当x ＝时，函数f （x ）＝e 3x ﹣1﹣3x 取最小值0； ……………………（8分）当m ≥时，函数f （x ）＝e3x ﹣1﹣3x 在区间[m ，m +1]上递增， 则当x ＝m 时，函数f （x ）＝e3x ﹣1﹣3x 取最小值e3m ﹣1﹣3m ； ……………………（9分）∴当m ≤﹣时，函数f （x ）在[m ，m +1]上的最小值为e 3m +2﹣3m ﹣3；当﹣＜m ＜时，函数f （x ）在[m ，m +1]上的最小值为0； 当m ≥时，函数f （x ）在[m ，m +1]上的最小值为e 3m ﹣1﹣3m ． …………………（10分）24．【解答】（本小题满分10分）（1）证明：设空间向量＝（a 1，a 2，a 3），＝（b 1，b 2，b 3），且与的夹角为θ，因为•＝||||cos θ，所以|•|≤||||，………………………（2分）即|a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3|，所以≤（）（），………………………（3分）当且仅当θ＝0时，等号成立．………………………（4分）（2）解：设，＝（，，），且与的夹角为θ，………（5分）因为y＝，且y＞0，所以y＝，………………（7分）即y＝3，当且仅当θ＝0（即与共线且方向相同）时，等号成立．…………………（8分）即当＝时等号成立．此时x＝1．……………（9分）∴当x＝1时，函数y＝有最大值y max＝3．……………（10分）25．【解答】（1）解：由f（x）＝lnx﹣x．x∈（0，+∞），f′（x）＝﹣1＝，令f′（x）＝0，解得x＝1；∵当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．∴当x＝1时，f（x）取得极大值，也是最大值．即f（x）max＝f（1）＝﹣1，又对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤a成立，∴a≥﹣1，∴实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．（2）证明：由（1）得：f（x）＝lnx﹣x≤﹣1，即lnx≤x﹣1，令x＝，得ln≤﹣1，令x＝，得ln≤﹣1，∴a1ln+a2ln≤a1（﹣1）+a2（﹣1），∵a1+a2＝1，∴a1ln+a2ln≤1﹣a1﹣a2＝0，∴a1lnx1﹣a1ln（a1x1+a2x2）+a2lnx2﹣a2ln（a1x1+a2x2）≤0，即a1lnx1+a2lnx2≤（a1+a2）ln（a1x1+a2x2）＝ln（a1x1+a2x2），∴ln（x1x2）≤ln（a1x1+a2x2），∴x1x2≤a1x1+a2x2．。

9.设b a <<0,且xxx f ++=11)(,则下列大小关系式成立的是( )A.)()()(2ab f f a f b a <<+ B.)()()(2ab f b f f b a <<+C.)()()(2a f f ab f ba <<+ D .)()()(2ab f f b f b a <<+10.函数)(x f 的定义域为R ,,2)1(=-f 对2)(,>'∈∀x f R x ,则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A.(－1,1) B.(－1,＋∞) C.(－∞, －1) D.(－∞, ＋∞)11.过点A (2,4)作曲线2x y =的切线l , 则切线l 与曲线x y 82=所围成的图形的面积为( ) A.29 B.4 C.27D.312.已知定义在(0,)+∞上连续可导的函数()f x 满足'()()xf x f x x +=,且(1)1f =,则( )A.)(x f 是增函数B.)(x f 是减函数C.)(x f 有最大值1 D .)(x f 有最小值1二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.设=a 0(sin cos )x x dx π-⎰,若8822108)1(x a x a x a a ax +⋅⋅⋅+++=-,则=+++821a a a .14.在多项式56)1()21(y x ++的展开式中,3xy 项的系数为 .15.某同学在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数: ①sin 213°＋sin 273°＋sin 2133°; ②sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°;③sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°;根据③的计算结果,则该出同学的发现可推广为: .16.622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项系数为20,右图阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形,则封闭图形的面积S= .三.解答题(本大题共6小题,共70分)17.四个小球放入编号为1、2、3、4四个盒子中,依下列条件各有多少种放法. (1)四个小球不同,四个盒子恰有一个空着; (2)四个小球相同,四个盒子恰有一个空着; (3)四个小球不同,允许有空盒; (4)四个小球相同,允许有空盒;。

