2017-2018学年河北省衡水中学高二(下)期中数学试卷(理科)含解析
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2017-2018学年河北省衡水中学高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5.00分）与极坐标（﹣2，）不表示同一点的极坐标是（ ）
A．（2，） B．（2，﹣） C．（﹣2，﹣） D．（﹣2，）
2．（5.00分）下列表述：
①综合法是由因到果法；
②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；
④分析法是间接证明法；
⑤分析法是逆推法．
其中正确的语句与（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（5.00分）若复数z满足（1+i）z=|1﹣i|（i为复数单位），则 z的共轭复数为（ ）
A．1+i B．1﹣i C． D．
4．（5.00分）用反证法证明命题“若sinθ+cosθ•=1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是（ ）
A．sinθ≥0或cosθ≥0 B．sinθ＜0或cosθ＜0
C．sinθ＜0且cosθ＜0 D．sinθ＞0且cosθ＞0
5．（5.00分）方程（t为参数）表示的曲线是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的上支 C．双曲线的下支 D．圆
6．（5.00分）若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系是（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
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7．（5.00分）老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n，则n=（ ）
A．15 B．11 C．8 D．7
8．（5.00分）在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是（ ）
A．S4=S1+S2+S3 B．S42=S12+S22+S32
C．S43=S13+S23+S33 D．S44=S14+S24+S34
9．（5.00分）设函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤4π），则函数f（x）的所有极大值之和为（ ）
A．e4π B．eπ+e2π C．eπ﹣e3π D．eπ+e3π
10．（5.00分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），M是曲线C上的动点．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=20，则点M到T的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
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11．（5.00分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（ ）
A．（0，4） B． C． D．（0，1），（4，+∞）
12．（5.00分）已知函数关于x的方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=0，有5不同的实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B．（0，+∞） C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13．（5.00分）复数（i为虚数单位）的虚部为
．
14．（5.00分）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（θ+）=，则点A（2，）到直线l的距离为 ．
15．（5.00分）在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 ．
16．（5.00分）已知实数a，b满足2a2﹣5lna﹣b=0，c∈R，则的最小值为 ．
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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10.00分）设复数z=2m+（4﹣m2）i，其中i为虚数单位，当实数m取何值时，复数z对应的点：
（1）位于虚轴上；
（2）位于一、三象限；
（3）位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．
18．（12.00分）已知数列{an}满足Sn+an=2n+1．
（1）写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．
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19．（12.00分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．
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20．（12.00分）某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：
空气质量指数 （0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，250] （250，300]
空气质量等级 1级优 2级良 3级轻度污染 4级中度污染 5级重度污染 6级严重污染
该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．
（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；
（Ⅱ）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列及数学期望．
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21．（12.00分）已知抛物线y2=4x的焦点为椭圆的右焦点F，点B为此抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于点T，求的取值范围．
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22．（12.00分）已知a∈R，函数．
（1）若函数f（x）在区间（0，2）内单调递减，求实数a的取值范围；
（2）当a＞0时，求函数f（x）的最小值g（a）的最大值；
（3）设函数h（x）=f（x）+|（a﹣2）x|，x∈[1，+∞），求证：h（x）≥2．
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2017-2018学年河北省衡水中学高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5.00分）与极坐标（﹣2，）不表示同一点的极坐标是（ ）
A．（2，） B．（2，﹣） C．（﹣2，﹣） D．（﹣2，）
【解答】解：与极坐标（﹣2，）不表示同一点的极坐标是．
故选：B．
2．（5.00分）下列表述：
①综合法是由因到果法；
②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；
④分析法是间接证明法；
⑤分析法是逆推法．
其中正确的语句与（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确．
根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，是逆推法，故③⑤正确，④不正确．
故选：C．
3．（5.00分）若复数z满足（1+i）z=|1﹣i|（i为复数单位），则 z的共轭复数为（ ）
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A．1+i B．1﹣i C． D．
【解答】解：（1+i）z=|1﹣i|，∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i），
∴z=﹣i．
则 z的共轭复数为+i．
故选：D．
4．（5.00分）用反证法证明命题“若sinθ+cosθ•=1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是（ ）
A．sinθ≥0或cosθ≥0 B．sinθ＜0或cosθ＜0
C．sinθ＜0且cosθ＜0 D．sinθ＞0且cosθ＞0
【解答】解：用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．
而要证命题的否定为：sinθ＜0或cosθ＜0，
故选：B．
5．（5.00分）方程（t为参数）表示的曲线是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的上支 C．双曲线的下支 D．圆
【解答】解：（t为参数），可得x+y=2•2t，y﹣x=2•2﹣t，
∴（x+y）（y﹣x）=4（y＞x＞0），即y2﹣x2=4（y＞x＞0），
∴方程（t为参数）表示的曲线是双曲线的上支，
故选：B．
6．（5.00分）若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系是（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
