高中数学对数—对数运算性质的运用北师大版必修一

对数的运算性质（3）

一、内容与解析

(一）内容：对数的换底公式及其应用

（二）解析：本节课要学的内容是对数的换底公式以及换底公式的应用,其关键是换底公式的应用,理解它关键就是要根据实际情况灵活换底.学生已经掌握了同底对数的运算,本节课的内容就是在此基础上的发展.由于它是处理不同底的对数运算的问题，是本单元的一般内容.教学的重点是如何正确使用换底公式,解决重点的关键是根据问题的特点灵活使用换底公式。

二、教学目标及解析

(一)教学目标:

1．掌握并能够证明对数的换底公式；

2．正确应用换底公式得到其变形结果，能利用它将对数转化为自然对数或常用对数来计算，体会转化与化归的数学思想；

3．通过本节课换底公式的证明及前一节课对数运算法则的推导过程，培养学生应用已有知识发现问题及解决问题的能力，体会数学内在的逻辑性，发现数学美，提高学生学习数学的热情。

(二)解析:

1．掌握并能够证明对数的换底公式指的是：熟记换底公式，能够证明换底公式；

2．正确应用换底公式得到其变形结果指的是：能利用换底公式得到一些常见结论（即换底公式的变形公式），对于具体的求值问题，能够选择适当的底数进行转化，从而简化计算；

3．对数的运算性质及换底公式的推导和证明，可以有不同的顺序，各条性质之间有些也能互相推导，也可以转化为定义推导，对于具体的求值问题，可以应用不同的性质来解决，非常灵活，但不困难，题目做起来非常有趣；通过这部分内容，培养学生的数学能力，感受数学学科的特点，激发学生学习数学的兴趣。

三、问题诊断分析

本节课容易出现的问题是：针对具体问题学生不能选择适当的底数来应用换底公式。出现这一问题的原因是：学生对换底公式尚不太熟悉，转化的能力也有待提高。要解决这一问题，教师要通过对换底公式的变形公式的探究及具体的例子，让学生自主探究，必要时给予适当引导，让学生学会分析问题，逐步掌握换底公式的应用。

四、教学支持条件分析

对数的运算性质

【学习目标】

1．掌握对数的运算性质。

2．理解对数的运算性质推导过程。

3．通过推导对数运算性质的过程，提升数学运算素养。

【学习重难点】

1．掌握对数的运算性质。

2．理解对数的运算性质推导过程。

【学习过程】

一、初试身手

1．lg 2＋lg 5＝________。

2．若log22x－53＝1，则x＝________。

二、合作探究

1．对数运算性质

【例】求下列算式的值。

2log32－log3329＋log38＋3log515。

【规律方法】

对数的计算一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值。

2．对数运算性质的应用

【例】 已知x，y，z∈(0，＋∞)且3x＝4y＝6z。

求证：12y＝1z－1x。

[思路探究] 令3x＝4y＝6z＝m，通过取对数，把x，y，z表示出来，再求解。

【规律方法】

取对数可以把乘方、开方、乘、除运算转化为乘、除、加、减运算，即取对数起到把运算降级的作用，便于运算。

【跟踪训练】

已知315a＝55b＝153c，则5ab－bc－3ac＝________。

【学习小结】

若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；

(3)logaMN＝logaM－logaN。

【精炼反馈】

1．(lg 2)2＋lg 2lg 50＋lg 25＝________。

2．计算：(1)31＋log32；(2)log2(23×45)

【答案】

[学习过程]

一、1. 1 [lg 2＋lg 5＝lg 10＝1．]

2. 112 [由2x－53＝2⇒2x＝11⇒x＝112。]

二、1. [解]原式＝log34－log3329＋log38－3log55

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高中数学 对数的运算性质及其应用

一.积、商、幂的对数运算及其注意事项

①0,logloglogNMMNNMaaa

推广：ZkNNNNNNNkaaakaloglogloglog21321

②0,logloglogNMNMNMaaa

③0loglogMMnMana

注意：对于对数的三条运算性质,要特别注意它的前提条件：0,1,0Maa，

0N,尤其是NM,都是正数这—条件,若NM,中有一个小于或等于0,就导致

Malog或Nalog无意义.另外还要注意0M,0N与0NM并不等价.

初学对数运算法则,容易出现下列错误：

MNMNaaalogloglog；

MNNMaaalogloglog；

NMNMaaalogloglog；

nanaMMloglog

产生这种错误的原因是将积、幂、商的对数与对数的积、幂、商混淆,把对数符号当作数的字母进行运算了.

二.对数运算性质的四类应用解析

1.对数性质的判断

例1、有下列五个等式，其中0a 且1a ．

（1）yxyxaaalogloglog

（2）yxyxaaalogloglog

（3）yxyxaaaloglog21log

（4）yxyxaaalogloglog

（5）xxaalog2log2

其中正确的等式的代号是______________________． 打印版本

高中数学

分析：对数的作用，在于降低一级运算，即把乘方和开方降为乘和除（MnManaloglog,nMManaloglog，0,0NM ）,把乘和除降为加和减（MNNMaaalogloglog,NMNMaaalogloglog，0,0NM）但对加和减却无能为力，即NMalog 不能再进行化简．这五个等式的正误，可以直接判断（如果性质较熟的话），也可从“右往左看”．

对数的运算性质（1）

一、内容与解析

(一）内容：对数的运算法则

（二）解析：本节课要学的内容是同底对数的加、减及数乘运算,其关键是从正逆两个方面理解掌握这些运算法则,理解它关键就是要类比指数幂的运算法则.学生已经掌握了指数式与对数式的互化及指数幂的运算法则,本节课的内容就是在此基础上的发展.由于它是数的一种运算方式，是计算很大或很小数的一种方法,是本学科的重要内容.教学的重点是能熟练应用对数的运算法则,解决重点的关键是理解对数的运算法则

二、教学目标及解析

(一)教学目标:

1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；

2．能较熟练地运用法则解决问题

(二)解析:

(1)就是指知道并能应用指数幂的运算性质推导出对数的运算法则

(2)就是指根据式子的结构特点灵活选用运算法则进行计算。

三、问题诊断分析

本节课容易出现的问题是：学生从指数的运算法则推导出对数的运算法则很难入手。要解决这一问题，教师要做好示范，以第一个运算性质的推导为例，从指数和对数的关系出发，通过设中间量和恒等变形，来达到转化的目的。对于第二个和第三个运算性质，要由教师提出具体的问题，让学生类比第一个性质的推导过程，自主探索，教师巡视并给予适当指导。

四、教学支持条件分析

在本节课()的教学中,准备使用(),因为使用(),有利于().

五、教学过程

问题1.我们已经知道对数是实数的又一种表示形式，那么它有什么样的运算法则呢？

设计意图:

师生活动(小问题):

1.求下列三个对数的值：222log32,log4,log8，你能从中发现这三个对数之间有什么样的运算规律？

2.将1中的规律一般化，你能猜想出什么结论？并证明之

3.由此可以得到对数的运算法则是什么？请用文字语言从顺逆两个角度进行叙述。

4.请将22log5，325322log5,log5分别用 2log5表示。

5.由4可知lognaM也可用logaM表示，请将结果写出，并证明之；请用文字语言从顺逆两个角度进行叙述。