广东省珠海市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足关系：z+||=2+i，那么z等于（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i2．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c都是偶数”，正确的反设为（）A．a，b，c中至少有一个是奇数B．a，b，c中至多有一个是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c中恰有一个是奇数3．函数f（x）=2x2﹣lnx的递增区间是（）A．（0，） B．（﹣，0）及（）C．（）D．（）及（0，）4．由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．5．如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．2 B．1 C．D．06．的值为（）A．0 B．C．2 D．47．若=1，则f′（x0）等于（）A．2 B．﹣2 C．D．8．5个人分4张无座足球票，每人至多分一张，而且必须分完，不同的分发种数有（）A．种B．45种 C．种D．54种9．已知函数f（x）满足f（π+x）=f（π﹣x），且当x∈（0，π）时f（x）=x+cosx，则f（2），f（3），f（4）的大小关系是（）A．f（2）＜f（3）＜f（4）B．f（2）＜f（4）＜f（3）C．f（4）＜f（3）＜f（2）D．f（3）＜f（4）＜f（2）10．5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为（）A．18 B．24 C．36 D．4811．设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5 B．6 C．7 D．812．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．一物体的运动方程为s=7t2+8，则其在t= 时的瞬时速度为1．14．如果复数（1+i）（1+mi）是实数，则实数m= ．15．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为．16．由数字1，3，4，6，x（0≤x≤9，x∈N）五个数字组成没有重复数字的五位数，所有这些五位数各位数字之和为2640，则x= ．三、解答题：（17题10分，18-22每题12分，共70分，写出必要的文字说明）17．在数列{a n}中，，a n+1=．（1）计算a2，a3，a4并猜想数列{a n}的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．18．在二项式（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列．（I）求展开式中的常数项；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．19．（1）在复平面内复数z1=1+2i，z2=+i，z3=﹣i，z4=﹣2+i对应的四点是否在同一个圆上，并证明你的结论；（2）实数m取什么值时，复平面内表示复数z=（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m﹣14）i的点位于第四象限．20．用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多0.5m，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．21．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的正整数．（1）共有多少个四位数？（2）其中四位偶数有多少个？（3）比4301大的四位数有多少个？（4））能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（注意：以上各小题要列出算式后再求值，否则扣分．）22．已知函数g（x）=（a﹣2）x（x＞﹣1），函数f（x）=ln（1+x）+bx的图象如图所示．（I）求b的值；（II）求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间．广东省珠海市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足关系：z+||=2+i，那么z等于（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】解法1：设出复数，利用复数相等的条件求解即可；解法2：利用复数模的性质，移项平方，然后解方程即可；解法3：考虑选择题的特点，考查选项复数的模，结合题干推出复数z的实部、虚部的符号即可．【解答】解：法1：设z=a+bi（a，b∈R）由已知a+bi+=2+i由复数相等可得∴故z=+i故选B．法2：由已知可得z=﹣||+i ①取模后平方可得|z|2=（2﹣|z|）2+1=4﹣4|z|+|z|2+1，所以，代入①得，故选B．法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选B．2．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c都是偶数”，正确的反设为（）A．a，b，c中至少有一个是奇数B．a，b，c中至多有一个是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c中恰有一个是奇数【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】用反证法法证明数学命题时，假设命题的反面成立，写出要证的命题的否定形式，即为所求．【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c都是偶数”的否定为：“a，b，c中至少有一个是奇数”，故选：A．3．函数f（x）=2x2﹣lnx的递增区间是（）A．（0，）B．（﹣，0）及（）C．（）D．（）及（0，）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0，即可求出函数f（x）=2x2﹣lnx的递增区间．【解答】解：∵f（x）=2x2﹣lnx，x＞0∴f'（x）=4x﹣令f'（x）=4x﹣＞0，解得x＞∴函数f（x）=2x2﹣lnx的递增区间是（，+∞）故选C．4．由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．5．如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．2 B．1 C．D．0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义知，函数y=f（x）的图象在点P处的切线的斜率就是函数y=f（x）在该点的导数值，因此可求得f′（5）．【解答】解：根据图象知，函数y=f（x）的图象与在点P处的切线交于点P，f（5）=﹣5+8=3，f′（5）为函数y=f（x）的图象在点P处的切线的斜率，∴f′（5）=﹣1；∴f（5）+f′（5）=2．故选：A．6．的值为（）A．0 B．C．2 D．4【考点】V5：微积分的产生──划时代的成就；66：简单复合函数的导数．【分析】本题考查的知识点是简单复合函数的定积分，要求，关键是要确定满足条件F′（x）=sinx+cosx的函数F （x），根据三角函数的导数的公式，我们易得F（x）=﹣cosx+sinx，代入即可求出的值．【解答】解：令F（x）=﹣cosx+sinx，∴F′（x）=sinx+cosx，所以．故选C7．若=1，则f′（x0）等于（）A．2 B．﹣2 C．D．【考点】6F：极限及其运算；61：变化的快慢与变化率．【分析】先将进行化简变形，转化成导数的定义式，即可解得．【解答】解：根据导数的定义可得，=故选C8．5个人分4张无座足球票，每人至多分一张，而且必须分完，不同的分发种数有（）A．种B．45种 C．种D．54种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意知5个人分4张同样的足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，则满足条件的分法是只有一个人没有票，共有五种结果．【解答】解：由题意知5个人分4张同样的足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，则满足条件的分法是只有一个人没有票，∴不同的分发种数有种，故选：C．9．已知函数f（x）满足f（π+x）=f（π﹣x），且当x∈（0，π）时f（x）=x+cosx，则f（2），f（3），f（4）的大小关系是（）A．f（2）＜f（3）＜f（4）B．f（2）＜f（4）＜f（3）C．f（4）＜f（3）＜f（2）D．f（3）＜f（4）＜f（2）【考点】3F：函数单调性的性质；71：不等关系与不等式．【分析】利用导数可判断f（x）在（0，π）上的单调性，由f（π+x）=f（π﹣x），可得f（4）=f（2π﹣4），借助单调性即可判断它们的大小关系．【解答】解：当x∈（0，π）时，f′（x）=1﹣sinx≥0，所以f（x）在（0，π）上单调递增，由f（π+x）=f（π﹣x），得f（4）=f（π+（4﹣π））=f（2π﹣4），而0＜2＜2π﹣4＜3＜π，所以f（2）＜f（2π﹣4）＜f（3），即f（2）＜f（4）＜f（3）．故选B．10．5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为（）A．18 B．24 C．36 D．48【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】甲、乙两人和中间一人捆绑算一个元素，共三个元素排列，不要忘记甲、乙两人之间的排列．【解答】解：因为5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法=36，故选：C．11．设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】DC：二项式定理的应用；DB：二项式系数的性质．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得 b==．再由13a=7b，可得13=7，即 13×=7×，即 13=7×，即 13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．12．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．【考点】63：导数的运算．【分析】先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又因为，利用均值不等式即可求解．【解答】解：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2﹣4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；∴，当a=c时取等号．故选C．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．一物体的运动方程为s=7t2+8，则其在t= 时的瞬时速度为1．【考点】62：导数的几何意义．【分析】由题意对运动方程为s=7t2+8，进行求导，然后再把t代入导数利用瞬时速度为1求解即可．【解答】解：∵物体的运动方程为s=14t，∴=s′=14t，物体zt瞬时速度为1，v=s′|t=14t=1，可得t=．故答案为：．14．如果复数（1+i）（1+mi）是实数，则实数m= ﹣1 ．【考点】A2：复数的基本概念；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】先化简复数，然后令其虚部为0．【解答】解：（1+i）（1+mi）=﹣m+1+（m+1）i∵该复数为实数，∴m+1=0，解得m=﹣1，故答案为：﹣1．15．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为 6 ．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先求出f′（x），根据f（x）在x=2处有极大值则有f′（2）=0得到c的值为2或6，先让c=2然后利用导数求出函数的单调区间，从而得到x=2取到极小值矛盾，所以舍去，所以得到c的值即可．【解答】解：f（x）=x3﹣2cx2+c2x，f′（x）=3x2﹣4cx+c2，f′（2）=0⇒c=2或c=6．若c=2，f′（x）=3x2﹣8x+4，令f′（x）＞0⇒x＜或x＞2，f′（x）＜0⇒＜x＜2，故函数在（﹣∝，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，c=6．故答案为616．由数字1，3，4，6，x（0≤x≤9，x∈N）五个数字组成没有重复数字的五位数，所有这些五位数各位数字之和为2640，则x= 8 ．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，按x是否为0分2种情况讨论：（1）x=0（2）x≠0，每种情况下先求出5个数字可以组成五位数的个数，进而表示出这些五位数各位上的数字之和，求出x的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：（1）若x=0，这5个数字为1、3、4、6、0，可以组成4A 44=96个没有重复数字的五位数， 则1、3、4、6、0中每个数字均出现96次，所有这些五位数各位上的数字之和为96×（1+3+4+6）=1344≠2640， 故x=0不符合题意；（2）若x ≠0，这5个数字可以组成A 55=120个没有重复数字的五位数， 则1、3、4、6、x 中每个数字均出现120次， 又由所有这些五位数各位上的数字之和为2640， 则有120×（1+3+4+6+x ）=2640， 解可得x=8； 综合可得x=8； 故答案为：8．三、解答题：（17题10分，18-22每题12分，共70分，写出必要的文字说明）17．在数列{a n }中，，a n+1=．（1）计算a 2，a 3，a 4并猜想数列{a n }的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想．【考点】RG ：数学归纳法；8H ：数列递推式．【分析】（1）根据，a n+1=可求出a 2，a 3，a 4的值，根据前四项的值可猜想数列{a n }的通项公式；（2）根据数学归纳法的步骤进行证明即可．【解答】解：（1）∵，a n+1=．∴a 2==，a 3==，a 4==猜想数列{a n }的通项公式为a n =（2）①n=1时，a1==满足通项公式；②假设当n=k时猜想成立，即，则==，当n=k+1时猜想也成立．综合①②，对n∈N*猜想都成立．18．在二项式（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列．（I）求展开式中的常数项；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．【考点】DC：二项式定理的应用；DB：二项式系数的性质．【分析】（I）有条件利用等差数列的定义求得n的值，可得二项式（+）n的展开式的通项公式，在通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．（Ⅱ）设第r+1项的系数最大，则由，求得r的值，可得系数最大的项．【解答】解：（I）二项式（+）n的展开式中，前三项系数分别为 1，，，再根据前三项系数成等差数列，可得 n=1+，求得n=8或n=1（舍去）．故二项式（+）n的展开式的通项公式为 T r+1=•2﹣r•x4﹣r．令4﹣r=0，求得 r=4，可得展开式的常数项为 T5=•=．（Ⅱ）设第r+1项的系数最大，则由，求得，即2≤r≤3，故r=2 或r=3，故第三项或第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为 T3=7x2，T4=7x．19．（1）在复平面内复数z1=1+2i，z2=+i，z3=﹣i，z4=﹣2+i对应的四点是否在同一个圆上，并证明你的结论；（2）实数m取什么值时，复平面内表示复数z=（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m﹣14）i的点位于第四象限．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）利用四个复数的模相等，说明这些点均在以原点为圆心、为半径的圆上即可．（2）由，化简解出即可得出．【解答】解：（1）四点共圆．在复平面内复数z1=1+2i，z2=+i，z3=﹣i，z4=﹣2+i，∵|z1|==，同理可得：|z2|=|z3|=|z4|=．∴在复平面内复数z1=1+2i，z2=+i，z3=﹣i，z4=﹣2+i对应的四点都在以原点为圆心、为半径的同一个圆上．（2）由，化为，解得﹣2＜m＜3，或5＜m＜7．20．用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多0.5m，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；5A：函数最值的应用．【分析】将容器容积表示成底面短边长x的函数关系，然后利用导数求此函数的最值，注意如何选择自变量．【解答】解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为（x+0.5）m，高为3.2﹣2x．由3.2﹣2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6，设容器的容积为ym3，则有y=x（x+0.5）（3.2﹣2x），（0＜x＜1.6）．整理，得y=﹣2x3+2.2x2+1.6x，∴y′=﹣6x2+4.4x+1.6．﹣﹣6分令y′=0，有x=1．从而在定义域（0，1.6）内只有在x=1 处使y取最大值，这时，长x+0.5=1.5m，宽x=1m，高3.2﹣2x=1.2．它的最大容积y max=1.5×1×1.2=1.8m3．答：长1.5m，宽1m时容器的容积最大，它的最大容积是1.8m3．21．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的正整数．（1）共有多少个四位数？（2）其中四位偶数有多少个？（3）比4301大的四位数有多少个？（4））能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（注意：以上各小题要列出算式后再求值，否则扣分．）【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】（1）先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有C51种结果，余下的五个数字在三个位置进行全排列，共有A53种结果，根据乘法原理得到结果．（2）要组成无重复数字的四位偶数，则末位为0，2，4中一个，且首位不能为0，所以可用分类计数，分成三类，0在个位，2在个位，4在个位，把每类的方法数计算出来，再相加即可．（3）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，当首位是4时，第二位是5．后两位没有限制，当前两位是43时，分别写出结果数（注意减去4301），相加得到结果．（4）要组成无重复数字的5的倍数的五位数，则末位为0，5中一个，且首位不能为0，所以可用分类计数，分成两类，0在个位，5在个位，把每类的方法数计算出来，再相加即可【解答】解：（1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，∴先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有C51种结果，余下的五个数字在三个位置进行全排列，共有A53种结果，根据分步计数原理知共有A15•A35=300；（2）第一类：0在个位时有A53个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有A41种），十位和百位从余下的数字中选（有A42种），于是有A41A42个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A41A42个．共有四位偶数：A53+A41A42+A41A42=156个．（3）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，共有A53=60，当前两位是45时，共有A43=4×3=12个，当前两位是43时，共有A42=4×3=12个，去掉4301即可，即有12﹣1=11个．根据分类加法原理得到共有：60+12+12﹣1=83个．（4）个位数上的数字是0的五位数有A54个；个位数上的数字是5的五位数有A41A43个．故满足条件的五位数的个数共有A54+A41A43=216个．22．已知函数g（x）=（a﹣2）x（x＞﹣1），函数f（x）=ln（1+x）+bx的图象如图所示．（I）求b的值；（II）求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；3D：函数的单调性及单调区间．【分析】（I）求出f（x）的导函数，由图象可知x=﹣0.5时导函数的值为0，所以把x=0.5代入导函数令其等于0即可求出b的值；（II）把（I）中求出的b代入f（x）中，确定出f（x）的解析式，然后把f（x）和g（x）的解析式代入到F（x）=f（x）﹣g（x）中得到F（x）的解析式，求出F（x）的导函数，令导函数大于0，根据对数函数的定义域可知x+1大于0，推出ax小于1﹣a，然后分a大于0，a小于0和a等于0三种情况讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间．【解答】解：（I），由图知f'（﹣0.5）=0⇒b=﹣2；（II）F（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣2x﹣（a﹣2）x=ln（1+x）﹣ax，得到，令F'（x）=﹣a＞0⇒因为x+1＞0⇒ax＜1﹣a当a＞0时，F'（x）＞0⇒﹣1＜x＜，故函数F（x）的单调增区间是（﹣1，﹣1），单调减区间；当a＜0时，F'（x）＞0⇒x＞﹣1，故函数F（x）的单调增区间是（﹣1，+∞）；当a=0时，F'（x）＞0⇒x＞﹣1，故函数F（x）的单调增区间是（﹣1，+∞），综上所述：当a＞0时，函数F（x）的单调增区间是，单调减区间是．当a≤0时，函数F（x）的单调增区间是（﹣1，+∞）．。

2018-2019学年广东实验中学高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．若复数21(1)z a a i =-++（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．-1和1 B ．1 C ．-1 D ．0【答案】B【解析】根据纯虚数概念,即可求得a 的值. 【详解】因为复数21(1)z a a i =-++是纯虚数所以实部为0,即210a -= 解得1±=a又因为纯虚数10a +≠ ,即1a ≠- 所以1a = 所以选B 【点睛】本题考查了复数的基本概念，纯虚数的定义，属于基础题。

2．“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【详解】 解：由，解得x ＜1或x ＞3，此时不等式x ＜1不成立，即充分性不成立，若x ＜1，则x ＜1或x ＞3成立，即必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件，故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．3．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0>b ）的焦距为10，且其虚轴长为8，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213664x y -=B ．1366422=-y xC ．116922=-y xD ．221169x y -=【答案】C【解析】根据焦距和虚轴长，即可求得a 的值，即可求得双曲线方程。

【详解】因为双曲线焦距为10，所以5c = 虚轴长为8，所以4b =所以3a =所以双曲线方程为116922=-y x所以选C 【点睛】本题考查了根据c b a 、、的值求双曲线的标准方程，属于基础题。

4．a ，b 为平面向量，已知)2,1(a = ，(1,0)b =，则a ，b 夹角的余弦值等于（ ）A ．B ．C ．15D ．15-【答案】A【解析】根据向量数量积的坐标运算，代入即可求得夹角的余弦值。